第2章 第4节 函数的对称性及应用-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性及应用”专题，依据课标要求梳理了轴对称、中心对称、两个函数图象对称及对称与周期综合四大核心考点，通过近5年高考真题分析明确对称与周期综合占比30%的高频考向，构建知识体系并归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题解析+规律总结+素养提升”的复习策略，如以2024新高考Ⅰ卷18题为例，用“公式推导+图象变换”法突破中心对称证明，培养数学思维与几何直观素养。总结对称周期三大结论，设易错点分析（如函数平移后对称中心判断），帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

第4节　函数的对称性及应用 课标要求 1. 能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论. 2. 会利用对称公式解决问题. 目录/ CONTENTS 夯实必备知识 01 研透核心考点 02 课时跟踪检测 03 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的对称性 （1）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称； （2）若f（x＋a）是偶函数，则函数f（x）图象的对称轴为 ⁠； 若f（x＋a）是奇函数，则函数f（x）图象的对称中心为 ⁠. 2. 若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x），则函数的图象关于直 线 对称；若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x）， 则函数的图象关于点 对称. 原点　 y轴　 x＝a　 （a，0）　 x＝a　 （a，0）　 高中总复习·数学 目 录 （1）函数y＝f（x）与y＝f（－x）关于 对称； （2）函数y＝f（x）与y＝－f（x）关于 对称； （3）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）关于 对称. y轴　 x轴　 原点　 3. 两个函数图象的对称 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若函数y＝f（x）是奇函数，则函数y＝f（x－1）的图象关于点 （1，0）对称. （　√　） （2）若函数y＝f（x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线 x＝1对称. （　√　） （3）函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称. （　×　） （4）若函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的图象关于 直线x＝2对称. （　√　） √ √ × √ 高中总复习·数学 目 录 2. 函数f（x）＝ 图象的对称中心为（　　） A. （0，0） B. （0，1） C. （1，0） D. （1，1） √ 解析： 　因为f（x）＝ ＝1＋ ，由y＝ 的图象向上平移一个单位长 度得到y＝1＋ 的图象，又y＝ 的图象关于点（0，0）对称，所以f （x）＝1＋ 的图象关于点（0，1）对称. 高中总复习·数学 目 录 3. 已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，2）上单调递增，且f（x＋ 2）＝f（2－x）对任意x∈R恒成立，则（　　） A. f（－1）＜f（3） B. f（0）＞f（3） C. f（－1）＝f（3） D. f（0）＝f（3） √ 解析： 　因为f（x＋2）＝f（2－x），所以f（x）的图象关于直线x＝ 2对称，所以f（3）＝f（1），由于f（x）在（－∞，2）上单调递增，所 以f（－1）＜f（1）＝f（3），f（0）＜f（1）＝f（3）.故选A. 高中总复习·数学 目 录 4. 若偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f （x）＝2x－1，则f（－1）＝ ⁠. 解析：∵f（x）为偶函数，∴f（－1）＝f（1），由f（x）的图象关于 直线x＝2对称，可得f（1）＝f（3）＝2×3－1＝5，∴f（－1）＝5. 5. 已知函数y＝f（x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－ x）的图象必过点 ⁠. 解析：y＝f（x）的图象与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，y＝f （x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－x）的图象必过点 （－1，2）. 5　 （－1，2）　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 函数的对称性（定向精析突破） 考向1　轴对称 （1）已知函数f（x－1）为偶函数，且函数f（x）在[－1，＋∞） 上单调递增，则关于x的不等式f（1－2x）＜f（－7）的解集为 （　A　） A. （－∞，3） B. （3，＋∞） C. （－∞，2） D. （2，＋∞） A 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为f（x－1）为偶函数，所以f（x－1）的图象关于y轴对称， 则f（x）的图象关于直线x＝－1对称.因为f（x）在[－1，＋∞）上单调 递增，所以f（x）在（－∞，－1]上单调递减.因为f（1－2x）＜f（－ 7）＝f（5），所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（4＋x）＝f（－x），若函数y ＝｜x2－4x－5｜与y＝f（x）图象的交点分别为（x1，y1），（x2， y2），…，（xm，ym），则所有交点的横坐标之和为（　C　） A. 0 B. m C. 2m D. 4m 解析：依题意，函数f（x）（x∈R）满足f（4＋x）＝f（－x），即y ＝f（x）的图象关于直线x＝2对称.函数y＝｜x2－4x－5｜的图象也关于 直线x＝2对称，所以若函数y＝｜x2－4x－5｜与y＝f（x）图象的交点 分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则x1＋x2＋…＋xm＝ 4× ＝2m. C 高中总复习·数学 目 录 1. 函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f （a－x）＝f（a＋x）. 2. 若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象 关于直线x＝ 对称. 高中总复习·数学 目 录 考向2　中心对称 （1）（2026·江西九江模拟）设函数f（x）＝ax3－x－3＋a，若函数f （x－1）的图象关于点（1，0）对称，则a＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 √ 解析： 　因为函数f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，故函数f （x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）为奇函数，f（0）＝0，故a ＝0.故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷18题节选）已知函数f（x）＝ln ＋ax＋b（x－1）3.证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形. 证明：法一 ∵函数的定义域为（0，2），且f（2－x）＋f（x）＝ln ＋a（2－x）＋b（1－x）3＋ln ＋ax＋b（x－1）3＝2a， ∴f（x）关于点（1，a）中心对称. 法二 将f（x）向左平移一个单位长度⇒f（x＋1）＝ln ＋a（x＋1） ＋bx3关于点（0，a）中心对称， ∴f（x）关于点（1，a）中心对称. 高中总复习·数学 目 录 1. 函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称⇔f（a＋x）＋f（a－ x）＝2b⇔2b－f（x）＝f（2a－x）. 2. 若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的 图象关于点（ ， ）成中心对称. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）已知函数f（x）＝3｜x－a｜＋2，且满足f（5＋x）＝f（3－ x），则f（6）＝（　B　） A. 29 B. 11 C. 3 D. 5 解析： 因为f（5＋x）＝f（3－x），所以f（x）的图象关于直线x＝4 对称，而f（x）＝3｜x－a｜＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f （6）＝3｜6－4｜＋2＝11.故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于点（1，0）中心 对称，f（2x＋2）是偶函数，则（　D　） A. f（0）＝0 B. f（ ）＝0 C. f（2）＝0 D. f（3）＝0 解析： f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，则f（x）＝－f（－x＋ 2）　①；f（2x＋2）是偶函数，则f（2x＋2）＝f（－2x＋2），则f （x）的图象关于直线x＝2轴对称，则f（x）＝f（－x＋4）　②；令x ＝1代入①得，f（1）＝－f（1），解得f（1）＝0，代入②得到f（1）＝ f（3）＝0.故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （3）（2026·江苏扬州模拟）已知定义域为R的函数f（x）在[1，＋∞） 上单调递减，且f（x＋1）为奇函数，则使得不等式f（x2－x）＜f（2－ 2x）成立的实数x的取值范围为 ⁠. 解析： 因为f（x＋1）为奇函数，所以f（x）的图象关于点（1，0）对 称，因为f（x）在[1，＋∞）上单调递减，所以f（x）在R上是减函数， 因为f（x2－x）＜f（2－2x），所以x2－x＞2－2x，即x2＋x－2＞0，解 得x＜－2或x＞1，所以x的取值范围为（－∞，－2）∪（1，＋∞）. （－∞，－2）∪（1，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 两个函数图象间的对称（师生共研过关） 已知函数y＝f（x）是定义域为R的函数，则函数y＝f（x＋2）与y ＝f（4－x）的图象（　　） A. 关于直线x＝1对称 B. 关于直线x＝3对称 C. 关于直线y＝3对称 D. 关于点（3，0）对称 √ 解析： 　设P（x0，y0）为y＝f（x＋2）图象上任意一点，则y0＝f（x0 ＋2）＝f（4－（2－x0）），所以点Q（2－x0，y0）在函数y＝f（4－ x）的图象上，而点P（x0，y0）与点Q（2－x0，y0）关于直线x＝1对 称，所以函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象关于直线x＝1对称. 高中总复习·数学 目 录 破解两个函数图象间的对称的方法 （1）利用函数y＝f（a＋x）与函数y＝f（b－x）的图象关于直线x＝ 对称，即可求出对称轴； （2）利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在解题中的应用. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是（　C　） A. y＝ex－1 B. y＝e1－x C. y＝e2－x D. y＝ln x 解析： 与f（x）＝y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f（2－x）＝e2－ x，即y＝e2－x. C 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕已知f（x）＝ln（1－x），函数g（x）的图象与f （x）的图象关于点（1，0）对称，则g（x）的解析式为 ⁠ ⁠； 解析： 法一　设P（x，y）为函数y＝g（x）图象上任意一点，则点P （x，y）关于点（1，0）的对称点Q（2－x，－y）在函数y＝f（x）的 图象上，即－y＝f（2－x）＝ln（x－1），所以y＝－ln（x－1），所以 g（x）＝－ln（x－1）. g（x）＝－ln （x－1）　 高中总复习·数学 目 录 法二　f（x）＝ln（1－x）向左平移一个单位长度得y＝ln（－x），其关 于原点对称的函数为y＝－ln x，再向右平移一个单位长度得y＝－ln（x－ 1），所以g（x）＝－ln（x－1）. 法三　y＝f（x）关于点（1，0）对称的函数g（x）＝－f（2－x）＝－ ln（x－1）. 高中总复习·数学 目 录 （3）设函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f （3）＋f（9）＝1，则实数m＝ ⁠. 解析： ∵函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称， ∴x＝log3y－m，∴f（x）＝log3x－m，∴f（3）＋f（9）＝1－m＋2 －m＝1，∴m＝1. 1　 高中总复习·数学 目 录 对称性的综合应用（定向精析突破） 考向1　对称性与周期性 〔多选〕设函数f（x）的定义域为R，f（2x＋1）为奇函数，f（x ＋2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b.若f（0）＋f（3）＝ －1，则（　　） A. b＝－2 B. f（2 025） ＝－1 C. f（x）为偶函数 D. f（x）的图象关于点（1，0）对称 √ √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由f（2x＋1）为奇函数，得f（－2x＋1） ＝－f（2x＋ 1），则f（－x＋1） ＝－f（x＋1），∴f（x）的图象关于点（1，0） 对称，D正确；由f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2对 称，∴f（x）的周期为4×（2－1）＝4，于是f（－x）＝f（x＋4）＝f （x），C正确；在f（－x＋1）＝－f（x＋1）中，令x＝0，得f（1）＝ 0，由x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b，可得f（0）＝1＋b，f（3）＝f （1）＝a＋b＝0，又f（0）＋f（3）＝－1，∴f（0）＝1＋b＝－1，解 得b＝－2，A正确；f（2 025）＝f（4×506＋1） ＝f（1）＝0，B错误. 故选A、C、D. 高中总复习·数学 目 录 熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 （1）若函数f（x）的图象关于两条不同的直线x＝a和x＝b对称，则函 数f（x）的周期为T＝2｜a－b｜； （2）若函数f（x）的图象关于两个不同的点（a，0）和（b，0）对称， 则函数f（x）的周期为T＝2｜a－b｜； （3）若函数f（x）的图象关于直线x＝a和点（b，0）对称，则函数f （x）的周期为T＝4｜a－b｜. 高中总复习·数学 目 录 考向2　对称性、周期性与单调性的综合问题 已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x－1）的图象关于点（1， 0）中心对称，f（x＋2）是偶函数，且f（x）在[0，2]上单调递增，则 （　　） A. f（10）＜f（19）＜f（13） B. f（10）＜f（13）＜f（19） C. f（13）＜f（10）＜f（19） D. f（13）＜f（19）＜f（10） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为f（x－1）的图象关于点（1，0）中心对称，所以f（x） 的图象的对称中心是点（0，0），故f（x）为奇函数.因为f（x＋2）是 偶函数，所以f（x）的图象的对称轴是直线x＝2，所以f（x）的周期为 4×（2－0）＝8，所以f（10）＝f（2），f（19）＝f（3）＝f（1），f （13）＝f（5）＝f（－1）.因为f（x）在[0，2]上单调递增且f（x）是 奇函数，所以f（x）在[－2，2]上单调递增，所以f（－1）＜f（1）＜f （2），所以f（13）＜f（19）＜f（10）.故选D. 高中总复习·数学 目 录 　　解决对称性、周期性与单调性的综合问题，一般要利用周期性与对称 性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或 解不等式. 高中总复习·数学 目 录 训练3 （1）已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝f（x＋1）－2，若 函数g（x）为奇函数，g（x＋1）为偶函数，且f（2）＝1，则 g （k）＝（　B　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 B 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为函数g（x）为奇函数，定义域为R，所以g（0）＝0.又因为 g（x＋1）为偶函数，所以g（x）的图象关于直线x＝1对称，g（2）＝ g（0）＝0，又g（x）的周期为4×（1－0）＝4，f（2）＝1，所以g （1）＝f（1＋1）－2＝－1，g（3）＝g（－1）＝－g（1）＝1，g （4）＝g（0）＝0，所以g（1）＋g（2）＋g（3）＋g（4）＝0，于是 g（k）＝5×[g（1）＋g（2）＋g（3）＋g（4）]＋g（1）＋g （2）＋g（3）＝0－1＋0＋1＝0，故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2026·湖南长沙模拟）若定义在R上的奇函数f（x）满足f （2－x）＝f（x），在区间（0，1）上，有（x1－x2）[f（x1）－f （x2）]＞0，则下列说法正确的是（　AC　） A. 函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称 B. 函数f（x）的图象关于直线x＝2轴对称 C. 在区间（2，3）上，f（x）单调递减 D. f（－ ）＞f（ ） AC 高中总复习·数学 目 录 解析： f（4－x）＝f（2－（x－2））＝f（x－2）＝－f（2－x）＝－f （x），即f（4－x）＋f（x）＝0，故f（x）的图象关于点（2，0）中 心对称，故A正确；∵f（2－x）＝f（x），则f（x）的图象关于直线x ＝1轴对称，故B错误；根据题意可得，f（x）在（0，1）上单调递 增，∵f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，关于点（2，0）中心对 称，则f（x）在（2，3）上单调递减，故C正确；又∵f（x）＝f（2－ x）＝－f（x－2），则f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋ 2）＝f（x），可知f（x）的周期为4，则f（－ ）＝f（ ）＜f（ ）， 故D错误. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. y＝tan x B. y＝x－1 C. y＝x3 D. y＝ln｜x｜ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　由正切函数的图象性质：y＝tan x关于原点对称，但没有对称 轴，不符合；由幂函数的图象性质：y＝x－1关于原点和y＝±x对称，符 合；由幂函数的图象性质：y＝x3关于原点对称，但没有对称轴，不符 合；由ln｜－x｜＝ln｜x｜，即y＝ln｜x｜关于y轴对称，但没有对称中 心，不符合.故选B. 高中总复习·数学 目 录 2. 〔一题多解〕已知函数y＝f（x＋2）－3是奇函数，且f（4）＝2，则f （0）＝（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 √ 解析： 　法一　由y＝f（x＋2）－3是奇函数，∴f（－x＋2）－3＝－f （x＋2）＋3，令x＝2，f（0）－3＝－f（4）＋3，得f（0）＝4. 法二　由y＝f（x＋2）－3是奇函数，得f（x）关于点（2，3）对称，故 f（0）＋f（4）＝6，即f（0）＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 已知函数f（x）＝ ，则函数f（x）的图象的对称中心的坐标为 （　　） A. （－1，－3） B. （－1，3） C. （－1，－2） D. （－1，2） √ 解析： 　因为f（－1＋x）＋f（－1－x）＝ ＋ ＝ － ＝－4，所以函数f（x）的图象关于点（－1，－2） 对称.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. （2025·广东湛江一模）已知函数y＝f（1－x）的图象与函数y＝f（2 ＋x）的图象关于直线x＝m对称，则m＝（　　） A. 3 B. C. －1 D. － √ 解析： 　设点P（x，y）在函数y＝f（1－x）的图象上，点P关于直 线x＝m的对称点为Q（x'，y'），则 则 即y' ＝f（1－2m＋x'），即y＝f（1－2m＋x）与y＝f（1－x）关于直线x＝ m对称，则1－2m＝2，得m＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当 x≥1时，f（x）＝2x－1，则（　　） A. f（ ）＜f（ ）＜f（ ） B. f（ ）＜f（ ）＜f（ ） C. f（ ）＜f（ ）＜f（ ） D. f（ ）＜f（ ）＜f（ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题意知，函数f（x）的图象的对称轴方程是x＝1，∴f（ ） ＝f（ ），又当x≥1时，f（x）＝2x－1，则函数f（x）在[1，＋∞） 上单调递增，由f（x）的对称性知f（x）在（－∞，1）上单调递减.∵ ＜ ＜ ，∴f（ ）＜f（ ）＜f（ ），故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕（2026·江苏盐城模拟）已知非常数函数f（x）为R上的奇函 数，g（x）＝f（x＋1）为偶函数，下列说法正确的有（　　） A. f（x）的图象关于直线x＝－1对称 B. g（2 025）＝0 C. g（x）的最小正周期为4 D. 对任意x∈R都有f（2－x）＝f（x） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为f（x）为R上的奇函数，且g（x）＝f（x＋1）为偶函 数，所以f（x）关于点（0，0）中心对称，且关于直线x＝1对称，所以 直线x＝－1也是对称轴，所以f（x）的图象关于直线x＝－1对称，所以f （x）＝f（2－x），A、D正确；由A分析知f（x）＝f（2－x）＝－f （－x），故f（2＋x）＝－f（x），所以f（4＋x）＝－f（2＋x）＝f （x），所以f（x）是一个周期为4的周期函数，则g（2 025）＝f（2 026）＝f（2）＝f（0）＝0，B正确；不能说明g（x）的最小正周期为 4，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. （2025·江苏南通一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f （－x）＝4x2＋2，设g（x）＝f（x）－2x2，若g（x）的最大值和最小 值分别为M和m，则M＋m＝ ⁠. 解析：由g（x）＝f （x）－2x2，那么g（－x）＝f （－x）－2x2，两式 相加，可得g（－x）＋g（x）＝2，故g（x）的图象关于点（0，1）对 称，其最大值和最小值也关于点（0，1）对称，所以M＋m＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 设函数f（x）＝ 若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f （1－x）成立，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋ 2x的图象，如图所示.若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f （1－x），则f（x）的图象上存在两个关于直线x＝1对 称的点（两点均不在直线x＝1上），则a＞1. （1，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解： f（x）的图象关于直线x＝2对称.证明如下： 由｜x－2｜＞0，得x≠2，所以f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2， ＋∞）. 因为f（2－x）＝log2｜x｜＋（2－x）2－4（2－x）＝log2｜x｜＋x2－4， f（2＋x）＝log2｜x｜＋（2＋x）2－4（2＋x）＝log2｜x｜＋x2－4， 所以f（2＋x）＝f（2－x）， 所以f（x）的图象关于直线x＝2对称. 9. （13分）（2026·河北沧州模拟）已知函数f（x）＝log2｜x－2｜＋x2 －4x. （1）判断并证明函数f（x）的对称性； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）求f（x）的单调区间. 解： 设y1＝log2｜x－2｜，y2＝x2－4x， 当x＞2时，y1＝log2｜x－2｜＝log2（x－2）单调递增，y2＝x2－4x也单 调递增， 故f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x在（2，＋∞）上单调递增. 又f（x）的图象关于直线x＝2对称， 故f（x）的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. （2026·海南海口调研）已知函数f（x）的定义域为R，f（x＋ ）为 偶函数，f（2－x）＋f（x）＝0，f（ ）＝－ ，则f（ ）＝（　　） A. B. C. 0 D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为f（x＋ ）为偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝ 对 称，又f（2－x）＋f（x）＝0，所以f（x）的图象关于点（1，0）对 称，故函数f（x）的周期为4×（1－ ）＝2，故f（ ）＝f（ ＋4）＝f （ ），故f（ ）＝－f（ ）＝－f（ ）＝ ，故f（ ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. （2026·四川雅安诊断）已知函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞）， ∀x∈R，f（ ＋x）＝f（ －x）恒成立.当x2＞x1≥1时，[f（x2）－f （x1）]·（x2－x1）＞0，f（0）＝－f（2），则不等式f（x）（x2＋2x ＋3）＞0的解集为（　　） A. （－∞，0）∪（2，＋∞） B. （0，2） C. （－∞，0）∪（1，2） D. （0，1）∪（2，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为f（ ＋x）＝f（ －x），所以f（x）的图象关于直线x ＝ ＝1对称，所以f（0）＝f（2），又因为f（0）＝－f（2）， 所以f（0）＝f（2）＝0.因为当x2＞x1≥1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－ x1）＞0，所以f（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞， 1）上单调递减.因为x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2＞0，所以f（x）（x2＋ 2x＋3）＞0等价于f（x）＞0.当x≥1时，f（x）＞0＝f（2），结合单 调性可知x＞2；当x＜1时，f（x）＞0＝f（0），结合单调性可知x＜0. 故f（x）（x2＋2x＋3）＞0的解集为（－∞，0）∪（2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕（2025·浙江杭州调考）已知定义域为R的函数f（x）在（－ 1，0]上单调递增，f（1＋x）＝f（1－x），且图象关于点（2，0）对 称，则（　　） A. f（0）＝f（－2） B. f（x）的周期T＝2 C. f（x）在（2，3）上单调递减 D. f（x）满足f（2 025）＞f（2 026）＞f（2 027） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由f（1＋x）＝f（1－x），可得f（x）图象的对称轴方程为 x＝1，所以f（0）＝f（2），又由函数f（x）的图象关于点（2，0）对 称，可得f（x）的周期为4，所以f（－2）＝f（2），所以f（0）＝f（－ 2），故A正确.因为f（x）在（－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f （x）在（3，4]上单调递增，又f（x）的图象关于点（2，0）对称，所 以f（x）在[0，1）上单调递增，因为f（x）的图象关于直线x＝1对称， 所以f（x）在（1，2]上单调递减，则函数f（x）在（2，3）上单调递 减，故f（x）的最小正周期为4，故B错误，C正确.根据f（x）的周期为 4，可得f（2 025）＝f（1），f（2 026）＝f（2），f（2 027）＝f（3）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（2）＝f（0）且f（3）＝f（－1），即f（2 025）＝f（1），f（2 026）＝f（0），f（2 027）＝f（－1），又函数f（x）在[0，1）上单调递增，在（－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f（－1）＝f（1）＝0，则f（2 025）＞f（2 026）＞f（2 027）不成立，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 已知函数y＝f（x）－1是奇函数，若曲线y＝1＋ 与曲线y＝f（x） 共有6个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则 （xi＋yi）＝ ⁠. 解析：∵y＝f（x）－1为奇函数，∴y＝f（x）的图象关于点（0，1）对 称.又y＝1＋ 的图象关于点（0，1）对称，∴x1＋x2＋…＋x6＝0，y1＋ y2＋…＋y6＝3×2＝6，∴ （xi＋yi）＝（x1＋x2＋…＋x6）＋（y1＋y2 ＋…＋y6）＝6. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）对于定义在R上的函数f（x），可以证明“点A（m，n） 是f（x）的图象的一个对称中心”的充要条件是“f（m－x）＋f（m＋ x）＝2n，x∈R”. （1）求函数f（x）＝x3＋3x2的图象的一个对称中心； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解：设A（m，n）为函数f（x）＝x3＋3x2的图象的一个对称中心， 则f（m－x）＋f（m＋x）＝2n对于x∈R恒成立， 即（m－x）3＋3（m－x）2＋（m＋x）3＋3（m＋x）2＝2n对x∈R恒成 立，所以（6m＋6）x2＋（2m3＋6m2－2n）＝0. 由 解得 故函数f（x）的图象的一个对称中心为点（－1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）函数f（x）＝ax3＋（b－2）x2（a≤0，b∈R）在R上是奇函数， 求a，b满足的条件，并讨论在区间[－1，1]上是否存在常数a，使得f （x）≥－x2＋4x－2恒成立. 解： 由f（x）是奇函数，知b＝2. 不存在常数a（a≤0）使f（x）≥－x2＋4x－2对任意的x∈[－1，1]恒 成立，理由如下： 依题意，此时f（x）＝ax3，令g（x）＝－x2＋4x－2，x∈[－1，1]， 所以g（x）∈[－7，1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 若a＝0，f（x）＝0，不符合题意； 若a＜0，f（x）＝ax3在区间[－1，1]上单调递减， f（x）min＝a，若存在a使f（x）≥－x2＋4x－2对任意的x∈[－1，1]恒 成立，则a≥1，与a＜0矛盾，不符合题意. 综上可知，符合条件的a不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新设问〕〔多选〕已知对于任意非零实数x，函数f（x）均满足f （x）＝f（ ），f（x）＝2－f（ ），下列结论正确的有（　　） A. f（1）＝1 B. f（2x）的图象关于点（0，1）中心对称 C. f（2x）的图象关于直线x＝1轴对称 D. f（2）＋f（22）＋f（23）＋…＋f（210）＝10 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　A对，对于f（x）＝2－f（ ），令x ＝1，得f（1）＝2－f（1），所以f（1）＝1.B 对，由f（x）＝2－f（ ）可得，f（x）＋f（ ） ＝2，则f（2x）＋f（2－x）＝2，所以f（2x）的图象关于点（0，1）中心对称.C错，由f（x）＝f（ ）可得f（2x）＝f（21－x），所以f（2x）的图象关于直线x＝ 轴对称.D对，令g（x）＝f（2x），则g（x）的图象关于点（0，1）中心对称，且关于直线x＝ 轴对称，由f（1）＝1可得， g（0）＝1，结合g（x）图象的对称性可得g（1）＝g（2）＝g（3）＝…＝g（10）＝1，如图，所以f（2）＋f（22）＋f（23）＋…＋f（210）＝10.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $