精品解析：黑龙江省大庆市兰德学校2025-2026学年中考二模数学试题

2026中考数学模拟二（6.2） 一、选择题（共30分） 1. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：根据完全平方公式，，计算错误，不符合题意． 选项B：同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，计算错误，不符合题意． 选项C：积的乘方运算，，计算正确，符合题意． 选项D：同底数幂相除，底数不变、指数相减，，计算错误，不符合题意． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 3. 一组数据2，3，x，6，3的平均数与中位数相同，则x的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 6 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和平均数，熟练掌握中位数定义，是解题的关键．数据中有两个3，无论x为何值，排序后中位数恒为3，因此只需令平均数等于3，解方程即可． 【详解】解：∵数据中有两个3， ∴无论x为何值，排序后中位数恒为3， ∵平均数与中位数相同， ∴平均数为3， ∴， 解得：. 故选：A． 4. 如图所示的几何体，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：几何体的俯视图为． 5. 在中，，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据正弦的定义计算即可． 解：在中，，如图， 根据正弦的定义，． 6. 如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交 于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则 为（ ）度． A. 30 B. 45 C. 36 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】由等边对等角可得，由作图可得，平分 ，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得，平分 ， ∴． 7. 天河区某中学组织师生共人参加社会实践活动，有A，B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为人、 人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【详解】解：设租用A车x辆，B车y辆，则由题意可知40x+50y=500， 整理得：4x+5y=50， 当x=0时，y=10，符合题意； 当x=1时，y=，不符合题意； …… 当x=5时，y=6，符合题意； …… 当x=10时，y=2，符合题意． 因此符合题意得可能情况有3种． 故选：C 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，根据题意找出数量关系，列出等式是解题关键． 8. 若关于 的方程的解为正数，则 的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即 ， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为 且， 故选：D． 9. 如图，矩形 的顶点在轴上，在 轴上，双曲线与交于点，与交于点，轴于点，轴于点，交 于点．若矩形和矩形的面积分别是和，则 的值为（ ） A. B. +1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，用表示点的坐标和线段长，从而利用面积建立方程即可求解．解题关键是利用参数表示线段长． 【详解】解：设，则， ∵矩形的面积为1，轴于点， ∴， ∴点的纵坐标为， 当时，=，解得， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， 整理得， 解得： ∵， ∴． 10. 如图，是以正方形 的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接 ，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接 ．若 ，则 的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时， 的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时， 的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴ 的值最大为， ∴ 的最大面积是， 故选：C． 二、填空题（共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：． 12. 今年春节档推出一系列国产电影，好评如潮，截至2026年2月24日，观影总人次达到120000000人，请用科学记数法表示120000000这个数为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，与相切于点A，连接 与相交于点D，，点C在上，连接、，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得出 ，结合，求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点A， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为____cm． 【答案】． 【解析】 【详解】根据题意，圆心角是：360×（1﹣）=240°，则弧长是：（cm）． 设圆锥的底面半径是r， ∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长， ∴根据圆的周长公式，得，解得． 又∵圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形， ∴圆锥的高是：（cm）． 考点：圆锥和扇形的计算，勾股定理． 15. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…，按此规律排列下去，第24个图形中圆的个数是_____个． 【答案】602 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换规律，找到图形的排列规律得到第个图形中圆的个数是解题的关键． 根据图形得出第个图形中圆的个数是，将n代入24代入求解即可． 【详解】解：第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； …… 可得第个图形中圆的个数是； ∴ 时，一共有个圆． 故答案为：602． 16. 如图，在中， ，以为直径的与，分别交于点D，E，连接 ， ， 平分，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接 ，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接 ，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，即点是的中点，， ∵点是的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】在 中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息． 【详解】解：在 中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴ ， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当 时，， （舍）或， ∴， 故答案为：． 18. 定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的“变函数”． 例如：函数，它的“变函数”解析式为． 则关于函数，该函数图像经过点， ①该抛物线的对称轴为直线；②当时，；③若点均在抛物线上，则的最小值为；④若是的“变函数”，的函数图像仍然关于直线对称；⑤若是的“变函数”，直线 与的函数图像恰好有两个交点时，． 以上说法正确的是：______（填序号）． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，能求出函数的解析式和理解二次函数的性质是解此题的关键．根据经过得到，则二次函数解析式为，据此判断前三个，再画出“变函数”的大致图象判断后面两个． 【详解】解：∵关于函数，该函数图像经过点， ∴， 整理得， ∴二次函数解析式为，对称轴为直线， 故①说法正确； 当 ，时，抛物线开口向下，顶点处有最大值，到对称轴的距离更远， ∴当时，抛物线有最小值，最小值为； 当时，抛物线有最大值，最大值为， ∴， 故②正确； ∵点均在抛物线上， ∴，， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， 故③正确； ∵是的“变函数”， ∴， 当 时，函数图象大致如下： 当时，函数图象大致如下： ∴的函数图像不是关于直线对称， 故④错误； 观察函数图象可得，直线 与的函数图像恰好有两个交点时， 经过或的顶点，此时， 故⑤说法正确， 综上所述，正确的有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由特殊角的三角函数值计算出a的值，把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式． 21. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 22. 如图，菱形 中，，连接，点是线段上一点（不与点重合）， 与对角线交于点，连接 ． （1）求证： ； （2）若 ，，求 的长． 【答案】（1） 证明：在菱形 中，， ， 又 ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形 性质，可证即可； （2）连接交于点由是菱形的对角线， 可得 ， ，由直角三角形性质可求，由勾股定理，可求， ， 由 ，可证 可求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点， 是菱形的对角线， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 23. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 表示，分为四个等级： ： ，： ，：，： ， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有 人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意 的用户总人数． （3） （简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1） ，， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 （3） 画树状图为： 由树状图可知，共有 种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为 种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得 的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出 的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第 个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为 、 ，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即 ． 故答案为： ，，． 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比 ， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问3详解】 略 24. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边 ，即．海面与地面 平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线 与海面垂直，鱼竿与地面 的夹角．求点O到岸边 的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边 的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）8.1m；（2）4.58m 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，延长 交于点，构建 和，在 中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用; （2）过点作，垂足为，延长 交 于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH． 【详解】 （1）过点作，垂足为，延长 交于点， 则 ，垂足为． 由，∴， ∴，即， ∴， 由，∴， ∴，即， ∴． 又，∴， ∴，即 ， ∴， 即到岸边的距离为． （2）过点作，垂足为，延长 交 于点， 则，垂足为． 由，∴，∴， 即，∴． 由，∴，∴， 即，∴． ∴， ∴， 即点到岸边的距离为． 【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度． 25. “五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 220 380 日销售量y（件） 180 20 请写出当时，y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件 （2） （3）A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可； （2）设y与x之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种商品的进货单价分别是a、b元/件， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件； 【小问2详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ∴当时，w取得最大值10000， ∴当A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； （3）如图2，若 平分，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数求出 ，再代入反比例函数求出 ，得到解析式； （2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积； （3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点． 【小问1详解】 解：∵一次函数 经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：作 轴于点，轴于点， ∴ ，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在 中， ， ∴， ∴， ∵ ，是斜边上的中线， ∴， 一次函数 ，当时， ， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点， ∵ 平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ， 即点是的中点， ∵点在直线 上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 27. 如图，在中，以为直径的交 于点连接且连接并延长交 的延长线于点与相切于点． （1）求证： 是的切线： （2）连接交于点，求证：； （3）若，求的值． 【答案】 （1）证明：为直径 又 为的切线 （2）证明：连 为圆的切线 又 弧弧 又 （3） 【解析】 【分析】（1）证明 即可得到结论； （2）连接OB，由切线长定理可得PA=PB，根据SSS即可证明，进一步得到 ，，从而可证明； （3）由可设，得到，根据得列式，最后进行求解即可． 【详解】略 略 在中， 设：， 故 且 即 ． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为 （3） 【解析】 【分析】1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为 ，作轴交直线于，交 轴于点，求出，得到，由平行线的性质可得，解直角三角形可得，即当取得最大值时，也取得最大值，设，则，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）设交轴于点，由平行线的性质结合折叠的性质可得，即可得出和都是等腰直角三角形，设，则，，求出，得到，代入二次函数解析式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为 ， 如图，作轴交直线于，交 轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当取得最大值时，也取得最大值， 设，则， ∴， ∵ ， ∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为， 当时，，即； 当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为； 【小问3详解】 解：如图，设交轴于点， ∵轴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴和都是等腰直角三角形， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或 （不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026中考数学模拟二（6.2） 一、选择题（共30分） 1. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据2，3，x，6，3的平均数与中位数相同，则x的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 6 D. 11 4. 如图所示的几何体，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，， ，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交 于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则 为（ ）度． A. 30 B. 45 C. 36 D. 54 7. 天河区某中学组织师生共人参加社会实践活动，有A，B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为人、 人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，矩形 的顶点在轴上，在轴上，双曲线与交于点，与交于点，轴于点，轴于点，交 于点．若矩形和矩形的面积分别是和，则 的值为（ ） A. B. +1 C. D. 10. 如图，是以正方形 的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接 ，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接 ．若 ，则 的最大面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_______． 12. 今年春节档推出一系列国产电影，好评如潮，截至2026年2月24日，观影总人次达到120000000人，请用科学记数法表示120000000这个数为______． 13. 如图，与相切于点A，连接 与相交于点D，，点C在上，连接、，则的度数为______． 14. 如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为____cm． 15. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…，按此规律排列下去，第24个图形中圆的个数是_____个． 16. 如图，在中， ，以为直径的与，分别交于点D，E，连接 ， ， 平分，，则阴影部分的面积为______． 17. 在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______． 18. 定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的“变函数”． 例如：函数，它的“变函数”解析式为． 则关于函数，该函数图像经过点， ①该抛物线的对称轴为直线；②当时，；③若点均在抛物线上，则的最小值为；④若是的“变函数”，的函数图像仍然关于直线对称；⑤若是的“变函数”，直线 与的函数图像恰好有两个交点时，． 以上说法正确的是：______（填序号）． 三、解答题（共66分） 19. 计算： 20. 先化简，再求代数式的值，其中． 21. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 22. 如图，菱形 中，，连接，点是线段上一点（不与点重合）， 与对角线交于点，连接 ． （1）求证： ； （2）若 ，，求 的长． 23. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ： ，： ，：，： ， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有 人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意 的用户总人数． （3） （简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 24. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边 ，即．海面与地面 平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线 与海面垂直，鱼竿与地面 的夹角．求点O到岸边 的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边 的距离．（参考数据：，，，，，） 25. “五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 220 380 日销售量y（件） 180 20 请写出当时，y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； （3）如图2，若 平分，求点的坐标． 27. 如图，在中，以为直径的交 于点连接且连接并延长交 的延长线于点与相切于点． （1）求证： 是的切线： （2）连接交于点，求证：； （3）若，求的值． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $