第1章 第5节 基本不等式的综合应用-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式的综合应用”专题，依据课标要求梳理了变形应用、恒（能）成立问题、跨知识交汇最值三大核心考点，通过分析近五年高考真题明确不等式链应用、参数范围求解、跨学科综合等高频考点分布，归纳选择、填空、解答典型题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“母题溯源+真题演练+多法突破”策略，如以教材几何母题延伸不等式链证明，结合2026浙江联考恒成立问题展示分离参数法，培养学生数学思维（推理、运算）与数学语言（模型应用）。特设规律方法总结与易错警示，助力学生掌握解题技巧，教师可据此高效指导复习。

第5节　基本不等式的综合应用 课标要求 1. 掌握基本不等式及其常见变形. 2. 会求与基本不等式有关的恒（能）成立问题. 3. 掌握基本不等式在其他知识中的应用. 基本不等式的变形应用（师生共研过关） 教材母题：〔人A必修一P45探究〕如图，AB是圆的直径， 点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB 的弦DE，连接AD，BD. 你能利用这个图形，得出基本 不等式的几何解释吗？ 解：可证△ACD∽△DCB，因而CD＝ . 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 ≤ . 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立. 高中总复习·数学 变式 如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O 于点C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于点E，连接OE，CD，过点 D作OE的垂线，垂足为点F. 试研究线段CD，OC，DE，EF与代数式 ， ， ， 之间的关系，并据此推测它们之间的一个大 小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？ 高中总复习·数学 解：OC＝ ，CD＝ ＝ ＝ ，由教材母题知DE＝ ，在△ODE中，由等面积法得DF＝ ＝ ，又由△EFD∽△DFO，得EF＝ ＝ .由图形易知EF＜DE＜OC＜CD. 故 ≤ ≤ ≤ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立. 高中总复习·数学 利用基本不等式证明如下： 由 ＝ ，所以即证 ≤ ，即证 ≤1，即证2 ≤a＋ b，即证 ≤ ，显然上式成立.所以 ≤ ≤ （当且仅当a ＝b时取等号）. 高中总复习·数学 要证 ≤ ，即证（ ）2≤ ，即证 ≤ ，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证 （a－b）2≥0，显然上式成立.所以 ≤ （当且仅当a＝b时取 等号）. 综上可得，若实数a＞0，b＞0，则有 ≤ ≤ ≤ 成 立，当且仅当a＝b时取等号. 高中总复习·数学 　　若实数a＞0，b＞0，则有 ≤ ≤ ≤ ，当且仅当a ＝b时取等号.其中， 叫做正实数a，b的调和平均数， 叫做正实 数a，b的几何平均数， 叫做正实数a，b的算术平均数， 叫 做正实数a，b的平方平均数. 高中总复习·数学 训练1 〔多选〕已知a，b∈R，则下列不等式成立的是（　　） A. ≥ B. ≤ C. ≤ D. ab≤ √ √ 高中总复习·数学 解析： 　A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不 等式可知 ≥ 恒成立，当a＜0且b＜0时， ＜0， ＞0，该 不等式不成立，故A选项错误；B选项，当a＋b＞0时， ＞0，则 （ ）2－（ ）2＝ ＝ ≤0恒成立， 即 ≤ 恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； 高中总复习·数学 C选项，当a＋b＞0时，2ab－ ＝ ≤0，即 2ab≤ ， ≤ 恒成立，当a＋b＜0时，2ab－ ＝ ≤0，即2ab≤ ， ≥ ，故C选项错误；D选 项，ab－ ＝ ＝ ≤0，ab≤ 恒成立，故D 选项正确. 高中总复习·数学 与基本不等式有关的恒（能）成立问题（师生共研过关） 已知a＞0，b＞0，若不等式 ≤ 恒成立，则m的最大值为 （　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 √ 高中总复习·数学 解析： 　因为a＞0，b＞0， ≤ 恒成立，即m≤ ＝ ＝ ＋ ＋2恒成立，即m≤（ ＋ ＋2）min，又因为 ＋ ＋ 2≥2 ＋2＝4，当且仅当 ＝ ，即a＝b时取等号，所以m≤4，所以 m的最大值为4. 高中总复习·数学 　　对于不等式恒（能）成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用 基本不等式求最值. 训练2 若两个正实数x，y满足 ＋ ＝2，且不等式x＋ ＜m2－m有解， 则实数m的取值范围为 ⁠. （－∞，－1）∪（2，＋∞）　 高中总复习·数学 解析：由 ＋ ＝2，则x＋ ＝ （ ＋ ）（x＋ ）＝ （2＋ ＋ ） ≥ （2＋2 ）＝2，当且仅当 ＝ ，即y＝4x＝4时取等号，由不 等式x＋ ＜m2－m有解，得m2－m＞2，解得m＜－1或m＞2，所以实数 m的取值范围是（－∞，－1）∪（2，＋∞）. 高中总复习·数学 基本不等式与其他知识交汇的最值问题（师生共研过关） 〔一题多解〕在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋ （x＞0） 上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是 ⁠. 解析：法一　由题意可设P（x0，x0＋ ）（x0＞0），则点P到直线x＋ y＝0的距离d＝ ＝ ≥ ＝4，当且仅当2x0 ＝ ，即x0＝ 时取等号.故所求最小值是4. 4　 高中总复习·数学 法二　设P（x0， ＋x0）（x0＞0），则曲线在点P处的切线的斜率为k ＝1－ .令1－ ＝－1，结合x0＞0得x0＝ ，∴P（ ，3 ），曲 线y＝x＋ （x＞0）上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到 直线x＋y＝0的距离，故dmin＝ ＝4. 高中总复习·数学 　　基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角函数、解三角 形、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定 义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 训练3 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c 成等差数列，则 sin B的取值范围是 ⁠. （0， ］　 高中总复习·数学 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以 cos B＝ ＝ ＝ .因为a2＋c2≥2ac，当且 仅当a＝c时取等号，所以3（a2＋c2）－2ac≥4ac＞0，所以 cos B＝ ≥ ＝ .又y＝ cos x在区间（0，π）上单调递减，所以0 ＜B≤ ，所以0＜ sin B≤ . 高中总复习·数学 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：78分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1. 已知p：a＞b＞0，q： ＞（ ）2，则p是q成立的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 高中总复习·数学 解析： 　∵a＞b＞0，则a2＋b2＞2ab，∴2（a2＋b2）＞a2＋b2＋ 2ab，∴2（a2＋b2）＞（a＋b）2，∴ ＞（ ）2，∴由p可推 出q；当a＜0，b＜0时，q也成立，如a＝－1，b＝－3时， ＝5＞ （ ）2＝4，∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 2. 已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则 ＋ 的最大值为（　　） A. B. C. 2 D. 2 √ 解析： 　因为x＞0，y＞0，3x＋2y＝10，所以 ≤ ＝ ，当且仅当3x＝2y，即x＝ ，y＝ 时，等号成立，所以 ＋ 的最大值为2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 3. 设a＞0，b＞0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则 ＋ 的最小值 为（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 √ 解析： 　∵ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，∴2ln ＝ln 3a＋ln 9b，即 ln 3＝ln（3a·9b）＝ln 3a＋2b＝（a＋2b）ln 3，∴a＋2b＝1，又a＞0，b ＞0，∴ ＋ ＝（ ＋ ）（a＋2b）＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且 仅当 ＝ ，即a＝ ，b＝ 时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 4. （2025·湖南衡阳一模）若a＞b＞1，x＝ln ，y＝ （ln a＋ln b），z＝ ，则（　　） A. x＜z＜y B. y＜z＜x C. z＜x＜y D. z＜y＜x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 解析： 　由x＝ln ，y＝ （ln a＋ln b）＝ln ，z＝ ， 而a＞b＞1，则ln a＞ln b＞0，所以 （ln a＋ln b）＞ ，即y＞ z，由 ＞ ，则ln ＞ln ，即x＞y，综上，x＞y＞z.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 5. （2026·浙江湖州多校联考）已知正实数x，y满足3x＋y＝1，若不等 式 ＋ ≤m有解，则实数m的取值范围是（　　） A. （－∞，2 ] B. （－∞，2 ＋1] C. [2 ，＋∞） D. [2 ＋1，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 解析： 　因为正实数x，y满足3x＋y＝1，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋1≥2 ＋1＝2 ＋1，当且仅当 ＝ ，即x＝ ，y＝ 时取等号，所以 ＋ 的最小值为2 ＋1.因为不等式 ＋ ≤m有解，所 以m≥2 ＋1，即实数m的取值范围为{m｜m≥2 ＋1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 6. 〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　） A. 有最大值 B. ＋ 有最小值3 C. a2＋b2有最小值 D. ＋ 有最大值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 解析： 　对于A，由基本不等式可得 ≤ ＝ ，当且仅当a＝b ＝ 时，等号成立，A正确；对于B，由 ≤ ＝ ＝ ，得 ＋ ≥ ， 当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a ＝b＝ 时，等号成立，B错误；对于C，由 ≥ ＝ ，得a2＋ b2≥ ，当且仅当a＝b＝ 时，等号成立，C正确；对于D，由 ≤ ＝ ，得 ＋ ≤ ，当且仅当a＝b＝ 时，等号成立，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 7. （2026·浙江绍兴模拟）原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0（λ∈R）的 距离的最大值为 ⁠. 解析：设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得d＝ ＝ ＝ ，显然当λ＜0时，有最大值，此时－ ＝ ，因为（－λ）＋（－ ）≥2 ＝2， 当且仅当λ＝－1时，等号成立，所以 ≤ ＝1，所以dmax ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 8. 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值 为 ⁠. 解析：由题意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以 （1＋x）（1＋2y）≤［ ］2＝9，当且仅当1＋x＝1＋ 2y，即x＝2，y＝1时取等号. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 9. （13分）已知正实数x，y满足等式 ＋ ＝2. （1）求xy的最小值； 解： 由题知2＝ ＋ ≥2 ， 即xy≥3，当且仅当 ＝ ，即x＝1，y＝3时，等号成立，所以xy的最小 值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 （2）若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围. 解： 3x＋y＝ （3x＋y）（ ＋ ） ＝ （6＋ ＋ ）≥ （6＋2 ）＝6， 当且仅当 ＝ ，即x＝1，y＝3时，等号成立. 即（3x＋y）min＝6. 所以m2－m≤6，解得－2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是[－2，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 10. （2026·四川德阳模拟）设双曲线 － ＝1（a＞0）的离心率为 e，则当e2＋a2取最小值时，e＝（　　） A. B. 2 √ C. D. 3 解析： 　双曲线 － ＝1（a＞0）的离心率为e＝ ，e2＋a2＝ ＋a2＝2＋ ＋a2≥2＋2 ＝4，当且仅当 ＝a2，即a＝1时取 等号，此时e＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 11. 〔一题多解〕已知a＞0，b＞0，且ab＝1，不等式 ＋ ＋ ≥4恒 成立，则正实数m的取值范围是（　　） A. {m｜m≥2} B. {m｜m≥4} C. {m｜m≥6} D. {m｜m≥8} √ 解析： 　法一　由题设得m≥4（a＋b）－（ ＋ ）（a＋b）＝4（a ＋b）－（a＋b）2恒成立，而4（a＋b）－（a＋b）2＝4－（a＋b－ 2）2，又a＋b≥2 ＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以4（a ＋b）－（a＋b）2≤4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m≥4.故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 法二　不等式 ＋ ＋ ≥4恒成立，即 ＋ ≥4恒成立，即a＋ b＋ ≥4恒成立，而a＋b＋ ≥2 ，当且仅当a＋b＝ ，即 （a＋b）2＝m时取等号，故2 ≥4.又m是正实数，故m≥4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 12. 某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价 p%，第二次提价q%；乙方案第一次提价q%，第二次提价p%；丙方案第 一次提价 %，第二次提价 %，其中p＞q＞0.则经过两次提价后 哪种方案的提价幅度最大（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 解析： 　设该商品原价为a（a＞0），按甲、乙、丙三种方案两次提价 后的价格依次为y1，y2，y3，则y1＝a（1＋p%）（1＋q%），y2＝a（1 ＋q%）（1＋p%），y3＝a（1＋ %）2，因为p＞q＞0，由基本不等 式可得（1＋p%）（1＋q%）＜［ ］2＝（1＋ %）2，所以y1＝y2＜y3，故丙方案的提价幅度最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 13. 函数y＝ ＋ 的最大值为 　2 　. 解析：函数的定义域为x∈［ ， ］，由 ≤ ，得a＋ b≤2 ，则y＝ ＋ ≤2 ＝2 ，当且仅 当 ＝ ，即x＝ 时，等号成立. 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 14. （15分）设函数f（x）＝4x－a·2x＋b，且f（0）＝0，f（1）＝2. （1）求a，b的值； 解： 由题意得，f（0）＝1－a＋b＝0，f（1）＝4－2a＋b＝2，解 得a＝1，b＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 （2）若∃x∈（－∞，3]，使得f（x）＜m·2x－3成立，求实数m的取值 范围. 解： 由（1）知f（x）＝4x－2x， 所以f（x）＜m·2x－3可化为m＞2x＋3·2－x－1. 故原问题等价于∃x∈（－∞，3]，使得m＞2x＋3·2－x－1成立. 则当x∈（－∞，3]时，m＞（2x＋3·2－x－1）min， 设h（x）＝2x＋3·2－x－1，x∈（－∞，3]， 令t＝2x，则t∈（0，8]，设p（t）＝t＋ －1，t∈（0，8]， 则p（t）≥2 －1，当且仅当t＝ 时取等号，所以当t＝ 时，p （t）即h（x）取得最小值2 －1，所以m＞2 －1. 故实数m的取值范围是（2 －1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 15. 〔创新设问〕〔多选〕若a＞1，b＞1，且ab＝e2，则（　　） A. 2e≤a＋b＜e2＋1 B. 0＜ln a·ln b≤1 C. 2 －1≤ln a＋logab＜2 D. aln b的最大值为e √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 解析： 　由a＞1，b＝ ＞1，得1＜a＜e2，因为函数f（a）＝a＋ b＝a＋ 在（1，e）上单调递减，在[e，e2）上单调递增，所以2e≤a＋ b＜e2＋1，故A正确；因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0＜ln a·ln b≤（ ）2＝1，当且仅当a＝b＝e时，等号成立，故B正确；ln a＋ logab＝ln a＋ ＝ln a＋ ＝ln a＋ －1，设t＝ln a∈（0，2），所 以φ（t）＝t＋ －1在（0， ）上单调递减，在[，2）上单调递增， 所以φ（t）＝t＋ －1∈[2 －1，＋∞），故C错误；设λ＝aln b，所以 ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 $