4.2 同角三角函数基本关系式与诱导公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数基本关系式与诱导公式”专题，依据课标要求明确理解公式、解决求值化简的考查核心，通过梳理“知一求二”“弦切互化”等考向，结合2023全国乙卷等真题分析高频考点分布，归纳常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+规律方法+变式训练”的备考策略，如“弦切互化”中通过分子分母同除cosα转化为tanα的齐次式求解，培养学生运算能力与推理意识。特设“规律方法总结”和“对点训练”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

第2节　同角三角函数基本关系式与诱导公式 2027 课标解读　1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,tan α=,能够利用该公式解决求值与化简问题.2.能借助单位圆的对称性,利用三角函数定义推导出诱导公式,能够运用诱导公式解决相关问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版必修第三册7.2.3节习题第5题改编)已知tan α=,且π<α<,则sin α=(　　) A. B.- C. D.- B 解析 由题意得因为π<α<,所以sin α<0. 故可得sin α=-.故选B. 2.(人教A版必修第一册习题5.2第15题改编)已知tan α=2,则的值为　　　　　.  3 解析 由题意知cos α≠0,的分子和分母同除以cos α, 原式==3. 3.(人教A版必修第一册5.3节例4改编)化简: =　　　　　.  -tan α 解析 原式= = =-=-tan α. 知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=　　　;  (2)商数关系:tan α=　　　 (α≠kπ+,k∈Z). 1　 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α 　　  -sin α 　　  　 　  　 　  余弦 cos α -cos α 　　  　　  　 　  　 　  正切 tan α 　　  　　  -tan α — — 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 -sin α sin α cos α cos α cos α -cos α sin α -sin α tan α -tan α 微点拨 sin(+α)=sin α. 微思考 诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.如何理解这里的“奇”“偶”“变”“不变”? 提示 “奇”“偶”指的是“k·+α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k为奇数,则正弦、余弦互变;若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·+α(k∈Z)”中,将α看成锐角时,“k·+α(k∈Z)”的终边所在的象限. 研考点•精准突破 考点一　同角三角函数关系式的应用 考向1　“知一求二”问题 例1　(1)已知sin θ=,且θ为第二象限角,则cos θ-=(　　) A. B. C.- D.- B 解析 因为sin θ=,且θ为第二象限角,所以cos θ=-=-=-,故tan θ==-,所以cos θ-=-.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2023·全国乙,文14)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　　.  - 解析 因为θ∈(0,),tan θ=, 所以sin θ=,cos θ=, 所以sin θ-cos θ=-. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版必修第一册习题5.2第12题)已知tan α=, 求cos α-sin α的值. 考点一 考点二 考点三 解 (方法1)因为tan α=, 所以解得 又因为π<α<,所以sin α<0,cos α<0,因此 于是cos α-sin α=. (方法2)因为tan α=,π<α<,所以α=,于是cos α=-,sin α=-, 故cos α-sin α=. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用同角三角函数基本关系式“知一求二”的方法 (其中α≠kπ+,k∈Z) 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2026·山东德州模拟)已知cos α=-,sin α>0,则tan α=(　　) A.-3 B.- C.- D.- D 解析 由cos α=-,sin α>0,得sin α=, 所以tan α==-.故选D. 考点一 考点二 考点三 考向2　构建方程(组)求值问题 例2　(1)(2025·福建泉州检测)若sin θ+cos θ=2,则tan θ=(　　) A.- B.- C. D. D 考点一 考点二 考点三 解析 (方法1)由题得,sin θ=2-cos θ,所以(2-cos θ)2+cos2θ=1,所以4cos2θ-4cos θ+3=0,解得cos θ=,则sin θ=2-cos θ=,所以tan θ=.故选C. (方法2)因为sin θ+cos θ=2,设cos θ-sin θ=t,两式平方相加得1+3=4+t2,则t2=0,即t=0,则cos θ-sin θ=0,联立解得故tan θ=.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·山东潍坊模拟)若tan α=cos α,则sin α的值等于　　　　　.  解析 因为tan α=cos α, 所以cos α,即sin α=cos2α, 所以sin α=(1-sin2α), 整理得sin2α+sin α-=0, 解得sin α=(sin α=-舍去). 考点一 考点二 考点三 规律方法　构建方程(组)求值 利用平方关系和商数关系,结合已知条件,构建关于sin α(或cos α)的方程(组),通过解方程(组)求值. 考点一 考点二 考点三 考向3　“弦切互化”问题 例3　[一题多变](2026·河北张家口二模)已知2tan θ-1=0,则=(　　) A. B.- C. D.- D 解析 由题可得tan θ=,则=-.故选D. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](互换条件和结论,逆向性问题)已知,则tan θ=　　.  解析 因为, 所以tan θ+5=21(1-3tan θ),解得tan θ=. 考点一 考点二 考点三 [变式2](目标式结构改变:分式变整式,一次变二次)已知2tan θ-1=0,则sin2θ-4sin θcos θ的值为　　　　　.  - 解析 sin2θ-4sin θcos θ==-. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用“弦切互化”求齐次式值的方法 (1)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以cos α的n次幂,将分式的分子与分母化为关于tan α的式子,代入tan α的值即可求值. (2)若齐次式为二次整式,可将其视为分母为1的分式,然后将分母1用sin2α+cos2α替换,再将分子与分母同除以cos2α,化为只含有tan α的式子,代入tan α的值即可求值. (3)若代数式不是齐次式,可通过变形或公式的应用,例如1=sin2α+cos2α等,将代数式转化为齐次式再进行求解. 考点一 考点二 考点三 考向4　“和差积互化”问题 例4　(多选题)(2025·辽宁葫芦岛期末)设α∈(0,π),已知sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则下列结论中正确的是(　　) A.m=- B.sin α-cos α= C.tan α= D.cos2α-sin2α=- BD 考点一 考点二 考点三 解析 对于选项A,由于sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则所以(sin α+cos α)2=,即sin2α+cos2α+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-,则-=-,解得m=,故A错误;对于选项B,由于(sin α-cos α)2 =sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2×(-)=.又α∈(0,π),所以sin α>0. 因为sin αcos α=-<0,所以cos α<0,则sin α-cos α>0, 因此sin α-cos α=,故B正确; 考点一 考点二 考点三 对于选项C,由解得则tan α==-,故C错误;对于选项D,cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×(-)=-,故D正确.故选BD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　“和差积互化”解决求值问题 (1)由同角的三角函数关系可知:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α,因此已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中的任何一个,即可求出另外两个式子的值,这体现了“和差积互化”. (2)求sin α+cos α,sin α-cos α的值时,需要进行开方运算,因此要注意结合角的范围进行符号的判断. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2026·湖南岳阳模拟)已知sin(θ+)=,则sin θcos θ=(　　) A.- B.- C.- D.- B 解析 由sin(θ+)=,得(sin θ+cos θ)=,所以sin θ+cos θ=, 于是(sin θ+cos θ)2=,因此1+2sin θcos θ=,于是sin θcos θ=-.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点二　诱导公式的应用 例5　(1)tan(-π)的值等于(　　) A. B.- C.- D. C 解析 tan(-π)=-tan(π)=-tan(675π+)=-tan=-.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·江苏扬州模拟)已知α∈(-π,π),且cos α=-sin,则α的值为(　　) A.或- B.或- C.或- D.- C 解析 由于cos α=-sin=-sin()=-cos=cos,所以α=+2kπ(k∈Z)或α=-+2kπ(k∈Z).又因为α∈(-π,π),所以k=0,α=或α=-.故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·河南平顶山模拟)已知sin(α-)=,则 sin(α+)-2cos(α-)=　　　　　.  　- 解析 sin(α+)-2cos(α-)=sin[(α-)+π]-2cos[(α-)-] =-sin(α-)-2sin(α-)=-3sin(α-)=(-3)×=-. 考点一 考点二 考点三 考点三　同角三角函数关系式与诱导公式的综合应用 例6　(2026·浙江温州第一次适应性考试)若θ∈(0,),tan(-θ)=,则 sin θ-cos θ=(　　) A.- B. C.- D. B 解析 由tan(-θ)=,得,即,所以sin θ=2cos θ.又sin2θ+cos2θ=1,且θ∈(0,),解得sin θ=,cos θ=,故sin θ-cos θ=.故选B. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用同角关系和诱导公式解决综合问题的注意点 (1)注意条件与结论间的联系,灵活使用公式及其变形; (2)注意分析已知角与未知角的关系; (3)注意角的范围对三角函数值符号的影响. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2025·河北石家庄模拟)若sin(-440°)=m,则tan 100°=(　　) A. B.- C. D.- A 解析 由sin(-440°)=m,得sin 440°=-m,即sin 80°=-m,所以cos 80° =,所以tan 100°=-tan 80°=-.故选A. 考点一 考点二 考点三 $