22.2 函数的表示 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件围绕“函数的表示”展开，核心内容包括函数图象的概念、描点法画图象的步骤（列表、描点、连线）。课堂导入从K线图、心电图等现实实例切入，通过正方形面积与边长的函数关系，搭建从实际问题到数学概念的学习支架，衔接函数解析式与图象的联系。 其亮点在于以现实情境激活数学眼光，通过问题链（如“怎样确定满足函数关系的点的坐标”）培养推理意识，用描点法和实例（如一次函数、反比例函数图象绘制，水库水位变化分析）强化数学语言表达。采用问题驱动与实践操作结合的教学方法，帮助学生直观理解函数关系，提升应用能力，也为教师提供丰富的教学案例和互动素材。

22.2函数的表示 K线图 记录的是某一种股票上市以来的每天的价格变动情况. 心电图 记录的是心脏本身的生物电在每一心动周期中发生的电变化情况. 2 【问题1】正方形的面积S与边长x的函数解析式为_____,其中x的取值范围是_____. 我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系. S=x2 x＞0 (2)怎样获得组成图形的点？ 先确定点的坐标.　　　　 (4)自变量x 的一个确定的值与它所对应的唯一 的函数值S，是否唯一确定了一个点（x，S）呢？ 取一些自变量的值,计算出相应的函数值. (3)怎样确定满足函数关系的点的坐标？ 【想一想】 (1)在平面直角坐标系中,平面内的点可以用一对_________来表示.即坐标平面内___与有序数对是一一_____的. 有序数对 点 对应 3 探究新知 正方形的面积S与边长x的函数解析式为 . S = x2 为了使函数关系更直观，能否利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系？ 【问题1】自变量 x 的取值范围是多少？ 根据实际意义可知：x＞0 【问题2】怎样确定组成图象的点？ 先确定点的坐标 探究新知 【问题3】怎样确定满足函数关系的点的坐标？ 【问题4】自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定了一个点(x，S)呢？ 根据题意，选择合适的自变量的值，再求出函数值. 确定. 因为每个点都代表 x 的值与 S 的值的一种对应. 例如：点 (2，4) 表示当 x = 2 时，S = 4. 探究新知 计算并填写下表： S = x2 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16 在直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点. 填表 描点 探索新知 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 注意：(1) 函数图象上的任意一点的坐标 (x, y) 中的 x，y 均满足函数解析式； 满足函数解析式的任意一对 x，y 的值，所对应的点一定在这个函数的图象上. 探索新知 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 注意：(2) 函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线、折线等，甚至可以是一些不连续的点； (3) 函数图象上各点的横坐标是自变量的取值，纵坐标是相应的函数值，组成图像的所有点的横坐标的集合恰好就是自变量的取值范围. 归纳总结 描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用光滑曲线连接起来. 例题练习 在下列式子中，对于 x 的每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即y 是 x 的函数.画出这些函数的图象： (1) y=x+0.5； (2) 解：(1)从式子 y = x+0.5可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数. 从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表(计算并填写下表中空格) . x … 3 2 1 0 1 2 3 … y … 0.5 0.5 1.5 2.5 … 2.5 1.5 3.5 例题练习 根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点. 从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+0.5随之增大. O 1 2 1 -1 2 -2 -1 x y y=x+0.5 例题练习 解：(2) 列表(计算并填写下表中空格) x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 … y … 6 3 2 1.5 … 12 4 2.4 1.714 1.2 1 8 25 28 58 68 x/min 0.8 0.6 y/km O （4）小明读报用了多长时间？ 解：58-28=30(min)，小明读报用了30min. （5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 8 25 28 58 68 x/min 0.8 0.6 y/km O 解：图书馆离小明家0.8km，小明从图书馆回家用了68-58=10(min)，由此算出的平均速度是0.08km/min. 例2　(课本P106例3)一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.表中记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度. (2)水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗？ t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 解　如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3 m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3 m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律. 例2　(课本P106例3)一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.表中记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度. (3)如果这种上涨规律还会持续2 h，那么2 h后水位高度将为多少米. t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 解　如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2 h，即t=5+2=7(h)时，水位高度y=0.3×7+3=5.1(m). 把图1中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7所对应的位置，得图2，从它也能看出这时的水位高度约为5.1 m. A (1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？ 答：7时 和 12时. 答：在0时— 7时和12时— 24时比北京气温高； 在7时—12时比北京气温低. 2.如图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象. 根据图像回答下列问题. 3.(1)画出函数y=的图象. (2)从图象中观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y随x的 增大而减小？当x＞0时呢？ 解：(1)画函数y=x2的图象.(列表、描点、连线) Ⅰ.列表 Ⅱ.在直角坐标系中描点. Ⅲ.用平滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象. (2)当x＜0时，y随着x的增大而减小；当x＞0时， y随着x的增大而增大. 2.（1）画出函数y=2x-1的图象； （2）判断点A（-2.5，-4），B（1，3），C（2.5，4）是否在函数y=2x-1的图象上． （2）点A，B不在图象上，点C在图象上. 3.（1）画出函数y=x2的图象. （2）从图象中观察，当x<0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x>0时呢？ （2）当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. D 练习3 芳芳从家出发去看电影.当她走了大约一半的路程时，发现没带电影票，于是她立刻跑回家取票，之后又赶紧跑到电影院，看完电影，再走回家.下面图( )符合题目中所描述的情况. A.① B.② C.③ D.④ 解析：图①中符合芳芳这段时间离家距离变化，符合题意； 图②中表示芳芳走了超过一半的路程又回家取的电影票，不符合题意； 图③中芳芳从电影院回家需要一段时间，而图中表示芳芳看完电影后，直接就到了家，不符合题意； 图④中表示的不是芳芳从家出发的，不符合题意； 综上分析可知，符合芳芳这段时间离家距离变化的是①，故A正确. 故选：A. 练习4 周末小海 从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍， 到达集合地，小海与家的距离 与所用时间 的关系如图所示，那么小海在超市购物用了( ) A.5分钟 B.6分钟 C.7分钟 D.8分钟 解析：小海 从家出发， 到达集合地，则总用时25min， 由图象可知，小海去超市前的速度为 ， 小海出超市后到社区所用的时间为 ， ∴小海在超市购物用的时间为 ，故选：D. $