精品解析：上海市浦东新区2025-2026学年高一下学期期末综合练习数学试题

高一数学期末综合练习 2026.6 注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 函数最小正周期为____ 2. 已知为锐角，且，则_____． 3. 已知扇形的弧长为8，半径为3，则扇形的面积为__________. 4. 在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是______. 5. 已知，则_________． 6. 已知中，，，，则在方向上的数量投影为____________． 7. 函数单调递增区间为______. 8. 在中，，，面积为，则____________． 9. 已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是________. 10. 已知，且为锐角，则的值为_________． 11. 关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数___________． 12. 如图，在梯形中，，，，，点在线段上，则的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 如果是锐角，那么是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 小于180°的正角 D. 钝角 14. 设，则“”是“复数”（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15. 已知单位向量的夹角为，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 16. 设函数，，值域为，则以下结论错误是（ ） A. 的最小值为 B. a不可能等于， C. 的最大值为 D. b不可能等于， 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知为虚数单位，为实数，复数． （1）当时，求的模和； （2）若为实数，求的值． 18. 以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系．如图，将角、、所对的边分别记作、及，则点、的坐标分别为及，试证明：． 19. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）设，，求的取值范围． 20. 某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布(且异于点)，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，． （1）求观赏通道的长； （2）若，求折线段通道的最大值（即最大）． 21. 已知函数，其中（）． （1）求函数的振幅和初相； （2）若，且，求的最小正周期和对称轴方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末综合练习 2026.6 注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 函数的最小正周期为____ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦型函数的性质求最小正周期即可. 【详解】由余弦函数的性质知：最小正周期. 故答案为： 2. 已知为锐角，且，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，且为锐角， 所以， 所以． 3. 已知扇形的弧长为8，半径为3，则扇形的面积为__________. 【答案】12 【解析】 【详解】由扇形面积公式得：. 4. 在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出复数、对应点、的坐标，利用中点坐标公式得线段的中点的坐标即可． 【详解】解：复数、对应的点分别为、， ，， 为线段的中点，， 点对应的复数是． 故答案为：． 5. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由数量积的坐标形式及两角和的正弦公式即可得出答案 【详解】, 故答案为 : 6. 已知中，，，，则在方向上的数量投影为____________． 【答案】 【解析】 【详解】在方向上的数量投影为. 7. 函数的单调递增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，解得的范围即为所求的单调区间. 【详解】令，，解得：， 的单调递增区间为 故答案为： 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的单调区间来进行求解. 8. 在中，，，面积为，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式求解. 【详解】在中，由，得，解得. 9. 已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答. 【详解】因为向量，， 若与的夹角是锐角，等价于且不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 已知，且为锐角，则值为_________． 【答案】##45° 【解析】 【分析】由题先求出的值，再求出的值，再利用的范围求出角即可． 【详解】为锐角，， ， ， 为锐角，， 故答案为：． 11. 关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意利用判别式与韦达定理得到的取值范围与的表达式，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】由题意可得，， ，， 解得或， 又，，． 故答案为：． 12. 如图，在梯形中，，，，，点在线段上，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】求直线方程，设点后利用坐标运算可得. 【详解】由题意可得，，，， 设构成的一次函数为，代入，可得 ，解得， 所以， 因为点在线段上，设，， 则，， 所以， 所以，即点是线段中点时，有最小值. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 如果是锐角，那么是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 小于180°的正角 D. 钝角 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，再结合选项，即可求出结果. 【详解】因为是锐角，即，所以， 故选：C. 14. 设，则“”是“复数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】复数，则， 解得，或， 解得，或， 综上，； ，则，充分性成立； ，则，必要性成立， “”是“复数”的充要条件． 15. 已知单位向量的夹角为，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】，，与夹角为，且，为直角三角形，故选C. 16. 设函数，，值域为，则以下结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. a不可能等于， C. 的最大值为 D. b不可能等于， 【答案】D 【解析】 【分析】作出正弦函数y = sinx的图象，并加以观察并根据函数的单调性对A、B、 C、D各项的结论进行推理论证，结合取特殊的a、b值检验，可得选项. 【详解】解：作出正弦函数y = sinx的图象，加以观察得： 对于A，当时，函数在上单调递增，此时函数的最小值为，函数的最大值， 此时函数的值域为，达到最小值，故A正确； 对于B，如果，由于没有达到最小值-1，则才能出现函数的最小值-1.而此时函数的最大值为1，而不是，与题设矛盾，因此，故B正确； 对于C，当时，函数在上先单调递增，再单调递减，此时函数的最小值为，函数的最大值， 此时函数的值域为，达到最大值，故C正确； 对于D，当时，此时函数的值域为，所以b可能等于，，故D不正确； 故选：D 【点睛】本题给出正弦函数的几个结论要求找出其中的假命题，考查了正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知为虚数单位，为实数，复数． （1）当时，求的模和； （2）若为实数，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用模长公式和共轭复数定义即可求解； （2）先展开并整理为的形式，再利用“复数为实数则虚部为0”的性质列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以复数的模为，共轭复数为. 【小问2详解】 因为， 因为该复数为实数，所以虚部为 0， 即：，解得. 18. 以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系．如图，将角、、所对的边分别记作、及，则点、的坐标分别为及，试证明：． 【答案】证明：由题意，，， 则， 两边平方得： ， 即，得证 【解析】 【详解】略 19. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）设，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得，从而求得. （2）先根据向量的运算及三角函数恒等变换求出，再利用三角函数值的取值范围求出的取值范围． 【小问1详解】 因为，则，即，得. 【小问2详解】 所以 . 因为，所以， 则，， 因此，即的取值范围为. 20. 某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布(且异于点)，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，． （1）求观赏通道的长； （2）若，求折线段通道的最大值（即最大）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的性质，利用正弦定理计算求解； （2）根据三角形的性质，利用余弦定理构造方程，再利用基本不等式求最大值． 【小问1详解】 在中，已知，，， 由正弦定理：，代入数据：， 因为，，则，解得． 【小问2详解】 在中，，，设，， 由余弦定理：，即， 变形可得：，由基本不等式（当且仅当时取等号），代入得：即， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此折线段通道的最大值为． 21. 已知函数，其中（）． （1）求函数振幅和初相； （2）若，且，求的最小正周期和对称轴方程． 【答案】（1）函数的振幅为，初相为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式及辅助角公式，化简，得（），从而得到其振幅和初相； （2）由，得是函数的最小值，是函数的最大值，结合，得，求得，从而求得，并得到其对称轴的方程. 【小问1详解】 （）． 因此，函数的振幅为，初相为 小问2详解】 由题意，是函数的最小值，是函数的最大值， 所以为半个最小正周期，即，得. 又因为，所以 此时 令，得. 所以的对称轴方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $