第二十三章一次函数单元测试 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 人教版八年级数学下册一次函数单元卷，120分钟120分，以无人机飞行、智能废品回收等真实情境为载体，覆盖函数定义、性质及应用，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|一次函数定义、图像性质、平移规律|结合图像辨析不等式解集，如第3题利用图像求解集| |填空题|6/18|函数解析式、取值范围、几何应用|联系气压与海拔的一次函数关系，如第16题实际建模| |解答题|8/72|综合应用、实际问题求解|设计奶茶店利润最大化（第23题）、智能回收费用计算（第21题），体现模型意识与应用能力|

2025-2026学年人教版八年级数学下册第二十三章一次函数单元测试 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，直线交坐标轴于M，N两点，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知一次函数，下表是与的几组对应值，则该一次函数的图象经过（     ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 5．（本题3分）在平面直角坐标系中，直线可以看作由直线（   ） A．向上平移2个单位长度得到 B．向下平移6个单位长度得到 C．向下平移2个单位长度得到 D．向上平移6个单位长度得到 6．（本题3分）已知直线与的交点为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在直角坐标系中，直线和与坐标轴分别相交于A，B和C，D，若，则下列判断不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．（本题3分）如图，一次函数的图象与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点B，P是x轴上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）4月24日，第四届中国国际通用航空与无人机发展大会在北京举行，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家参加，聚焦低空经济从“飞起来”到“用起来”“优起来”，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．某无人机在竖直方向进行飞行测试，如图为其飞行高度（米）与操控无人机的时间（分）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，则下列说法中正确的有（     ） ①无人机在75米高的上空停留的时间是5分钟； ②在上升或下降过程中，无人机的速度为25米/分； ③图中表示的数是2，表示的数是15； ④第14分钟时无人机的飞行高度是27米． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知y与成正比例，当时，，则y关于x的函数解析式为________． 12．（本题3分）如图，直线的图象经过点，当时，x的取值范围是______． 13．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为，，，若一次函数的图象将分成面积为的两个部分，则k的值为____________________． 14．（本题3分）如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 15．（本题3分）密闭培养箱内空气相对湿度w（单位：%）是关于蒸腾量y（单位：g）的一次函数，其部分图象如图所示．已知蒸腾量y（单位：g）与光照时间x（单位：h）满足正比例函数．由此估计，当光照时间为5h时，密闭培养箱内空气相对湿度w为____%． 16．（本题3分）某地理考察队在某地不同海拔处测量大气压和气温，得到如下近似线性规律：大气压（）是海拔（）的一次函数，海平面时，海拔每升高，气压下降；气温（）与海拔（）也满足一次函数关系，海平面气温为，海拔每升高，气温下降约．考察队使用的气压计存在系统误差，其读数（单位：）比真实大气压偏小．现测得某位置的气压计读数为，则该位置的气温为_______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的最大值． 18．（本题8分）已知函数． (1)当为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在轴上是否存在点，过点作轴的垂线分别交直线，于点，，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 20．（本题8分）定义运算“”：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 21．（本题9分）智能废品回收箱作为一种新兴的环保科技产品，可以提升回收便利性．锦城小区投放了智能废品回收箱，居民通过投放可回收物获得相应费用．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，可回收物的价格有所提升．其中总费用y（元）与投放质量x（）之间的函数关系如图所示． (1)求段所在直线的函数表达式； (2)当赵阿姨投放可回收物时，可以获得多少元？ 22．（本题9分）一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点． (1)求点A和点B的坐标； (2)描出点A和点B，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点P在x轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 23．（本题10分）奶茶店旺季要到了，某奶茶店预测芋泥会大卖，打算提前采购芋泥原料．根据采购计划：每千克芋泥原料旺季前的进价比旺季后贵2元；旺季前用480元采购的芋泥重量，是旺季后用200元采购重量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是多少元？ (2)若该奶茶店在旺季前和旺季后一共采购了400千克芋泥原料，旺季前采购了千克（），旺季前做奶茶卖每千克能赚20元，旺季后做奶茶卖每千克能赚16元．那么该奶茶店旺季前采购多少千克芋泥，能让总利润最大？最大利润是多少？ 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线（b为常数）分别与x轴、y轴交于A，B两点，且． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若D为上方一点，且，过点O作所在直线的垂线，垂足分别为C，E． ①求证：四边形为正方形． ②若的面积为3，求的面积． 第8页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C D A C B A B 1．A 【详解】一次函数的定义为形如（，为常数，且）的函数． 选项A中，符合一次函数定义，是一次函数． 选项B中，自变量的次数为，不符合一次函数定义． 选项C中，自变量x在分母中，不符合一次函数定义． 选项D中，不是整式形式，不符合一次函数定义． 2．A 【分析】先通过判断一次项系数的符号得到y随x的变化规律，再比较三个点横坐标的大小，即可推导出y值的大小关系． 【详解】解：∵直线解析式为，一次项系数， ∴y随x的增大而增大， 又∵三个点的横坐标满足， ∴． 3．A 【详解】解：由图可知，不等式的解集为． 4．C 【分析】先利用表格中的对应值求出一次函数的解析式，再根据一次项系数和常数项的符号，结合一次函数的性质判断图象经过的象限． 【详解】解：一次函数解析式为，由表格可知，当时，，代入得， 取，代入解析式得 ， 解得， 一次函数解析式为， ，， 函数图象经过第一、二、四象限． 5．D 【分析】根据一次函数图象的平移规律，利用上下平移“上加下减”的规则，即可判断平移方向和平移距离． 【详解】解：原直线解析式为，平移后的直线解析式为， 相当于在原解析式整体加了， ∵一次函数图象上下平移遵循“上加下减”的规律， ∴是向上平移个单位长度得到的． 6．A 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征求出交点坐标，即可得到方程组的解． 【详解】∵直线与的交点为， ∴把代入，得 ， 解得， ∴两直线的交点坐标为， ∵二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标， ∴方程组的解是． 7．C 【分析】当时，，则可判断A选项．求出，，，，根据得到，即，即可判断B选项．根据直线经过第一、三、四象限得到，，从而有，即可判断D选项正确．举反例时，，即可判断C选项． 【详解】解：∵当时，，， ∴， ，故A选项正确． 对于直线，当时，， 当时，，解得， ∴，； 对于直线，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ， ， ， ∴，故B选项正确． ∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∵， ， ，故D选项正确． 若时，，故C选项不一定成立． 8．B 【分析】先根据数量关系得到甲图书数量的取值范围，再列出总花费的一次函数解析式，根据一次函数增减性即可求出最小花费． 【详解】解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，总花费为元， ∵购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍， ∴， 解得：， ∴， ∵为正整数， ∴的最小取值为， 甲种图书单价为元，乙种图书单价为元， ∴总花费， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，取得最小值，元， ∴本次购买本图书最少花费为1215元． 9．A 【分析】作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，连接，．分别求得点的坐标为，点的坐标为．根据轴对称的性质可得当点在点处时，的周长最小．求得直线的解析式为．得出令，求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，连接，． ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 点的坐标为． 联立 解得 ∴点的坐标为． 的周长为，为定值，， ， ∴当点在点处时，的周长最小． 设直线的解析式为． ∵点的坐标为，点的坐标为， 解得 ∴直线的解析式为． 令，即，解得， 点的坐标为． 综上所述，当的周长最小时，点的坐标为．故选A． 10．B 【分析】由题中函数图象获取信息，按照各个说法逐项计算验证即可． 【详解】解：由图可知，从分钟到分钟，飞行器在75米高的上空停留，时间为分钟，故①正确； 由图可知，无人机上升过程为时间段、时间段，下降过程为时间段， 时间段的速度为米/分，且题中已知上升和下降过程中速度相同， 在上升或下降过程中，无人机的速度为25米/分，故②正确； 根据上述求解过程可知，无人机上升过程时间段的速度为25米/分，则，解得， 无人机下降过程时间段的速度也为25米/分，则，解得，故③正确； 由上述求解过程可知下降过程的函数图象过点和， 设飞行高度（米）与操控无人机的时间（分）之间的关系式为， 则，解得， ， 则当时，，故④错误； 综上所述，题中说法正确的有①②③，共个． 11． 【分析】由题意设解析式为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由题意设解析式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 12． 【分析】根据函数图象可知，直线与轴交于点，观察轴上方的图象对应的自变量的取值范围即可； 【详解】解：由图象可知，直线与轴的交点坐标为， 当时，函数图象在轴上方，即， 所以当时，的取值范围是． 13．或 【分析】先找出一次函数经过点，再根据题意将分成面积为的两个部分，求出E、F两点的坐标，用待定系数法代入一次函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数，当时，， ∴一次函数过定点，即过点A． 如图，直线或将分成面积为的两个部分， ∵B、C两点的坐标分别为，， ∴， ∴此时两三角形的高相等，面积之比等于底之比， 即或， ∴或， ∴，， 将代入得，，解得； 将代入得，，解得； 综上所述，或． 14． 【分析】利用交点的横坐标，数形结合思想求解即可； 【详解】解：因为直线与相交于点， 且点的横坐标为， 故关于的不等式的解集为； 15． 【分析】根据函数图象得到密闭培养箱内空气相对湿度w与蒸腾量y（单位：g）是一次函数关系，利用待定系数法求出函数关系式，再根据得出当光照时间为时，蒸腾量y的值，然后将蒸腾量y的值代入一次函数关系式中，求出此时空气相对湿度w的值． 【详解】解：设密闭培养箱内空气相对湿度w与蒸腾量y（单位：g）的函数关系式为， 由函数图象得，图象经过点，，代入得： ，解得， ∴密闭培养箱内空气相对湿度w与蒸腾量y（单位：g）的函数关系式为． ∵，当时，， 将，代入，得． 16．12.8 【分析】先根据气压计读数与真实大气压的关系求出真实大气压，再根据大气压与海拔的一次函数关系求出该位置的海拔，最后根据气温与海拔的一次函数关系求出该位置的气温即可． 【详解】解：∵气压计读数比真实大气压偏小， ∴， 设大气压关于海拔的一次函数解析式为， 由时，，得， 由海拔每升高气压下降，得， ∴大气压关于海拔的一次函数解析式为， 将代入，得， 解得， 设气温关于海拔的一次函数解析式为， 由时，，得， 由海拔每升高气温下降，得， ∴气温关于海拔的一次函数解析式为， 将代入，得． 17．(1) (2)当时，x的最大值为 【分析】（1）依据正比例的定义设出，再将的已知数值代入，通过解方程确定系数，进而整理得到与的函数表达式； （2）先根据一次函数一次项系数正负判断函数增减性，结合的取值范围确定取得最大时对应的值，再代入函数式计算的最大值． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得， 解得， ， 则与之间的函数表达式为； （2）解：中， 随的增大而减小， ， 当时，取到最大值， 把代入，得， 当时，的最大值为． 18．(1)当时，函数是一次函数 (2) 【分析】（1）根据一次函数的定义得到，且，求出即可； （2）求出一次函数解析式，再把代入求解函数值． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 解得， 当时，函数是一次函数； （2）将代入函数， 得， 当时，得， 当的函数值为． 19．(1) (2)存在；的值为或 【分析】求出，设直线的函数解析式为，将代入，求得的值，即可求得直线的函数解析式； 首先求点的坐标，令，求得，，然后用表示出的长，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线经过原点，且与直线：交于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为，将代入， 得， ∴， ∴直线的函数解析式为； （2）解：存在； ∵直线：与轴交于点， ∴， ∴， ∵过点作轴的垂线分别交直线，于点，， ∴， 由知：，令，得， ∴， ∴， ∵：，令，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或， 解得或， 综上所述，存在满足条件的点，的值为或． 20．(1)12 (2)根据题意可知，，当时，与的关系式为； 当时，与的关系式为；列表如下： … … … … 描点、连线，如图所示． 【分析】（1）根据新运算法则得出的值； （2）分类讨论：当时和时，分别写出与的关系式，再画出图象． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵， ∴ （2）略 21．(1) (2)30元 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设段所在直线的函数表达式为， 将点，分别代入，得， 解得， ∴段所在直线的函数表达式为； （2）解：将，代入，得（元）， ∴可以获得30元． 22．(1)点A的坐标为；点B的坐标为 (2)点A、点B及一次函数的图象如图所示． (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）根据建立方程求解，即可求出点A的坐标，将点代入一次函数求解，即可解题； （2）描出点A和点B，过这两点作直线，即可画出一次函数的图象； （3）利用勾股定理求出，根据是以为腰的等腰三角形，且点P在x轴上，分两种情况①当为腰时，②当为底时，结合图形，以及等腰三角形定义分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，有，解得， 点A的坐标为； 的图象经过点， ， 解得， 点B的坐标为； （2）略 （3）解：由（2）中图知，， 是以为腰的等腰三角形，且点P在x轴上， ①当为腰时，， 点P的坐标为或； ②当为底时， 结合（2）中图形可知，此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 23．(1) 10元 (2) 旺季前采购300千克时总利润最大，最大利润为7600元 【分析】（1）设该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是元，则旺季前每千克芋泥原料的进价是元，利用数量=总价÷单价，结合旺季前用480元采购的芋泥重量，是旺季后用200元采购重量的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设可获得的总利润为元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是元，则旺季前每千克芋泥原料的进价是元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是10元． （2）解：设可获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为元． 答：旺季前采购300千克时总利润最大，最大利润为7600元． 24．(1)证明：， ∴点A的坐标为． 将点代入中，得， 解得， ∴直线的解析式为． 令，则，即， ． (2)①证明：∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又， ， ， ∴矩形为正方形； ②． 【分析】（1）求出直线的解析式，进而求出点坐标，即可得出结论； （2）①先证明四边形是矩形，再证明，得到，即可得证；②设，，勾股定理求出，三角形的面积公式求出，利用完全平方公式求出和的值，再利用面积公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②设，． ∵四边形为正方形， ． 由①知， ，． 在中，有，即． 又， ， ∴，即（负值已舍去）， ，即（负值已舍去）， ． 答案第6页，共19页 答案第5页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $