精品解析：陕西咸阳市秦都区2025～2026学年第二学期第二次阶段性作业七年级数学

2025~2026学年度第二学期第二次阶段性作业 七年级数学（北师大版） （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在中，若是直角，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 数学中有许多精美的曲线，下面的曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的底角为，则它的顶角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 6. 如图，在与中，点A，M，N，C在同一条直线上，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是__________（写出一个即可）． 10. 已知 的周长是15，那么的周长是______． 11. 如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 12. 如图，在四边形中，点M在边上，连接，，点A，D分别在，的垂直平分线上，如果，，那么四边形的周长为__________． 13. 如图，已知直线和相交于点O，，平分，，则的度数为_________． 14. 如图，在中，是的中线，，分别为，的高．若，，，则的面积是__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 以直线l为对称轴在如图所示的网格中画出下面图形的另一半． 17. 在中，已知，，求的度数． 18. 如图，点C在的边上，交于点C．请用尺规作图法，在射线上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 20. 如图，与关于直线l对称．如果，，，求的长与的度数． 21. 已知的三边分别为a，b，c，且，． （1）若c的长为小于6的偶数，求c的长； （2）在（1）的条件下，判断的形状． 22. 在学习全等三角形后，七年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量五星红旗旗杆的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在距旗杆底部B点水平地面上，选定一点C； （2）测量的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D三点共线，）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，，， 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆的高度． 23. 如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 24. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，过A点作交于点D，连接． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 25. 如图是两个可以自由转动的转盘，图1被平均分成9份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（转盘指针停在分界线上，则重新转动）；图2被涂上红色和绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（转盘指针停在分界线上，则重新转动）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）“小明转出的数字是5”是                 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）求小明转出的数字小于7的概率； （3）“小明转出的数字是奇数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同”，这个说法对吗？为什么？ 26. 【综合与探究】 （1）在和中，，，，连接，． ①【模型呈现】如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； ②【模型应用】如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数； （2）【拓展延伸】如图3是某公园的局部平面示意图，已知和为等腰直角三角形，，，，，为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路和上分别取点M，N，且满足点M，N分别是，的中点，在区域修建一个喷泉，根据设计要求需满足为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期第二次阶段性作业 七年级数学（北师大版） （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在中，若是直角，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余即可计算出的度数． 【详解】解：∵在中，是直角， ∴，， 又∵， ∴． 2. 数学中有许多精美的曲线，下面的曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形. A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，符合题意. 3. 等腰三角形的底角为，则它的顶角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理与等腰三角形的定义，掌握等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为是解题关键． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，已知底角为， ∴两个底角的和为， ∴顶角度数为． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 5. 如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，在与中，点A，M，N，C在同一条直线上，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得出，结合已知，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，即． ∵， 对于A，添加，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于B，添加，可得，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于C，添加，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于D，添加，此时为“边边角”，不能判定，故该选项符合题意． 7. 如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质以及直角三角形的性质，准确利用相关性质求解是解题的关键． 根据轴对称的性质可知对应角相等，再结合直角三角形的两锐角互余的性质进行求解即可． 【详解】解：，， ， 与关于直线对称， ， ， ， ． 故选：． 8. 如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用证明 ，得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ，  在和中 ，    ． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三边关系定理求出第三边的取值范围，然后取满足条件的一个数即可． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为2、5、， 则， 故答案可为：6（答案不唯一）． 10. 已知 的周长是15，那么的周长是______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，对应边相等，周长相等． 【详解】解：因为， 所以的周长等于的周长． 已知的周长为15， 因此的周长为15． 故答案为：15． 11. 如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据等边三角形三边相等得出的长，再利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质得出结果． 【详解】解：是等边三角形，是的角平分线，，  ，， ． 12. 如图，在四边形中，点M在边上，连接，，点A，D分别在，的垂直平分线上，如果，，那么四边形的周长为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，，利用线段的和差关系将四边形的周长转化为进行计算即可． 【详解】解：点在的垂直平分线上， ，  点在的垂直平分线上，  ，  ，  四边形的周长，  四边形的周长，  ，，  四边形的周长． 13. 如图，已知直线和相交于点O，，平分，，则的度数为_________． 【答案】22 【解析】 【分析】先根据垂线的定义求出，再由角平分线的定义求出，进而求出，则由对顶角相等得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，正确求出时解题的关键． 14. 如图，在中，是的中线，，分别为，的高．若，，，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质，可得，推出，，，再根据，进行解答，即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 16. 以直线l为对称轴在如图所示的网格中画出下面图形的另一半． 【答案】如图所示即为所求 【解析】 【分析】根据轴对称图形的作法画图即可． 【详解】略 17. 在中，已知，，求的度数． 【答案】的度数为． 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得，然后代入得，从而求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 18. 如图，点C在的边上，交于点C．请用尺规作图法，在射线上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示即为所求 【解析】 【分析】作的角平分线交于点D，连接即可． 【详解】略 19. 如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意可得，根据全等三角形的判定可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 20. 如图，与关于直线l对称．如果，，，求的长与的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】利用轴对称的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与关于直线对称，，， ， ． 21. 已知的三边分别为a，b，c，且，． （1）若c的长为小于6的偶数，求c的长； （2）在（1）的条件下，判断的形状． 【答案】（1） （2）等腰三角形 【解析】 【分析】（1）先利用三角形三边关系确定的取值范围，再结合为小于的偶数的条件求出的值； （2）根据边长特征判断三角形形状． 【小问1详解】 解：∵在中，三边长为，，，且，， ∴ ，即 ， ∵为小于的偶数， ∴，即的长为； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∴是等腰三角形． 22. 在学习全等三角形后，七年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量五星红旗旗杆的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在距旗杆底部B点水平地面上，选定一点C； （2）测量的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D三点共线，）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，，， 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆的高度． 【答案】解：由题意知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：旗杆高度为15米． 【解析】 【分析】证明即可得出结果． 【详解】略 23. 如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）角平分线的性质，得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵平分，平分，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∴． 24. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，过A点作交于点D，连接． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：理由如下： 是的垂直平分线， ． ， ． ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质可得，进而可知，然后由等腰三角形“三线合一”的性质即可得出结论； （2）首先根据“等边对等角”得出，然后由三角形外角的性质求出，最后由“等边对等角”求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ． ， ． 25. 如图是两个可以自由转动的转盘，图1被平均分成9份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（转盘指针停在分界线上，则重新转动）；图2被涂上红色和绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（转盘指针停在分界线上，则重新转动）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）“小明转出的数字是5”是                 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）求小明转出的数字小于7的概率； （3）“小明转出的数字是奇数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同”，这个说法对吗？为什么？ 【答案】（1）随机； （2）； （3）不对，见解析． 【解析】 【分析】（1）根据随机事件的定义判断即可； （2）直接根据概率公式计算即可； （3）求出两者概率，比较即可． 【小问1详解】 解：“小明转出的数字是5”是随机事件； 【小问2详解】 解：小于数字的数有个， ∴小明转出的数字小于7的概率； 【小问3详解】 解：不对，理由如下： 小明转出的数字是奇数的概率是， 小亮转出的颜色是红色的概率是， ∵， ∴这个说法不对． 26. 【综合与探究】 （1）在和中，，，，连接，． ①【模型呈现】如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； ②【模型应用】如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数； （2）【拓展延伸】如图3是某公园的局部平面示意图，已知和为等腰直角三角形，，，，，为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路和上分别取点M，N，且满足点M，N分别是，的中点，在区域修建一个喷泉，根据设计要求需满足为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论． 【答案】（1）①解： ，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ② （2）公园的规划能实现，证明如下： 由题意得， 同理可证明， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴公园的规划能实现． 【解析】 【分析】（1）①根据证明即可得； ②设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （2）根据证明，则可得，，进而可得，则可得，即为等腰直角三角形． 【小问1详解】 ①略； ②∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $