江苏徐州市铜山区第一中学2026届高三下学期6月自测数学试题

**基本信息** 聚焦高考核心素养，通过函数零点、立体几何体积最值等问题设计，实现知识整合与能力梯度考查 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、函数零点、解析几何|第3题函数零点结合正弦函数性质，考查数学眼光| |多选|3/18|统计、立体几何|第10题正方体体积比，体现空间观念与几何直观| |填空|3/15|二项式定理、三角函数、抛物线|第14题抛物线中点弦斜率，考查数学运算| |解答题|5/77|解三角形、数列、双曲线、导数、立体几何|第19题立体几何体积最值与二面角，考查逻辑推理；第18题导数证明不等式，体现数学思维|

江苏徐州市铜山区第一中学2026届高三下学期6月数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B．i C． D．1 3.设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 4.在平面直角坐标系中，已知点在动直线上的射影为点，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 5．若，则（   ）. A． B． C． D． 6．现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛。规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（    ） A． B． C． D．48 7.已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左､右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C．5 D． 2、 多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列说法正确的是（   ） A. 对一组数据做线性回归分析，残差全部为 0 时，拟合效果完美 B. 数据2，5，7，9，10的 40 百分位数是 5 C. 独立性检验可以精确判断两个分类变量是否有关 D.相关系数r的绝对值越接近 1，变量间线性相关性越强 10．已知正方体，，分别是面，面的中心.则下列结论正确的是（   ）. A． B．平面 C．与是异面直线 D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为2：1 11．在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．的展开式中第3项的系数为______. 13．在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则______ 14.设抛物线：，已知斜率为2的直线交抛物线于，两点，点为中点，为抛物线上一点且轴，则直线的斜率为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，. (1)求证：； (2)若为的边上的高，求的取值范围. 16．（15分）设Sn是等比数列an的前n项和，已知S2＝4，a32＝3a4． (1)求an和Sn； (2)设bn＝，求数列bn的前n项和Tn． 17．（15分）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 18．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明： ① ； ②当且时，. 19.（17分）如图，在三棱锥中，平面，，，过作于，为线段的中点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)设为四棱锥的外接球的球心， ①证明：该球面与三棱锥的侧面的交线长小于； ②在二面角，二面角，二面角之中选择一个求其余弦的绝对值的取值范围． 参考答案 1．C ,， 即， 所以， 故选：C. 2．C 由题意得：， 所以. 3.B 因为，所以， 要使最小，需满足区间包含且仅包含这一个正弦函数的零点，即满足，解得， 所以. 4. D 动直线过定点，所以点在以为直径的圆上. 又，所以圆心为，半径为.从而为5，则的最大值为. 5．D 可得. 因为 所以. 6. C 7. D 令，则，故，故, 所以或, 故． 8．A 由，为中点，则为中点， 由在第二象限，可设，则， 由，则， 整理得， 由在双曲线上，则有， 整理得，则， 整理得，即. 9.AD A.残差定义：残差 = 实际值 - 回归预报值。 若所有残差都为0，说明所有样本点都落在回归直线上，线性拟合效果达到最优。A 正确。 C. 独立性检验（卡方检验）只能在一定犯错概率下推断两个分类变量是否有关，属于概率性判断，无法做到精确判定。C 错误。 选项 D 线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关性越强；越接近0，线性相关性越弱。D 正确。 10．AD 因为是等边三角形，为中点，所以，又正方体中，所以，选项A正确； 在正方体中，过作分别交，于，，连接，， 则，所以平面即平面，由于与不垂直，选项B错误； 在正方体中，连接与， 则，又在上，所以，所以与共面，选项C错误； 显然与是相交直线，设其交点为，设直线交于，交于， 连结交于，则面是平面截正方体所得的截面， 由，分别为正方形，的中心，得，连接， 多面体的体积， 而正方体的体积， 因此平面将正方体分成前后两部分的体积比为，选项D正确. 11．ACD 对于A选项，设与轴交于、，连接 ，，    因为为的直径，所以轴， 由题意可知，所以， 所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，如图：    连接并延长交于， 由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： 设，则， 因为，则， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误； 对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于，    因为，所以，所以， 则， 所以，令 ， 则， 所以 ，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确； 对于D选项，如图：    设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想， 对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当离轴最远时，与有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为， 即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确． 12.240 13． ， ， ， ， 又， . 故答案为：. 14.1 设直线的方程为（为常数）， 将代入抛物线方程得： ，即， 设， 由韦达定理可得，， 因为D为的中点，故D点的横坐标, 由轴可知，P点横坐标与D点横坐标相等，即, 将代入抛物线方程, 得，解得， 即P点坐标为， 故直线的斜率为. 15．(1)由得 ， 两边同时约去，并由正弦定理得：， 所以，即. 在中，因为，为内角，所以，或 . 若，则（舍去）. 故，即.证毕. (2). （1）先将向量数量积转化为边与角的关系，得，再用正弦定理化边为角，结合两角差的正弦公式，得，结合三角形内角范围排除矛盾情况，可证得结果； （2）由已知与正弦定理，由高的定义得，代入目标式化简为，结合的范围求三角函数值域，即可求得结果. 由(1)知，由正弦定理得， ，又 ， 所以. 由三角形内角均为正数，即，解得， 所以，， 所以. 16．(1)，； (2)Tn＝1－ （1）设{an}的公比为q，则，而， 所以解得， 而， 所以 ， 则； （2）bn＝＝＝＝2(－)， ∴Tn＝2(－＋－＋…＋－)＝2(－) ＝1－． 17.(1) (2)证明见解析 （1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 18．（1）由，，得， . 若，则 ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 若时，令，得或. 因为，所以 ， 当，则，单调递减， 当，则，单调递增， 当，则，单调递减； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； (2)①由（1）得，当时，，又在上单调递增，在单调递减，所以，即，即 ； ②当时，，令（，且），得，两边同时取自然对数，得，即，，，，则，即当且时，. 19.(1)证明：因为平面，平面， 所以，， 由于，则是等腰直角三角形， 因为为斜边的中点，所以， 又已知，且，故平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面． (2)． (3)①连接，则由平面，又平面，故，    由知，，，均在以为直径的球面上，球心为的中点，半径， 所以为四棱锥的外接球的球心； ①取中点， 因为， 所以为上述球面被平面所截得的截面圆周的圆心， 该球面被三棱锥的侧面的交线为圆心角所对的一段弧，设该弧的长度为的弧度数为，则， 在中，，分别为，的中点，所以，即， 所以，所以，又， 所以． ②． 【难度】0.22 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求二面角、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定即可证明； （2）法一：建立空间直角坐标系，结合三棱锥的体积公式即可求解；法二：由体积比法，求得，即可求解；方法三：轨迹法，点的轨迹落在平面内以为直径的圆周上，由几何关系即可求解； （3）建立空间直角坐标系，由面面夹角的余弦公式求解二面角和二面角，同时根据二面角的平面角定义求解二面角和二面角． 【详解】（1）略． （2）以为原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 方法一： 在中，，则， 在中，， 由，得， 点在平面内，其坐标为， ， 设，由于在上，设， 即， 则， 由得：， 化简得：， 所以， 代入得， 由（1）知平面，故三棱锥的体积， 因为，，所以， 又， 所以 ， 又， 所以， ， 当时，三棱锥的体积取得最大值． 方法二：体积比法 ， 又， 所以， ， 由于面积为2，， 又 ，， 故， 下同方法一，得三棱锥的体积取得最大值． 方法三：轨迹法 由（1）知平面，平面， 故，， 点的轨迹落在平面内以为直径的圆周上， 取为体积的高，则， 由于为定值，当面积最大时体积最大， 当面积最大时，为等腰直角三角形，， 由，得， 此时，三棱锥的体积取得最大值． （3）①略 ②建系同（2），求二面角； 方法一：由（2）方法一，设，其中 ，， 平面即为平面， 其法向量， 设平面法向量， 由，得， 取，，， 则， ， 由于，所以， 所以， 由于，， 即二面角余弦的绝对值的取值范围为；    方法二：几何法 取线段的中点，中点，连结，， 由①知，平面，， 所以即二面角的平面角， 在中，为的中点，为中点，所以， 在中，为的中点，为中点，所以， 在中，， 由于，所以，故， 即二面角正弦值的取值范围为； 二面角： 设，则， 平面的法向量.，， 由， 令 ， ，，得， 由于点在直线上，平面即为平面， 设平面的法向量面的法向量，，， 由， 令，则，代入得 ，得 ， 取， 则， 因为，所以， 故二面角的正弦值的取值范围是． 二面角：在中，作于，则， 由于平面，所以平面， 由，得，故棱平面， 二面角的大小等于 ， 设， 则，所以， 即， 所以， 所以 ， 在中，， ，所以 ， 所以 ， 又， 所以， 令 ，则，又，所以， 则， 令， 由于 ， 所以在上单调递减，所以， 所以，即二面角的正弦值的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $