精品解析：上海市浦东新区2025-2026学年高二下学期期末综合练习数学试题

高二数学期末综合练习 考生注意： 1．答卷时间90分钟，满分100分； 2．请在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅． 一、填空题（本大题满分34分）本大题共有10题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得3分，7-10题每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 直线的斜率为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】将一般式方程转化为斜截式方程可得斜率. 【详解】将直线方程整理为斜截式即：，据此可得直线的斜率为. 故答案为：2 2. 椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【详解】椭圆标准方程为， 表示焦点在轴的椭圆，且，，所以， 所以椭圆的离心率为. 3. 在等比数列中，，公比，则的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】解：， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题． 4. 若直线与圆相切，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆心到直线距离等于半径即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：. 故答案为：. 5. 已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 【答案】或 【解析】 【详解】函数的定义域为，. 设曲线经过点的切线的切点为，则. 所以，即， 整理得.解得或. 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即； 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即. 所以曲线经过点的切线方程为或. 6. 以为渐近线，且过点的双曲线的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程，设双曲线方程为，代入点坐标，求得，整理即可得答案. 【详解】已知双曲线的渐近线为，所以设双曲线方程为， 又因为双曲线过点，代入可得，即， 所以，整理可得双曲线的标准方程为. 7. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 8. 已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】双曲线的一条渐近线与直线平行，，得. 又双曲线的焦距为，，得. 又，可得. 故双曲线的方程为. 9. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为____________________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义将问题转化为点到准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为，过点作，垂足为， 由抛物线定义可知，所以， 当时取取得最小值，又点到准线的距离， 故的最小值为4. 故答案为： 10. 已知曲线：，及有穷等差数列（，），且的公差．直线交曲线于点，若有互不相同的正整数i，j，k，l满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将向量共线转化为下标关系且后，利用分子分母必须同奇同偶的限制，取最大奇数差作分子、最小正奇数差作分母即可求解. 【详解】由题意得，， 由得，， 即，即， 因为互不相同，所以，即， 若，则，与互不相同矛盾，故， 两边同时除以得， 所以， 整理得， 因为，所以， 由，得， 整理得，为了使取到最大值， 需要使尽可能大，尽可能小（且为正数）， 由得，令，此时， 则，则必然一奇一偶， 因此它们的最小正差值为1， 联立，解得， 此时在范围内且互不相同，符合题意， 则. 二、选择题（本大题满分14分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，11-12题每题选对得3分，13-14题每题选对得4分，否则一律得零分． 11. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 12. 过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】B 【解析】 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，写出直线的方程，将该直线方程与抛物线方程联立，根据直线与抛物线有且只有一个公共点求出参数的值，即可得出结论. 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有两个公共点，不符合题意； 若直线的斜率为，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， 联立可得， 由，整理可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，满足条件的直线共条. 13. 用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 14. 已知数列{an}满足，an+1＝an+1，a1＝a，则一定存在a，使数列中（ ） A. 存在n∈N*，有an+1an+2＜0 B. 存在n∈N*，有（an+1﹣1）（an+2﹣1）＜0 C. 存在n∈N*，有 D. 存在n∈N*，有 【答案】C 【解析】 【分析】由函数与y＝x有两个交点（0，0），（1，1），对a分类判断A，B错误；由a1＞1时，a2一定小于，则之后均小于，判断D错误；举例说明C正确. 【详解】因为an+1＝an+1， 所以在函数图象上， 因为与y＝x有两个交点（0，0），（1，1）， 如图所示： 可知当a1＜0时，数列递减，∴an＜0； 当0＜a1＜1时，数列递增，并且an趋向1； 当a1＞1时，数列递减，并且an趋向1，则可知A，B错误； 又当x＞1时，， 则当a1＞1时，a2一定小于，则之后均小于，∴D错误； 对于C，可取，得，， 所以，满足要求. 故选：C. 【点睛】本题主要考查数列递推式的应用，数列的函数特性，还考查了推理论证的能力，属于难题. 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 15. 竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到，此后其位移（单位：）与时间（单位：）近似满足函数关系． （1）分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； （2）求火箭在时的瞬时速度； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均变化率的计算公式，即可求解； （2）求得，进而求得的值，即可得到答案； 【小问1详解】 平均速度公式为 在 时间段内： ，， 则 在 时间段内： ， 则 【小问2详解】 瞬时速度为位移函数的导数：， 当 时，. 16. 已知直线：与直线：，. （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程. 【答案】（1）或0； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值； （2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解. 【小问1详解】 由题意得：，解得：或0， 经检验，均满足要求，所以或0； 【小问2详解】 将点代入中，，解得：， 因为直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线l为，代入，可得， 此时直线l为； 当两截距不为0时，设直线l为，代入，可得， 故此时直线l为； 综上：直线l的方程为或. 17. 已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． （1）求数列的最小项； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的通项公式，然后利用二次函数的性质求出最小值即可. （2）利用求解的通项公式. 【小问1详解】 由题意，这是开口向上的二次函数，对称轴为 因为，所以当或时，取得最小值. ，. 故的最小项为. 【小问2详解】 当时，. 当时，. 验证时，，故通项公式为： 18. 已知圆经过原点和点，圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数，写出圆的标准方程；（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 19. 学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． （1）P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； （2）若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 【答案】（1）P、Q分别在圆弧的中点，理由见解析 （2）36.8 【解析】 【分析】（1）根据，当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大； （2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系，则A、B两点在以C、D为焦点的双曲线上，根据双曲线性质得解. 【小问1详解】 由题意可得 ， 当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大， 此时P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为160米． 【小问2详解】 如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系， 则，． 根据题意可得， 则C、D两点在以A、B为焦点的双曲线上，，即． 设双曲线方程为，则， 解得， 所以，即． 因此音箱距中轴线距离约为36.8时为最佳放置点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末综合练习 考生注意： 1．答卷时间90分钟，满分100分； 2．请在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅． 一、填空题（本大题满分34分）本大题共有10题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得3分，7-10题每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 直线的斜率为____________. 2. 椭圆的离心率为________． 3. 在等比数列中，，公比，则的值为__________． 4. 若直线与圆相切，则实数___________. 5. 已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 6. 以为渐近线，且过点的双曲线的标准方程为______. 7. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 8. 已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 9. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为____________________. 10. 已知曲线：，及有穷等差数列（，），且的公差．直线交曲线于点，若有互不相同的正整数i，j，k，l满足，则的最大值是______． 二、选择题（本大题满分14分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，11-12题每题选对得3分，13-14题每题选对得4分，否则一律得零分． 11. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 12. 过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 13. 用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（ ） A. B. C. D. 14. 已知数列{an}满足，an+1＝an+1，a1＝a，则一定存在a，使数列中（ ） A. 存在n∈N*，有an+1an+2＜0 B. 存在n∈N*，有（an+1﹣1）（an+2﹣1）＜0 C. 存在n∈N*，有 D. 存在n∈N*，有 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 15. 竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到，此后其位移（单位：）与时间（单位：）近似满足函数关系． （1）分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； （2）求火箭在时的瞬时速度； 16. 已知直线：与直线：，. （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程. 17. 已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． （1）求数列的最小项； （2）求数列的通项公式． 18. 已知圆经过原点和点，圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 19. 学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． （1）P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； （2）若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $