2026天津市初中学业水平数学考试自编模拟试卷

**基本信息** 立足天津中考模拟，融合文化传承（如《九章算术》应用题）、实际情境（如无人机测高、销售利润）及跨学科探究（物理浮力实验），全面考查运算能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12题|实数运算、三视图、函数性质等|第9题以《九章算术》为背景，考查方程建模能力| |填空题|6题|概率、二次根式、圆的切线等|第17题结合正方形与直角三角形，考查几何推理| |解答题|7题|不等式组、统计分析、圆综合、函数综合等|23题关联物理浮力实验，25题二次函数综合考查分类讨论与逻辑推理|

2026天津市初中学业水平考试模拟试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 2．如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 3．估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 5．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳的平均距离，即149600000千米，将149600000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．的值等于（     ） A． B．0 C．1 D． 7．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．的值随值的增大而减小 C．图象位于二、四象限 D．图象关于原点中心对称 8．计算的结果为（     ）． A．1 B．2 C． D． 9．九章算术是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有漆三得油四，油四和漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆．问出漆、得油、和漆各几何？”题目译文是：若有三份漆可换得份油，用份油可调份漆．今有漆斗，要分出一部分来换油，换回油后用以调所余之漆．问拿出换油的漆、换得的油、留下用于调和用的漆各是多少？若设拿出换油的漆为，换得的油为，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接；②以点为圆心，长为半径作弧，与边相交于点，连接．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 12．某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件元，为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为900元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 13．不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、1个绿球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 14．计算的结果为______． 15．计算的结果等于_____________. 16．直线（为常数）的图象经过第一、三、四象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 17．如图，四边形是正方形，点E是边上一动点（点A，B除外），点F在正方形内部．是直角三角形，，点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点H，若点E为的中点，，则的长为________． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于，点为格点，为直径，，． （1）的长等于__________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点的的切线，与的延长线交于点，并简要说明点位置是如何找到的（不要求证明）__________． 三、解答题 19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 20．农科院为了解某种小麦的长势，随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：）进行了测量，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次抽取的麦苗的株数为________，图①中的值为________；统计的这组麦苗苗高数据的众数和中位数分别为________和________； (2)求统计的这组麦苗苗高数据的平均数； (3)根据样本数据，若这种小麦麦苗共10000株，估计苗高大于的株数约为多少？ 21．已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长． 22．综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼（如图①）的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图②，点B，E，C依次在同一条水平直线上，，．无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角是，一位同学在离E点的C处，在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为，测得小洋楼顶部A的仰角为，测角仪．综合数据：，． (1)计算无人机从地面起飞到H点的高度（结果取整数） (2)计算天津西站小洋楼的高度（结果取整数）． 23．【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； (2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 24．在平面直角坐标系中，为原点，在矩形中，，，． (1)填空：如图，点的坐标为______，线段的长为_____； (2)如图，直线经过点，且轴，将沿水平方向向右平移个单位长度，得到，，将矩形于左侧的部分沿向右侧翻折，其与矩形于右侧的部分重叠图形面积记为． 当在轴左侧，且重叠图形为三角形，分别交，于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； 当时，_____． 25．已知抛物线（为常数，），与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线顶点． (1)若，求抛物线顶点的坐标； (2)已知点，连接． ①当时，，求点的坐标与抛物线的解析式； ②若点在第三象限，且轴，，对于抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 试卷第4页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《2026天津市初中学业水平考试模拟试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B B B D D A C 题号 11 12 答案 C B 1．A 【详解】解：． 2．D 【分析】本题考查了小正方体堆砌图形的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看左边1列是一个小正方形，右边1列是三个小正方形，即： 故选：D． 3．B 【分析】本题使用夹逼法估算无理数的范围，先找出与19相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导出的范围即可； 【详解】解： ，即 不等式各项同时减得 即 因此的值在和之间； 4．B 【详解】解：ACD选项美术字都不是轴对称图形； B选项美术字是轴对称图形． 5．B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将数据149600000用科学记数法表示为， 故选B. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6．B 【分析】根据特殊角的三角函数值，代入求解即可， 【详解】解：． 7．D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质． 根据反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴， ∵当时，， ∴图象经过点，而非，故A错误； 时，仅在每个象限内y的值随x值的增大而减小，选项B未限定象限，故B错误； ∵， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，故C错误； 反比例函数的图象均关于原点中心对称，故D正确； 故选：D． 8．D 【分析】利用分式的基本性质对第二个分式约分，再进行同分母分式的减法运算即可得到结果． 【详解】解：，， ． 9．A 【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程组解决问题的能力，根据题目中的兑换比例和调和关系建立方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 10．C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，，根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定与性质及三角形外角性质逐一判断即可得答案． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定正确，故A选项不符合题意； ∵与不一定相等，与不一定相等， ∴与不一定全等，故B选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故C选项一定正确，符合题意； ∵与不一定相等，，，， ∴与不一定相等，故D选项不一定正确，不符合题意． 11．C 【分析】先由旋转性质得到相关边与角的等量关系，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得出是直角三角形，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转性质可得，，，， ， 则， ，， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得． 12．B 【分析】先根据题意得到利润关于售价的函数表达式，再依次验证三个结论即可． 【详解】解：设每日销售利润为元，根据题意，每件利润为元， 每日销量为 ， 因此得 ； ①当时， ，故①正确。 ②二次函数 开口向下，对称轴为 ， ∵为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴满足要求，结论②错误； ③令 ，得方程： ， 整理得 ，解得 ，，两个根均为正整数， ∴有两种定价，③正确． 综上，正确的结论共2个． 13．/ 【分析】根据题意，确定所有等可能结果的总数和符合取出绿球条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：袋子中共有10个除颜色外无其他差别的球，随机取出1个球， 所有等可能的结果共10种，其中取出绿球的结果共1种， 根据概率计算公式可得，取出绿球的概率为． 14． 【详解】解：． 15．9 【分析】应用平方差公式即可求解. 【详解】. 【点睛】考查二次根式的乘法运算，应用平方差公式可化简解题的步骤. 16．-1（答案不唯一，b＜0即可） 【分析】由一次函数图象经过第一、三、四象限，可知k＞0，b＜0，在范围内确定b的值即可． 【详解】解：因为一次函数（为常数）的图象经过第一、三、四象限， 所以k＞0，b＜0， 所以b可以取-1， 故答案为：-1（答案不唯一，b＜0即可） 【点睛】此题考查一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围． 17． 【分析】根据正方形性质和直角三角形性质，通过互余关系证明，结合证明，从而得到和；利用点E为的中点及三角形中位线定理求出点F到的距离和水平位置，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵是直角三角形，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵点H，E，F三点共线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点F作交于点M， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 18． 见解析 【分析】（1）利用直径定理和勾股定理求解； （2）根据的圆周角所对的弦是直径确定圆心，通过正方形的性质以及全等三角形的判定和性质证明，得出，证明，得出，得出，即得出圆的切线． 【详解】解：（1）∵为直径， ∴， ∴由勾股定理得； （2）如图，取圆与格线交点，，连接交于点，点即为圆心，连接与格线交于点，取格点，，，，Q，T，连接，，延长交于，连接并延长，交格线于点，连接并延长，交延长线于点，点即为所求． 说明：根据的圆周角所对的弦是直径确定圆心，通过正方形的性质证明，证明，得到，进而得出，证明，得出，得出，即得出圆的切线． 19．(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（）根据解不等式的步骤解答即可； （）根据解不等式的步骤解答即可； （）把不等式的解集在数轴上表示出来即可； （）根据数轴写成不等式组的解集即可； 本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 故答案为：； （2）解：移项，得， 合并同类项，得， 故答案为：； （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得，原不等式组的解集为． 20．(1)40；25；23；24 (2)23.8 (3)3000 【分析】（1）将条形统计图的频数相加可得抽取的麦苗的株数，再用单位“1”分别减去其他四组的百分数可得m；然后根据众数和中位数的定义解答； （2）根据平均数的定义解答； （3）用总株数数乘以苗高大于所占的百分比得出答案． 【详解】（1）解：本次抽取的麦苗的株数为， ，则； 苗高为的株数最多，所以众数是23； 中位数是第20和21个，都是24，所以中位数是24； （2）解：， 所以这组麦苗苗高数据的平均数是23.8； （3）解：， 所以估计苗高大于的株数约为3000． 21．(1)， (2)， 【分析】（1）由垂径定理推论可得，求出，即可求出，再利用圆周角定理可得，进而可得； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合证得四边形是菱形，得到，连接，推出是等边三角形，得到， 根据切线的性质可得，进而得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点，即， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，如图②， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴, ∴，， ∴，， ∴，． 22．(1)无人机从地面起飞到H点的高度约为6米 (2)28米 【分析】（1）过D点作于点G，交线段于点M，则， ，在中，可得到米，即可； （2）过H点作于点F，则，， 在中，可得，从而得到．在中， 利用，可得，即可求解． 【详解】（1）解：过D点作于点G，交线段于点M，则， ． 在中，米，， ∴， ∴（米）， ∵米， ∴（米）． 答：无人机从地面起飞到H点的高度约为6米； （2）解：过H点作于点F，则，， 在中，， ∴， ∴． 在中，， ， 即， 解得（米）． ∴（米）． 答：天津西站小洋楼的高度约为28米． 23．(1)4；2.8；2.5 (2)①当时，,当时,；② (3)； 【分析】（1）①根据解答；②和③，观察图象可得答案； （2）观察图象根据待定系数法求出关系式即可； （3）先将代入第一个函数关系式求出，再根据题意将代入第二个函数关系式可得答案 【详解】（1）解：①当小铝块下降时，小铝块位于液面上方，此时，所以弹簧测力计A的示数为； ②当小铝块下降时， 观察图象可知弹簧测力计A的示数是； 观察图象可知弹簧测力计B的示数是； （2）解：①当时，弹簧测力计A的示数. 当时，设弹簧测力计A的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； ②当时，设弹簧测力计B的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； （3）解：当时，， 当小铝块浸入液面后，且甲，乙两个弹簧测力计上的小铝块重力相同，甲乙液体的浮力相同，所以两个小铝块所受的相等， ∴， 解得， 即． 24．(1)，； (2)，；或． 【分析】（）连接，交轴于点，由矩形的性质可得与互相平分，即既是中点，也是中点，然后通过中点公式求出点的坐标，再由两点间的距离公式即可求出线段的长 （）过作于点，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，则，通过矩形的性质，同角或等角的余角相等得出，所以，则，代入得，从而得出，，，然后通过面积公式即可求解；分为在轴左侧，在轴右侧，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，交轴于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，即既是中点，也是中点， 设， ∵，，． ∴，，， 解得：，， ∴； （2）解：如图，过作于点，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，当在上时，重叠图形仍为三角形， 由对称的性质可得，， 同理可得， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为； 当在轴左侧时，， ∵， ∴， ∵， ∴； 当在轴右侧时，由对称性得， 综上，或． 25．(1) (2)①；；② 【分析】（1）把代入解析式，化为顶点式后可得抛物线顶点的坐标； （2）①先说明点P在抛物线的对称轴上，求出，根据求出，设抛物线解析式为，把代入求解即可； ②设对称轴交x轴于点E，取点关于x轴的对称点F，则，证明，求出，抛物线解析式为，把代入求出抛物线解析式，然后根据的最大值与最小值的差为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴抛物线顶点的坐标为； （2）解：①如图， ∵， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， ∵抛物线与轴交于点两点， ∴两点关于对称轴对称， ∴点P在抛物线的对称轴上． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴即． 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； ②∵轴，点为抛物线顶点， ∴点在抛物线的对称轴上． 如图，设对称轴交x轴于点E，取点关于x轴的对称点F，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴即． 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴当时，则取得最大值，取得最小值， ∵的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）． 当时，则取得最大值，取得最小值， ∵的最大值与最小值的差为， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 综上可知，的取值范围是． 答案第2页，共17页 答案第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $