精品解析：2026年河南鹿邑县观堂一中等学校中考学业备考全真模拟数学试卷

2026河南中考学业备考全真模拟试卷（25） 数 学 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试卷上的文字信息、然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，把正确的答案字母填涂在答题卡对应的位置． 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 北宋沈括在《梦溪笔谈》中记载了一种名为“累棋成塔”的堆叠游戏，用完全相同的长方体、圆柱体的棋子逐层堆叠，形成稳定的塔形结构，以训练学童的空间布局能力．下图就是其中两个棋子摆放而成的几何体，其左视图正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 10. 如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，在某一次函数的图象上，且，请写出一个符合条件的一次函数解析式______． 12. 生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列（斐波那契数列）： 1 1 2 3 5 8 13…… 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是______．（用含a，b的代数式表示） 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的点C的坐标为，E是线段上一点，且，沿折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为______． 14. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为________． 15. 在中，，，点P为射线上一动点，连接，．作点B关于线段的对称点D，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对，两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间（分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好． 收集数据： 款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89 款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 100 108 50.6 100 44.4 解决问题： 根据以上信息，解决下列问题： （1）上表中的________，________，________； （2）某商场购进了一批款扫地机器人600台，请估算这批款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数； （3）根据以上统计信息和数据，你认为哪款扫地机器人的运行最长时间更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴、y轴分别相交于点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P是线段上一个动点， ①尺规作图：过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q（保留作图痕迹，不写画法）； ②当时，求点Q的坐标． 19. 如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，． （1）垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； （2）若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 20. 如图，是的直径，点D在上，连接，过点O作，交于点E，连接并延长，交的延长线于点C，过点B作的切线，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长的长． 21. 被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： （1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； （2）尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 22. 已知二次函数（b，c为常数）图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，把点P绕原点顺时针旋转后恰好落在抛物线上，求m的值； （3）若，当二次函数的最大值比最小值大3时，直接写出t的值． 23. 综合与探究 如图1，点O是的对角线的交点，过点O作，，垂足分别为M，N．若时，我们称是的中心距比． （1）【概念理解】 ①在图1中，的中心距比与其相邻两边比之间的关系为______； ②如图2，当时，求证：是菱形； （2）【探索研究】 如图3，在矩形中（），其中心距比，点O为对角线中点，E是边上一点，连接，作交边于点F，若，，求的值； （3）【拓展应用】 如图4，，，点D是射线上一动点，点C是平面内一点．的中心距比．点E在射线上，连接，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026河南中考学业备考全真模拟试卷（25） 数 学 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试卷上的文字信息、然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，把正确的答案字母填涂在答题卡对应的位置． 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数. ∵， ∴的倒数是． 2. 北宋沈括在《梦溪笔谈》中记载了一种名为“累棋成塔”的堆叠游戏，用完全相同的长方体、圆柱体的棋子逐层堆叠，形成稳定的塔形结构，以训练学童的空间布局能力．下图就是其中两个棋子摆放而成的几何体，其左视图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从左侧观察到的图形为左视图，由此可解． 【详解】解：长方体的左视图为矩形，圆柱的左视图也为矩形， 圆柱的下半部分被长方体遮挡，因此左视图中矩形的下半部分不可见，为虚线， 观察四个选项可知，只有选项D符合题意． 3. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂除法法则，积的乘方法则和完全平方公式，逐一判断各选项运算是否正确． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不合题意； B．，故该选项计算错误，不合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．，故该选项计算错误，不合题意． 5. 如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，熟记对顶角相等的性质是解题的关键． 根据垂直定义求出，进而利用对顶角相等求出的度数，再根据角的差得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， 故选：B． 6. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于，空心表示不能取等于． 【详解】解：由数轴可得，这个不等式组的解集为． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由根的判别式结合一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 且． 8. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： H O C N H O C N 共有种等可能出现的结果，所标元素能组成“”（一氧化碳）的有种， 所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率为， 故选：D． 9. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系． 【详解】解：∵在中，，即， 在中，，即， ∴ ， 即， 故①正确． ∵在中，， 在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， 即， 即， ∴， ∴， 故②错误． ∵， ∴， ∵的实数根为： ， ∴的长是关于 x 的方程 的一个实数根， 故③正确． 综上①③正确， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，在某一次函数的图象上，且，请写出一个符合条件的一次函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，由已知条件时，判断出一次项系数，写出符合条件的一次函数即可． 【详解】解：，， 随的增大而减小， 一次项系数， 符合条件的一次函数解析式可以为：．（答案不唯一） 12. 生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列（斐波那契数列）： 1 1 2 3 5 8 13…… 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是______．（用含a，b的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】观察可得该数列的特征是：从第三个数开始，后面的一个数总是前面两个数的和，进而可得答案． 【详解】解：观察数列：1 1 2 3 5 8 13……， 可得该数列的特征是：从第三个数开始，后面的一个数总是前面两个数的和， 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的点C的坐标为，E是线段上一点，且，沿折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】添加辅助线，利用正方形和折叠的性质求出相关线段的长度，进而确定点的坐标． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， 点的坐标为， ， 四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ， ， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 点在第二象限， 点的坐标为． 14. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，，，得到，，，推出是等腰直角三角形，，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴． 15. 在中，，，点P为射线上一动点，连接，．作点B关于线段的对称点D，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，分类讨论，即分为当在线段上时和当在线段延长线上时，两种情况，逐一解答即可，正确画出图形，寻找图中全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，当在线段上时， ， ， ， 点B关于线段的对称点D， ，， ， ， ， 如图，当在线段延长线上时， ， ， ， 点B关于线段的对称点D， ，， ， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， , 根据对称可得， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对，两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间（分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好． 收集数据： 款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89 款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 100 108 50.6 100 44.4 解决问题： 根据以上信息，解决下列问题： （1）上表中的________，________，________； （2）某商场购进了一批款扫地机器人600台，请估算这批款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数； （3）根据以上统计信息和数据，你认为哪款扫地机器人的运行最长时间更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1），， （2）300 （3） 解：B款扫地机器人运行最长时间较好，理由如下， B款的中位数大于A款的，B款的方差小于A款的，即B款运行最长时间稳定， B款扫地机器人运行最长时间较好． 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的计算求解即可； （2）根据样本百分比估算总体数量即可； （3）由中位数，方差作决策即可． 【小问1详解】 解：A款数据从小到大排序为：89   92   95   96   98   100   102   108   108   112， ∴， 根据题意，， B款数据中102出现次数最多， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：样本中，款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”有5台， ∴（台）； 【小问3详解】 略 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴、y轴分别相交于点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P是线段上一个动点， ①尺规作图：过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q（保留作图痕迹，不写画法）； ②当时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）将代入求出，再将点坐标代入，求出k即可； （2）①根据同位角相等，两直线平行，作即可； ②求出点B的坐标，设点，其中，则点，由，列式计算，求出t值，继而求出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：依题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：①如图所示，即为所求； ②对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∵点P在线段上， ∴设点P的坐标为，其中， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为， ∵点Q在反比例函数的图象上， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， 整理得：，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，， ∴点Q的坐标为． 19. 如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，． （1）垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； （2）若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）遮蔽宽度为； （2）点下降的高度约为． 【解析】 【分析】（1）由对称性可知，，根据正切的定义求出，即可得出答案； （2）过作于点，证明四边形是矩形，得出，分别求出，时，对应的值，然后相减即可求解． 【小问1详解】 解：由对称性可知，， 在中，， ， ∵， ， ． 答：遮蔽宽度为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ，，， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， 当时，； 当时，， ． 答：点下降的高度约为． 20. 如图，是的直径，点D在上，连接，过点O作，交于点E，连接并延长，交的延长线于点C，过点B作的切线，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长的长． 【答案】（1） 解：， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，平行线的性质，等角对等边，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边即可求得； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据勾股定理可得，根据切线的性质可得，根据平行线的性质可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，则， ，， ，． 是的切线， ， ， ， ， ， 即， ． 21. 被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： （1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； （2）尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 【答案】（1） （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积，即可验证方案． 【小问1详解】 解：由题意可得， ，， ∴ 则剪去的长方形的长为： 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积； 【小问2详解】 解：∵ ，底面积等于， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴得图 当， 时，满足条件， ∴， 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积 方案2包装盒的表面积为：， 则对方案2“表面积最小”的评价准确． 22. 已知二次函数（b，c为常数）图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，把点P绕原点顺时针旋转后恰好落在抛物线上，求m的值； （3）若，当二次函数的最大值比最小值大3时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先由二次函数的对称轴求解b的值，再将点代入二次函数求解c的值即可得到二次函数的表达式； （2）先由旋转的性质以及全等三角形的性质得到点的坐标，再将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （3）先得到该二次函数的增减性，再分类讨论当，当，当，三种情况，分别求解最值进行取舍求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，可得， ∴二次函数为， ∵二次函数（b，c为常数）的图象经过点， ∴，可得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设点P绕原点顺时针旋转后的点为点， 过点P作轴于点M，过点作轴于点N，如图， 则有， 根据旋转的性质可得，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 再由象限位置得， ∵点在抛物线上， ∴，解得或（舍去）； 【小问3详解】 解：∵二次函数的表达式为，且， ∴二次函数图象开口向上， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 当，即时， 则当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， ∵二次函数的最大值比最小值大3， ∴，解得（舍去）； 当，即时， 则当时，函数有最小值，最小值为， 当，即时， 则当时，函数有最大值，最大值为， ∵二次函数的最大值比最小值大3， ∴，解得或（舍去）； 当，即时， 则当时，函数有最大值，最大值为， ∵二次函数的最大值比最小值大3， ∴，解得或（舍去）； 当，即时， 则当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， ∵此时二次函数的最大值比最小值大3， ∴，解得（舍去）； 综上所述，或． 23. 综合与探究 如图1，点O是的对角线的交点，过点O作，，垂足分别为M，N．若时，我们称是的中心距比． （1）【概念理解】 ①在图1中，的中心距比与其相邻两边比之间的关系为______； ②如图2，当时，求证：是菱形； （2）【探索研究】 如图3，在矩形中（），其中心距比，点O为对角线中点，E是边上一点，连接，作交边于点F，若，，求的值； （3）【拓展应用】 如图4，，，点D是射线上一动点，点C是平面内一点．的中心距比．点E在射线上，连接，当时，直接写出的长． 【答案】（1）①相等； ②证明：当时，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形． （2） （3）的长为或16 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的面积相等可解答； ②根据中心距可得，再根据“斜边直角边”证明，可说明，则此题可证； （2）作，根据，可设，再根据勾股定理求出，进而得，然后说明四边形是矩形，接下来证明，进而设，则，可得，最后根据求出，则此题可解； （3）由（1）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2，再分两种情况： 当时，过点B作于点G，过点A作延长线于点H，由平行四边形的性质得，，再设，根据勾股定理求出，同理可得，进而得，然后根据求出，最后根据得出答案； 当时，作于点G，作交延长线于点H，由平行四边形的性质得，再解直角三角形求出，即可得，然后根据求出，最后根据得出答案． 【小问1详解】 解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略； 【小问2详解】 解：过点O作， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴设， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2， 如图，当时，过点B作于点G，过点A作延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． 在中，， 设， ∴， 解得， ∴． ∵， 同理可得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴； ②当时，过点B作于点G，过点A作交延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 由①可得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 所以的长为或16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $