第1章 第1节 集合-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦集合专题，依据课标要求覆盖集合概念、关系、运算及创新问题四大核心考点，对接高考评价体系，通过近三年真题分析明确集合运算、子集关系、参数求解为高频考点，归纳选择填空典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养渗透”，如以2025全国Ⅰ卷补集题为例，提炼数轴法与空集讨论技巧，培养学生数学思维中的逻辑推理能力，通过容斥原理解决元素个数问题，强化数学语言表达。设“易错警示”专栏，助力学生高效突破考点，教师可依托分层训练实现精准复习。

第1节　集合 课标要求 1. 了解集合的含义，了解全集与空集的含义. 2. 理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3. 会求两个集合的并集、交集与补集. 4. 能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算. 目录/ CONTENTS 夯实必备知识 01 研透核心考点 02 课时跟踪检测 03 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 集合的概念 （1）集合中元素的三个特征： 、 、 ⁠； （2）元素与集合的关系有 、 两种，用符 号 ， 表示； （3）集合的表示法： 、 、 ⁠； 确定性　 互异性　 无序性　 属于　 不属于　 ∈　 ∉　 列举法　 描述法　 图示法　 高中总复习·数学 目 录 （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 集， ⁠表 示非负整数集（自然数集）， 表示整数集，Q表示 集，R 表示实数集. 提醒：（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N 为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集， 不包含0. 正整数　 N　 Z　 有理数　 高中总复习·数学 目 录 2. 集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中 ⁠元 素都是集合B中的元素 ⁠ （或B⊇A） 或 任意一个　 A⊆B　 高中总复习·数学 目 录 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 真子集 集合A⊆B，但存在元素 x∈B，且x∉A ⁠ （或B⫌A） 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B 空集 不含任何元素的集合 ⌀ 提醒：（1）A⊆B包含两层含义：A⫋B或A＝B；（2）若A⊆B，要分 A＝⌀或A≠⌀两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况. A⫋B　 高中总复习·数学 目 录 3. 集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝ ⁠ ⁠ ⁠ A∩B＝ ⁠ ⁠ ⁠ ∁UA＝ ⁠ ⁠ {x｜ x∈A，或 x∈B}　 {x｜ x∈A，且 x∈B}　 {x｜ x∈U，且x∉A}　 高中总复习·数学 目 录 1. 子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 2. 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空 真子集有2n－2个. 3. 等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一个集合都至少有两个子集. （　×　） （2）若1∈{x，x2}，则x＝1或x＝－1. （　×　） （3）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∪B＝{0，1}. （　×　） （4）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}. （　×　） × × × × 高中总复习·数学 目 录 2. （2025·全国Ⅰ卷2题）已知集合U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1， 3，5}，则∁UA中元素的个数为（　　） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 √ 解析： 　U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝ {2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素.故选C. 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·河南郑州模拟）设集合A＝{x｜x2－2＞0}，B＝{1，2，3， 4}，则A∩B的子集的个数为（　　） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 √ 解析： 　∵集合A＝{x｜x2－2＞0}＝{x｜x＜－ 或x＞ }，B＝ {1，2，3，4}，∴A∩B＝{2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为3，子集 的个数为23＝8.故选A. 高中总复习·数学 目 录 4. 〔多选〕已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（　　） A. 2∈P B. P＝{－2，2} C. {⌀}⊆P D. P⫋N √ √ 解析： 　P＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A、B正确；⌀不是 P中的元素，故C错误；因为－2∉N，故P⫋N错误，故D错误. 高中总复习·数学 目 录 5. 已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝{x｜1＜x≤2}，若B⊆A，则实数 a的取值范围是 ⁠. 解析：由图可知a＞2. （2，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 集合的基本概念（基础自学过关） 1. 已知集合A＝{x｜2x－a＞0}，且1∉A，2∈A，则（　　） A. a＞1 B. a≤2 C. 2＜a≤4 D. 2≤a＜4 √ 解析： 　∵1∉A，∴2×1－a≤0，解得a≥2，又∵2∈A，∴2×2－a＞ 0，解得a＜4，∴2≤a＜4.故选D. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·广东佛山模拟）已知集合A＝{x｜x∈Z，且 ∈Z}，则集合 A中的元素个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 解析： 　因为x∈Z，且 ∈Z，所以2－x的值有－3，－1，1，3，所 以x的值有5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.故选C. 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·浙江宁波模拟）已知集合S＝{y｜y＝x2－1}，T＝{（x， y）｜x＋y＝0}，下列关系正确的是（　　） A. －2∈S B. （2，－2）∉T C. －1∉S D. （－1，1）∈T √ 解析： 　因为S＝{y｜y＝x2－1}＝{y｜y≥－1}，所以A、C错误；因 为2＋（－2）＝0，所以（2，－2）∈T，所以B错误；又－1＋1＝0，所 以（－1，1）∈T，所以D正确.故选D. 高中总复习·数学 目 录 4. 已知m∈R，n∈R，若集合{m， ，1}＝{m2，m＋n，0}，则m＋n ＝ ⁠. 解析：因为{m， ，1}＝{m2，m＋n，0}，m≠0，所以 解得 或 当m＝1时，不满足集合元素的互异性，故m ＝－1，n＝0，故m＋n＝－1. －1　 高中总复习·数学 目 录 解决与集合中元素有关问题的关键点 高中总复习·数学 目 录 集合间的基本关系（师生共研过关） （1）设M＝{x｜x＝ ，k∈Z}，N＝{x｜x＝k＋ ，k∈Z}，则 （　B　） A. M⫋N B. N⫋M C. M＝N D. M∩N＝⌀ 解析： 对于集合N，因为x＝k＋ ＝ （2k＋1），k∈Z，所以集合 N是由所有奇数的一半组成，而集合M是由所有整数的一半组成，故 N⫋M. B 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·江苏南京、盐城一模）设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝ {x｜x＋a≤0}.若A⊆B，则实数a的取值范围是（　D　） A. （－∞，2） B. （－∞，2] C. （－∞，－2） D. （－∞，－2] 解析： 由x2－4≤0可得A＝[－2，2]，由x＋a≤0 可得B＝（－∞，－a]， 又A⊆B，用数轴表示其关系如图，所以2≤－a，即 a≤－2. D 高中总复习·数学 目 录 变式 若本例（2）条件变为集合A＝{x｜－2＜x≤2}，集合B＝{x｜a＋ 1≤x＜－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为 ⁠. 解析：由B⊆A，当B＝⌀时，a＋1≥－a，则a≥－ ；当B≠⌀时，用数 轴表示其关系如图，所以 即 得a∈［－2，－ ）.综上所述，a的取值范围为[－2，＋∞）. [－2，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 1. 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情 况，否则易造成漏解. 2. 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点 间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解 决这类问题. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－ 2，2a－2}，若A⊆B，则a＝（　B　） A. 2 B. 1 C. D. －1 解析： 由题意，得0∈B. 又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0 或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}， 不满足A⊆B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝ {1，－1，0}，满足A⊆B. 综上所述，a＝1.故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜－1＜x＜5，x∈N}， 则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（　B　） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 解析： A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，因为A⫋C⊆B，所以 1，2∈C，所以集合C的个数等于集合{0，3，4}的非空子集个数，故集 合C的个数为23－1＝7. B 高中总复习·数学 目 录 集合的基本运算（定向精析突破） 考向1　集合的运算 （1）（2025·全国Ⅱ卷3题）已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝ {x｜x3＝x}，则A∩B＝（　D　） A. {0，1，2} B. {1，2，8} C. {2，8} D. {0，1} 解析： 由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}.故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·贵州贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－ 1≤x≤3}，B＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为 （　A　） A. {x｜x＜－1} B. {x｜x≤－1} C. {x｜x≤0或x＞3} D. {x｜0＜x≤3} A 解析： 因为B＝{y｜y＝2x，x∈R}，所以B＝（0，＋∞）.而题图 中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为∁R （A∪B）＝（－∞，－1）.故选A. 高中总复习·数学 目 录 集合基本运算的方法技巧 高中总复习·数学 目 录 考向2　利用集合的运算求参数 （1）（2026·河南郑州第一次联考）已知集合A＝{x｜2x－a≤0}， B＝{x｜1＜x＜2}.若A∩B＝⌀，则a的取值范围为（　D　） A. （－∞，1） B. （－∞，1] C. （－∞，2） D. （－∞，2] 解析： A＝{x｜2x－a≤0}＝{x｜x≤ }，因为A∩B＝⌀，所以 ≤1， 解得a≤2，所以a的取值范围为（－∞，2].故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）设集合A＝{x｜x＜a2}，B＝{x｜x＞a}，若A∩（∁RB）＝A，则 实数a的取值范围为（　A　） A. [0，1] B. [0，1） C. （0，1） D. （－∞，0]∪[1，＋∞） 解析： 因为B＝{x｜x＞a}，所以∁RB＝{x｜x≤a}，又A∩（∁RB）＝ A，所以A⊆（∁RB），又A＝{x｜x＜a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1， 即实数a的取值范围为[0，1]. A 高中总复习·数学 目 录 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之 间的关系，再列方程（组）求解. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）（2026·广东调研考试）设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4}， N＝{1，2}，则M∩（∁UN）＝（　A　） A. {3，4} B. {3} C. {4} D. ⌀ 解析： 因为U＝M∪N＝{1，2，3，4}，N＝{1，2}，所以∁UN＝ {3，4}，集合M必含有元素3，4，元素1，2可任取或不取，所以M∩ （∁UN）＝{3，4}.故选A. A 高中总复习·数学 目 录 （2）已知集合A＝{x｜x2－x－6≤0}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B ＝{x｜－4≤x≤3}，则实数a的取值范围是（　D　） A. （－4，－2] B. （－3，－2] C. [－3，3] D. [－2，3] 解析： 因为A＝{x｜x2－x－6≤0}＝{x｜－ 2≤x≤3}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B＝{x｜－ 4≤x≤3}，画出数轴如图所示，所以－2≤a≤3.故选D. D 高中总复习·数学 目 录 集合的创新问题（师生共研过关） （1）（2026·北京海淀模拟）定义差集A－B＝{x｜x∈A，且 x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－（A－B）用 阴影部分表示正确的为（　A　） A 解析： 如图所示，A－B表示图中阴影部分，故集合C－ （A－B）所含元素属于C，但不属于图中阴影部分.故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·广西南宁适应性测试）已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝ {1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样一个集合：若集合C的各元素都 加上2，它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2，它就变成B 的一个子集.试写出这样的一个集合C＝ ⁠. 解析： 逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合D＝{0，2，4，6， 7}，B中的元素都加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是 集合D和集合E的公共元素所组成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故这 样的集合C有7个，答案不唯一，如C＝{4，7}. {4，7}（答案不唯一）　 高中总复习·数学 目 录 解决以集合为背景的创新问题的关键 （1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本 质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的 关键所在； （2）用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的 一些因素，在关键之处用好集合的性质. 高中总复习·数学 目 录 训练3 已知集合A，B与集合A·B的对应关系如下表所示： A {1，2，3，4，5} {－1，0，1} {－4，8} B {2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2} A·B {1，3，5，6，8} {－2} {－2，0，2，8} 若A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}，试根据表中的规 律写出A·B＝ ⁠. 解析：通过对表中集合关系的分析，可以发现规律：集合A·B表示的是 A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素，故当A＝{－2 026，0，2 026}，B ＝{－2 026，0，2 027}时，A·B＝{2 026，2 027}. {2 026，2 027}　 高中总复习·数学 目 录 容斥原理 教材母题：〔人A必修一P15阅读与思考〕学校先举办了一次田径运动 会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同 学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少 名同学参赛？ 高中总复习·数学 目 录 解：法一　用集合A表示田径运动会参赛的学生，用集合B表示球类运动 会参赛的学生，则A∩B＝{x｜x是两次运动会都参赛的学生}， A∪B＝{x｜x是所有参赛的学生}， card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B） ＝8＋12－3＝17. 故在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛. 法二　由题意画出Venn图，如图所示.故在两次运动 会中，这个班共有5＋3＋9＝17名同学参赛. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般 地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，将A中的元素个数记为card（A） ＝n，集合B＝{b1，b2，…，bm}，将B中的元素个数记为card（B）＝ m，关于集合中的元素个数有如下关系： （1）二元容斥原理：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card （A∩B）； （2）三元容斥原理：card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card （C）－card（A∩B）－card（C∩A）－card（B∩C）＋card （A∩B∩C）. 高中总复习·数学 目 录 〔一题多解〕某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科 的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理 143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参 加竞赛的学生总人数是（　　） A. 280 B. 281 C. 282 D. 283 √ 解析： 　法一　由题意画出Venn图，如图所示，则参加竞 赛的学生总人数是34＋53＋26＋7＋90＋29＋42＝281. 高中总复习·数学 目 录 法二　由题意，设A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞 赛的学生构成的集合，则card（A）＝203，card（B）＝179，card（C） ＝165，card（A∩B）＝143，card（B∩C）＝97，card（A∩C）＝ 116，card（A∩B∩C）＝90，因此card（A∪B∪C）＝card（A）＋ card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（B∩C）－card （A∩C）＋card（A∩B∩C）＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝ 281.所以参加竞赛的学生总人数是281. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：78分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2025·八省联考）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则 A∩B＝（　　） A. {0} B. {1} C. {0，1} D. {－1，0，1，4} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　由题意可得A∩B＝{0，1}.故选C. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·山西大同模拟）设集合A＝{x｜－1＜x≤4}，B＝{x｜x2＜ 4}，则A∪B＝（　　） A. {x｜－2＜x≤2} B. {x｜－2＜x≤4} C. {x｜－2≤x＜2} D. {x｜－2≤x＜4} √ 解析： 　由题意得B＝{x｜－2＜x＜2}，画出数 轴如图所示，故A∪B＝{x｜－2＜x≤4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. （2025·河南郑州模拟）已知全集U＝{x｜－1＜x＜5}，集合A满足 ∁UA＝{x｜0≤x＜3}，则（　　） A. 0∈A B. 1∉A C. 2∈A D. 3∉A √ 解析： 　由题意得A＝{x｜－1＜x＜0或3≤x＜5}，所以0，1，2∉A， 3∈A. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. 设集合A＝{－1，0，1}，B＝{y｜y＝｜x｜，x∈A}，则下列选项中 正确的是（　　） A. B⫋A B. A＝B C. A∩B＝A D. A∪B＝B √ 解析： 　由B＝{y｜y＝｜x｜，x∈A}，得B＝{0，1}，故B⫋A， A∩B＝B，A∪B＝A. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·豫西北教研联盟第一次质检）已知集合A＝{x｜1＜x≤6}，B ＝{x｜a＋2≤x＜2a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（　　） A. （2，3] B. （1，3] C. （－∞，3] D. [2，3） √ 解析： 　当B＝⌀时，a＋2≥2a，得a≤2；当B≠⌀ 时，画出数轴如图所示，由B⊆A，得 解得2＜a≤3.故a的取值范围为（－∞，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. （2026·山东齐鲁名校大联考模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x｜ log2x≤2}，B＝{x｜1＜x＜5}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A. {x｜x≤5} B. {x｜0＜x≤1} C. {x｜x≤4} D. {x｜1＜x≤5} √ 解析： 　易知题图中阴影部分表示的集合为（∁UB）∩A，因为log2x≤2 ＝log24，所以A＝{x｜0＜x≤4}，因为B＝{x｜1＜x＜5}，所以∁UB＝ {x｜x≤1或x≥5}，所以（∁UB）∩A＝{x｜0＜x≤1}.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 〔多选〕已知集合A＝{x｜（x－1）（x－2）≤0}，B＝{x｜1＜ x≤3}，则下列判断正确的是（　　） A. （∁RA）∩B＝B B. （∁RB）∪A＝R C. A∩B是{x｜1＜x＜3}的真子集 D. （∁RB）∪（∁RA）＝{x｜x≤1或x＞2} √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由（x－2）（x－1）≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x｜ 1≤x≤2}，∁RA＝{x｜x＜1或x＞2}.由B＝{x｜1＜x≤3}，∁RB＝{x｜ x≤1或x＞3}，所以（∁RA）∩B＝{x｜2＜x≤3}≠B，故A错误； （∁RB）∪A＝{x｜x≤2或x＞3}，故B错误；又A∩B＝{x｜1＜ x≤2}，所以A∩B是{x｜1＜x＜3}的真子集，故C正确；（∁RB）∪ （∁RA）＝{x｜x≤1或x＞2}，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 设集合A＝{x｜1≤x≤3}，集合B＝{x｜y＝ }，若A⫋C⫋B， 写出一个符合条件的集合C＝ ⁠. 解析：A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜x≥1}，故若A⫋C⫋B，则可有C＝ {x｜1≤x≤4}. {x｜1≤x≤4}（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （2025·山东潍坊一模）已知集合A＝{0，1，a＋2}，B＝{1，a2}，若 A∪B＝A，则实数a＝ ⁠. 解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A. 根据集合中元素的互异性，可知 a2≠1⇒a≠1且a≠－1.若a2＝0⇒a＝0，此时A＝{0，1，2}，B＝{0， 1}，满足B⊆A；若a2＝a＋2⇒a2－a－2＝0⇒（a－2）（a＋1）＝0⇒a ＝2或a＝－1（舍去），此时A＝{0，1，4}，B＝{1，4}，满足B⊆A. 综上a＝0或2. 0或2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. （2026·山东聊城模拟）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{z｜z＝x＋ y＋1，x∈A，y∈A}，则集合B的真子集个数为（　　） A. 8 B. 16 C. 31 D. 63 √ 解析： 　由题，z＝－1－1＋1＝－1；z＝－1＋0＋1＝0；z＝－1＋1＋1 ＝1；z＝0－1＋1＝0；z＝0＋0＋1＝1；z＝0＋1＋1＝2；z＝1－1＋1＝ 1；z＝1＋0＋1＝2；z＝1＋1＋1＝3.故B＝{－1，0，1，2，3}，其真子 集的个数为25－1＝31.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. （2025·辽宁省部分重点中学协作体考试）图中阴影部分用集合符号可 以表示为（　　） A. B∩（A∪C） B. B∩（A∩C） C. B∩∁U（A∪C） D. （A∪B）∩（B∪C） √ 解析： 　在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C， 故阴影部分所表示的集合为B∩（A∪C）或者（A∩B）∪（B∩C）. 故A正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕（2025·重庆一模）已知I为全集，集合M，N⊆I，若 M⊆N，则（　　） A. M∪N＝N B. M∩N＝N C. （∁IM）⊆（∁IN） D. （∁IN）∩M＝⌀ √ √ 解析： 　因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错 误；又I为全集，集合M，N⊆I，则（∁IM）⊇（∁IN），（∁IN）∩M ＝⌀，C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝ ⌀，则所有满足条件的实数m的取值范围为 ⁠. 解析：由A∩B＝⌀，得：①若2m≥1－m，即m≥ 时，B＝⌀，符合题 意；②若2m＜1－m，即m＜ 时，因为A∩B＝⌀，则 或 解得0≤m＜ .综上所述m≥0. [0，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （2026·陕西西安质检）某校高一年级有1 200人，现有两种课外实践活 动供学生选择，要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其 中一项活动的人数占总人数的60%至65%，选择另一项活动的人数占50% 至55%，则同时选择两项参加的学生最多有 人. 解析：设选择其中一项活动的人数为card（A），选择另一项活动的人数 为card（B），则同时选择两项活动的人数为card（A∩B）.根据题意， 则1 320≤card（A）＋card （B）≤1 440，又card（A）＋card（B）－card（A∩B）＝1 200，所以 120≤card（A∩B）≤240. 240　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新定义〕〔多选〕若集合D含有n个元素，则称D为n元集，D的 子集中含有m（m≤n）个元素的子集叫做D的m元子集.已知集合A＝ {－1，0，1}，B＝{－2，1，2}，则（　　） A. A∩B是2元集 B. A∪B的2元子集有10个 C. {xy｜x∈A，y∈B}是5元集 D. {（x，y）｜x∈A，y∈B}是{（x，y）｜x2＋y2≤5，x∈Z， y∈Z}的9元子集 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A项，A∩B＝{1}是1元集，故A错误；对于B项， A∪B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∪B的2元子集有 ＝10个，故B正 确；对于C项，{xy｜x∈A，y∈B}＝{2，－1，－2，0，1}是5元集，故 C正确；对于D项，{（x，y）｜x∈A，y∈B}有3×3＝9个元素，因为 {（x，y）｜x∈A，y∈B}表示的点都在圆x2＋y2＝5上或圆内，故 {（x，y）｜x∈A，y∈B}是{（x，y）｜x2＋y2≤5，x∈Z，y∈Z}的 子集，则{（x，y）｜x∈A，y∈B}是{（x，y）｜x2＋y2≤5，x∈Z， y∈Z}的9元子集，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $