第1章 第6节 一元二次不等式及其解法-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦一元二次不等式及其解法专题，依据课标要求覆盖不等式求解、三个“二次”关系、分式与绝对值不等式、恒成立问题等核心考点，通过知识梳理表、考向分类解析对接高考评价体系，明确含参不等式解法、恒成立问题等高频考点权重，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+分层突破+素养落地”，如以2025全国Ⅱ卷分式不等式题为例，示范等价转化技巧，培养数学思维中的推理能力。通过含参不等式分类讨论、恒成立问题参数分离法构建解题模型，提升数学语言表达能力。课时跟踪检测含各地模拟题，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，高效冲刺高考。

第6节　一元二次不等式及其解法 课标要求 1. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 2. 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 3. 了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 目录/ CONTENTS 夯实必备知识 01 研透核心考点 02 课时跟踪检测 03 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 ⁠的不 等式，称为一元二次不等式. 提醒：对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2　 高中总复习·数学 目 录 2. 三个“二次”的对应关系 判别式Δ＝b2－ 4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实 数根x1＝x2＝－ 没有实 数根 高中总复习·数学 目 录 判别式Δ＝b2－ 4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x ＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 高中总复习·数学 目 录 1. 分式不等式的解法 （1） ＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2） ≥0（≤0）⇔ 2. ｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式. （　×　） （2） ≥0等价于（x－a）（x－b）≥0. （　×　） （3）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0. （　√　） （4）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c ＞0（a＜0）的解集为R. （　×　） × × √ × 高中总复习·数学 目 录 2. 不等式（x－2）（3－2x）≥0的解集为（　　） A. （ ，＋∞） B. ［ ，2］ C. [2，＋∞） D. （－∞， ］ √ 解析： 　由（x－2）（3－2x）≥0，得（x－2）（2x－3）≤0，解得 ≤x≤2，故原不等式的解集为［ ，2］. 高中总复习·数学 目 录 3. 若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－ ＜x＜ }，则a－b＝ （　　） A. －10 B. －14 C. 10 D. 14 √ 解析： 　由题意知x1＝－ ，x2＝ 是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根， ∴ 解得 ∴a－b＝－10. 高中总复习·数学 目 录 4. 不等式｜5－2x｜＜9的解集为 ⁠. 解析：｜5－2x｜＜9，即｜2x－5｜＜9，即－9＜2x－5＜9，解得－2＜x ＜7. 5. 若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围 为 ⁠. 解析：由题意得Δ＝4a2－4×18＜0，解得－3 ＜a＜3 . （－2，7）　 （－3 ，3 ）　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 一元二次不等式的解法（定向精析突破） 考向1　不含参一元二次不等式的解法 〔多选〕下列选项中，正确的是（　　） A. 不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1} B. 不等式 ≤1的解集为{x｜－3≤x＜2} C. 不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3} D. 不等式 －x≤1的解集为{x｜0≤x≤2} √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等 式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故A错误；因为 － 1≤0，即 ≤0，即（x＋3）（x－2）≤0（x－2≠0），解得－3≤x＜ 2，所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜2}，故B正确；由｜x－2｜≥1，可 得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x｜ x≤1或x≥3}，故C错误；原不等式等价于 上述 不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}，即原不等式的解集 为{x｜0≤x≤2}，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 1. 可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不 等式的解集. 2. 分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进 行限制，转化为不等式组. 高中总复习·数学 目 录 考向2　含参一元二次不等式的解法 已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞ －ax－1. 解：不等式f（x）＞－ax－1可化为ax2＋（a＋3）x＋3＞0，即（ax＋ 3）（x＋1）＞0. 因为a＞0，所以当－ ＜－1，即0＜a＜3时，原不等式的解集为{x｜x＜ － 或x＞－1}； 当－ ＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x｜x≠－1}； 当－ ＞－1，即a＞3时，原不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞－ }. 高中总复习·数学 目 录 解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论 两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是 ⁠ ⁠； 解析：原不等式等价于 即 由 ①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）（x－1） ≤0，所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x ＜－2或0＜x≤1}. {x｜－3≤x＜－2或0＜ x≤1}　 高中总复习·数学 目 录 ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时， 方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝ ， 所以原不等式的解集为{x｜ ≤x≤ }. ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2. 当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0， 即（x－1）2≤0，所以x＝1； （2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 解：由题意知，Δ＝a2－4， 高中总复习·数学 目 录 当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0， 即（x＋1）2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为{x｜ ≤x≤ }；当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 高中总复习·数学 目 录 三个二次之间的关系（师生共研过关） 〔多选〕（2026·海南华侨中学考试）已知关于x的一元二次不等式 ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥1}，则（　　） A. a＜0 B. cx＋b＞0的解集是{x｜x＜ } C. a－b＋c＜0 D. cx2＋bx＋a≤0的解集为{x｜－ ≤x≤1} √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题知，a＜0，且－ ＝－2＋1＝－1， ＝－2×1＝－2，即 b＝a，c＝－2a，故A正确；由cx＋b＞0可得－2ax＋a＞0，即2x－1＞ 0，所以x＞ ，故B错误；a－b＋c＝－2a＞0，故C错误；由cx2＋bx＋ a≤0可得－2ax2＋ax＋a≤0，所以2x2－x－1≤0，解得－ ≤x≤1，故D 正确.故选A、D. 高中总复习·数学 目 录 “三个二次”之间的关系及其应用 （1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次 不等式解集的端点值； （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开 口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－ cx＋3≤0的解集为（　D　） A. （－∞，－1] B. （－∞，－3]∪[1，＋∞） C. [3，＋∞） D. （－∞，－1]∪[3，＋∞） D 解析： 根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋ bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则 bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋ 1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式的解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2026·山东枣庄调研）已知关于x的不等式（x＋2）（x －4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则（　ABD　） A. x1＋x2＝2 B. x1x2＜－8 C. －2＜x1＜x2＜4 D. x2－x1＞6 ABD 解析： 因为关于x的不等式（x＋2）·（x－4）＋a＜0（a＜0）的 解集是（x1，x2）（x1＜x2），所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a ＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，故A正确；x1x2＝a－8＜－8，故B正确； x2－x1＝ ＝2 ＞6，故D正确；由x2－x1＞6， x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故C错误.故选A、B、D. 高中总复习·数学 目 录 一元二次不等式恒成立问题（师生共研过关） 教材母题：〔人A必修一P58复习参考题6题改编〕当k取什么值时，不等 式2kx2＋kx－ ＜0对一切实数x都成立？ 解：当k＝0时，不等式显然成立， 当k＞0时，二次函数y＝2kx2＋kx－ 开口向上，2kx2＋kx－ ＜0不可能 对一切实数x都成立. 当k＜0时，若一元二次不等式2kx2＋kx－ ＜0对一切实数x都成立，则Δ ＜0，即k2＋3k＜0（k＜0），解得－3＜k＜0. 综上，当－3＜k≤0时，不等式2kx2＋kx－ ＜0对一切实数x都成立. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立满足的条件： （1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ 或 （2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 或 高中总复习·数学 目 录 变式1 若不等式2kx2＋kx－ ＜0，其对x∈[1，2]恒成立，则实数k的取值 范围为 ；其在x∈[1，2]上有解，则实数k的取值范围 为 ⁠. （－∞， ）　 （－∞， ）　 解析：不等式2kx2＋kx－ ＜0对x∈[1，2]恒成立，即k（2x2＋x）－ ＜ 0对x∈[1，2]恒成立，即k＜ 对x∈[1，2]恒成立⇔k＜ （ ）min，易知f（x）＝ 在x∈[1，2]上单调递 减，f（x）min＝ ，即k＜ .在x∈[1，2]上有解，即k＜f（x）max， 又f（x）max＝ ，即k＜ . 高中总复习·数学 目 录 变式2 若不等式2kx2＋kx－ ＜0对任意0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范 围为（　　） A. （－ ， ） B. （－ ， ） C. （－ ， ） D. （－ ， ） √ 解析： 　若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则（2x2＋x）k－ ＜0，即 解得－ ＜x＜ . 高中总复习·数学 目 录 变式3 若恰有一个整数x使得不等式2kx2＋kx－ ＜0成立，则实数k的取值 范围为 ⁠. 解析：若恰有一个整数x使得不等式成立，则k＞0，因为－ ＜0，且f （x）＝2kx2＋kx－ 图象的对称轴为直线x＝－ ＝－ ，所以该整数解 为x＝0，结合二次函数f（x）＝2kx2＋kx－ （k＞0）的图象，可得 即 解得k≥ . ［ ，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给 定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 高中总复习·数学 目 录 训练3 （1）若不等式mx2－4mx＋3≠0对任意实数x均成立，则实数m的 取值范围是（　B　） A. （0， ） B. ［0， ） C. （0， ） D. ［0， ） 解析： ①当m＝0时，3≠0恒成立，满足条件.②当m≠0时，则Δ＝ 16m2－12m＜0，解得0＜m＜ .综上，实数m的取值范围是0≤m＜ . B 高中总复习·数学 目 录 （2）已知∀x∈[1，2]，∀y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值 范围为 ⁠. 解析： 因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，则 ∈［ ，1］，所以 ∈[1，3]，又y2－xy－mx2≤0，可得m≥（ ）2－ ，令t＝ ∈[1，3]， 则∀t∈[1，3]，m≥t2－t，即只需m≥（t2－t）max，t2－t＝（t－ ）2 － ，当t＝3时，t2－t取到最大值，（t2－t）max＝9－3＝6，所以实数m 的取值范围是[6，＋∞）. [6，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：91分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2025·全国Ⅱ卷4题）不等式 ≥2的解集是（　　） A. {x｜－2≤x≤1} B. {x｜x≤－2} C. {x｜－2≤x＜1} D. {x｜x＞1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　由 ≥2，得 ≥0，得 ≤0，得 得－2≤x＜1.故选C. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·福建泉州月考）设x∈R，使得不等式x2－2x－8＜0成立的一个 充分不必要条件是（　　） A. －2＜x＜4 B. x＞－2 C. 2≤x≤3 D. x＜4 √ 解析： 　由x2－2x－8＜0即（x＋2）（x－4）＜0，解得－2＜x＜4.对 比选项，只有{x｜2≤x≤3}是{x｜－2＜x＜4}的真子集，可知不等式x2 －2x－8＜0成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（　　） A. （－∞，0）∪（0， ） B. （－∞， ） C. （ ，＋∞） D. （0， ） √ 解析： 　由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所 以0＜x＜ ；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0.综 上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. 不等式（x2－2x－3）（x2＋4x＋4）＜0的解集是（　　） A. {x｜x＜－1或x＞3} B. {x｜－1＜x＜2或2＜x＜3} C. {x｜－1＜x＜3} D. {x｜－2＜x＜3} √ 解析： 　（x2－2x－3）（x2＋4x＋4）＜0可化为（x－3）（x＋1） （x＋2）2＜0，当x＝－2时，不等式显然不成立；当x≠－2时，（x＋ 2）2＞0，所以原不等式等价于（x－3）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜3. 综上，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜ x2}，且x2－x1＝15，则a的值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. √ 解析： 　由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0（a＞0）的实数 根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2 －x1＝15，所以152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解 得a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正 确的是（　　） A. 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4} B. 当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－ } C. 当a＜0时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜4} D. 当a＝－ 时，不等式的解集为⌀ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确； 由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当 即a＜－ 时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜4}；当 即－ ＜a ＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－ }；当a＝－ 时，－ ＝4，此时 不等式的解集为⌀，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为 ⁠. 解析：由1≤｜2x－1｜＜2得，－2＜2x－1≤－1或1≤2x－1＜2，解得－ ＜x≤0或1≤x＜ . （－ ，0］∪［1， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 若不等式（a2－4）x2＋（a＋2）x－1≥0的解集是空集，则实数a的取 值范围为 ⁠. 解析：当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－ 1≥0，此式不成立，解集为空集.当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空 集，则有 解得－2＜a＜ .综上，实 数a的取值范围是［－2， ）. ［－2， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （10分）若a＜3，求关于x的不等式ax2－3x＋2＞ax－1的解集. 解：ax2－3x＋2＞ax－1⇒ax2－（a＋3）x＋3＞0⇒（ax－3）（x－1） ＞0， 当a＝0时，不等式化为x－1＜0，不等式的解集为{x｜x＜1}； 当a＜0时，不等式化为（x－ ）（x－1）＜0，不等式的解集为{x｜ ＜x＜1}； 当0＜a＜3时， ＞1，不等式化为（x－ ）（x－1）＞0，不等式的解集 为{x｜x＜1或x＞ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 综上，当a＜0时，不等式的解集为{x｜ ＜x＜1}；当a＝0时，不等式的 解集为{x｜x＜1}； 当0＜a＜3时，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. 当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是 （　　） A. [－1，3] B. （－∞，－1] C. [3，＋∞） D. （－∞，－1）∪（3，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 　不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0， 令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），则 ∴x＜－1或x＞3. 高中总复习·数学 目 录 11. （2026·江西南昌模拟）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积 为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均 匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过 容积的75%，则V的取值范围为（　　） A. （5，10] B. （5，15] C. （5，20] D. （5，30] √ 解析： 　第一次稀释后，药液浓度为 ，第二次稀释后，药液浓度为 ＝ ，依题意有 ≤75%，即V2－32V＋60≤0，解得 2≤V≤30，又V－5＞0，即V＞5，所以5＜V≤30.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则 实数m的取值范围为（　　） A. （6，7] B. [－3，－2） C. [－3，－2）∪（6，7] D. [－3，7] √ 解析： 　不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当 m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个 整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为⌀，此时 不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有 4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m 的取值范围为[－3，－2）∪（6，7].故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 若函数f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，则实数a的最小值为 ⁠. 8　 解析：因为a＞0，所以二次函数f（x）＝ax2＋20x＋14的图象开口向上. 在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f （x2）｜≥8成立，只需t＝－ 时，f（t＋1）－f（t）≥8，即a（t＋ 1）2＋20（t＋1）＋14－（at2＋20t＋14）≥8，整理得2at＋a＋20≥8， 将t＝－ 代入解得a≥8.所以a的最小值为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）设函数f（x）＝ax2＋bx＋3，关于x的一元二次不等式f （x）＞0的解集为（－3，1）. （1）求不等式x2＋ax＋b＞0的解集； 解： 因为一元二次不等式f（x）＞0的解集为（－3，1）， 所以－3和1是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，则 解得 因此所求不等式即为x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2，故所求不等式的 解集为{x｜x＜－1或x＞2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）若∀x∈[－1，3]，f（x）≥mx2，求实数m的取值范围. 解：f（x）≥mx2可化为（m＋1）x2≤－2x＋3，当x＝0时显然成立； 当x≠0时，不等式可化为m＋1≤－ ＋3（ ）2对∀x∈[－1，0）∪ （0，3]恒成立， 令t＝ ∈（－∞，－1]∪［ ，＋∞），则m＋1≤－2t＋3t2， 当t＝ ，即x＝3时，（－2t＋3t2）min＝－ ， 所以m＋1≤－ ，即m≤－ . 故实数m的取值范围为（－∞，－ ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新设问〕已知函数f（x）＝x｜x－a｜－2a2.若当x＞2时，f （x）＞0，则实数a的取值范围是（　　） A. （－∞，1] B. [－2，1] C. [－1，2] D. [－1，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝ 若a＞ 2，当2＜x＜a时，f（x）＝－x2＋ax－2a2，此时关于x的方程－x2＋ax －2a2＝0的Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f（x）＜0，不符合题意；若 0＜a≤2，当x＞2时，由f（x）＝x2－ax－2a2＝（x－2a）（x＋a）＞ 0，解得x＞2a，则2a≤2，即0＜a≤1；若a＝0，当x＞2时，f（x）＝ x2＞0恒成立，符合题意；若a＜0，当x＞2时，由f（x）＝x2－ax－2a2 ＝（x－2a）·（x＋a）＞0，解得x＞－a，则－a≤2，即－2≤a＜0.综 上，－2≤a≤1，故a的取值范围是[－2，1].　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $