江苏省苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试数学学科试卷

2026届高三年级数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知复数z满足z=1-i,则1z2|=（) A.1 B.√ C.2 D.3 2.设集合A={dx<a,B={xl<x<2},若BSA,则a的取值范围是（) A.a≤1 B.as2 C.a21 D.a22 3.已知平面向量à=(-1，V5),6= 1 22 若(a+b)1(a-2b),则k=() A分 C.-2 D.2 4.若tan9=-2,则si血90+si血20=（) sin0+cos0 人号 B. 5-2 Γ2 5.圆x2+y2=20与圆x2+y2-6x-8y+20=0的公共弦长为（) A.2 B.4 C.2W5 D.45 4,B,P(0专PBI=PA+B)=则 A.0.7 B.0.75 C.0.85 D.0.9 7.抛物线E:y2=4x,F是其焦点，点A、B在曲线E上，且∠AFB=120°，C为线段AB的中点， AB 过点C作E的准线的垂线，垂足为D,则 的最小值为() CD A.3 B.√2+万 c.反 D.3 8.已知△M8C中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，△BC的面积S=(2-b)aC,角C的 平分线交AB于D点，且a=1,CD=7 =2则8D=() c 第1页/供4页 扫描全能王创建 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知一组数据由5个正整数组成，且这组数据中至少有1个8，则关于这组数据的描述可能是() A.中位数为3且平均数为5 B.平均数为4且众数为4 C.平均数为4且方差为3.2 D,中位数为5且方差不小于7.2 I0.如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中，AD=AA=1,AB=2,点P是楼AA上的动点（不含 端点)，过点D,B,P作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为V,V?,则() B A.截面是平行四边形 PA 3 C.存在点P,使得截面为长方形 D.截面的面积存在最小值2W3@ 1,{a,)为首项为1的正项数列，前n项和为S,若存在实数入使得入≥2出，则称该数列为“2 数列”，则下列说法中正确的有（) A.若{an)是公差为2的等差数列，则(an}是“3-数列” B.若{an}是“2-数列”，则{an}可以是常数列 C.若(an}是“2-数列”，则对任意的正整数n(n22),an≤23-2 D.对任意的1<p<g,0,=?+g,则“1+入≥g”是“a,}是“元数列”的充要条件 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(1+2x)°的展开式中x2的系数为 3.已知椭圆C:三+片三1〔>b>0),直线I过坐标原点并交椭圆于P,2两点(P在第一象限)》 点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线OA交椭圆于点B,若直线BP恰好是 以P为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为 14.若函数f(x)=x(2-a-k-有且仅有一个零点0，且>0，则实数a的取值范围为 第2页/供4页 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知f(x)=V3cos2x+2sin 经+(-xeR (1)求y=∫(x)的最小正周期和单调增区间： (2)已知锐角△ABC的内角、B、C的对边分别为a,b;c,且f(4)=-V3,a=2,求BC边 上的高的最大值， 16.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛 队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分：若至少投中一次，则 该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛 成绩为第二阶段的得分总和某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为卫，乙每次投中 的概率为9，各次投中与否相互独立， (1)若p=0.5,g=0.6,甲参加第一阶段比赛，在该队成缋为0分的情况下，求甲第-一阶段被 淘汰的概率： (2)若0<p<g,试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=3,AB=AP,CD=2,∠CDA=45°， (1)证明：平面PAB⊥平面PAD: (2)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长： (3)是否存在线段AD上一点E,使得E到点P,B,C,D的距离都相等？说明理由. 第3页/共4页 器 扫描全能王创建 18已奥汉鱼线号若-a>06>0的右幽点为R,离心率为2，过F且与：销重直的直线 被该双曲线截得的弦长为6. (1)求曲线E的方程： (2)A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F,若△ABC的面 积为12，求直线BC的方程； (3)已知D(1,0),过点G吃2)的直线1与E在y轴右侧交于不同的两点P、2,则直线1上是 否存在点T使得GP.T西=P7.G0,TD+F=13？若存在，求出T的坐标，若不存 在，说明理由， 19.已知函数x)=e+sinx-ax,a∈R. （1)若a=2,求x)的单调区间： (2)Vx∈[0，+o,x)2cosx成立，求实数a的取值范围： (3)若a=1,当x∈[-2π，+o)时，直线y=m与yx)的图象有三个交点，横坐标分别为 为，x2,(:<x2<为3)，求证：2x2<1+为. 第4页/供4页 器 扫描全能王创建1-8 CDAABAAD 911 ABD AD ABC 12.40 13.6 14.(0,-10 15.已知f(x)=V3cos2x+2sim 3π+xsn(π-x),xeR. (1)求y=f(x)的最小正周期和单调增区间： (2)已知锐角VABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且f(A)=-V5,a=2, 求BC边上的高的最大值， 【答案】(1)由已知f(x)=V3cos2x-2 cos xsinx=V3cos2x-sin2.x=2sim -2x 3 …2分 最小正周期为T= 2 3分 当2m号2x晋2加经keZ时：即如沿x红吾水eZ,函致 2 3 12 y=f(x)单调递增，所以y=f(x)的单调增区间为[m-7匹km-]keZ)…6分 12 12 et万m+9m4引24引 3 …9分 由余弦定理可知：a2=b2+c2-2 be cos 4,故4=b2+c2-bc 设BC边上的高为，所以有ah=csnA,故h=5c …11分 2 4 而b2+c2≥2bc,故4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,所以bc≤4，当b=c时，取等号. 所以h=5bc6V5,因此BC边上的商的最大值V5.…-1B分 16.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段 由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少 投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中 得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次 投中的概率为P,乙每次投中的概率为9，各次投中与否相互独立， (1)若p=0.5,q=0.6,甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一 阶段被淘汰的概率； (2)若0<p<q,试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 解：(1)记事件A=“该队成绩为0分”，事件B=“甲第一阶段被淘汰”，则P(AB)=0.S3, P(A=0.53+(1-0.5）0.43 181 ……2分 1000 于是所求为 P(BA)= P(AB)1000125 …5分 P(A)-1448181 (2)若甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩X、Y的所有可能取值为0,5,10,15， 则 P(X=0)=1-p3+[1-(1-p°-1-g, P(x=5)=[1-1-p]C9-(1-g°， P(X=10)=[1-(1-p)-Cg(1-9), P(X=15)=[1-1-pg, …9分 则E(X)=151-(1-p)'9=15(p-3p2+3p-9, 同理有E(Y)=15(g-3q+3qp, …11分 E(X)-E(Y)=15 pa(p+q)(p-g)-3pg(p-g)=15(p-q)pa(p+q-3). 因为p-q<0,p+q-3<1+1-3<0,则(p-q)pqp+q-3)>0,…15分 故应该由甲参加第一阶段比赛。 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=3,AB=AP,CD=2,∠CDA=45°. (1)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长： (2)是否存在线段AD上一点E,使得E到点P,B,C,D的距离都相等？说明理由. D 【答案】 (1):PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,∴.PA⊥AB,( 又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD ∴，AB⊥平面PAD 又.ABC平面PAB,.平面PAB⊥平面PAD..… 5分 (2)以A为坐标原点，以{AB,AD,AP)为空间正交基底建立空间直角坐标系，设AB=t(0<tK3) 则A(0,0,0),B(t,0,0),P(0,0,t),D(0,3-t,0),C(√2,3-t-√2,0) PB=t,0-),CD=(-√2，√2,0)，PD=(0,3-t,-t),设平面PCD的法向量为m=(y%,-o), 则由 m.CD=0 -n·PB Ssn30°=7，即 m PD=0 不妨取=13-)，则cosP四）叫P四 |2t2-3t 1 +产P++6-2 化简可得52181+9=0，解得t三，即AB号 3 …10分 (3)由(2)设E(0,s,0)(0≤5≤3)，Bt,0,0),P(0,0,t),D(0,3-t,0),C(√2,3-t-√2,0)，则有 EB2=EP2=s2+t2,ED=3-5-tl,EC2=2+(s+t-3+√2)2 所以s2+t23-5-t2=2+(s+t+√2-3)2，… …11分 [t2+s2=2 解得 …13分 t+s=3-√2' 消去t,有2s2-23-√2)5+9-6V2=0,此方程的判别式△=4(3-√2)2-8(9-6V2)>0, 记商数02r20回g9650>023)0,可103/00 所以存在点E使得E到点P,B,C,D的距离都相等…I5分 18. 【解析】I)令x=c,解得y=± b2 ,所以有26 =6, …1分 b2 又由离心率为2，得， =2, …2分 a- a2=1 解得 所以双曲线E的标准方程是-上-1.…3分 b2=3 3 (2)设B(:,),C(x2,2),由已知，得F(2,0),根据直线AB过原点及对称性， 知S4c=2S.c=2×OF14-=c-y-为=2y-为， …4分 联立方程，得 x2-y2 31,化简整理，得32-y2+120+9=0， 5分 x=y+2 121 片+y2= 所以 32-1,且△=14r2-363r2-）=3612+36>0,… 6分 9 432-1 所以5e=2y420+P-4%=262 -12,解得1士政1：0 3t2-1 3 所以直线BC的直线方程为3x±√7y-6=0或x=2 …8分 (3)若直线1斜率不存在，此时直线1与双曲线右支无交点，不合题意，…9分 x2_y2 =1 放直线1斜率存在，设直线1方程)-2=：-》， 3 联立方程， 得 化简整那，得B-)2+-4-(得-26+7小-0， △>0 3-k2≠0 依题意有 k2-4k>0 k2-3 ,因为2-2k+7=k-4+3>0恒成立， k2-2k+7 4 k2-3 0 所以-3>0：故-4>0，结合△>0解得：兰<-5， …10分 k2-4k x3+4=k2-3 设P(x33),Q(x4,4),由韦达定理，得 1k2-2k+7 11分 4= k2-3 设T(xyo)由G乎.T=P7.G0, GPTPI Gotel" 1 2-0一龙 则 12分 1x4-X0 变形得到4x34-(2x+1)(x3+x4)+2x=0, X42 k2-4k 将x3+X4= k2-3’5x4=4 2-2k+7代入，解得 2k-14 k2-3 4k-3 代入y-2=中，解得% 将0=k- 9k+12 …13分 6-8k 又因为TD+Tr:=13,可得 卿后空 …14分 A 将点S的坐标代入该方程得到 2k-14 3)2 9k+122 25 4k-32 6-8k 4 整理得(8k+19)2+(9k+12)}2=25(4k-3)2，即51k2-224k-56=0… …15分 令f)=51k2-224k-56,则fk)在区间(-0， 上单调递减，又5)=97+2245>0，故当 51 <k<5时。>0恒成立，即方程5状-2-6=0在(-片5内无解， 3 …16分 所以不存在T使之成立.…17分 19.（1)当a=2时，可得f(x)=e+simx-2x,可得f'"(x)=e+cosx-2,…1分 令g(x)=e+cosx-2,可得g(x)=e-sinx, 当x<0时，e<l,cosx≤1，可得g(x)=e+cosx-2<0, 即f'(x)<0,∫(x)单调递减 …2分 当x≥0时，e≥l,-sinx≥-1，所以g'(x)=e-sinx>0,g(x)单调递增， 则g(x)≥g(0)=e°+cos0-2=0,即f(x)20,f(x)单调递增， 所以函数f(x)的单调递减区间为(-0,0)，单调递增区间为[0，+0).…4分 (2)解：令h(x)=f(x)-cosx=e+sinx-ax-cosx,x∈[0，+o), 可得h(x)=e+cosx-a+sinx,令(x)=H(x)=e+cosx-a+sinx, 则m(y)=e-inx+cosx=e+V5cos(x+牙， 故m(x)>0, 4 4 …5分 当买t,ge22-万：万<万ca+5,做y>0, 所以当x∈[0，+o)时，可得1(x)>0,m(x)单调递增，即h(x)单调递增，h(0)=2-a, …6分 当a≤2时，H(0)≥0，则H(x)≥h(0)≥0，h(x)在x∈[0，+∞)上单调递增， 所以h(x)≥h(0)=0,所以f(x)≥c0Sx成立，满足题意；…7分 当a>2时，存在x。∈(0，+n),使得(x)=0, 当x∈[0，xo)时，H(x)<0,h(x)单调递减； 当x∈(，+∞)时，h(x)>0,h(x)单调递增， 当x∈(0，x)时，h(x)<h(0)=0,不满足题意， 综上可得，实数的取值范围为(-0,2]…9分 (3)当a=1时，f(x)=e+sinx-x,可得f'(x)=e+c0sx-1, 设f(x)=f(x)=e+cosx-l,可得f(x)=e-sinx, 设(x)=f(x)=e-sinx,可得(x)=e-cosx, 设f(x)=f(x)=e-cosx,可得(x)=e+sinx, 当x∈[-2元，-元)时，e>0,sinx>0,可得f(x)=e+inx>0, 则(x)在x∈[-2兀，-)上单调递增， …10分 因为f5(-2m)=e2-1(0,(-元)=em+10, 所以存在唯一x∈(-2元，-)，使得(x)=0, 可得f(x)在(-2元，x)上单调递减，在(x,-)上单调递增， …11分 所以在在魔-的元c(-2LE(-列，使得e2-5ime-m, 且f(x)在(-2π，2)上单调递增，在(2，四上单调递减，在(4，-元)上单调递增， …12分 由f(-2x=e0,f(x=e-2<0,f-3=e兰-1<0， 又由f(2)=e2+cos元-1=im元+cos2-1=2n+z-1 4) f()=e+cosu-1=sinu+cosu-1=sin(u+-1. 因为A(2的A=(经列附2晋（子孕子（辛的. 可得m到1，店mu+<1,所以列>)<0， 则存在唯-飞∈(2,3，使得f()=0, 且f(x)在(-2元，x)上单调递增，在(：，一)上单调递减， …13分 当x∈（←元0）时，e>0,nx<0,f()>0,则f'(x)在(-兀0)上单调递增， 则f0-1>0/（)-e1<0.则听--（受0，能得f)=0, 当-元<x<x2时，f(x)<0,当x2<x<0时，f'(x)>0, 当x>0时，e>1,smx≤1，可得f(x)>0, f(x)在(0，+o)上单调递增，f'(0)=1>0,f'(x)>0, 综上可得，函数f'(x)在(-2，x)上单调递增，在(x,x,)上单调递减，在(x,十w)上单调 递增， …15分 要使得y=m与y=f(x)的图像有三个交点， 则y(-2x(经孕（子）， f-2刻-e+2云f-列=e+元<f-2.则飞(-0。 又因为f(0)=1<f(-2元)，则x∈(0，+0)，则x+x>-2π>2x,, 所以2x2<x十无3，得证.… …17分