第七章　第51课时　空间向量的运算及其应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的运算及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了空间向量概念、基本定理、坐标运算及线面位置关系证明等核心考点，通过教材改编题与模拟题分析，明确线性运算、数量积应用、法向量求法等高频题型分布，构建系统备考框架。 课件亮点在于“以题引理激活思维+考点精研提升素养”，如典例2通过空间向量求AC₁长度、证明BD垂直，培养学生数学思维与运算能力，提供“向量坐标化”“法向量判定”等答题技巧，结合易错点分析，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准定位学情，实现高效复习教学。

第51课时　空间向量的运算及其应用 第七章　立体几何与空间向量 [考试要求] 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本定理及其意义、空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 第51课时　空间向量的运算及其应用 2 以题引理·激活思维 1．(湘教版选择性必修第二册P82练习T3(3)改编)已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　) A．－2 B．－ D．2 √ D　[由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2．故选D．] 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 3 2．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)若平面α外的直线l的方向向量为a＝(1，0，－2)，平面α的法向量为m＝(8，－1，4)，则(　　) A．l⊥α B．l∥α C．a∥m D．l与α斜交 √ B　[根据题意，直线l的方向向量为a＝(1，0，－2)，平面α的法向量为m＝(8，－1，4)，易得a·m＝1×8－2×4＝0， 又直线l在平面α外，则有l∥α．] 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 4 3．(人教A版选择性必修第一册P10习题1.1T5改编)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若相等的向量是(　　) A．－ b＋c C．－ b＋c √ A　[由题意，得)＝c＋(b－a)＝－b＋c．] 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 5 4．(人教B版选择性必修第一册P61习题1－2AT2改编)已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，则平面ABC的一个法向量为__________________________． (1，1，1)(答案不唯一)　[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 由题意知＝(－1，1，0)，＝(1，0，－1)． 因为n⊥，n⊥， 所以 令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1)．] (1，1，1)(答案不唯一) 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 6 5．(人教A版选择性必修第一册P7例2改编)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，则＝_____________，AC'的长为_____________． 10 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 7 10　　[|×cos 60°＝5×4×＝10．因为＝()2＝＋2()＝16＋9＋25＋2×＝85，所以|，即AC'的长为．] 8 1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得________． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝__________． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在______的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________________，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． a＝λb 唯一 xa＋yb 唯一 xa＋yb＋zc 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 9 2． 空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝____________________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 10 共线 a∥b⇔a＝λb⇔a1＝______，a2＝______，a3＝______(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔______________________＝0(a≠0，b≠0) 模 |a|＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ λb1 λb2 λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 11 3．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a______的非零向量称为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 平行 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 12 4．空间位置关系的向量表示   位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2，λ∈R l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm，λ∈R 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm，λ∈R α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 13 1．平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立． 2．空间中三点共线、四点共面的充要条件 (1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． (2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 14 考点一　空间向量的线性运算 [典例1]　(1)(2025·河北沧州一模)在正三棱锥A-BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则＝(　　) A． C． 精研考点·提升素养 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 15 (2)(2026·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知空间中有5个点E，A，B，C，D，若满足(1－λ)，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为(　　) A． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 16 (1)D　(2)B　[(1)正三棱锥A-BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则O为△BCD的重心， 连接BO并延长交CD于M，则点M为CD的中点，连接AO，AM， 所以 ＝)＝) ＝．故选D． 17 (2)由＋λ()， 即， 由空间共面向量定理可知，＋λ＝1，解得λ＝．故选B．] 18 名师点评：空间向量线性运算中的三个关键点 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 19 [巩固迁移] 1．设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 20 D　[由已知可得＝(1，－1，3)，＝(x－1，－2，y＋4)． 因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ， 使得， 所以 所以x＋y＝5．故选D．] 21 2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简＝_____________； (2)用＝_____________________． 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 22 (1)　[(1))＝． (2)因为)， 所以)＋．] 23 【教用·备选题】 已知三棱锥P-ABC的体积为6，M是空间中一点，，则三棱锥A-MBC的体积是_____________． 4 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 24 4　[， 故3， 不妨令， 则， 又－＝1，故H，A，B，C四点共面， 故V三棱锥M-ABC＝V三棱锥P-ABC＝×6＝4．] 25 考点二　空间向量数量积的应用 [典例2]如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°． (1)求AC1的长； (2)求证：AC1⊥BD； (3)求BD1与AC夹角的余弦值． 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 26 [解]　(1)记＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝＝a＋b＋c， ∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6， ∴|，即AC1的长为． 27 (2)证明：∵＝a＋b＋c，＝b－a， ∴＝(a＋b＋c)·(b－a) ＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c ＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0． ∴，∴AC1⊥BD． (3)＝b＋c－a，＝a＋b，∴|，|＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1． ∴cos〈〉＝． ∴AC与BD1夹角的余弦值为． 28 名师点评：空间向量数量积的应用 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 29 [巩固迁移] 3．设x，y∈R，向量a＝＝(　　) A．2 C．3 D．4 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 30 C　[由向量a＝，b＝，c＝， 且a⊥c，b∥c，可得 解得x＝1，y＝－2，所以a＝，b＝， 则a＋b＝＝3．故选C．] 31 4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝ 的最大值为___________． 3 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 32 3　[以C1为坐标原点，分别以C1D1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C1(0，0，0)，D1(，0，0)，C(0，0，)，B1(0，1，0)，设＝m(0，1，－)， 则＋m(0，1，－) ＝(0，m，m)， －(，0，0) ＝(－，m，m)， 则·(－，m，m) ＝m2＋(m)2＝4m2－6m＋3＝4，因为0≤m≤1，所以当m＝0时，取最大值，最大值为3．] 33 【教用·备选题】 (多选)已知空间中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)三点，则(　　) A．是共线向量 B．与向量 C． D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 34 CD　[因为A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，所以＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，因为不存在实数λ，使得，所以不共线，故A错误； 因为|，所以与向量 ，故B错误； 又＝(－3，1，1)，所以，故C正确； 35 不妨令n＝(1，－2，5)，则·n＝1×2＋(－2)×1＋5×0＝0， ·n＝1×(－1)＋(－2)×2＋5×1＝0， 即⊥n且⊥n， 所以n＝(1，－2，5)是平面ABC的一个法向量，故D正确．] 36 考点三　利用向量证明平行与垂直 [典例3]如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点． (1)求证：OM∥平面BCF； (2)求证：平面MDF⊥平面EFCD． 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 37 [证明](1)由题意得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．设正方形的边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M，O＝(－1，0，0)，所以＝0，所以．因为三棱柱ADE-BCF是直三棱 柱，所以AB⊥平面BCF，所以是平面BCF的 一个法向量．又OM⊄平面BCF，所以OM∥平面 BCF． 38 (2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．因为＝(1，－1，1)，＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)， 由 令x1＝1，得n1＝．同理可得n2＝(0，1，1)． 因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD． 39 名师点评：利用向量法证明平行、垂直关系的关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理． 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 40 [巩固迁移] 5．如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由． 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 41 [解]以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a． (1)证明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)， 故＝(0，1，1)，． 因为×0＋1×1＋(－1)×1＝0， 因此，所以B1E⊥AD1． 42 (2)存在满足要求的点P，理由如下： 假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)， 使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)， 设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)． ＝(a，0，1)，． 因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥， 得取x＝1，则y＝－，z＝－a， 43 则平面B1AE的一个法向量n＝． 要使DP∥平面B1AE，需满足n⊥， 有－az0＝0，解得z0＝． 所以存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝． 44 【教用·备选题】 如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4． (1)在线段AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD？ (2)在线段AB上是否存在点E，使得AC1∥平面 CEB1？说明理由． 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 45 [解]　(1)因为AC＝3，BC＝4，AB＝5， 所以AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC． 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，C1(0，0，4)， 所以＝(－3，4，0)，＝(－3，0，4)， ＝(3，0，0)， 假设在AB上存在点D满足条件． 46 设(0≤λ≤1)， ＝(3－3λ，4λ，0)， 因为AC1⊥CD，所以＝－9＋9λ＝0，解得λ＝1， 即在AB上存在点D使得AC1⊥CD，此时点D与点B重合． 47 (2)假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1． 设(0≤t≤1)， ＝(3－3t，4t，0)，＝(0，4，4)． 设平面CEB1的法向量n＝(x，y，z)， 则有 取y＝3t－3，可得n＝(4t，3t－3，3－3t)， 由·n＝－3×4t＋4(3－3t)＝0，解得t＝， 所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时E为AB的中点． 48 一、单项选择题 1．在空间直角坐标系Oxyz中，与点(－1，2，1)关于平面Oxz对称的点的坐标为(　　) A．(－1，－2，1) B．(－1，2，1) C．(－1，－2，－1) D．(1，－2，－1) A　[因为点(－1，2，1)，则其关于平面Oxz对称的点的坐标为 (－1，－2，1)．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 课后作业(五十一)　空间向量的运算及其应用 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则)等于(　　) A．－ √ C　[在空间四边形ABCD中，E为BC的中点， 则)＝．] 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 50 3．已知＝(λ，6，－9)，若P，A，B，C四点共面，则λ＝(　　) A．3 B．－3 C．7 D．－7 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 51 C　[因为P，A，B，C四点共面，所以共面， 不妨设＝(2x－y，x＋2y，－3x＋3y)＝(λ，6，－9)， 所以故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 52 4．(2025·山东济南三模)已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，1，0)，B(0，夹角的余弦值为(　　) A．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ A　[依题意，＝(1，0，－1)，＝(0，，1)，所以向量．故选A．] 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 53 5．(2025·湖北襄阳二模)已知空间向量a＝(2，2，－1)，平面α的一个法向量为n＝(4，0，3)，则向量a在平面α上的投影向量的坐标是 (　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 54 D　[向量a在平面α的一个法向量n＝(4，0，3)上的投影向量的坐标为·(4，0，3)＝， 设a＝(2，2，－1)在平面α上的投影向量是c， 则c＋＝(2，2，－1)，所以c＝．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 55 6．(2026·江苏镇江开学考试)已知M，A，B，C为空间中的四点，任意三点不共线，且 的最小值为(　　) A．4 B．5 C． D．9 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 56 C　[因为M，A，B，C四点共面，(x>0，y>0) 所以由共面向量定理可得，x＋y－1＝1，即x＋y＝2， 所以(x＋y)＝， 因为＝4， 当且仅当，即x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立， 所以×(5＋4)＝．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 57 二、多项选择题 7．空间直角坐标系中，已知O(0，0，0)，＝(2，3，－1)，则(　　) A．||＝2 B．△ABC是等腰直角三角形 C．与 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 58 AC　[根据空间向量的线性运算， ＝(－1，2，－1)－(－1，2，1)＝(0，0，－2)， ∴|＝2，A正确； ＝(2，3，－1)－(－1，2，1)＝(3，1，－2)， ∴|， ＝(2，3，－1)－(－1，2，－1)＝(3，1，0)， ∴|， 计算可得，△ABC三条边的长度不相等，B错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 59 与平行的单位向量为e＝± ＝±，C正确； (－1，2，1)与向量不共线，D错误． 故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 60 8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．当时，B1，P，D三点共线 B．当 C．当时，D1P∥平面BDC1 D．当时，A1C⊥平面D1AP 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 61 ACD　[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝， 所以AD＝AA1＝1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，，0)，D1(0，0，1)，B(1，，0)，C1(0，，1)，B1(1，，1)， 则＝(－1，，－1)，＝(1，0，－1)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 62 当时，P为线段A1C的中点，则P＝(1，，1)，则，所以B1，D，P三点共线，A正确； 设＝λ(－1，，－1)＝(－λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，＝(－λ，λ，1－λ)， 由＝5λ－1＝0，解得λ＝，所以＝(1，0，－1)＋，所以≠0， 所以不垂直，B错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 63 当时，＝(0，，1)，＝(1，，0)． 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令y＝1，则x＝z＝－，所以n＝(－，1，－)是平面BDC1的一个法向量，又＝(－1，0，0)，所以， 所以×(－)＋×(－)＝0，所以⊥n， 因为D1P⊄平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 64 当时，， 所以， 所以＝0， ×0＋(－1)2＝0，所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1， D1P⊂平面D1AP，D1A⊂平面D1AP， 所以A1C⊥平面D1AP，D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 65 三、填空题 9．已知空间向量a＝(1，1，λ)，b＝(－2，2－λ2，λ－6)，若a，b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为_________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 (0，2)∪(2，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 66 (0，2)∪(2，＋∞)　[因为a＝(1，1，λ)，b＝(－2，2－λ2，λ－6)且a，b的夹角为钝角， 所以a·b<0且a与b不共线(反向)， 由a·b<0，则－2＋2－λ2＋λ(λ－6)<0，解得λ>0， 当a与b共线时，b＝ta，则解得 综上可得实数λ的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 67 10．(2025·湖北武汉二模)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AM＝＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 68 　[因为AM＝MC，A1N＝2ND，则 ＝－ ＝－)＋) ＝－c ＝－c，所以x＝－，y＝z＝， 故x＋y＋z＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 69 四、解答题 11．(2026·浦东新区模拟)给定点A(1，0，0)，B(3，1，1)，C(2，0，1)，D(5，－4，3)． (1)求上的投影向量； (2)判断A，B，C，D四点是否共面？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 70 [解]　(1)由于点A(1，0，0)，B(3，1，1)，C(2，0，1)，D(5，－4，3)，所以＝(4，－4，3)，＝(－1，－1，0)， 则上的投影向量为||cos〈〉·＝0，即(0，0，0)． (2)由已知条件得＝(2，1，1)，＝(1，0，1)，＝(4，－4，3)，假设存在x和y，使得无解． 故A，B，C，D四点不共面． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 71 12．(2026·江苏如皋中学月考)已知空间三点A(0，2，3)，B(1，4，6)，C(1，5，5)． (1)若向量k互相垂直，求实数k的值； (2)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 72 [解]　(1)因为A(0，2，3)，B(1，4，6)，C(1，5，5)， 所以＝(1，4，6)－(0，2，3)＝(1，2，3)，＝(1，5，5)－(0，2，3)＝(1，3，2)， 所以k＝k(1，2，3)－(1，3，2)＝(k－1，2k－3，3k－2)， ∵向量(k)⊥， ∴(k)·＝k－1＋3(2k－3)＋2(3k－2)＝0， 解得k＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 73 (2)∵＝1×1＋2×3＋3×2＝13， |， ∴由数量积公式得出向量夹角的余弦值， 即cos∠BAC＝， 则sin∠BAC＝， 以AB，AC为邻边构成平行四边形的面积S＝2S△ABC， 而S△ABC＝， ∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝2S△ABC＝2×． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 74 13．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD． (1)求证：BD⊥AA1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面 DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在， 请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第51课时　空间向量的运算及其应用 75 [解]　(1)证明：设BD与AC交于点O， 则BD⊥AC，连接A1O， 在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°， 所以A1O2＝A＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3， 所以AO2＋A1O2＝A，所以A1O⊥AO． 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD， 且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC， A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD． 以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 76 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)． 由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)， ＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0， 所以，即BD⊥AA1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 77 (2)假设在直线CC1上存在点P， 使BP∥平面DA1C1， 设，P(x，y，z)， 则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)． 从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，9λ)． 设平面DA1C1的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 78 又＝(0，2，0)，＝(，0，)， 则取n＝(1，0，－1)． 因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥， 即n·λ＝0， 解得λ＝－1， 即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 79 谢 谢 ！ $