命题大赛 山东省潍坊市昌邑市2025-2026学年高二下学期单元复习卷（人教B版选择性必修第三册第六章导数以及应用）

**基本信息** 导数及其应用单元复习卷，覆盖导数定义、几何意义、单调性等核心知识，通过基础辨析、综合应用、实际建模的梯度设计，适配单元复习，培养数学思维与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数定义（题1）、几何意义（题2）|基础概念辨析，强化数学眼光的抽象能力| |多选|3/18|导函数图像与极值（题9）、零点分析（题10）|综合逻辑推理，体现数学思维的严谨性| |填空|3/15|单调性应用（题12）、公切线（题14）|知识迁移运用，训练数学语言的符号表达| |解答|5/77|切线方程（题15）、实际最值（题8）、证明推理（题19）|分层设计，从运算到建模，发展创新意识与应用能力|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 0.85 2 单选题 5 基本初等函数的导数 0.8 3 单选题 5 利用导数研究函数的单调性，确定函数图象 0.75 4 单选题 5 已知斜率求切点以及点到直线的距离公式 0.75 5 单选题 5 定义域内不是单调函数求参数的取值范围 0.75 6 单选题 5 已知极值求参数 0.7 7 单选题 5 已知开区间最值求参数取值范围 0.7 8 单选题 5 借助导数解决实际问题的最值 0.65 9 多选题 6 根据导函数图象的正负判断函数的增减、极值与闭区间上的最值 0.8 10 多选题 6 利用导数研究三次函数的性质（极值点、对称中心、零点个数、切线） 0.7 11 多选题 6 A.求开区间的最值 B.求零点的个数 C.已知极值点个数求参数取值范围 D.已知切线条数求参数取值范围 0.45 12 填空题 5 已知单调性求参数取值范围 0.75 13 填空题 5 已知最大值和最小值求参数 0.7 14 填空题 5 已知公切线条数求参数 0.65 15 解答题 13 已知切线求参数及过点的切线问题 0.8 16 解答题 15 导数与单调性及极值关系的应用及函数图象交点个数的判断 0.8 17 解答题 15 讨论函数单调性；证明不等式 0.65 18 解答题 17 在点处的切线方程；讨论函数单调性；恒成立 0.65 19 解答题 17 讨论函数的单调性；证明不等式 0.65 Sheet2 Sheet3 $ 导数及其应用（单元复习卷） 一．选择题 1．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（4）＝﹣2，则的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4 【分析】根据导数的定义求解． 【解答】解：因为f′（4）＝﹣2， 由导数的定义可得，1． 故选：B． 2．已知f（x）＝x2+2x•f'（1），则f'（3）等于（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】对f（x）求导，令x＝1，求出f'（1），然后求出f'（3）即可． 【解答】解：∵f（x）＝x2+2x•f'（1），∴f'（x）＝2x+2f'（1）， ∴f'（1）＝2+2f'（1），∴f'（1）＝﹣2， ∴f'（3）＝6﹣4＝2． 故选：D． 3．函数f（x）＝xsinx，x∈[﹣π，π]的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】求导，考虑f（x）在（0，）上单调性，即可得解． 【解答】解：因为f（x）＝xsinx， 所以f'（x）＝sinx+xcosx， 当0＜x时，sinx＞0，cosx＞0，所以f'（x）＞0，即f（x）在（0，）上单调递增， 选项B，f（x）在（0，）上先减后增，不符合题意； 选项C，f（x）在（0，）上先增后减，不符合题意； 选项D，f（x）在（0，）上先增后减，不符合题意． 故选：A． 4．已知点P为函数f（x）＝e2x的图象上一点，则点P到直线l：y＝2x的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出原函数的导函数，由导函数值等于2求解曲线上点的横坐标，代入曲线方程求得切点纵坐标，再由点到直线的距离公式求解． 【解答】解：由f（x）＝e2x，得f′（x）＝2e2x， 令f′（x）＝2e2x＝2，得x＝0， 把x＝0代入f（x）＝e2x，得f（0）＝e0＝1， ∴与直线y＝2x平行的直线与曲线f（x）＝e2x切于（0，1）点， 可得点P到直线l：y＝2x的距离的最小值为． 故选：A． 5．已知函数在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内不是单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出函数的导数，令导函数为0，求出x的值，得到不等式解出a的值即可． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），所以a﹣1≥0即a≥1， f′（x）＝2x，令f′（x）＝0，得x或x（不在定义域内舍）， 由于函数在区间（a﹣1，a+1）内不是单调函数，所以∈（a﹣1，a+1）， 即a﹣1a+1，解得：a， 综上得1≤a， 故选：D． 6．已知f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处的极值为10，则a+b＝（　　） A．0或﹣7 B．﹣7 C．0 D．7 【分析】先求出函数f（x）的导数，根据f′（1）＝0，f（1）＝10，联立方程组解出即可． 【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b， ∴f′（1）＝3+2a+b＝0，①， f（1）＝1+a+b+a2＝10，②， 由①②得：或， 而要在x＝1能取到极值，则Δ＝4a2﹣12b＞0，舍去， 所以只有 ∴a+b＝﹣7， 故选：B． 7．若函数在区间（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1） B． C． D． 【分析】依题意可知函数f（x）在区间（1，2）必定存在极值点，对f（x）求导，可令g（x）＝x2﹣ax﹣1，只需，解该不等式组即得答案． 【解答】解：由，若函数f（x）在区间（1，2）内有最小值．此时函数f（x）必定存在极值点， 由Δ＝a2+4＞0，设x1，x2为一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0的两根，有， 故只需要1＜x2＜2即可， 令g（x）＝x2﹣ax﹣1，有，解得． 故选：C． 8.现有一块边长为2米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】设截去的小正方形边长为x米，则长方体的体积为，（0＜x＜1），然后结合导数的应用求最值即可． 【解答】解：设截去的小正方形边长为x米， 则， 即0＜x＜1， 则长方体的体积为， 则V′（x）， 当时，V′（x）＞0，当时，V′（x）＜0， 即函数V（x）在为增函数，在为减函数， 即时，函数V（x）取最大值， 即为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为米． 故选：C． 二．多选题 9．已知函数f（x）的导函数f′（x）在[﹣4，3]上的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）在（﹣2，2）上单调递增 B．当x＝﹣2时，f（x）取得极大值 C．当x＝2时，f（x）取得极小值 D．f（3）是f（x）在[﹣4，3]上的最大值 【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可． 【解答】解：对于选项A，由题图可知x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减，故选项A错误； 对于选项B、选项C，由题图易知f（x）在（﹣4，﹣2）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减， 在（2，3）上单调递增，f′（﹣2）＝0，f′（2）＝0， 所以当x＝﹣2时，f（x）取得极大值，当x＝2时，f（x）取得极小值，故选项B、选项C正确； 对于选项D，f（x）在[﹣4，3]上的最大值应是f（3）与f（﹣2）中的较大者，故选项D错误． 故选：BC． 10．已知函数f（x）＝x3﹣3x+2，则（　　） A．f（x）有两个极值点 B．点（0，2）是曲线y＝f（x）的对称中心 C．f（x）有三个零点 D．直线y＝0是曲线y＝f（x）的一条切线 【分析】根据极值点的定义可判断A；由h（x）＝x3﹣3x为奇函数，根据平移变换可判断B；由f（x）的单调性和最值可判断C；利用导数的几何意义可判断D． 【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2﹣3，令f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0得﹣1＜x＜1， 所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，（﹣1，1）上单调递减， 所以x＝±1是极值点，故A正确； 令h（x）＝x3﹣3x，该函数的定义域为R，h（﹣x）＝（﹣x）3﹣（﹣3x）＝﹣x3+3x＝﹣h（x）， 则h（x）是奇函数，（0，0）是h（x）的对称中心， 将h（x）的图象向上移动两个单位得到f（x）的图象， 所以点（0，2）是曲线y＝f（x）的对称中心，故B正确； 因为f（﹣1）＝4＞0，f（1）＝0，f（﹣2）＝0，所以，函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上有一个零点， 当x＞1时，f（x）＞f（1）＝0，即函数f（x）在（1，+∞）上无零点， 综上所述，函数f（x）有两个零点，故C错误； 令f′（x）＝3x2﹣3＝0，可得x＝±1，又f（1）＝0，f（﹣1）＝4， 当切点为（1，0）时，切线方程为y＝0，当切点为（﹣1，4）时，切线方程为y＝4，故D正确． 故选：ABD． 11．已知f（x）＝xlnx﹣ax2﹣2x，下列正确的是（　　） A．当a＝0时，f（x）的值域为[﹣e，+∞） B．当a＝1时，f（x）有2个零点 C．若f（x）有两个不同的极值点，则a的取值范围为 D．过点（1，0）可作y＝f（x）的两条切线，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2） 【分析】A：a＝0时，求导得极值点x＝e，算最小值知值域正确； B：a＝1时，方程lnx＝x+2无解，故f（x）＝0无解； C：极值点转化为有两解，构造函数求范围得； D：切线问题转化为方程ax2﹣（2a+1）x+lnx﹣1＝0有两解，分类讨论a的情况即可得出结论． 【解答】解：A选项，当a＝0时，f（x）＝xlnx﹣2x，f'（x）＝lnx﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝e， 当x∈（0，e）时，f'（x）＜0f（x）单调递减； 当x∈（e，+∞）时，f'（x）＞0f（x）单调递增， ∴f（x）min＝f（e）＝﹣e，∴f（x）∈[﹣e，+∞），故A正确； B选项，当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣x2﹣2x＝x（lnx﹣x﹣2）， 令f（x）＝0＝x＝0（舍）或lnx﹣x﹣2＝0，易知方程lnx＝x+2无解，故B错误； C选项，f'（x）＝lnx﹣2ax﹣1，由函数f（x）有两个极值点x1x2得f'（x）＝0， 即2a有两个实数根x1，x2，令u（x）， 求导得u'（x），当0＜x＜e2时，t′（x）＞0，当x＞e2时，t′（x）＜0， 函数u（x）在（0，e2）上单调递增，（e2，+∞）上单调递减，，且u（e）＝0， 当x＞e时，函数t（x）＞0恒成立，因此当时，有两个实数根， 所以函数f（x）有两个极点时，a的取值范围是，故C正确； D选项，f'（x）＝lnx﹣2ax﹣1，设过点（1，0）的直线与曲线y＝f（x）相切时的切点为（x0，y0），斜率k＝lnx0﹣2ax0﹣1， 切线方程为，而点（1，0）在切线上， 则， 即有，由过点（1，0）可作曲线y＝f（x）两条切线， 得方程有两个不相等的实数根，令g（x）＝ax2﹣2ax﹣x+lnx﹣1， 则函数g（x）有2个零点，求导得． ①若，由g'（x）＞0，得或x＞1， 由g'（x）＜0，得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减， 则当时，g（x）取得极大值， 当x＝1时，g（x）取得极小值，又， 当x≤1时，g（x）＜0恒成立，因此函数g（x）最多1个零点，不合题意； ②若，g'（x）≥0恒成立，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，因此函数g（x）最多1个零点，不合题意； ③若，由g'（x）＞0，得0＜x＜1或，由g'（x）＜0，得， 即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在上单调递减， 则当x＝1时，g（x）取得极大值；当时，g（x）取得极小值，又g（1）＝﹣a﹣2＜0，显然当时，g（x）＜0恒成立， 因此函数g（x）最多1个零点，不合题意； ④若a≤0，显然2ax﹣1＜0，当0＜x＜1时，g'（x）＞0， 当x＞1时，g′（x）＜0，函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 当x＝1时，g（x）取得最大值g（1）＝﹣a﹣2，要函数g（x）有2个零点，必有g（1）＝﹣a﹣2＞0，得a＜﹣2， 当0＜x＜1时，g（x）＝a（x﹣1）2﹣x﹣a﹣1+lnx＜﹣a﹣1+lnx， 而函数y＝﹣a﹣1+lnx在（0，1）上的值域为（﹣∞，﹣a﹣1），因此g（x）在（0，1）上的值域为（﹣∞，﹣a﹣2）， 当x＞1时，令y＝lnx﹣x，求导得，函数y＝lnx﹣x在（1，+∞）上单调递减， 则lnx﹣x＜﹣1，g（x）＝a（x﹣1）2﹣a﹣1+lnx﹣x＜a（x﹣1）2﹣a﹣2， 而函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣2在（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，﹣a﹣2）， 因此函数g（x）在（1，+∞）上的值域为（﹣∞，﹣a﹣2），于是当a＜﹣2时，函数g（x）有两个零点， 所以过点（1，0）可作曲线y＝f（x）两条切线时，a的取值范围是（﹣∞，﹣2），故D正确． 故选：ACD． 三．填空题 12．若f（x）＝x2+alnx在[1，3]上是单调递增的，则a的取值范围是_________ 【分析】求出函数的导数，问题转化为a≥﹣2x2在[1，3]上恒成立，求出a的取值范围即可． 【解答】解：若f（x）＝x2+alnx在[1，3]上是单调递增的， 则f′（x）＝2x0在[1，3]上恒成立， 故a≥﹣2x2在[1，3]上恒成立， 故a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）． 故答案为：[﹣2，+∞）． 13． 设函数f（x）＝ax3﹣3ax2+b（a＞0）在区间[1，4]上有最大值23，最小值3，则　 【分析】对f（x）进行求导，令f′（x）＝0，求出极值点，利用导数研究函数的最值问题，同时要验证端点问题，解出a，b． 【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3ax2+b，x∈[1，4]， ∴f′（x）＝3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），a＞0， 令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2， ∴f（x）在[1，2）递减，在[2，4]递增， f（x）在x＝1或x＝4处取最大值，而f（1）＝﹣2a+b，f（4）＝16a+b， f（4）＞f（1），f（x）max＝f（4）＝16a+b＝23①， f（x）在x＝2处取极小值，也是最小值，f（2）＝﹣4a+b＝3② 由①②解得：a＝1，b＝7． 故答案为：8 14． 已知抛物线C1：y＝x2+2x和C2：y＝﹣x2+a．如果直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2公切线，当a　 时，C1和C2有且仅有一条公切线,此时公切线的方程为　 【分析】先分别求出抛物线C1：y＝x2+2x和C2：y＝﹣x2+a在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使C1和C2有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定． 【解答】解：函数y＝x2+2x的导数y′＝2x+2， 曲线C1在点P（x1，2x1）的切线方程是：y﹣（2x1）＝（2x1+2）（x﹣x1）， 即y＝（2x1+2）x① 函数y＝﹣x2+a的导数y′＝﹣2x， 曲线C2在点Q（x2，a）的切线方程是y﹣（a）＝﹣2x2（x﹣x2）． y＝﹣2x2xa．② 如果直线l是过P和Q的公切线， 则①式和②式都是l的方程， x1+1＝﹣x2，所以a． 消去x2得方程22x1+1+a＝0． 若判别式Δ＝4﹣4×2（1+a）＝0时， 即a时解得x1，此时点P与Q重合． 即当时C1和C2有且仅有一条公切线， 由①得公切线方程为y＝x． 故答案为：a，公切线方程为y＝x． 4． 解答题 15．已知曲线f（x）＝x3﹣ax+1．若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝3x+b． （1）求a，b的值； （2）求过点（﹣1，0）且与曲线f（x）相切的直线方程． 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义以及切线斜率计算可得a，b的值； （2）设切点，由经过点（﹣1，0）解方程可得x0＝﹣1或，即可得出直线方程． 【解答】解：（1）由f（x）＝x3﹣ax+1，得f′（x）＝3x2﹣a，.........1分 则f（1）＝2﹣a，f′（1）＝3﹣a，.........2分 所以f（x）在（1，f（1））处的切线方程为 y﹣（2﹣a）＝（3﹣a）（x﹣1）， 即y＝（3﹣a）x﹣1，.........4分 由已知可得3﹣a＝3，﹣1＝b， 则a＝0，b＝﹣1；.........6分 （2）由（1）可知f（x）＝x3+1， 设切点为，.........7分 则， 故曲线在切点处的切线方程为，.........9分 把（﹣1，0）代入，得，.........10分 即， 解得x0＝﹣1或，.........11分 当x0＝﹣1时，切线斜率为3，此时切线方程为y＝3（x+1）； 当时，切线斜率为，此时切线方程为． 故过点（﹣1，0）且与曲线f（x）相切的直线方程为y＝3（x+1）和， 即3x﹣y+3＝0和3x﹣4y+3＝0．.........13分 16.给定函数f（x）＝（x+1）ex． （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值； （2）画出函数f（x）的大致图象； （3）求出方程f（x）＝a（a∈R）的解的个数． 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系可求； （2）结合导数分析函数的性质，寻求函数的特征，即可； （3）转化为y＝a与y＝f（x）的图象交点个数问题，结合函数图象可求． 【解答】解：（1）f′（x）＝（x+2）ex，.........1分 当x＞﹣2时，f′（x）＞0，函数单调递增， 当x＜﹣2时，f′（x）＜0，函数单调递减，.........3分 所以f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣2）上单调递减，.........4分 故当x＝﹣2时，函数取得极小值f（﹣2）， 没有极大值；.........5分 （2）因为f（﹣1）＝0，f（﹣2），.........6分 当x＜﹣1时，f（x）＜0，当x＞﹣1时，f（x）＞0， 当x→﹣∞时，f（x）→0，当x→+∞时，f（x）→+∞，f′（x）→+∞，.........8分 函数的大致图象如图所示， .........12分 （3）结合图象可知，当a≥0或a时，f（x）＝a有一个解；.........13分 当a＜0时，f（x）＝a有两个解；.........14分 当a时，f（x）＝a没有解．.........15分 17.已知函数f（x）＝aln（x+2），（a＞0）． （1）讨论y＝f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：1＜f（x1）+f（x2）＜2． 【分析】（1）求出导函数f′（x），分类讨论确定f′（x）＝0的解，确定f′（x）的正负，得单调性； （2）同（1）得0＜a＜1，且两个极值点x1，x2满足x1+x2＝﹣2，x1x2＝a，计算f（x1）+f（x2）并化为a的函数，引入函数，由导数得单调性后可证． 【解答】（1）解：定义域为，.........2分 Δ＝4﹣4a≤0，a≥1， ①当a≥1时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增；........3分 ②当0＜a＜1时，由f'（x）＝0得， 或时，f'（x）＞0， 时，f'（x）＜0，.........6分 函数f（x）在递增； 在递减；.........7分 （2） 证明：若f（x）存在两个极值点， 则0＜a＜1，x1，x2是方程x2+2x+a＝0的两个根，...............8分 ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝a，.........9分 alna+2﹣a，.........11分 令h（x）＝xlnx﹣x+2，0＜x＜1， h'（x）＝lnx＜0，所以h（x）在x∈（0，1）上单调递减，.........12分 则h（x）＞h（1）＝1，又xlnx＜0，﹣x＜0，.........13分 故h（x）＝xlnx﹣x+2＜2，.........14分 所以h（x）∈（1，2），即1＜f（x1）+f（x2）＜2．.........15分 18.已知函数． （Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性； （Ⅲ）当x≥2时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）当a＝0时，根据题意可得f（x）＝（x﹣2）ex，计算f（0），对f（x）求导得f′（x），再由导数的几何意义可得k切＝f′（0），进而写出切线方程． （Ⅱ）求导得f′（x）＝（x﹣1）ex﹣ax+a＝（x﹣1）（ex﹣a），令f′（x）＝0的解为x1＝lna，x2＝1，分两种情况当lna＝1，当lna＜1，讨论f'（x）正负，进而可得f（x）的单调区间． （Ⅲ）对f（x）求导得f′（x）＝（x﹣1）（ex﹣a）分三种情况：当a≤0时，当0＜a≤e2时，当a＞e2时，讨论导数的正负，f（x）的单调性，a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝（x﹣2）ex f（0）＝（0﹣2）e0＝﹣2，.........1分 f′（x）＝（x﹣1）ex，.........2分 k＝f′（0）＝（0﹣1）e0＝﹣1，.........3分 所以切线方程为：y+2＝﹣（x﹣0） 即：y＝﹣x﹣2．.........4分 （Ⅱ）由题， 可得f′（x）＝（x﹣1）ex﹣ax+a＝（x﹣1）（ex﹣a），.........5分 由于a＞0，f′（x）＝0的解为x1＝lna，x2＝1， （1）当lna＝1，即a＝e时，f'（x）≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，.........6分 （2）当lna＜1，即0＜a＜e时， 在区间（﹣∞，lna），（1，+∞）上，f'（x）＞0； 在区间（lna，1）上，f'（x）＜0， 所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，lna），（1，+∞）；单调减区间为（lna，1）．.........8分 （3）当lna＞1，即a＞e时， 在区间（﹣∞，1），（lna，+∞）上，f'（x）＞0； 在区间（1，lna）上，f'（x）＜0， 则f（x）在（﹣∞，1），（lna，+∞）上单调递增，（1，lna）上单调递减．.........10分 （Ⅲ）f′（x）＝（x﹣1）（ex﹣a） （1）当a≤0时，因为x≥2，所以x﹣1＞0，ex﹣a＞0，所以f′（x）＞0， 则f（x）在[2，+∞）上单调递增，f（x）≥f（2）＝0成立，.........12分 （2）当0＜a≤e2时，f′（x）＞0， 所以f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（2）＝0成立，.........14分 （3）当a＞e2时，在区间（2，lna）上，f′（x）＜0；在区间（lna，+∞），f′（x）＞0， 所以f（x）在（2，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增，所以f（x）≤f（2）＝0，不符合题意，.........16分 综上所述，a的取值范围是（﹣∞，e2]．.........17分 19.设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R） （改编)（1）讨论f（x）的单调区间； （2）若g（x）＝ax﹣ex，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）． 【分析】（1）求得f（x）的导数，分和a＞0讨论 （2）当x＞0时，要证f（x）﹣ax+ex＞0，即证ex﹣lnx﹣2＞0，令h（x）＝ex﹣lnx﹣2（x＞0），只需证h（x）＞0，求得h（x）的导数，判断单调性，求得h（x）的单调性，可得最小值，证明大于0即可． 【解答】解：（1）由，.........2分 当时，f′（x）＜0恒成立.........3分 当a＞0时，令f'（x）＝0解得：， 0＜x时，f′（x）＜0；x时，f′（x）＞0． 则f（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，.........5分 综上所述，当时，f（x）的单调递减区间为 当a＞0时，f（x）的单调减区间为，单调增区间为；.........6分 （2）证明：当x＞0时，要证f（x）﹣ax+ex＞0，即证ex﹣lnx﹣2＞0，.........8分 令h（x）＝ex﹣lnx﹣2（x＞0），只需证h（x）＞0 ∵，.........9分 由指数函数及幂函数的性质知：在（0，+∞）上是增函数，.........10分 又， ∴， h'（x）在内存在唯一的零点，也即h'（x）在（0，+∞）上有唯一零点．.........13分 设h'（x）的零点为t，则，即，.........14分 由h'（x）的单调性知： 当x∈（0，t）时，h'（x）＜h'（t）＝0，h（x）为减函数， 当x∈（t，+∞）时，h'（x）＞h'（t）＝0，h（x）为增函数，.........15分 所以当x＞0时，h（x）≥h（t）＝et﹣lnt﹣2ln2t﹣2≥22＝0， 又，等号不成立， ∴h（x）＞0．.........17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数及其应用（单元复习卷） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（4）＝﹣2，则的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4 2．已知f（x）＝x2+2x•f'（1），则f'（3）等于（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．2 3．函数f（x）＝xsinx，x∈[﹣π，π]的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．已知点P为函数f（x）＝e2x的图象上一点，则点P到直线l：y＝2x的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内不是单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处的极值为10，则a+b＝（　　） A．0或﹣7 B．﹣7 C．0 D．7 7．若函数在区间（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1） B． C． D． 8.现有一块边长为2米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数f（x）的导函数f′（x）在[﹣4，3]上的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）在（﹣2，2）上单调递增 B．当x＝﹣2时，f（x）取得极大值 C．当x＝2时，f（x）取得极小值 D．f（3）是f（x）在[﹣4，3]上的最大值 10．已知函数f（x）＝x3﹣3x+2，则（　　） A．f（x）有两个极值点 B．点（0，2）是曲线y＝f（x）的对称中心 C．f（x）有三个零点 D．直线y＝0是曲线y＝f（x）的一条切线 11．已知f（x）＝xlnx﹣ax2﹣2x，下列正确的是（　　） A．当a＝0时，f（x）的值域为[﹣e，+∞） B．当a＝1时，f（x）有2个零点 C．若f（x）有两个不同的极值点，则a的取值范围为 D．过点（1，0）可作y＝f（x）的两条切线，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若f（x）＝x2+alnx在[1，3]上是单调递增的，则a的取值范围是 　 13．设函数f（x）＝ax3﹣3ax2+b（a＞0）在区间[1，4]上有最大值23，最小值3，则　 14．已知抛物线C1：y＝x2+2x和C2：y＝﹣x2+a．如果直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2公切线，当a　 时，C1和C2有且仅有一条公切线,此时公切线的方程为　 四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知曲线f（x）＝x3﹣ax+1．若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝3x+b． （1）求a，b的值； （2）求过点（﹣1，0）且与曲线f（x）相切的直线方程． 16.（15分） 给定函数f（x）＝（x+1）ex． （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值； （2）画出函数f（x）的大致图象； （3）求出方程f（x）＝a（a∈R）的解的个数． 17.（15分） 已知函数f（x）＝aln（x+2），（a＞0）． （1）讨论y＝f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：1＜f（x1）+f（x2）＜2． 18.（17分） 已知函数． （Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性； （Ⅲ）当x≥2时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 19.（17分） 设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R） （改编)（1）讨论f（x）的单调区间； （2）若g（x）＝ax﹣ex，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）． 学科网（北京）股份有限公司 $