4.2.1 同类项与合并同类项 学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“同类项与合并同类项”，引导学生理解同类项概念、掌握合并法则及化简整式。课堂以超市分类的生活情境导入，类比数学分类思想，通过多项式化简问题衔接整式旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料设计合作探究活动培养观察分析能力，错误诊所精准突破同类项识别与符号处理等易错点，分层达标检测适配不同学生，中考链接强化应用意识。融入数学文化增强学习兴趣，助力学生发展抽象能力、运算能力和应用意识，提升数学核心素养。

4.2.1 同类项与合并同类项 一、学习目标 【知识技能】理解同类项的概念，能准确识别同类项；掌握合并同类项的法则， 能正确地合并同类项；会利用合并同类项将整式化简。 【数学思考】经历从具体问题抽象出同类项概念的过程，发展符号意识和抽象思维能力。 【问题解决】能运用合并同类项的法则进行整式的化简，并解决简单的实际问题。 【核心素养】通过同类项概念的形成和合并同类项法则的探究，培养观察、分析、 归纳的能力，体会分类思想和类比思想，发展数学运算素养。 二、学习重难点 【重点】同类项的概念，合并同类项的法则及应用。 【难点】准确识别同类项，特别是含多个字母、指数为1或省略不写的情况； 合并同类项时系数的符号处理。 三、情境导入 【生活情境】超市里的分类摆放 走进超市，我们会看到： • 水果区：苹果、香蕉、橙子……摆放在一起 • 蔬菜区：白菜、萝卜、西红柿……摆放在一起 • 饮料区：可乐、果汁、矿泉水……摆放在一起 为什么超市要把同类的商品摆放在一起呢？ 答：方便顾客寻找，也方便工作人员管理和清点。 数学中也有类似的分类思想——把具有相同特征的项归为一类， 这就是我们今天要学习的——同类项。 【思考】有这样一个多项式：3x² + 2x + 5x² - x + 1，你能把它化简吗？ 图1：同类项判断对比图 【概念生成】同类项的定义 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 特别地，所有的常数项都是同类项。 判断标准（两相同，两无关）： ① 两相同：所含字母相同；相同字母的指数分别相同。 ② 两无关：与系数无关；与字母的排列顺序无关。 例如：3x²y 与 -5x²y 是同类项； 2ab 与 3ba 是同类项（字母顺序不同，但字母相同，指数相同）； 5 与 -8 是同类项（都是常数项）。 四、合作探究 探究点1：同类项的识别 【活动1】判断下列各组中的两个项是不是同类项，并说明理由。 (1) 3x 与 3y (2) 2x² 与 3x³ (3) 5ab 与 -4ba (4) -7x²y 与 3yx² (5) 8 与 -9 (6) 3² 与 x² (7) 2πr 与 5r (8) 3a²b 与 2ab² (9) - y 与 3 y 【方法归纳】判断同类项的技巧 ① 先看字母是否相同，再看相同字母的指数是否相同； ② 注意指数为1的情况，字母的指数是1时通常省略不写； ③ 所有的常数项都是同类项，常数的指数不考虑； ④ π是常数，不是字母，含有π的项要注意判断； ⑤ 同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关。 探究点2：合并同类项的法则 【活动2】填空，并说说你的理由： (1) 3x + 5x = ______x = ______ (2) -3x² + 2x² = ______x² = ______ (3) 3ab² - 5ab² = ______ab² = ______ (4) 5m + 2m - 4m = ______m = ______ 图2：合并同类项法则示意图 【概念】合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和， 且字母连同它的指数不变。 简单记为：系数相加，字母和指数不变。 依据：乘法分配律 a(b+c) = ab + ac 的逆用。 例如：3x² + 2x² = (3+2)x² = 5x² 探究点3：合并同类项的步骤 图3：合并同类项步骤流程图 【活动3】试着合并下列多项式中的同类项： 4x² + 2x + 7 + 3x - 8x² - 2 【解题步骤示范】 解：4x² + 2x + 7 + 3x - 8x² - 2 = 4x² - 8x² + 2x + 3x + 7 - 2 （找同类项，移同类项——交换律、结合律） = (4-8)x² + (2+3)x + (7-2) （合并同类项——分配律） = -4x² + 5x + 5 （写出结果） 注意： ① 移动项时要连同它的符号一起移动； ② 系数相加时要注意符号，特别是系数为负数的情况； ③ 合并同类项后，通常按某个字母的降幂（或升幂）排列。 【特别提醒】合并同类项注意事项 ① 只有同类项才能合并，不是同类项不能合并； ② 合并同类项时，要把所有同类项都合并，不能漏掉； ③ 系数互为相反数的同类项合并后结果为0； ④ 合并后系数为1时，1要省略不写，如 1x² 写成 x²； ⑤ 合并后系数为-1时，只写负号，如 -1x 写成 -x； ⑥ 常数项都是同类项，要合并在一起。 五、典型例题 题型一：同类项的识别 【例1】下列各组中，属于同类项的是（ ） A. 2x²y 与 2xy² B. -3a²b 与 3ba² C. abc 与 ab D. x³ 与 2³ 【解析】根据同类项的定义判断： A. 相同字母的指数不同（x的指数分别是2和1，y的指数分别是1和2），不是同类项； B. 字母相同（都是a、b），相同字母的指数也相同（a都是2次，b都是1次）， 与字母顺序无关，是同类项； C. 所含字母不同（第一个有c，第二个没有），不是同类项； D. 第一个含字母x，第二个是常数，不是同类项。 答案：B 题型二：利用同类项的概念求参数 【例2】若 -3 y 与 5 是同类项，求 a + b 的值。 【解析】根据同类项的定义：相同字母的指数分别相同。 由题意得：2a = 4（x的指数相同），b - 1 = 1（y的指数相同） 解得：a = 2，b = 2 所以 a + b = 2 + 2 = 4 题型三：合并同类项 【例3】合并下列各式中的同类项： (1) 3x² - 2x + 5x² - 3x + 1 (2) -4ab + a²b + 3ab - a²b (3) 2(x-y)² + 3(x-y) + 5(y-x)² - 3(y-x) 【解析】 (1) 3x² - 2x + 5x² - 3x + 1 = (3+5)x² + (-2-3)x + 1 = 8x² - 5x + 1 (2) -4ab + a²b + 3ab - a²b = ( - )a²b + (-4+3)ab = ( - )a²b - ab = -a²b - ab (3) 分析：把 (x-y) 看作一个整体，注意 (y-x)² = (x-y)²，y-x = -(x-y) 2(x-y)² + 3(x-y) + 5(y-x)² - 3(y-x) = 2(x-y)² + 5(x-y)² + 3(x-y) + 3(x-y) = 7(x-y)² + 6(x-y) 题型四：化简求值 【例4】先化简，再求值： 2x² - 5x + x² + 4x - 3x² - 2，其中 x = 。 【解析】先合并同类项化简，再代入求值。 解：2x² - 5x + x² + 4x - 3x² - 2 = (2+1-3)x² + (-5+4)x - 2 = -x - 2 当 x = 时， 原式 = - - 2 = - 六、错误诊所 【易错点1】同类项判断错误 例1：判断下列各组中的两项是不是同类项： (1) 2x²y 与 -3yx² （ ） (2) 4ab 与 4abc （ ） (3) x² 与 2² （ ） (4) -5 与 0 （ ） 【错解】(1)× (2)√ (3)√ (4)× 【错因分析】 (1) 同类项与字母的顺序无关，2x²y 和 -3yx² 是同类项； (2) 所含字母不同，4ab 含 a、b，4abc 含 a、b、c，不是同类项； (3) x² 含字母x，2²是常数4，不含字母，不是同类项； (4) 所有常数项都是同类项，-5和0都是常数，是同类项。 【正解】(1)√ (2)× (3)× (4)√ 【易错点2】合并同类项时出错 例2：下列合并同类项正确的是（ ） A. 3a + 2b = 5ab B. 5y - 2y = 3 C. -3x + 5x = 2x² D. 3x²y - 2yx² = x²y 【错解】B 或 C 【错因分析】 A. 3a和2b不是同类项，不能合并； B. 5y - 2y = 3y，不是3，字母和字母的指数不变； C. -3x + 5x = 2x，不是2x²，字母的次数不变； D. 正确。 【正解】D 【易错点1】判断同类项时忽略字母的指数 病例：判断 3a²b 与 3ab² 是否为同类项。 错解：是同类项（只看字母相同，没看指数）。 诊断：3a²b 中 a 的指数是2，b 的指数是1；3ab² 中 a 的指数是1，b 的指数是2。 相同字母的指数不相同，所以不是同类项。 正解：不是同类项。 警示：判断同类项要抓"两相同"：字母同，指数同，缺一不可！ 【易错点2】合并同类项时符号处理错误 病例：合并同类项：3x - 5x + 2x 错解：3x - 5x + 2x = (3-5+2)x² = 0x² = 0 诊断：错误在于把字母的指数也相加了。合并同类项时字母和指数都不变！ 正解：3x - 5x + 2x = (3-5+2)x = 0x = 0 警示：合并同类项的法则是"系数相加，字母和指数不变"，不要把指数也加起来！ 【易错点3】移动项时漏掉符号 病例：合并同类项：4x² + 2x - 8x² + 3x 错解：4x² + 2x - 8x² + 3x = (4+8)x² + (2+3)x = 12x² + 5x 诊断：移动 -8x² 时漏掉了负号，应该是 -8 而不是 +8。 正解：4x² + 2x - 8x² + 3x = (4-8)x² + (2+3)x = -4x² + 5x 警示：交换位置时，每一项都要连同它前面的符号一起移动，特别注意负号！ 【易错点4】系数为±1时的写法 病例：合并同类项：-x² + 2x² - x + 3x 错解：-x² + 2x² - x + 3x = -1x² + 2x² - 1x + 3x = 1x² + 2x 诊断：结果中系数为1或-1时，1要省略不写。 正解：-x² + 2x² - x + 3x = x² + 2x 警示：系数是1或-1时，通常省略1不写，如 1x → x，-1x → -x。 七、达标检测 A组 基础巩固 1. 下列各组式子中，是同类项的是（ ） A. 3x²y 与 -3xy² B. 3xy 与 -2yx C. 2x 与 2x² D. 5xy 与 5yz 2. 下列合并同类项正确的是（ ） A. 2a + 3b = 5ab B. 5y - 2y = 3 C. -3x² + 3x² = 0 D. 3x² + 2x³ = 5x⁵ 3. 若 -2x³ 与 5 y² 是同类项，则（ ） A. m = 3, n = 2 B. m = 2, n = 3 C. m = -3, n = 2 D. m = 2, n = -3 4. 合并同类项 -3x + 4x 的结果是（ ） A. 7x B. -7x C. x D. -x 5. 下列各组中，不是同类项的是（ ） A. 5² 与 2⁵ B. -ab 与 ba C. 0.2a²b 与 a²b D. a²b³ 与 -a³b² 6. 合并下列各式中的同类项： (1) 3x - 5x = ________ (2) -3a² + 2a² = ________ (3) 2ab - 3ab + ab = ________ (4) 5m - 3n - 2m + n = ________ 7. 若单项式 3x² 与 -2 y³ 是同类项，则 m + n = ______。 B组 能力提升 8. 若 y³ 与 x 是同类项，则 k + m = ______。 9. 先化简，再求值：3x² - 2x + 1 - 2x² - 3x + 4，其中 x = -2。 10. 已知关于 x 的多项式 2x² - (3m+2)x + 5 合并后不含一次项，求 m 的值。 11. 若 -3 y² 与 5x³ 的和是单项式，求 的值。 12. 合并同类项： (1) 3(x+y)² - 2(x-y) + 5(x+y)² + 3(x-y) (2) 2a²b - 3ab² + a²b + 2ab² - 3a²b C组 拓展创新 13. 【规律探究】观察下列单项式： -x, 3x², -5x³, 7x⁴, -9x⁵, 11x⁶, … (1) 写出第 7 个和第 8 个单项式； (2) 写出第 n 个单项式。 14. 【综合应用】已知 A = 2x² + 3xy - 2x - 1，B = -x² + xy - 1， 且 3A + 6B 的值与 x 无关，求 y 的值。 八、中考链接 【中考真题1】（2023·湖南中考） 下列各组中的两项，属于同类项的是（ ） A. a² 与 a B. -3ab 与 2ab C. a²b 与 ab² D. a 与 b 【解析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同。 A. a的指数不同；B. 字母都是a、b，指数都是1，是同类项；C. 指数不同；D. 字母不同。 答案：B 【中考真题2】（2024·山东中考） 计算 3a - 2a 的结果正确的是（ ） A. 1 B. a C. -a D. -5a 【解析】合并同类项：3a - 2a = (3-2)a = a 答案：B 【中考真题3】（2023·广东中考） 如果单项式 - y³ 与 x² 是同类项，那么 a、b 的值分别为（ ） A. a = 2, b = 3 B. a = 1, b = 2 C. a = 1, b = 3 D. a = 2, b = 2 【解析】根据同类项定义：a+1 = 2，b = 3，所以 a = 1，b = 3。 答案：C 九、数学文化 【数学史话】代数学的发展与符号化历程 代数学的发展经历了漫长的历史，从修辞代数到符号代数，经过了几千年的演变。 1. 修辞代数时代（约公元前1700年—公元250年） 这一时期的数学家完全用文字来叙述和解决代数问题，没有使用符号。 例如，古埃及纸草书中这样描述问题："一个量，加上它的四分之一，等于15。" 古巴比伦人则用楔形文字在泥板上记录方程问题。 2. 缩写代数时代（约公元250年—16世纪） 古希腊数学家丢番图（Diophantus，约246—330年）被称为"代数学之父"。 他在《算术》一书中首次使用了缩写符号来表示未知数和运算，例如用希腊字母 ς（sigma）表示未知数。中国古代数学家也使用"天元术"等方法来表示未知数。 3. 符号代数时代（16世纪至今） 法国数学家韦达（François Viète, 1540—1603）首次系统地用字母表示已知数 和未知数，创立了符号代数。笛卡尔（René Descartes, 1596—1650）进一步 完善了符号体系，用字母表开头的字母表示已知数，末尾的字母表示未知数， 这就是我们今天使用的表示方法。 合并同类项是代数运算的基础，它的本质是乘法分配律的逆用。 这个看似简单的法则，却是整个代数学大厦的基石之一。 十、小结与反思 【知识梳理】 • 同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 所有的常数项都是同类项。 • 同类项判断：两相同（字母同、指数同），两无关（与系数无关、与字母顺序无关）。 • 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 • 合并法则：系数相加，字母和字母的指数不变。 • 合并步骤：找→移→并→写（找同类项、移同类项、合并同类项、写出结果）。 【方法技巧】 • 识别同类项：先看字母，再看指数，不看系数，不看顺序。 • 合并同类项：系数相加要注意符号，字母和指数不变要牢记。 • 整体思想：把某些代数式看作整体（如 (x+y)²），简化计算。 • 化简求值：先化简，再代入，计算更简便。 • 不含某项的条件：该项的系数为0。 【易错警示】 1. 判断同类项时，要同时满足"两相同"，缺一不可； 2. 合并同类项时，只把系数相加，字母和指数都不变； 3. 移动项时，要连同它前面的符号一起移动； 4. 系数是1或-1时，1通常省略不写； 5. 常数项都是同类项，要合并在一起； 6. 不是同类项不能合并，要保留在结果中。 【学习反思】 □ 我理解了同类项的概念，能正确识别同类项 □ 我掌握了合并同类项的法则，能正确合并同类项 □ 我会利用合并同类项进行化简求值 □ 我能根据同类项的概念求字母参数的值 □ 我理解了整体思想在合并同类项中的应用 我的困惑：________________________________________________ 我的收获：________________________________________________ 参考答案 一、学习目标 （略，见正文） 二、学习重难点 （略，见正文） 三、情境导入 思考题答案. 3x² + 2x + 5x² - x + 1 = 8x² + x + 1 四、合作探究 探究点1 活动1答案. (1) 不是（字母不同） (2) 不是（x的指数不同） (3) 是（字母同、指数同，与顺序无关）(4) 是（字母同、指数同，与顺序无关） (5) 是（都是常数项） (6) 不是（一个是常数，一个含字母）(7) 是（π是常数，不是字母） (8) 不是（相同字母指数不同） (9) 是（m是正整数时，字母同、指数同） 探究点2 活动2答案. (1) (3+5)x = 8x (2) (-3+2)x² = -x²(3) (3-5)ab² = -2ab² (4) (5+2-4)m = 3m 探究点3 活动3答案. 4x² + 2x + 7 + 3x - 8x² - 2 = -4x² + 5x + 5 五、典型例题 题型一：同类项的识别 【解析】根据同类项的定义判断： A. 相同字母的指数不同（x的指数分别是2和1，y的指数分别是1和2），不是同类项； B. 字母相同（都是a、b），相同字母的指数也相同（a都是2次，b都是1次）， 与字母顺序无关，是同类项； C. 所含字母不同（第一个有c，第二个没有），不是同类项； D. 第一个含字母x，第二个是常数，不是同类项。 答案：B 题型二：利用同类项的概念求参数 【解析】根据同类项的定义：相同字母的指数分别相同。 由题意得：2a = 4（x的指数相同），b - 1 = 1（y的指数相同） 解得：a = 2，b = 2 所以 a + b = 2 + 2 = 4 所以 a + b = 2 + 2 = 4 题型三：合并同类项 【解析】 (1) 3x² - 2x + 5x² - 3x + 1 = (3+5)x² + (-2-3)x + 1 = 8x² - 5x + 1 (2) -4ab + a²b + 3ab - a²b = ( - )a²b + (-4+3)ab = ( - )a²b - ab = -a²b - ab (3) 分析：把 (x-y) 看作一个整体，注意 (y-x)² = (x-y)²，y-x = -(x-y) 2(x-y)² + 3(x-y) + 5(y-x)² - 3(y-x) = 2(x-y)² + 5(x-y)² + 3(x-y) + 3(x-y) = 7(x-y)² + 6(x-y) 所以 a + b = 2 + 2 = 4 解得：a = 2，b = 2 由题意得：2a = 4（x的指数相同），b - 1 = 1（y的指数相同） 【解析】根据同类项的定义：相同字母的指数分别相同。 题型四：化简求值 【例4】先化简，再求值： 2x² - 5x + x² + 4x - 3x² - 2，其中 x = 。 【解析】先合并同类项化简，再代入求值。 解：2x² - 5x + x² + 4x - 3x² - 2 = (2+1-3)x² + (-5+4)x - 2 = -x - 2 当 x = 时， 原式 = - - 2 = - 六、错误诊所 【易错点1】同类项判断错误 【错解】(1)× (2)√ (3)√ (4)× 【错因分析】 (1) 同类项与字母的顺序无关，2x²y 和 -3yx² 是同类项； (2) 所含字母不同，4ab 含 a、b，4abc 含 a、b、c，不是同类项； (3) x² 含字母x，2²是常数4，不含字母，不是同类项； (4) 所有常数项都是同类项，-5和0都是常数，是同类项。 【正解】(1)√ (2)× (3)× (4)√ 【易错点2】合并同类项时出错 【错解】B 或 C 【错因分析】 A. 3a和2b不是同类项，不能合并； B. 5y - 2y = 3y，不是3，字母和字母的指数不变； C. -3x + 5x = 2x，不是2x²，字母的次数不变； D. 正确。 【正解】D 七、达标检测 A组 基础巩固 1. B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. (1) -2x (2) -a² (3) 0 (4) 3m - 2n 7. 5 （m=2, n=3, m+n=5） B组 能力提升 8. 4 （k-2=1, k=3；2m+1=3, m=1；k+m=4） 9. 化简：x² - 5x + 5；当x=-2时，原式 = (-2)² - 5×(-2) + 5 = 4 + 10 + 5 = 19 10. 一次项系数为 -(3m+2)，不含一次项则系数为0，所以 -(3m+2) = 0，3m+2 = 0，m = 11. 和是单项式说明是同类项，所以 m=3, n=2，m^n = 3² = 9 12. (1) 8(x+y)² + (x-y)(2) -ab² C组 拓展创新 13. (1) 第7个：-13x⁷；第8个：15x⁸(2) 第n个：(-1)^n · (2n-1) · x^n 14. 3A + 6B = 3(2x²+3xy-2x-1) + 6(-x²+xy-1) = 6x²+9xy-6x-3-6x²+6xy-6 = 15xy - 6x - 9 = (15y-6)x - 9 因为值与x无关，所以x的系数为0，即 15y-6=0，y = = 八、中考链接 真题1. B 真题2. B 真题3. C 九、数学文化 （略，阅读了解） 十、小结与反思 （略，自行总结） 学科网（北京）股份有限公司 $