25.2.1.1直接开平方法 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法”解一元二次方程，核心知识点包括适用形式\(x^2 = p\)和\((mx + n)^2 = p\)（\(p \geq 0\)）、解题依据及步骤。课堂导入从正方形花坛面积问题切入，结合平方根复习，搭建新旧知识联系，引导学生抽象方程模型。 其亮点在于以探究式教学为主，通过分情况讨论根的存在性培养推理意识，用变式练习（如\((2x + 3)^2 = (3x + 2)^2\)）提升运算能力，课堂小结结构化梳理步骤与思路。既帮助学生形成数学思维，又为教师提供清晰教学框架，提高教学效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 25.2.1.1直接开平方法 第25章 一元二次方程 25.2.1.1 直接开平方法 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 适用方程形式：直接开平方法适用于可化为$$x^2=p$$或$$(mx+n)^2=p(p\geq0)$$形式的一元二次方程，核心是将完全平方式整体开方求解。 2. 解题依据：平方根的定义，若$$x^2=p(p\geq0)$$，则$$x=\pm\sqrt{p}$$；当$$p=0$$时，方程有两个相等的实数根$$x_1=x_2=0$$；当$$p>0$$时，方程有两个不相等的实数根；当$$p<0$$时，方程无实数根。 3. 解题步骤：先移项、整理，将方程化为平方等于非负数的标准形式，再对等式两边直接开平方，最后解出未知数的值。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 下列方程适合用直接开平方法求解的是（ ） A. $$x^2+2x=0$$ B. $$(x-1)^2=4$$ C. $$x^2-3x+2=0$$ D. $$x^2+4x-1=0$$ 2. 方程$$x^2-9=0$$的根是（ ） A. $$x=3$$ B. $$x=-3$$ C. $$x_1=3，x_2=-3$$ D. 无实数根 （二）填空题 3. 方程$$x^2=0$$的实数根为________。 4. 方程$$(x+2)^2=5$$可变形为$$x+2=$$________，方程的根为________。 三、提升练习题 （三）解答题 5. 用直接开平方法解下列一元二次方程： （1）$$4x^2=16$$ （2）$$(2x-3)^2=25$$ 6. 用直接开平方法解方程：$$3(x-1)^2-27=0$$ 四、参考答案与解析 1. B 解析：直接开平方法适用于完全平方式等于常数的形式，只有B选项符合标准形式，其余方程需配方或因式分解求解。 2. C 解析：整理得$$x^2=9$$，两边开方得$$x=\pm3$$，即$$x_1=3，x_2=-3$$。 3. $$x_1=x_2=0$$ 解析：当常数项为0时，方程有两个相等的实数根。 4. $$\pm\sqrt{5}$$；$$x_1=-2+\sqrt{5}，x_2=-2-\sqrt{5}$$ 解析：根据平方根定义直接开方，再移项求解。 5. （1）解：化简得$$x^2=4$$，开方得$$x=\pm2$$，即$$x_1=2，x_2=-2$$；（2）解：两边开方得$$2x-3=\pm5$$，分别解得$$x_1=4，x_2=-1$$。 6. 解：移项整理得$$(x-1)^2=9$$，开方得$$x-1=\pm3$$，解得$$x_1=4，x_2=-2$$。 总结：直接开平方法的核心是“化平方、开根号、分情况求解”，解题前需先整理方程，保证平方项单独在等式一侧，且右侧常数非负，同时切勿遗漏负根，这是高频易错点。 学习目标 1.初步了解利用转化思想降次解一元二次方程的思路. 2.会利用直接开平方法对形如 ( x + m)² = n (n > 0) 的 一元二次方程进行求解. 3. 通过探究用直接开平方法解一元二次方程， 培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学 的思维思考现实. 学习目标 一个正方形花坛的面积为 10，若设其边长为 x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？ 1. 如果 x2 = a，则 x 叫作 a 的 . 2. 如果 x2 = a (a≥0)，则 x = . 3. 任何数都有平方根吗？ 平方根 负数没有平方根. (1) x2 = 4. 解：根据平方根的意义，得 x = ±2， 即 x1 = 2，x2 = -2. 探究点1：直接开平方法解形如 x² = p 的方程 解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法. 解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法. (2) x2 = 0； (3) x2 + 1 = 0. 解：移项，得 x2 = -1. ∵ 负数没有平方根， ∴ 原方程无实数解. 解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. 你能归纳一下这类方程的解的情况吗？ 探究点1：直接开平方法解形如 x² = p 的方程 (2) 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0，所以方程无实数根. 一般地，对于方程为 x2 = p， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 探究点1：直接开平方法解形如 x² = p 的方程 例1 利用直接开平方法解下列方程： (1) x2 = 6； 解：(1) 直接开平方，得 x = ±. 即 x1 = ，x2 = . (2) 4x2 - 3 = 0； (2) 移项，并将二次项系数化为 1，得 x2 = . 由此可得 x = ± 即 x1 = ，x2 = . 探究点1：直接开平方法解形如 x² = p 的方程 (1) x2 - 900 = 0； 解：移项，得 x2 = 900. 由此可得 x = ± 30. ∴ x1 = 30，x2 = -30. 1. 解下列方程. 【练一练】 (2) 2x2 - 120 = 0. 解： 移项，得 2x2 = 120. 系数化为 1，得 x2 = 60. 由此可得 x = ± . 即 x1 = ，x2 = . 探究点1：直接开平方法解形如 x² = p 的方程 由方程 (x + 3)2 = 5 ①，得 x + 3 = ±， 即 x + 3 = ，或 x + 3 = . ② 于是方程 (x + 3)2 = 5 的两个根为 x1 = -3 + ，或 x2 = -3 . 探究：对照上面解方程 x2 = 4 的过程，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5？ 探究点2：直接开平方法解形如 (x+n)² = p 的方程 解一元一次方程 解一元二次方程 目标: 转化为 x = p 目标: 转化为 x = p 步骤: 移项、合并、 系数化1 步骤: 例: 2x + 5 = 11 → x = 3 例: (x + 3)2 = 5 → x + 3 = ，或 x + 3 = 降次→拆为一次方程→求解 【对比总结】 探究点2：直接开平方法解形如 (x+n)² = p 的方程 例2 解下列方程： (1) (x＋2)2 = 9； (2) (x − 1)2 − 4 = 0. 解：(1) 移项，得 (x＋2)2 = 9. 由此可得 x＋2 = ± 3， x＋2 = 3，或 x＋2 = －3， 即 x1 = 1，x2 = -5. 探究点2：直接开平方法解形如 (x+n)² = p 的方程 例2 解下列方程： (1) (x＋2)2 = 9； (2) (x − 1)2 − 4 = 0. 即 x1 = 3，x2 = −1. (2) 移项，得 (x − 1)2 = 4. 由此可得 x − 1 = ±2， x − 1 = 2，或 x − 1 = －2， 探究点2：直接开平方法解形如 (x+n)² = p 的方程 【练一练】 (1) 12(3 − 2x)2 − 3 = 0. 解：(1) 移项，并将二次项系数化为 1，得 由此可得 3 − 2x = ±， 3 − 2x = ，或 3 − 2x = − . 2. 解下列方程： (3 − 2x)2 = . 即 x1 = ，x2 = . 探究点2：直接开平方法解形如 (x+n)² = p 的方程 解：将上式整理为 (3x + 1)2 = 4. (2) 9x² + 6x + 1 = 4. 由此可得 3x + 1 = ±2， 3x + 1 = 2，或 3x + 1 = -2. 即 x1 = ，x2 = -1. 探究点2：直接开平方法解形如 (x+n)² = p 的方程 3. 解方程：(2x + 3)2 = (3x + 2)2. 解：开方，得 2x + 3 = 3x + 2 或 2x + 3 = -3x - 2， 解得 x1 = 1 ， x2 = -1. 探究点2：直接开平方法解形如 (x+n)² = p 的方程 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x2 = p 或 (x＋n)2 = p (p≥0) 的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明. 不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0. 探究点2：直接开平方法解形如 (x+n)² = p 的方程 知识点1 方程 的解法 1. 老师出示问题：解方程 .四名同学给出了以下答 案：甲：；乙：;丙： ；丁： , .下列判断正确的是( ) D A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确 中考考法 18 2. 若一元二次方程的两根分别是 和 ，则 的值为( ) B A. 16 B. C. 25 D. 或25 【点拨】 一元二次方程的两根分别是 和 ，，解得 . ． 中考考法 19 3.解方程： （1） ； 【解】 , ， ， ， . 中考考法 20 （2） . ， ， ， ， ， . 中考考法 21 知识点2 方程 的解法 4. 如果关于的方程 可以用直接开平方法求 解，那么 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 5.在等式（□） 中，□内的数是________. 2或 中考考法 22 6. 解方程： （1） ; 【解】 ， ， ， . 中考考法 23 （2） . ， ， ， ， . 中考考法 24 概念 直接开平方 利用平方根的定义求方程的根的方法 步骤 关键要把方程化成 x2 = p (p≥0)或 (x + n)2 = p (p≥0) 基本思路 一元二次方程 降次 直接开平方法 两个一元一次方程 ______ ___________________ 课堂小结 $