精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

华东师大二附中2024学年第二学期期末考试卷高一数学 （考试时间：120分钟 卷面满分：150分） 一、填空题（共54分，1-6题每题4分，7-12每题5分） 1. 已知是第四象限的角，则点在第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 2. 若复数z满足，则z的虚部为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法及复数的概念得解. 【详解】因为， 所以， 则z的虚部为， 故答案为： 3. 已知，则______．（数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式、二倍角的正切公式计算得解. 【详解】因为, 所以， 所以， 故答案为： 4. 记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，分析从到时式子的变化即可作答. 【详解】因为，， 所以不等式左边的比增加了，共3项. 故答案为：3 5. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的意义求解即可. 【详解】平面向量，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 6. 已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据等比数列的性质及通项公式计算得解. 【详解】因， 所以，故， 即，化简得， 解得或， 故答案为：2或 7. 已知向量，，若，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】已知，则它们数量积小于0且两向量不为相反向量，根据向量数量积的坐标运算，共线向量的坐标表示，即可求出实数的取值范围. 【详解】解：已知，则它们数量积小于0且两向量不为相反向量， 所以， 若为相反向量, 则两向量共线，有， ， 所以实数的取值范围是且. 故答案为：. 8. 已知方程的两个虚根为、，且，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】由于方程为实系数方程，故，互为共轭复数，根据，可得，进而结合韦达定理，构造关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意，，互为共轭虚根， 则，， ， 由，得，， 因为时，，不合题意，所以． 故答案为：． 9. 已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】由知，，依题意得，，进而可得. 【详解】由得， 所以，，由知，， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以； 数列为摆动数列，所以， 故. 故答案为：. 10. 正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据求出点的坐标，设出，将转化为关于，即可求出其最小值. 【详解】如图，以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则, 所以， 所以，即点的坐标为， 设，则（）， 所以， 所以 ， 所以当，且时，取得最小值， 故答案为： 11. 如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，利用结合三角形的面积公式可得出，由，，求出的取值范围，可求出的取值范围，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围，即为所求. 【详解】设，，，由题意可得，且， 因为，即， 可得，由题意可知，，， 所以，，由，解得， 所以，， 令，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，则， 由余弦定理可得 ，故， 因此，的长的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 12. 已知正项数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造复数，将已知条件转化为，再利用复数的几何意义与三角形式求解辐角主值的关系，进而利用等比数列求通项，进而求（即）. 【详解】由，且数列为正项数列， 定义复数，则， 则有， 又，其对应辐角主值； 如图，设复数对应复平面内的点，复数对应复平面内的点， 则对应复平面内的实轴上的点，且， 由，根据复数加法的几何意义可知， 故四边形为菱形，即复数对应辐角主值； 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，且， 故，则， 当时，又也适合上式. 所以，. 故答案为：. 二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分） 13. 已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的对称性，求出对称中心的表达式，结合题意验证值即可求解. 【详解】函数的对称中心为：， 即，因为为函数的对称中心， 令，解得， 当时，. 故选：D 14. 下列说法错误的是（ ） A. 已知复数，若，则 B. 已知复数，若，则 C. 若，则与共线 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据复数相等，得到两个复数实部与虚部关系，即可判断A，设，计算出，即可判断B；设的夹角为，根据向量数量积的计算公式，由，推出或，即可判断C；根据即可判断D. 【详解】对于A，设，，,则，. 若，即，则有，所以，故A正确； 对于B，设，则， 但是， ，故B错误； 对于C，设的夹角为，因为，若， 则，即或，所以与共线，故C正确； 对于D，因为，若，则，故D正确. 故选：B 15. 设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由有实根，可得，再结合向量的夹角公式和可求得，从而可求出两向量的夹角范围. 【详解】因为关于的方程有实根， 所以，所以， 因为均是非零向量，且， 所以， 因为， 所以， 故选：B. 16. 设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和余弦公式化简表达式. 对于命题（1），将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出（1）选项的真假； 对于命题（2）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出（2）选项的真假； 对于命题（3）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出（3）选项的真假； 对于命题（4）选项，根据、，求得的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假. 【详解】 不妨设 ．为已知实常数. 若，则得 ；若，则得． 于是当时，对任意实数恒成立，即命题（1）是真命题； 当时，，它为奇函数，即命题（2）是真命题； 当时，，它为偶函数，即命题（3）是真命题； 当时，令，则 ， 上述方程中，若，则，这与矛盾，所以． 将该方程的两边同除以得 ，令 （）， 则 ，解得 （）． 不妨取 ， （且）， 则，即 （），所以命题（4）是假命题． 故选：C 【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型. 三、解答题（共78分） 17. 已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法化简，再由复数的类型求解即可； （2）根据复数的除法化简，再由复数对应点所在象限列出不等式组求解. 【小问1详解】 为纯虚数，，解得， 故，则． 【小问2详解】 ， ， 复数对应的点在第二象限， ，解得， 故实数a的取值范围为． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期的计算公式求得参数的值，结合特殊角三角函数值，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，结合正弦函数与一次函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，则，解得，所以， 故. 【小问2详解】 由的单调递减区间为，且为增函数， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 19. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； 【小问2详解】 因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 20. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【小问1详解】 依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； 【小问2详解】 （i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 21. 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为． （1）若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 【答案】（1）有且只有一个常值“配对和”数列：； （2）1 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义及为等差数列分析即可得解； （2）分类讨论当时，，，同理可分析当时，也有得解； （3）根据新定义，列举不同情况，逐一验证，可得出结论。 【小问1详解】 一方面，数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和， 所以若有两个常值“配对和”数列b，b，…，b以及c，c，…，c，则，即， 即只存在一个常值“配对和”数列． 另一方面，由等差数列的性质，为的一个“配对和”数列， 因此，有且只有一个常值“配对和”数列：； 【小问2详解】 若，且，则递增， 所以的常值“配对和”数列只能是：， 否则必有两项不相等．注意到若，则， 由此可知，即，矛盾．同理，若此时，也矛盾． 因此，时有．同理，当时，也有． 综上，等比数列的公比． 【小问3详解】 由题意，此时，由于改变各项顺序不影响“配对和”数列的存在与否， 故不妨设的各项按照从小到大顺序依次为：． 注意到数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和． 因此，若假设存在两个“配对和”数列和， 使得和分别是数列的前3项和后3项， 那么数列的各项之和为0，又数列的各项均非零，故． 由于数列和构成数列，所以存在． 因为此时是数列中最小的项，故且； 同理，存在，其中且． 由此可知，数列的大小排序为： 因为数列和的各项之和均为0，则有下面几种可能情况： 1．一组：由于，故只能写成中的某两个和， 则中的某一个，剩余两个和这与矛盾！ 2．一组：矛盾理由与情况1同理！ 3．一组：则只能， 由于可得， 而，故，故，矛盾； 同理：不能一组，故可得不能一组！ 同理：不能一组！ 而显然不能一组：如不然，则这与矛盾！ 同理：也显然不能一组！ 则可能情况只能还有以下两种可能： 4．一组：则，作差得矛盾！ 5．一组：由于，那么要由两两配对相加得到，这是不可能的，矛盾！ 因此各项非零数列不存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大二附中2024学年第二学期期末考试卷高一数学 （考试时间：120分钟 卷面满分：150分） 一、填空题（共54分，1-6题每题4分，7-12每题5分） 1. 已知是第四象限的角，则点在第______象限． 2. 若复数z满足，则z的虚部为______． 3. 已知，则______．（数字作答） 4. 记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项. 5. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为______． 6. 已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 7. 已知向量，，若，则实数取值范围是_____． 8. 已知方程的两个虚根为、，且，则实数_____． 9. 已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则______． 10. 正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为__________． 11. 如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是________． 12. 已知正项数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为______． 二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分） 13. 已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 14. 下列说法错误是（ ） A. 已知复数，若，则 B. 已知复数，若，则 C. 若，则与共线 D. 若，则 15. 设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　） A. B. C. D. 16. 设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（共78分） 17. 已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 19. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 20. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 21. 若实数列项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为． （1）若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $