第1章 第4节 基本不等式-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求覆盖推导过程、最值问题、实际应用三大核心考点，对接高考评价体系分析得出最值求解占比60%的高频考点，归纳出配凑法、常数代换法等常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+技巧拆解+素养提升”策略，如以2025山东齐鲁名校联考“已知x+3y=2求1/x+1/y最小值”为例，用常数代换法演示“定值构造”技巧，培养数学思维与推理能力。特设“易错警示”强调“一正二定三相等”条件，提供答题模板，助力学生高效得分，教师可据此精准教学。

第4节　基本不等式 课标要求 1. 了解基本不等式的推导过程. 2. 能用基本不等式解决简单的最值问题. 3. 掌握基本不等式在实际生活中的应用. 目录/ CONTENTS 夯实必备知识 01 研透核心考点 02 课时跟踪检测 03 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 基本不等式 ≤ （1）基本不等式成立的条件是： ⁠； （2）等号成立的条件是：当且仅当 时，等号成立； （3）其中 叫做正数a，b的 平均数， 叫做正数a，b 的 平均数. a＞0，b＞0　 a＝b　 算术　 几何　 提醒：应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某 个条件，就会出错. 高中总复习·数学 目 录 2. 基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 （简 记：积定和最小）； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2 （简 记：和定积最大）. 高中总复习·数学 目 录 1. a2＋b2≥2ab；ab≤（ ）2（a，b∈R）. 2. ＋ ≥2（a，b同号）. 3. ≥（ ）2（a，b∈R）. 4. ≥ ≥ （a＞0，b＞0）. 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个不等式a2＋b2≥2ab与 ≥ 成立的条件是相同的. （　×　） （2）函数y＝x＋ 的最小值是2. （　×　） （3）已知0＜x＜1，则x（1－x）取最大值时x＝ . （　√　） （4）x，y＞0是 ＋ ≥2的充要条件. （　×　） × × √ × 高中总复习·数学 目 录 2. 已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是（　　） A. 9 B. 18 C. 9 D. 27 √ 解析： 　因为m＞0，n＞0，由基本不等式m＋n≥2 ，得m＋ n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18. 高中总复习·数学 目 录 3. 函数y＝x＋ （x≥0）的最小值为 ⁠. 解析：因为x≥0，所以x＋1＞0， ＞0，利用基本不等式得y＝x＋ ＝x＋1＋ －1≥2 －1＝1，当且仅当x＋1＝ ，即x ＝0时，等号成立.所以函数y＝x＋ （x≥0）的最小值为1. 1　 高中总复习·数学 目 录 4. 已知x，y∈（0，＋∞），若2x＋3y＝1，则 ＋ 的最小值为 ⁠ ⁠. 解析： ＋ ＝（ ＋ ）（2x＋3y）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ，当且仅当 ＝ ，即x＝ ，y＝ 时，等号成立. 5. （2025·云南昆明模拟）若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则 矩形场地的最大面积是 ⁠. 解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面 积为S＝xy≤（ ）2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号. 5＋ 2 　 25 m2 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 基本不等式的理解（基础自学过关） 1. 已知实数a，b，则“ab≥0”是“a＋b≥2 ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　当a＜0，b＜0时，a＋b＜2 ，充分性不成立；因为a＋ b≥2 等价于（ － ）2≥0，所以a≥0，b≥0，ab≥0，必要性成 立.所以“ab≥0”是“a＋b≥2 ”的必要不充分条件.故选B. 高中总复习·数学 目 录 2. 若实数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　） A. ＋2b＞2 B. ＋2b＜2 C. a＞ ＞b＞ D. a＞ ＞ ＞b √ 解析： 　因为a＞0，b＞0，所以 ＋2b≥2 ＝2 ，当且仅当 ＝2b，即a＝4b时取等号，故A、B错误；因为a＞b＞0，所以2a＞a ＋b＞2 ，所以a＞ ＞ ，又ab＞b2，所以 ＞b，故a＞ ＞ ＞b，故C错误，D正确. 高中总复习·数学 目 录 3. 〔多选〕（2026·山西大同模拟）下列命题正确的是（　　） A. 若x＜0，则x＋ ≤－2 B. 若x＞0，则x－ ≤－2 C. 若x∈R且x≠0，则 x＋ ≥2 D. 当x∈（0， ］时， sin x＋ 的最小值为4 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　当x＜0时有－x＞0，则x＋ ＝－（－x＋ ）≤－2 ＝－2，当且仅当－x＝ ，即x＝－1时等号成立，A正确；当x＞0时，y ＝x－ 单调递增，其值域为R，B错误；若x∈R且x≠0，则 x＋ ＝｜ x｜＋ ≥2 ＝2，当且仅当｜x｜＝ ，即x＝－1 或x＝1时，等号成立，C正确；当 sin x＞0时， sin x＋ ≥2 ＝4，当且仅当 sin x＝ ，即 sin x＝2时取等号，但当x∈（0， ］时，0＜ sin x≤1，故D错误. 高中总复习·数学 目 录 利用基本不等式判断命题真假的步骤 （1）检查是否满足应用基本不等式的条件； （2）应用基本不等式； （3）检验等号是否成立. 高中总复习·数学 目 录 利用基本不等式求最值（定向精析突破） 考向1　配凑法 （1）函数f（x）＝4x＋ ，x∈（－1，＋∞）的最小值为 （　B　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 B 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为x∈（－1，＋∞），则x＋1＞0，则f（x）＝4x＋ ＝4（x＋1）＋ －4≥2 －4＝12－4＝8，当且仅当 即x＝ 时，等号成立，故函数f（x）＝4x＋ ， x∈（－1，＋∞）的最小值为8. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知0＜x＜ ，则x 的最大值为（　D　） A. B. C. D. D 解析： 因为0＜x＜ ，则1－2x2＞0，x ＝ ＝ ≤ × ＝ ，当且仅当2x2＝1－2x2， 即x＝ 时取等号. 高中总复习·数学 目 录 配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑 成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配 凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.　 高中总复习·数学 目 录 考向2　常数代换法 （1）（2025·山东齐鲁名校大联考一模）已知实数x＞0，y＞0，x＋ 3y＝2，则 ＋ 的最小值为（　D　） A. 3 B. 1＋ C. 2＋ D. 2＋ D 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为x＞0，y＞0，且x＋3y＝2，所以 ＋ ＝ （ ＋ ）（x＋ 3y）＝ （4＋ ＋ ）≥2＋ ＝2＋ ，当且仅当 即y＝ ，x＝ －1时取等号.故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为 ⁠. 解析： 因为正数a，b满足4a＋b＝ab，所以 ＋ ＝1，所以a＋b＝ （a＋b）（ ＋ ）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 即a＝3，b＝6时取等号. 9　 高中总复习·数学 目 录 常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积 为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 高中总复习·数学 目 录 考向3　消元法 教材母题：〔人A必修一P58复习参考题5题〕若a，b＞0，且ab＝a＋b ＋3，求ab的取值范围. 解：法一（代入消元）　由题意得a＝ 且b－1＞0， ∴ab＝ ＝ ＝b－1＋ ＋5≥9，当且仅当 b－1＝ 时取等号. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 法二（换元消元）　∵a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，由a＋b≥2 ， 得ab＝a＋b＋3≥2 ＋3，当且仅当a＝b时取等号， 即ab－2 －3≥0，设 ＝t（t＞0），则t2－2t－3≥0， 解得t≥3，故ab≥9. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 法三（化归函数，导数求解）　由法一得ab＝ ， 令f（b）＝ （b＞1），则f'（b）＝ （b＞1），令f' （b）＝0，得b＝3， 故f（b）在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，当b＝3 时，f（b）取得最小值9，故ab的取值范围为[9，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：当所求最值的代数式中变量比较多时，通常是利用已知条件消 去部分变量，然后配凑出“和为常数”或“积为常数”，再利用基本不等 式求最值，也可采用整体换元思想转化为一元二次不等式求解，当消元后 “配凑”比较困难时可考虑化归函数，利用导数求解. 高中总复习·数学 目 录 变式1 〔一题多解〕若教材母题题干条件不变，则a＋b的最小值为 ⁠. 解析：法一　∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝ 且b－1＞0， ∴a＋b＝ ＋b＝1＋ ＋b＝ ＋b－1＋2≥2 ＋2 ＝6，当且仅当 ＝b－1，即a＝b＝3时取等号. 6　 法二　∵ab＝a＋b＋3≤ （a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b） －12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－ 2，又∵a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）. 高中总复习·数学 目 录 变式2 若教材母题题干条件不变，则a2＋b2的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：由a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，ab＝a＋b＋3，则a2＋b2＝（a＋ b）2－2（a＋b）－6，又由变式1知a＋b≥6，故令t＝a＋b（t≥6）， 则a2＋b2＝t2－2t－6.对于二次函数y＝t2－2t－6，其对称轴为直线t＝ 1，在t≥6时单调递增，且当t＝6时，y＝18，故a2＋b2的取值范围为 [18，＋∞）. [18，＋ ∞）　 高中总复习·数学 目 录 1. 在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次 使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误. 2. 尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）已知0＜x＜1，则 ＋ 的最小值为（　D　） A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 解析： 由0＜x＜1，得1－x＞0. ＋ ＝（ ＋ ）[x＋（1－ x）]＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ ，即x＝ 时取等号，∴ ＋ 的最小值为9. D 高中总复习·数学 目 录 （2）设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则 的最小值 为 ⁠； 解析： ∵x＞0，y＞0，∴ ＞0.∵x＋2y＝5，∴ ＝ ＝ ＝2 ＋ ≥2 ＝4 ，当且仅当2 ＝ 时取等号.∴ 的最小值为4 . 4 　 高中总复习·数学 目 录 （3）〔一题多解〕（2026·江苏南京模拟）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy ＝9，则xy的最大值为 ⁠. 解析： 法一（换元消元法） 9－xy＝x＋3y≥2 ，∴9－ xy≥2 ，令 ＝t，∴t＞0，∴9－t2≥2 t，即t2＋2 t－ 9≤0，解得0＜t≤ ，∴ ≤ ，∴xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝ 3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3. 3　 高中总复习·数学 目 录 法二（代入消元法） ∵x＝ ，∴x·y＝ ·y＝ ＝ ＝－3（y＋1）－ ＋15≤－ 2 ＋15＝3，当且仅当3（y＋1）＝ ，即y＝1，x＝3 时取等号.∴xy的最大值为3. 高中总复习·数学 目 录 基本不等式的实际应用（师生共研过关） （2026·广西南宁调研）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一 套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用 为 万元，则该设备年平均费用y最少时的年限为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　该设备年平均费用y＝ ＝ ＋ ＋ （x∈N*）， ∵x＞0，则y＝ ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即 x＝9∈N*时，等号成立，∴该设备年平均费用最少时的年限为9.故选C. 高中总复习·数学 目 录 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的 最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单 调性求解. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （2025·河南郑州一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为 AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为 ⁠ ⁠. 解析：设AE＝x，AF＝y（0＜x≤2，0＜y≤2），则EF ＝ ，因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋ ＝4，因为x＋y＋ ＝4≥2 ＋ ，当且仅当 x＝y时取等号，故 ≤ ＝4－2 ，则xy≤24－16 ，则△AEF面积满足 xy≤12－8 .故△AEF面积的最大值为12－8 . 12－ 8 　 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 不等式（x－2y）＋ ≥2成立的前提条件为（　　） A. x≥2y B. x＞2y C. x≤2y D. x＜2y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　因为不等式成立的前提条件是x－2y和 均为正数，所以x－ 2y＞0，即x＞2y.故选B. 高中总复习·数学 目 录 2. 若a，b都是正数，则 的最小值为（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 13 √ 解析： 　因为a，b都是正数，所以（1＋ ）（1＋ ）＝5＋ ＋ ≥5 ＋2 ＝9（当且仅当b＝2a时等号成立）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy（　　） A. 有最大值为1 B. 有最小值为1 C. 有最大值为 D. 有最小值为 √ 解析： 因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2 ，即 2≥2 ，xy≤ ，当且仅当 即x＝1，y＝ 时，等号成 立.所以xy有最大值，且最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面 造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价 是（　　） A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元 √ 解析： 　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设 底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y ＝20×4＋10×（2x＋ ）≥80＋20 ＝160，当且仅当2x＝ ，即x ＝2时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a 的最大值为（　　） A. B. C. 2 D. 2 √ 解析： 　因为4a2＋b2＝7，则a ＝ ×2a× ＝ ≤ × ＝2，当且仅当 即a＝ 1，b＝ 时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（　　） A. 若ab≤1，则 ＋ ≥2 B. 若a＋b＝4，则 ＋ 的最小值为4 C. 若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2 D. 函数y＝a＋ 的最小值为1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为0＜ab≤1，所以 ≥1，所以 ＋ ≥2 ≥2，当且仅 当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；若a＋b＝4，则 ＋ ＝ （a＋ b）（ ＋ ）＝ （ ＋ ＋10）≥ （2 ＋10）＝4，当且仅当a ＝1，b＝3时，等号成立，故B正确；若a2＋b2＝4，则ab≤ ＝2， 当且仅当a＝b＝ 时，等号成立，故C正确；由于a＞0，所以y＝a＋ ＝a＋1＋ －1≥1，当且仅当a＋1＝ ，即a＝－2或a＝0时等号 成立，这与已知条件矛盾，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 函数f（x）＝ 的最小值为 　2 　. 解析：函数f（x）＝ 的定义域为（－1，＋∞），f（x）＝ ＝ ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 ＝ ，即x＝1时取等号.故当x＝1时，f（x）取得最小值2 . 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 〔一题多解〕已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值 是 ⁠. 解析：法一　∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝ ，∴x2＋y2＝ ＋y2 ＝ ＋ ≥2 ＝ ，当且仅当 ＝ ，即x2＝ ，y2＝ 时取 等号，∴x2＋y2的最小值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 法二　由5x2y2＋y4＝1，可得y2（5x2＋y2）＝1，即4y2（5x2＋y2）＝4， 又4＝4y2（5x2＋y2）≤［ ］2＝ （x2＋y2）2，∴（x2 ＋y2）2≥ ，即x2＋y2≥ ，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝ ，y2＝ 时取等号，∴x2＋y2的最小值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解： 由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得 ＋ ＝1. 则1＝ ＋ ≥2 ＝ ，得xy≥64， 当且仅当 即x＝16且y＝4时，等号成立，所以xy的最小值为64. 9. （13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）x＋y的最小值. 解： 由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得 ＋ ＝1， 则x＋y＝ （x＋y） ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18. 当且仅当 即x＝12且y＝6时，等号成立，所以x＋y的最小值 为18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. （2026·江苏连云港模拟）设a＞0，b＞－1，且a＋b＝1，则 ＋ 的最小值为（　　） A. 1 B. 2 √ C. 4 D. 8 解析： 　因为a＞0，b＞－1，则b＋1＞0，因为a＋b＝1，则a＋（b ＋1）＝2，所以 ＋ ＝ [a＋（b＋1）]（ ＋ ）＝ （2＋ ＋ ）≥ （2＋2 ）＝2，当且仅当 即a＝ 1，b＝0时，等号成立，因此 ＋ 的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 已知x＞2，且x－y－2＝0，则 ＋ ＋ 的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 √ 解析： 　由题意得x＝y＋2＞2，所以y＞0，又因为 ＋ ＋ ＝（ ＋ ）2， ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋1≥2 ＋1＝3（当且仅当y＝2时取 等号），所以 ＋ 的最小值为3，所以 ＋ ＋ 的最小值是9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔一题多解〕〔多选〕已知ab＝ 且a，b∈（0，1），则（　　） A. a2＋b2≥ B. b＋ a＞ C. ＋ ≥4 D. a2＋b≥ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　a2＋b2≥2ab＝ ，当且仅当a＝b＝ 时，等号成立，A正 确；由ab＝ ，得b＝ ，所以b＋ a＝ ＋ ≥2 ＝ ，当且仅 当 ＝ ，即a＝ ，b＝ 时等号成立，B错误；法一　 ＋ ＝ ＝4 （a＋b）≥8 ＝4，当且仅当a＝b＝ 时，等号成立.法二　 ＋ ≥2 ＝4，当且仅当a＝b＝ 时，等号成立，C正确；由ab＝ ，得b ＝ ，所以a2＋b＝a2＋ ，令f（a）＝a2＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 因为ab＝ 且a，b∈（0，1），所以 ＜a＜1，则f'（a）＝2a－ ＝ ，令f'（a）＝0，得a＝ ，当 ＜a＜ 时，f'（a）＜0；当 ＜a＜1 时，f'（a）＞0，所以函数f（a）在（ ， ）上单调递减，在（ ，1） 上单调递增，所以f（a）在（ ，1）上存在最小值，且最小值为f（ ） ＝ ，所以a2＋b≥ ，D正确.综上，选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 〔一题多解〕已知实数x，y满足xy＞0，则 ＋ 的最大值 为 ⁠. 解析：法一（整体换元，化繁为简）　设 ⇒ ⇒km＝2－2k－2m＋2mk（0＜k＜1，0＜m＜ 1），所以k＝ ，则原式＝k＋m＝ ＋m＝4＋ ＋m－2＝4－ ［ ＋（2－m）］≤4－2 ，当且仅当 ＝2－m，即m＝2－ 时，等号成立. 4－2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 法二（局部换元，化难为易）　设 ⇒ （s，t同 号），原式＝ ＋ ＝4－（ ＋ ）≤4－2 ，当且仅当 ＝ ， 即t＝ s时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 法三（化归函数，导数求解）　令a＝ （a＞0），原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，令F（a）＝ ＋ （a＞0），则F'（a） ＝－ ＋ ，令F'（a）＝0，则a＝ （舍负），所以F （a）在（0， ）上单调递增，在（ ，＋∞）上单调递减，所以F（a） max＝4－2 ，即原式最大值为4－2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速 度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本 和固定成本组成，可变成本是速度平方的 ，固定成本为a元. （1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函 数，并指出这个函数的定义域； 解： 由题意得可变成本为 v2元，固定成本为a元，所用时间为 h， 所以y＝ （ v2＋a）＝1 000（ v＋ ），定义域为（0，80]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？ 解： y＝1 000（ v＋ ）≥1 000×2 ＝1 000 （元），当 v ＝ 时，得v＝2 ，因为0＜v≤80， 所以当0＜a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成 本最低； 当a≥1 600时，函数y＝1 000（ v＋ ）在（0，80]上单调递减，故货 车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新设问〕〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列 不等式成立的是（　　） A. a＋b＋c≤ B. （a＋b＋c）2≥3 C. ＋ ＋ ≥2 D. a2＋b2＋c2≥1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋ a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋ c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝± 时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋ b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－ 或a＋b＋c≥ . 若a＝b＝c＝－ ，则 ＋ ＋ ＝－3 ＜2 .因此A、C错误，B、D 正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $