第1章 第3节 等式性质与不等式性质-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“等式性质与不等式性质”专题，依据课标要求梳理了比较数（式）大小、等式性质应用、不等式性质及推广等核心考查维度，通过考点权重分析明确作差法、不等式性质应用为高频考点，归纳比较大小、范围求解等常考题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法建模+素养培养”，如以比较√(c+1)-√c与√c-√(c-1)大小为例，通过作商法、构造函数单调性法培养数学思维，结合代数式取值范围的待定系数法训练运算能力，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

第3节　等式性质与不等式性质 课标要求 1. 掌握等式的性质. 2. 会比较两个数（式）的大小. 3. 理解不等式的性质，并能简单应用. 目录/ CONTENTS 夯实必备知识 01 研透核心考点 02 课时跟踪检测 03 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 两个实数比较大小的方法 （1）作差法 （a，b∈R）； （2）作商法 高中总复习·数学 目 录 2. 等式的性质 性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a c； 性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝ ⁠； 性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么 ＝ . ＝　 bc　 高中总复习·数学 目 录 3. 不等式的性质 性质1 对称性：a＞b⇔b＜a； 性质2 传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； 性质3 可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d ⇒a＋c b＋d； ＞　 性质4 可乘性：a＞b，c＞0⇒ac bc； a＞b，c＜0⇒ac ⁠bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ⇒ac＞bd； 性质5 可乘方性：a＞b＞0⇒an bn（n∈N，n≥2）； 性质6 可开方性：a＞b＞0⇒ ＞ （n∈N，n≥2）. ＞　 ＜　 ＞　 高中总复习·数学 目 录 1. 倒数性质 （1）a＞b，ab＞0⇒ ＜ ； （2）a＜0＜b⇒ ＜ ； （3）a＞b＞0，d＞c＞0⇒ ＞ . 高中总复习·数学 目 录 2. 分数性质： 若a＞b＞0，m＞0，则 （1）真分数性质： ＜ ； ＞ （b－m＞0）； （2）假分数性质： ＞ ； ＜ （b－m＞0）. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的 一种. （　√　） （2）若 ＞1，则a＞b. （　×　） （3）a＝b⇔ac＝bc. （　×　） √ × × 高中总复习·数学 目 录 2. 设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则（　　） A. M＞N B. M≥N C. M＜N D. M≤N √ 解析： 　因为M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3 ＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N. 故选A. 高中总复习·数学 目 录 3. 已知2＜a≤3，－2＜b≤－1，则a＋2b的最大值为（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 √ 解析： 　因为－2＜b≤－1，所以－4＜2b≤－2.又2＜a≤3，所以－2 ＜a＋2b≤1. 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·河北沧州名校联考质量监测）若a＜b＜0，则下列不等式中一 定成立的是（　　） A. a＋c＜b＋c B. ＜ C. ac＜bc D. ＞ √ 解析： 　当a＜b＜0时，选项A中a＋c＜b＋c恒成立；选项B中 ＞ ；选项C依赖于c的符号；选项D中 ＜ .故选A. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 比较数（式）的大小（基础自学过关） 1. 已知0＜a＜ ，且M＝ ＋ ，N＝ ＋ ，则M，N的大小关 系是（　　） A. M＞N B. M＜N C. M＝N D. 不能确定 √ 解析： 　∵0＜a＜ ，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝ ＋ ＝ ＞0，∴M＞N. 故选A. 高中总复习·数学 目 录 2. 〔多选〕若a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（　　） A. a＋ ＞b＋ B. ＜ C. a＞ ＞b D. a3＋b3≥a2b＋ab2 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，a＋ －b－ ＝（a－b）（1＋ ）＞0，故A正 确；对于B， ＞1＞ ＞0，故B错误；对于C，a＞b＞0， ＝ ＞1， 所以a＞ ，因为 ＝ ＞1，所以 ＞b，所以a＞ ＞b，故C 正确；对于D，a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）＋b2（b－a）＝（a－ b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）.因为（a－b）2＞0，a＋b＞0， 所以a3＋b3＞a2b＋ab2，故D错误. 高中总复习·数学 目 录 3. 〔一题多解〕已知c＞1，且x＝ － ，y＝ － ，则 x y（填“＞”“＜”或“＝”）. 解析：法一　由题设，易知x＞0，y＞0，又 ＝ ＝ ＜1， 所以x＜y. ＜　 法二　设f（x）＝ － ，定义域为[1，＋∞），则f（x）＝ ，故f（x）为减函数，又c＋1＞c＞1，则f（c＋1）＜f （c），即x＜y. 高中总复习·数学 目 录 高中总复习·数学 目 录 不等式的基本性质（师生共研过关） （1）（2026·浙江杭州质检）若a＞b，则（　D　） A. a2＞b2 B. ＜ C. ＜ D. a｜a｜＞b｜b｜ D 解析： 对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错 误；对于B，当a＞b＞0时，由假分数性质知B错误；对于C，若取a＝1， b＝－1，满足a＞b，此时 ＞ ，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜ x｜＝ 易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有 a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2025·江苏常州二模）若 ＜ ＜0，则（　ACD　） A. ｜a｜＜｜b｜ B. ac＜bc C. ＞0 D. 0＜ ＜1 ACD 解析： 由 ＜ ＜0得c≠0，当c＞0时，由 ＜ ＜0得 ＜ ＜0，即b ＜a＜0，可得0＜ ＜1，当c＜0时，由 ＜ ＜0得 ＞ ＞0，即b＞a＞ 0，所以0＜ ＜1，故A、D正确；由 ＜ ＜0得 － ＝ ＜ 0，且a与b同号，即ab＞0，所以c与b－a异号，即c与a－b同号，由 ac＜bc得（a－b）c＜0，即c与a－b异号，故B错误，C正确.故选A、 C、D. 高中总复习·数学 目 录 判断不等式的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； （2）作差法； （3）利用特殊值法排除错误项； （4）构造函数，利用函数的单调性. 高中总复习·数学 目 录 训练1 〔多选〕（2025·山东临沂二模）已知a＞b＞c，则下列不等式正确 的是（　　） A. ＜ B. ab2＞cb2 C. a＋b＞c D. a2＋c2＞b2 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A， － ＝ ＝ ，因为 a＞b＞c，所以c－b＜0，a－c＞0，a－b＞0，即 ＜0，所 以 ＜ ，故A正确；对于B，取b＝0，此时ab2＝cb2＝0，故B错误； 对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对 于D，若a＞b＝0＞c，则a2＋c2＞b2＝0显然成立，若a＞b＞0＞c，则 a2＋c2＞a2＞b2成立，若a＞0＞b＞c，则a2＋c2＞c2＞b2成立，综上，只 要a＞b＞c，一定有a2＋c2＞b2，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 不等式性质的应用（师生共研过关） 已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是（　　） A. ＜ ＜ B. 21＜a＋2b＜78 C. －12＜a－b＜45 D. ＜ ＜5 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为15＜b＜18，所以 ＜ ＜ ，又6＜a＜60，所以 ＜ ＜ 4，所以A错误；因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以36＜a＋2b＜96，所以 B错误；因为15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15，又6＜a＜60，所以－ 12＜a－b＜45，所以C正确；因为6＜a＜60，15＜b＜18， ＝ ＋ 1，又 ＜ ＜4，所以 ＜ ＜5，所以D错误.故选C. 高中总复习·数学 目 录 变式 若将本例条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，则3x＋2y的 取值范围为 ⁠. 解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x ＋（μ－λ）y，于是 解得 ∴3x＋2y＝ （x－y） ＋ （x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－ ＜ （x－y）＜ 2，5＜ （x＋y）＜ ，∴ ＜ （x－y）＋ （x＋y）＜ .故3x＋2y 的取值范围是（ ， ）. （ ， ）　 高中总复习·数学 目 录 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 （1）必须严格运用不等式的性质； （2）多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先 建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性” 不等关系的运算求解范围. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一项比赛，且参加 书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加 折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数， 则参加这三项比赛的总人数至少为 ⁠； 解析： 设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，由题意得 a≥b＋1，b≥c＋1，2c≥a＋1，所以a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋ 1，所以c≥3，所以b≥4，a≥5，所以参加这三项比赛的总人数至少为12. 12　 高中总复习·数学 目 录 （2）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则 的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析： 因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，故a＞0，c＜0，所以 ＜0，1＞ ＞ ，2＋ ＋ ＝0，所以 ＝－ －2，所以1＞－2－ ＞ ，解不等式得 －3＜ ＜－1，故 的取值范围是（－3，－1）. （－3，－ 1）　 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：95分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 已知a＞0，b＞0，设m＝a－2 ＋2，n＝2 －b，则（　　） A. m≥n B. m＞n C. m≤n D. m＜n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　由题意可知，m－n＝a－2 ＋2－2 ＋b＝（ －1）2＋ （ －1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n.故选A. 高中总复习·数学 目 录 2. 已知a，b∈R，若a＞b， ＜ 同时成立，则（　　） A. ab＞0 B. ab＜0 C. a＋b＞0 D. a＋b＜0 √ 解析： 　因为 ＜ ，所以 － ＝ ＜0，又a＞b，所以b－a＜0，所 以ab＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（　　） A. 若a＞b，c＜d⇒a＋c＞b＋d B. 若a＞b，c＞d⇒ac＞bd C. 若bc－ad＞0， － ＞0⇒b＜0 D. 若a＞b＞0，c＞d＞0⇒ ＞ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，若a＞b，c＜d，取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－ 1，则a＋c＝b＋d＝0，故A错误；对于B，若a＞b，c＞d，取a＝1，b ＝0，c＝0，d＝－1，则ac＝bd＝0，故B错误；对于C，若bc－ad＞0， － ＝ ＞0，则ab＞0，无法得出b＜0，故C错误；对于D，若a＞b ＞0，c＞d＞0，可得 ＞ ＞0，则 ＞ ＞0，所以 ＞ ，故D正确. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. （2025·T8联考）已知实数a＜b，则“m＞0”是“ ＜ ”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　已知实数a＜b，若m＞0，例如a＝－2，b＝－1，m＝2，得 ＞ ，∴“m＞0”不是“ ＜ ”的充分条件；若 ＜ ，例如 a＝0，b＝1，m＝－2符合此不等式，但是m＜0，∴“m＞0”不是“ ＜ ”的必要条件.∴“m＞0”是“ ＜ ”的既不充分也不必要 条件.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则 的取值范围为（　　） A. （1，3） B. （ ， ） C. （ ， ） D. （ ，1） √ 解析： 　因为－3＜a＜－2，所以4＜a2＜9，而3＜b＜4，即 ＜ ＜ ， 故 的取值范围为（1，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕若a＜0＜b，且a＋b＞0，则（　　） A. ＞－1 B. ｜a｜＜｜b｜ C. ＋ ＞0 D. （a－1）（b－1）＜1 √ √ √ 解析： 　对于A，∵a＋b＞0，∴a＞－b，又b＞0，∴ ＞－1， ∴A正确；对于B，∵a＋b＞0，∴b＞－a＞0，∴｜b｜＞｜a｜，∴B 正确；对于C，取b＝2，a＝－1满足a＜0＜b，且a＋b＞0，但 ＋ ＝ －1＋ ＝－ ＜0，∴C错误；对于D，∵a＜0＜b，且a＋b＞0，∴a＋b ＞0＞ab，∴（a－1）（b－1）＜1，∴D正确.综上，选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·浙江杭州模拟）在民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比 越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时 增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2 倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最 大为 平方米. 解析：设改造前的窗户面积为x，窗户增加的面积为y，x＞0，y＞0，依 题意 ≤ ，即180x＋2xy≤180x＋180y，2xy≤180y，x≤90，所 以改造前的窗户面积最大为90平方米. 90　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 能够说明“若 ＞ ，a＜0，则x＞y”是假命题的一组整数x，y的值 依次为 ⁠. 解析：由 ＞ ，a＜0，可得 ＜ .当x，y同号时，可得x＞y；当x，y 异号时，可得y＞0＞x.又命题为假命题，故取整数x，y满足y＞0＞x即 可，可取x＝－1，y＝1. －1，1（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. （1）求实数a，b的取值范围； 解： 由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，两式相加得－4≤2a≤6， 则－2≤a≤3. 由－1≤a－b≤4，得－4≤－a＋b≤1. 又－3≤a＋b≤2，两式相加得－7≤2b≤3，则－ ≤b≤ . 综上，实数a的取值范围是[－2，3]，实数b的取值范围是［－ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）求3a－2b的取值范围. 解： 设3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）·a＋（m －n）b，则 解得 ∴3a－2b＝ （a＋b）＋ （a－b）. ∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4， ∴－ ≤ （a＋b）≤1，－ ≤ （a－b）≤10，则－4≤3a－2b≤11. ∴3a－2b的取值范围是[－4，11]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. 若实数m，n，p满足m＝4 ，n＝5 ，p＝ ，则（　　） A. p＜m＜n B. p＜n＜m C. m＜p＜n D. n＜p＜m √ 解析： 　因为实数m，n，p满足m＝4 ，n＝5 ，p＝ ，则m＞ 0，n＞0，p＞0，所以 ＝ ＝ · ＜1，所以m＜n；又 ＝ ＝ · ＞1，所以m＞p.所以p＜m＜n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 已知2＜x＜4，－3＜y＜－1，则 的取值范围是（　　） A. （ ， ） B. （ ， ） C. （ ，1） D. （ ，2） √ 解析： 　原式分子和分母同时除以x，得 ＝ ，由条件得2＜－2y ＜6， ＜ ＜ ，所以 ＜－ ＜ ，即 ＜－ ＜3，所以 ＜1－ ＜4， 所以 ＜ ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕（2026·江苏南京六校联考）已知实数a，b，c满足a＞b＞ c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是（　　） A. ＞ B. a－c＞2b C. a2＞b2 D. ab＋bc＞0 √ √ 解析： 　对于A，∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴ ＜ ，A 错误；对于B，∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，a－b＞0， ∴b＋c＝－a＜0，∴a－b＞b＋c，即a－c＞2b，B正确；对于C， ∵a－b＞0，a＋b＝－c＞0，∴a2－b2＝（a＋b）（a－b）＞0，即a2 ＞b2，C正确；对于D，ab＋bc＝b（a＋c）＝－b2≤0，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. （2026·海南海口模拟）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足 b＋c≤3a，则 的取值范围为 ⁠. 解析：由已知及三角形三边关系得 所以 则 两式相加得0＜ ＜4，所以0＜ ＜2. （0，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜. （1）求证：b＋c＞0； 解： 证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所 以b＋c＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）求证： ＜ ； 解： 证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0， 所以（a－c）2＞（b－d）2＞0， 所以0＜ ＜ .　① 因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c， 所以a＋d＞b＋c＞0.　② ①②相乘得 ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足 ＜所求式 ＜ ？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 解： 由（2）知a＋d＞b＋c＞0，0＜ ＜ ， ＜ ， 所以 ＜ ＜ 或 ＜ ＜ . 所以 ， 均为所求代数式.（只要写出一个即可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新设问〕在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服 务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长 之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，丁的服务时长大于 乙、丙服务时长之和，则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为 （　　） A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 C. 丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丙、丁 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a，b，c，d， a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，根据题意得 显然d＞ b，d＞c，②＋①可得a＞d，由②－①可得b＞c，故a＞d＞b＞c，即 这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $