第02讲 库伦定律（暑假预习讲义）新高二物理人教版

第02讲 库伦定律 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解 → 析教材·学新知：情境概念深度构 情境启思：从生活或问题出发，激发兴趣 概念构建：梳理核心概念，形成知识框架 考点精讲：聚焦常考要点，讲清逻辑 例题精析：典型题目带路，学会解题思路 即练固基：趁热打铁练一练，巩固刚学内容 03过关检测 → 练考点·强落实：过关检测分层提 关键词 学习目标导航 点电荷、库仑定律 静电力常量 库仑力计算 条件辨析 1. 知道点电荷的理想化模型，能判断实际带电体可否看作点电荷； 2. 熟记库仑定律内容、公式、适用条件，记住静电力常量； 3. 会利用库仑定律计算真空中两点电荷间相互作用力； 4. 掌握多个点电荷时静电力的叠加运算； 5. 区分万有引力与库仑力，理解控制变量法实验思路。 学习重点：库仑定律内容、公式、计算；点电荷模型判断 学习难点：非点电荷不能直接套用公式、静电力矢量叠加 情｜境｜启｜思 同种电荷相斥、异种电荷相吸，但电荷间作用力大小不一样：距离越近，排斥 / 吸引效果越明显；带电越多，作用力越强。 思考：电荷间静电力大小和电荷量、间距存在什么定量关系？如何通过实验定量探究？ 概｜念｜构｜建 一、电荷之间的作用力 1．实验探究 (1)带电小球由于受到带电体对其的作用力而使丝线偏离竖直方向θ角。 (2)在电荷量不变的情况下，小球离带电体越近，角度θ越大，离带电体越远，角度θ越小。 (3)在距离不变的情况下，带电体电荷量越大，角度θ越大，电荷量越小，角度θ越小。 (4)结论：影响两电荷之间相互作用力的因素：距离、电荷量。电荷间的相互作用力随带电体间距离的减小而增大，随带电体所带电荷量的增加而增大。 2．库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 3．静电力：电荷之间的相互作用力，也叫库仑力。 4．点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点。点电荷是一种理想化模型。 二、库仑的实验 1．实验装置 　 2．实验步骤 (1)改变A和C之间的距离，记录每次扭丝扭转的角度，便可找出力F与距离r的关系。 (2)改变A和C的带电荷量，记录每次扭丝扭转的角度，便可找出力F与带电荷量q之间的关系。 3．实验结论 (1)力F与距离r的二次方成反比，F∝。 (2)力F与电荷量q1和q2的乘积成正比，F∝q1q2。 4．库仑定律表达式：F＝k，其中静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2。 三、静电力计算 1．两个点电荷间的作用力不因第三个点电荷的存在而改变。 2．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。 深｜研｜精｜炼 知识点01 对点电荷的理解 有人说“点电荷是指电荷量很小的带电体”，这种说法对吗？为什么？ 提示：不对。一个带电体能否看成点电荷，要看所研究的具体问题，而不是由物体的大小或带电量大小而定。 1．点电荷是物理模型 只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。 2．带电体看成点电荷的条件 如果带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状和大小对相互作用力的影响很小，就可以忽略形状、大小等次要因素，只保留对问题有关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。 3．注意区分点电荷与元电荷 (1)元电荷是最小的电荷量，其数值等于一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值。 (2)点电荷只是不考虑带电体的大小和形状，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是元电荷的整数倍。 【典例1】（25-26高二上·天津·阶段检测）关于点电荷的说法，正确的是（　　） A．只有体积很小的电荷，才能作为点电荷 B．点电荷是客观存在的，任何带电体都可以看成是点电荷 C．当两个带电体的形状和大小等因素对相互作用力的影响可以忽略时，这两个带电体可以看成是点电荷 D．两个带电的金属小球，一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理 【探究归纳】判断一个带电体能否看作点电荷，不能以其体积大小、带电荷量多少为依据，关键在于看带电体自身的大小、形状和电荷分布对所研究的相互作用力的影响是否可以忽略，若可以忽略就能看作点电荷，反之则不能。 【即练1】下列对点电荷的理解正确的是（　　） A．体积很大的带电体都不能看作点电荷 B．只有体积很小的带电体才能看作点电荷 C．只要是球形带电体，无论球多大，都能看作点电荷 D．当两个带电体的形状和大小对它们之间相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体都能看作点电荷 【即练2】（25-26高二上·北京大兴·阶段检测）关于电荷，下列说法正确的是（　　） A．物体带电的本质是得失电子，因此自然界实际只存在负电荷一种电荷 B．元电荷就是最小的电荷，大小为1C C．点电荷就是体积极小的电荷，体积较大的带电体不能被看作点电荷 D．两个点电荷之间作用力的规律是法国科学家库仑通过扭秤实验找到的 知识点02 对库仑定律的理解 原子结构模型示意图如图所示。该模型中，电子绕原子核做匀速圆周运动，就像地球的卫星一样。观察图片，思考：电子做匀速圆周运动所需的向心力是由原子核对电子的万有引力提供的吗？ 提示：不是，是由原子核对电子的库仑力提供。 1．库仑定律的适用条件是 (1)真空。(2)静止点电荷。 这两个条件都是理想化的，在空气中库仑定律也近似成立。 2．静电力的大小计算和方向判断 (1)大小计算 利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。 (2)方向判断 在两电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸。 3．库仑定律与万有引力定律的比较 (1)库仑定律和万有引力定律都遵从与距离的二次方成反比规律，人们至今还不能说明它们的这种相似性。 (2)两个定律列表比较如下 　　　物理定律 比较内容　　　 万有引力定律 库仑定律 公式 F＝ F＝ 产生原因 只要有质量，就有引力，因此称为万有引力，两物体间的万有引力总是引力 存在于电荷间，两带电体的库仑力由电荷的性质决定，既有引力，也有斥力 相互作用 吸引力与它们质量的乘积成正比 库仑力与它们电荷量的乘积成正比 相似 遵从牛顿第三定律；与距离的关系为平方反比；都有一个常量 (3)对于微观的带电粒子，它们之间的库仑力要比万有引力大得多。电子和质子的静电引力F1是它们间万有引力F2的2.3×1039倍，正因如此，以后在研究带电微粒间的相互作用时，可以忽略万有引力。 4. 库伦定律的进一步理解 （1）对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离． （2）对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示． a. 同种电荷：F＜k； b. 异种电荷：F＞k. （3）不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了． 角度1：点电荷间库仑力的计算 【典例2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）两个可视为点电荷的相同金属小球，带电量分别为-Q和+3Q，固定在相距为r的两处时，它们间的库仑力大小为F，两小球相互接触后将其距离变为2r固定，则两球间库仑力的大小变为（　　） A． B． C． D． 【探究归纳】接触带电后电荷平分只适用于相同的带电导体，对于不同大小或材质的带电导体，接触后电荷量不会平均分配，计算库仑力时要先确定接触后的带电量，再代入库仑定律公式计算。 【即练1】（24-25高二上·福建漳州·阶段检测）真空中有两个半径均为r的完全相同的金属小球A和B、带电量分别为和5q，当两小球间的距离为L（L远大于r）时，两小球之间的静电力大小为F。现将A和B接触后分开，再使A、B之间距离增大为原来的2倍，则它们之间的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 【即练2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）两个静止的点电荷相距时，它们间的库仑力大小为。现保持两点电荷的电荷量不变，将两者间的距离变为，此时两电荷间的库仑力大小为（　　） A． B． C． D． 角度2：非点电荷间库仑力的计算 【探究归纳】对于不能看作点电荷的带电体，不能直接使用库仑定律计算其相互作用力，我们可以将带电体分解为大量点电荷，先利用库仑定律计算每个点电荷间的静电力，再根据静电力的叠加原理，通过矢量运算求出总库仑力。对于电荷分布规则对称的带电体，可以通过叠加原理简化计算得到最终的静电力。 【典例3】（23-24高一下·河北邯郸·期末）真空中，两个半径为r的金属球，其球心相距3r，现使两球带上等量的电荷量Q，静电力常量为k，关于两球之间的静电力说法正确的是（　　） A．若两金属球带同种电荷，两金属球间的静电力为斥力，大小为 B．若两金属球带同种电荷，两金属球间的静电力为引力，大小大于 C．若两金属球带异种电荷，两金属球间的静电力为引力，大小大于 D．若两金属球带异种电荷，两金属球间的静电力为引力，大小小于 【即练1】如图所示，半径均为r的两个金属球，其球心相距为3r，现使两球带上等量的同种电荷，电荷量都为q，设静电力常量为k。则对两球间的静电力F的判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【即练2】如图所示，A为点电荷，电荷量为，B为一个固定的金属带电球壳，半径为R，电荷量为，点电荷A在P点时所受库仑力为F1，若将点电荷A移到带电球壳B的球心O点，点电荷A所受库仑力为F2，P点与O点的距离为r，且，则（　　） A． B． C． D． 知识点03 静电力的叠加与静电力作用下带电体的平衡 如图所示，真空中有三个点电荷A、B、C，它们固定在边长为a的等边三角形的三个顶点上，电荷量都是Q，则电荷C所受的A、B对它的静电力各多大？方向如何？电荷C所受的总静电力多大？方向如何？ 提示：A对C的静电力，方向沿AC方向，B对C的静电力，方向沿BC方向，电荷C所受静电力的合力为，方向沿AB连线的垂直平分线斜向下。 1．静电力的叠加 (1)两个或两个以上点电荷对某一点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。这个结论通常叫做静电力叠加原理。 (2)静电力具有力的一切性质，静电力叠加原理实际就是力叠加原理的一种具体表现。 (3)静电力的合成与分解满足平行四边形定则，如图所示。 2. 三个自由点电荷的平衡问题 （1） 条件：两个点电荷在第三个点电荷的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。 （2） 规律 ①“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上 ②“两同夹一异”——正负电荷相互间隔 ③“两大夹一小”——中间电荷电荷量最小 ④“远大近小”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷 3．分析静电力作用下点电荷平衡问题的步骤 (1)确定研究对象。如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。 (2)对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝k)。 (3)建立坐标系。 (4)根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。 (5)求解方程。 角度1：多个点电荷间库仑力的合成 【典例4】（25-26高二上·广东·学业考试真题）如图所示，真空中正三角形的三个顶点上固定有三个相同的点电荷。已知、上两点电荷之间的库仑力大小为，则点处点电荷所受库仑力的大小为（　　） A． B． C． D． 【探究归纳】多个点电荷对某一点电荷的库仑力合成时，先分别算出每个点电荷对研究对象的库仑力的大小与方向，再根据平行四边形定则对多个分力进行矢量合成，得到最终的合力；夹角特殊时可结合几何关系简化计算。 【即练1】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图所示，A、B、C是三个相同的金属球（可视为质点），分别位于边长为的正三角形的三个顶点上，其中A球带正电荷，B球带负电荷，C球带正电荷，A球带电荷量为Q，B球带电荷量为，C球带电荷量为。静电力常量为k，则A球受到的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 【即练2】（25-26高二上·四川巴中·期中）如图所示，直角三角形ABC中∠A＝37°，∠C＝90°。两负点电荷固定在A、B两点，一试探电荷在C点受到的电场力方向与AB垂直，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则A、B两点处的点电荷量大小之比为（　　） A．3∶5 B．5∶3 C．4∶3 D．3∶4 角度2：共线自由电荷的平衡问题 【典例5】（25-26高二上·四川成都·期中）在光滑绝缘的水平面上有A、B两个带电小球，电荷量分别为和，A、B两个小球间的距离为L。现将第三个带电小球C放在A、B之间的直线上，三个小球在彼此之间库仑力的作用下均能处于静止状态，带电小球可视为点电荷。下列说法正确的是（　　） A．小球C带负电 B．小球C带正电 C．小球C到小球A的距离为 D．小球C到小球A的距离为 【探究归纳】解决共线三个自由点电荷平衡问题，可先依据“两同夹一异、两大夹一小”的规律判断电荷的电性，再对其中某个点电荷根据平衡条件，结合库仑定律列方程求解位置和电荷量，能够快速得到结果。 【即练1】正点电荷A和B，带电量均为Q，若在其连线的中点上放置一点电荷C，使三者均静止，则点电荷C是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带负电，电量为 D．正负电均可，电量为 【即练2】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有、两个带正电点电荷，质量均为，电荷量分别为和，在真空中相距。已知静电力常量为。现引进第三个点电荷，正好使三个点电荷均处于平衡状态，则点电荷（    ） A．带正电 B．应放在的左侧处 C．电荷量大小为 D．电荷量大小为 角度3：含静电力作用下的直线运动 【典例6】（24-25高一下·湖北恩施·期末）如图所示，光滑绝缘水平面上（俯视图）有三个可视为点电荷的带电小球A、B、C。在小球C上作用一水平恒力F（未知），三个小球保持相对静止一起向右运动。已知三球质量均为m，间距均为r。A、B球带等量正电荷q。求： (1)C球的电性和电荷量qC； (2)水平外力F的大小。 【探究归纳】对于涉及静电力和恒力共同作用的连接体平衡或匀变速运动问题，先对单个物体受力分析，结合库仑定律确定各力的大小方向，再根据牛顿运动定律对单个物体或整体列方程，即可求解未知的电荷量、外力或加速度。 【即练1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个质量均为m的带电小球，A、B球带负电，电荷量均为2q。有一水平拉力F作用在C球上，如果三个小球能够保持边长为r的正三角形“队形”一起沿拉力F方向做匀加速直线运动，静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　） A．A、B之间的库仑力为 B．A、B之间的库仑力为 C．C球带正电，且电荷量为2q D．C球带正电，且电荷量为q 【即练2】（24-25高一下·海南海口·期末）如图，在光滑的绝缘水平面上，有两个相距为的甲、乙小球（均可视为点电荷），带电荷量分别为和、质量分别为和，在水平恒力作用下甲、乙小球一起做匀加速直线运动。已知静电力常量为，水平恒力的大小为（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二上·广东汕尾·期末）关于点电荷模型，下列论述正确的是（　　） A．库仑定律适用于点电荷 B．点电荷就是体积较小的带电体 C．点电荷产生的电场可以忽略不计 D．点电荷的电荷量是确定的，约为 2．（25-26高二上·福建泉州·学业考试模拟）真空中有两个点电荷，它们间的静电力为F；如保持它们间的距离不变，将其中一个的电量减少为原来的一半，则它们间的作用力大小变为（　　） A． B． C．F D．2F 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图所示是定性探究电荷间相互作用力与两电荷的电荷量，以及两电荷之间的距离关系的实验装置。该实验的研究方法是（　　） A．理想实验法 B．等效替代法 C．微小量放大法 D．控制变量法 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图甲、乙所示，两个电荷量均为的点电荷分别置于电荷量线密度相同、半径相同的圆环和半圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）如图所示，两条不等长的细绳一端拴在同一点上，另一端分别拴两个带同种电的小球，电荷量分别为，，质量分别为，，两条细绳长分别为，，两小球处于同一水平面时恰好静止，两小球静止时细绳与竖直方向的夹角分别为，（），则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南鹤壁·期末）如图所示，光滑绝缘支架ABC固定在水平地面上，其中，BC垂直于地面且长度为l，电荷量为q的正点电荷固定在C点。质量为m的带电圆环套在AB上，恰好能静止在AB的中点。已知静电力常量为k，重力加速度为g，圆环的直径远远小于l，下列判断正确的是（　　） A．圆环所带电荷量大小为 B．圆环所带电荷量大小为 C．将圆环从紧靠B点左侧释放瞬间，加速度大小为2g D．将圆环从紧靠B点左侧释放瞬间，加速度大小为 7．（25-26高二上·福建福州·期中）如图所示，光滑绝缘的水平面上的P点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧N点由静止开始释放一个也带正电的小球（可视为质点），以向右为正方向，下列选项中能反映小球运动速度随时间变化规律的是（　　） A．B．C．D． 8．（24-25高二上·广东湛江·期末）如图所示，电荷量为q的带电小球A用长为l的绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为的小球B固定在O点正下方绝缘柱上，之间距离为，小球A平衡时与小球B位于同一竖直平面内，此时悬线与竖直方向夹角，已知带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g，则（　　） A．细线拉力大小为 B．小球A的质量为 C．剪断细线瞬间，小球A的加速度大小为g D．剪断细线，小球A做匀加速运动 二、多选题 9．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与带电小球A连接。A、B、C三个带电小球均可视作质点，且质量均为m，，，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　） A． B． C．弹簧伸长量为 D．相邻两小球间距为 10．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）两个点电荷与静止于竖直平面上，于点放置一质量为的带电小球，恰好处于静止状态，其中与夹角为，设，则（　　） A．与的电荷量之比为 B．与的电荷量之比为 C．小球带正电 D．小球的质量为 11．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，带电小球由绝缘细线和悬挂而处于静止状态，其中水平，地面上固定一绝缘且内壁光滑的圆弧细管道，圆心与球位置重合，管道底端与水平地面相切，一质量为可视为质点的带电小球从端口由静止释放，当小球运动到端时对管道壁恰好无压力，重力加速度为。在小球由滑到过程中，下列说法中正确的是（　　） A．小球机械能逐渐减小 B．小球所受库仑力大小为 C．细线PM的拉力先增大后减小 D．小球的加速度大小先增大后减小 三、解答题 12．（25-26高二上·河北·期末）如图，两绝缘细线上端分别固定在水平天花板上的A、B两点，下端均与一质量为m、带电荷量为（）的小球M相连，小球M静止于C点，CA、CB与竖直方向的夹角分别为37°和53°，在带电小球M右侧固定一小球N，小球N带电荷量大小可以调节，设为aq，两球距离为L，两球连线在水平方向上且与两细线在同一竖直平面内，固定小球N后，若小球M的位置没变化，k为静电力常量，，两球可视为点电荷，求a的取值范围。 13．（24-25高三上·湖南·阶段检测）如图所示，A、B两个带电小球用绕过光滑定滑轮的绝缘细线连接，足够高的绝缘光滑挡板固定在竖直面内，B球与挡板接触，A、B两球在同一水平线上且处于静止状态，悬挂A球的细线与水平方向的夹角为37°，悬挂B球的细线竖直，A、B两球带等量正电荷，细线的总长为L，静电力常量为k，小球B的质量为m，重力加速度为g，，不计小球的体积，求： (1)小球A的质量多大； (2)小球A的带电量是多少； (3)剪断细线，当A、B间的距离为L时，小球A的加速度多大。 14．（25-26高二上·福建宁德·期中）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三个均匀带电小球的质量均为M，已知A、B球的带电量当系统处于静止状态时，小球A、B之间的距离等于小球B、C之间的距离。已知静电力常量为k，三个均匀带电小球均可看成点电荷，重力加速度为g。求： (1)C球受到的静电力，A球受到的静电力； (2)弹簧的压缩量； (3)C球的带电量；小球B、C间的距离。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 库伦定律 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解 → 析教材·学新知：情境概念深度构 情境启思：从生活或问题出发，激发兴趣 概念构建：梳理核心概念，形成知识框架 考点精讲：聚焦常考要点，讲清逻辑 例题精析：典型题目带路，学会解题思路 即练固基：趁热打铁练一练，巩固刚学内容 03过关检测 → 练考点·强落实：过关检测分层提 关键词 学习目标导航 点电荷、库仑定律 静电力常量 库仑力计算 条件辨析 1. 知道点电荷的理想化模型，能判断实际带电体可否看作点电荷； 2. 熟记库仑定律内容、公式、适用条件，记住静电力常量； 3. 会利用库仑定律计算真空中两点电荷间相互作用力； 4. 掌握多个点电荷时静电力的叠加运算； 5. 区分万有引力与库仑力，理解控制变量法实验思路。 学习重点：库仑定律内容、公式、计算；点电荷模型判断 学习难点：非点电荷不能直接套用公式、静电力矢量叠加 情｜境｜启｜思 同种电荷相斥、异种电荷相吸，但电荷间作用力大小不一样：距离越近，排斥 / 吸引效果越明显；带电越多，作用力越强。 思考：电荷间静电力大小和电荷量、间距存在什么定量关系？如何通过实验定量探究？ 概｜念｜构｜建 一、电荷之间的作用力 1．实验探究 (1)带电小球由于受到带电体对其的作用力而使丝线偏离竖直方向θ角。 (2)在电荷量不变的情况下，小球离带电体越近，角度θ越大，离带电体越远，角度θ越小。 (3)在距离不变的情况下，带电体电荷量越大，角度θ越大，电荷量越小，角度θ越小。 (4)结论：影响两电荷之间相互作用力的因素：距离、电荷量。电荷间的相互作用力随带电体间距离的减小而增大，随带电体所带电荷量的增加而增大。 2．库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 3．静电力：电荷之间的相互作用力，也叫库仑力。 4．点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点。点电荷是一种理想化模型。 二、库仑的实验 1．实验装置 　 2．实验步骤 (1)改变A和C之间的距离，记录每次扭丝扭转的角度，便可找出力F与距离r的关系。 (2)改变A和C的带电荷量，记录每次扭丝扭转的角度，便可找出力F与带电荷量q之间的关系。 3．实验结论 (1)力F与距离r的二次方成反比，F∝。 (2)力F与电荷量q1和q2的乘积成正比，F∝q1q2。 4．库仑定律表达式：F＝k，其中静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2。 三、静电力计算 1．两个点电荷间的作用力不因第三个点电荷的存在而改变。 2．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。 深｜研｜精｜炼 知识点01 对点电荷的理解 有人说“点电荷是指电荷量很小的带电体”，这种说法对吗？为什么？ 提示：不对。一个带电体能否看成点电荷，要看所研究的具体问题，而不是由物体的大小或带电量大小而定。 1．点电荷是物理模型 只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。 2．带电体看成点电荷的条件 如果带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状和大小对相互作用力的影响很小，就可以忽略形状、大小等次要因素，只保留对问题有关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。 3．注意区分点电荷与元电荷 (1)元电荷是最小的电荷量，其数值等于一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值。 (2)点电荷只是不考虑带电体的大小和形状，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是元电荷的整数倍。 【典例1】（25-26高二上·天津·阶段检测）关于点电荷的说法，正确的是（　　） A．只有体积很小的电荷，才能作为点电荷 B．点电荷是客观存在的，任何带电体都可以看成是点电荷 C．当两个带电体的形状和大小等因素对相互作用力的影响可以忽略时，这两个带电体可以看成是点电荷 D．两个带电的金属小球，一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理 【答案】C 【详解】A．点电荷的定义不依赖于体积大小，而是取决于带电体的大小和形状对相互作用的影响是否可以忽略（例如，当距离远大于带电体尺寸时），故A错误。 B．点电荷是理想模型，并非客观存在；只有当带电体的大小和形状对问题的影响可忽略时，才能视为点电荷，并非任何带电体都可以，故B错误。 C．当带电体的形状和大小对相互作用力的影响可忽略时（如距离远大于带电体尺寸），可视为点电荷，这符合点电荷的定义，故C正确。 D．两个带电金属小球，只有当它们之间的距离远大于小球半径时，才能视为点电荷且电荷集中在球心；否则（如距离较近时），不能忽略大小和形状的影响，故D错误。 故选C。 【探究归纳】判断一个带电体能否看作点电荷，不能以其体积大小、带电荷量多少为依据，关键在于看带电体自身的大小、形状和电荷分布对所研究的相互作用力的影响是否可以忽略，若可以忽略就能看作点电荷，反之则不能。 【即练1】下列对点电荷的理解正确的是（　　） A．体积很大的带电体都不能看作点电荷 B．只有体积很小的带电体才能看作点电荷 C．只要是球形带电体，无论球多大，都能看作点电荷 D．当两个带电体的形状和大小对它们之间相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体都能看作点电荷 【答案】D 【详解】A．体积很大的带电体在距离足够远时，其形状和大小的影响可忽略，因此可以视为点电荷。故A错误； B．能否看作点电荷取决于研究的问题，并非仅由体积大小决定。故B错误； C．球形带电体若尺寸较大且距离较近，仍不能视为点电荷。故C错误； D．当带电体的形状和大小对相互作用力的影响可忽略时，即可视为点电荷，符合点电荷的定义。故D正确。 故选D。 【即练2】（25-26高二上·北京大兴·阶段检测）关于电荷，下列说法正确的是（　　） A．物体带电的本质是得失电子，因此自然界实际只存在负电荷一种电荷 B．元电荷就是最小的电荷，大小为1C C．点电荷就是体积极小的电荷，体积较大的带电体不能被看作点电荷 D．两个点电荷之间作用力的规律是法国科学家库仑通过扭秤实验找到的 【答案】D 【详解】A．物体带电的本质是电子的转移（得失电子），但自然界中存在正电荷（如质子）和负电荷（如电子），故A错误； B．元电荷是电荷量的最小单位，其值为，而非1C，故B错误； C．点电荷是理想化模型，能否看作点电荷取决于研究问题中带电体的体积是否可忽略，而非实际体积大小，故C错误； D．库仑通过扭秤实验总结出点电荷间作用力的规律（库仑定律），故D正确。 故选D。 知识点02 对库仑定律的理解 原子结构模型示意图如图所示。该模型中，电子绕原子核做匀速圆周运动，就像地球的卫星一样。观察图片，思考：电子做匀速圆周运动所需的向心力是由原子核对电子的万有引力提供的吗？ 提示：不是，是由原子核对电子的库仑力提供。 1．库仑定律的适用条件是 (1)真空。(2)静止点电荷。 这两个条件都是理想化的，在空气中库仑定律也近似成立。 2．静电力的大小计算和方向判断 (1)大小计算 利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。 (2)方向判断 在两电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸。 3．库仑定律与万有引力定律的比较 (1)库仑定律和万有引力定律都遵从与距离的二次方成反比规律，人们至今还不能说明它们的这种相似性。 (2)两个定律列表比较如下 　　　物理定律 比较内容　　　 万有引力定律 库仑定律 公式 F＝ F＝ 产生原因 只要有质量，就有引力，因此称为万有引力，两物体间的万有引力总是引力 存在于电荷间，两带电体的库仑力由电荷的性质决定，既有引力，也有斥力 相互作用 吸引力与它们质量的乘积成正比 库仑力与它们电荷量的乘积成正比 相似 遵从牛顿第三定律；与距离的关系为平方反比；都有一个常量 (3)对于微观的带电粒子，它们之间的库仑力要比万有引力大得多。电子和质子的静电引力F1是它们间万有引力F2的2.3×1039倍，正因如此，以后在研究带电微粒间的相互作用时，可以忽略万有引力。 4. 库伦定律的进一步理解 （1）对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离． （2）对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示． a. 同种电荷：F＜k； b. 异种电荷：F＞k. （3）不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了． 角度1：点电荷间库仑力的计算 【典例2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）两个可视为点电荷的相同金属小球，带电量分别为-Q和+3Q，固定在相距为r的两处时，它们间的库仑力大小为F，两小球相互接触后将其距离变为2r固定，则两球间库仑力的大小变为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据库仑定律可得 相同金属小球接触时，异种电荷先中和再平分，总电荷量为 因此接触后每个小球带电量 所以 故选D。 【探究归纳】接触带电后电荷平分只适用于相同的带电导体，对于不同大小或材质的带电导体，接触后电荷量不会平均分配，计算库仑力时要先确定接触后的带电量，再代入库仑定律公式计算。 【即练1】（24-25高二上·福建漳州·阶段检测）真空中有两个半径均为r的完全相同的金属小球A和B、带电量分别为和5q，当两小球间的距离为L（L远大于r）时，两小球之间的静电力大小为F。现将A和B接触后分开，再使A、B之间距离增大为原来的2倍，则它们之间的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据库仑定律，两球初始静电力大小为 完全相同的金属球接触时，电荷先中和再平分，总电荷量为 分开后两球带电量均为。当距离变为后，新的静电力大小为 可得 故选C。 【即练2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）两个静止的点电荷相距时，它们间的库仑力大小为。现保持两点电荷的电荷量不变，将两者间的距离变为，此时两电荷间的库仑力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据库仑定律有 当电荷量不变、距离变为 时，新库仑力大小为 故选 D。 角度2：非点电荷间库仑力的计算 【探究归纳】对于不能看作点电荷的带电体，不能直接使用库仑定律计算其相互作用力，我们可以将带电体分解为大量点电荷，先利用库仑定律计算每个点电荷间的静电力，再根据静电力的叠加原理，通过矢量运算求出总库仑力。对于电荷分布规则对称的带电体，可以通过叠加原理简化计算得到最终的静电力。 【典例3】（23-24高一下·河北邯郸·期末）真空中，两个半径为r的金属球，其球心相距3r，现使两球带上等量的电荷量Q，静电力常量为k，关于两球之间的静电力说法正确的是（　　） A．若两金属球带同种电荷，两金属球间的静电力为斥力，大小为 B．若两金属球带同种电荷，两金属球间的静电力为引力，大小大于 C．若两金属球带异种电荷，两金属球间的静电力为引力，大小大于 D．若两金属球带异种电荷，两金属球间的静电力为引力，大小小于 【答案】C 【详解】AB．根据同种电荷相互排斥可知若两金属球带同种电荷，两金属球间的静电力为斥力，由于同种电荷相互排斥，所带电量集中在两球的外侧，两球上电荷间的平均距离大于3r，则根据库仑定律可知两球间的静电力满足 故AB错误； CD．根据异种电荷相互排斥可知若两金属球带异种电荷，两金属球间的静电力为引力，由于异种电荷相互吸引，所带电量集中在两球的内侧，两球上电荷间的平均距离小于3r，则根据库仑定律可知两球间的静电力满足 故C正确，D错误。 故选C。 【即练1】如图所示，半径均为r的两个金属球，其球心相距为3r，现使两球带上等量的同种电荷，电荷量都为q，设静电力常量为k。则对两球间的静电力F的判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】带同种电荷的两金属球，由于同种电荷相互排斥，所带电量集中在两球的外侧，两带电金属球等效的点电荷间距离大于3r，故由库仑定律可知，库仑力一定小于距离是3r时的库仑力，即 故选D。 【即练2】如图所示，A为点电荷，电荷量为，B为一个固定的金属带电球壳，半径为R，电荷量为，点电荷A在P点时所受库仑力为F1，若将点电荷A移到带电球壳B的球心O点，点电荷A所受库仑力为F2，P点与O点的距离为r，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．由于P点与O点的距离r没有远大于金属带电球壳的半径R，导致金属带电球壳的电荷分布不均匀，靠近P点一侧电荷分布较多，所以有 故AB错误； CD．将点电荷A移到带电球壳B的球心时，根据对称性，球壳上各部分对该点电荷的库仑力的矢量和为零，故C错误、D正确。 故选D。 知识点03 静电力的叠加与静电力作用下带电体的平衡 如图所示，真空中有三个点电荷A、B、C，它们固定在边长为a的等边三角形的三个顶点上，电荷量都是Q，则电荷C所受的A、B对它的静电力各多大？方向如何？电荷C所受的总静电力多大？方向如何？ 提示：A对C的静电力，方向沿AC方向，B对C的静电力，方向沿BC方向，电荷C所受静电力的合力为，方向沿AB连线的垂直平分线斜向下。 1．静电力的叠加 (1)两个或两个以上点电荷对某一点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。这个结论通常叫做静电力叠加原理。 (2)静电力具有力的一切性质，静电力叠加原理实际就是力叠加原理的一种具体表现。 (3)静电力的合成与分解满足平行四边形定则，如图所示。 2. 三个自由点电荷的平衡问题 （1） 条件：两个点电荷在第三个点电荷的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。 （2） 规律 ①“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上 ②“两同夹一异”——正负电荷相互间隔 ③“两大夹一小”——中间电荷电荷量最小 ④“远大近小”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷 3．分析静电力作用下点电荷平衡问题的步骤 (1)确定研究对象。如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。 (2)对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝k)。 (3)建立坐标系。 (4)根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。 (5)求解方程。 角度1：多个点电荷间库仑力的合成 【典例4】（25-26高二上·广东·学业考试真题）如图所示，真空中正三角形的三个顶点上固定有三个相同的点电荷。已知、上两点电荷之间的库仑力大小为，则点处点电荷所受库仑力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由库仑定律 任意两个点电荷间的库仑力相等，则点处点电荷所受库仑力如图 则由几何关系得合力大小为 故选B。 【探究归纳】多个点电荷对某一点电荷的库仑力合成时，先分别算出每个点电荷对研究对象的库仑力的大小与方向，再根据平行四边形定则对多个分力进行矢量合成，得到最终的合力；夹角特殊时可结合几何关系简化计算。 【即练1】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图所示，A、B、C是三个相同的金属球（可视为质点），分别位于边长为的正三角形的三个顶点上，其中A球带正电荷，B球带负电荷，C球带正电荷，A球带电荷量为Q，B球带电荷量为，C球带电荷量为。静电力常量为k，则A球受到的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据库仑定律AB间有引力 AC两球间有斥力，受力图如图所示 由题意知，，A球所受静电力 解得 ，D正确。 故选D。 【即练2】（25-26高二上·四川巴中·期中）如图所示，直角三角形ABC中∠A＝37°，∠C＝90°。两负点电荷固定在A、B两点，一试探电荷在C点受到的电场力方向与AB垂直，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则A、B两点处的点电荷量大小之比为（　　） A．3∶5 B．5∶3 C．4∶3 D．3∶4 【答案】C 【详解】AB处的两个点电荷电性相同，对C点放置的试探电荷同为吸引或者同为排斥，假设为排斥力，试探电荷的受力如图所示 根据三角函数关系式，有 根据库仑定律，有 其中 计算后得到 故选C。 角度2：共线自由电荷的平衡问题 【典例5】（25-26高二上·四川成都·期中）在光滑绝缘的水平面上有A、B两个带电小球，电荷量分别为和，A、B两个小球间的距离为L。现将第三个带电小球C放在A、B之间的直线上，三个小球在彼此之间库仑力的作用下均能处于静止状态，带电小球可视为点电荷。下列说法正确的是（　　） A．小球C带负电 B．小球C带正电 C．小球C到小球A的距离为 D．小球C到小球A的距离为 【答案】A 【详解】AB．若C带正电，小球C放在A、B之间，则A或B受到另外两电荷的库仑力均为排斥力，无法静止，故C不能带正电；若C带负电，A和B对C的库仑力均为吸引力，方向相反，通过平衡条件可确定C的位置，且此时A和B的受力也能平衡，故A正确，B错误； CD．设C到A的距离为，到B的距离为，根据库仑力平衡条件 可得，故CD错误。 故选A。 【探究归纳】解决共线三个自由点电荷平衡问题，可先依据“两同夹一异、两大夹一小”的规律判断电荷的电性，再对其中某个点电荷根据平衡条件，结合库仑定律列方程求解位置和电荷量，能够快速得到结果。 【即练1】正点电荷A和B，带电量均为Q，若在其连线的中点上放置一点电荷C，使三者均静止，则点电荷C是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带负电，电量为 D．正负电均可，电量为 【答案】C 【详解】由分析可知，点电荷C需带负电才能平衡正点电荷A和B间的斥力，所以要使三个点电荷均静止，则点电荷C带负电。设点电荷C的带电量为，到点电荷A和B的距离均为，则对点电荷A进行受力分析，列平衡方程为 即 解得 故选C。 【即练2】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有、两个带正电点电荷，质量均为，电荷量分别为和，在真空中相距。已知静电力常量为。现引进第三个点电荷，正好使三个点电荷均处于平衡状态，则点电荷（    ） A．带正电 B．应放在的左侧处 C．电荷量大小为 D．电荷量大小为 【答案】D 【详解】由“两大夹小，两同夹异”可知第三个小球应带负电，且位于、两小球之间某位置，假设第三个小球带电荷量大小为，距小球的距离为，则对第三个小球有 解得   对A小球有 解得 故选D。 角度3：含静电力作用下的直线运动 【典例6】（24-25高一下·湖北恩施·期末）如图所示，光滑绝缘水平面上（俯视图）有三个可视为点电荷的带电小球A、B、C。在小球C上作用一水平恒力F（未知），三个小球保持相对静止一起向右运动。已知三球质量均为m，间距均为r。A、B球带等量正电荷q。求： (1)C球的电性和电荷量qC； (2)水平外力F的大小。 【答案】(1)C球带负电荷，2q (2) 【详解】（1）由题意可知C球带负电荷，对A球有 解得 （2）设三球运动加速度为a，对A球有 对三球整体有 解得 【探究归纳】对于涉及静电力和恒力共同作用的连接体平衡或匀变速运动问题，先对单个物体受力分析，结合库仑定律确定各力的大小方向，再根据牛顿运动定律对单个物体或整体列方程，即可求解未知的电荷量、外力或加速度。 【即练1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个质量均为m的带电小球，A、B球带负电，电荷量均为2q。有一水平拉力F作用在C球上，如果三个小球能够保持边长为r的正三角形“队形”一起沿拉力F方向做匀加速直线运动，静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　） A．A、B之间的库仑力为 B．A、B之间的库仑力为 C．C球带正电，且电荷量为2q D．C球带正电，且电荷量为q 【答案】A 【详解】CD．运动中间距不变，则三球加速度相同，方向水平向右，因为A、B两球的电量均为-2q，所以B球受到A的斥力向下，则受到C球的力为吸引力，所以C球带正电，设C球所带电量为Q，对B球受力分析，有 解得 故CD错误； AB．根据库仑定律可得A和B球之间的库仑力为 故A正确，B错误。 故选A。 【即练2】（24-25高一下·海南海口·期末）如图，在光滑的绝缘水平面上，有两个相距为的甲、乙小球（均可视为点电荷），带电荷量分别为和、质量分别为和，在水平恒力作用下甲、乙小球一起做匀加速直线运动。已知静电力常量为，水平恒力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以乙小球为研究对象进行受力分析可知，乙小球只受到甲小球的库仑力作用做匀加速直线运动，设其加速度为，对乙小球列牛顿第二定律方程有 解得 因为在水平恒力作用下甲、乙小球一起做匀加速直线运动，选甲、乙整体为研究对象，列牛顿第二定律方程有 联立解得 故选A。 一、单选题 1．（25-26高二上·广东汕尾·期末）关于点电荷模型，下列论述正确的是（　　） A．库仑定律适用于点电荷 B．点电荷就是体积较小的带电体 C．点电荷产生的电场可以忽略不计 D．点电荷的电荷量是确定的，约为 【答案】A 【详解】A．库仑定律描述两个点电荷之间的相互作用力，因此该定律适用于点电荷，故A正确。 B．点电荷是理想模型，并非所有体积较小的带电体都是点电荷，故B错误。 C．点电荷产生的电场强度由决定，其值随距离减小而增大，不可忽略，故C错误。 D．点电荷的电荷量可为任意值，是元电荷，并非点电荷的固定值，故D错误。 故选A。 2．（25-26高二上·福建泉州·学业考试模拟）真空中有两个点电荷，它们间的静电力为F；如保持它们间的距离不变，将其中一个的电量减少为原来的一半，则它们间的作用力大小变为（　　） A． B． C．F D．2F 【答案】B 【详解】根据库仑定律可得初始时两点电荷间的静电力为 如保持它们间的距离不变，将其中一个的电量减少为原来的一半，则它们间的作用力大小变为 故选B。 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图所示是定性探究电荷间相互作用力与两电荷的电荷量，以及两电荷之间的距离关系的实验装置。该实验的研究方法是（　　） A．理想实验法 B．等效替代法 C．微小量放大法 D．控制变量法 【答案】D 【详解】定性探究电荷间相互作用力与两电荷的电荷量，以及两电荷之间的距离关系的实验装置。该实验的研究方法是先保持一个物理量不变（如两电荷的电荷量，或两电荷之间的距离），探究另一个物理量跟电荷间相互作用力之间的关系，该实验的研究方法是控制变量法。 故选D。 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图甲、乙所示，两个电荷量均为的点电荷分别置于电荷量线密度相同、半径相同的圆环和半圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据对称性，图甲中四分之一圆环对圆心点电荷的库仑力可等效为环上电荷集中于环中点处电荷对圆心点电荷产生的，如图 同理，图乙中环对圆心点电荷的库仑力可等效为上下两个四分之一圆环电荷对其产生的，如图 几何关系可知 故选A。 5．（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）如图所示，两条不等长的细绳一端拴在同一点上，另一端分别拴两个带同种电的小球，电荷量分别为，，质量分别为，，两条细绳长分别为，，两小球处于同一水平面时恰好静止，两小球静止时细绳与竖直方向的夹角分别为，（），则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．因两球受到的库仑力是相互作用力，等大反向，则由平衡可得 可得 由分析可知，细绳与竖直方向之间的夹角大小与两个小球的带电量的大小无关，不能判断出电荷量的大小关系。故A正确，B错误； CD．由几何关系可知 可得，，CD错误。 故选A。 6．（25-26高二上·河南鹤壁·期末）如图所示，光滑绝缘支架ABC固定在水平地面上，其中，BC垂直于地面且长度为l，电荷量为q的正点电荷固定在C点。质量为m的带电圆环套在AB上，恰好能静止在AB的中点。已知静电力常量为k，重力加速度为g，圆环的直径远远小于l，下列判断正确的是（　　） A．圆环所带电荷量大小为 B．圆环所带电荷量大小为 C．将圆环从紧靠B点左侧释放瞬间，加速度大小为2g D．将圆环从紧靠B点左侧释放瞬间，加速度大小为 【答案】A 【详解】AB．若圆环带正电，圆环受到的静电力为斥力，此时圆环所受重力方向竖直向下，支持力方向垂直于杆，合力不可能为0，圆环不可能处于静止状态，可知，圆环一定带负电，所受静电力为引力，对圆环进行分析，如图所示 根据几何关系可知，AB的中点到A、B、C三点间距相等，且均等于l，根据平衡条件有 解得，故A正确，B错误； CD．将圆环从紧靠B点左侧释放瞬间，根据牛顿第二定律有 结合上述解得，故CD错误。 故选A。 7．（25-26高二上·福建福州·期中）如图所示，光滑绝缘的水平面上的P点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧N点由静止开始释放一个也带正电的小球（可视为质点），以向右为正方向，下列选项中能反映小球运动速度随时间变化规律的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】由于小球受到库仑斥力的作用，所以小球向右（正方向）做加速运动，随着距离的增大，小球受到的库仑力逐渐减小，则小球的加速度逐渐减小，图像的切线斜率逐渐减小。 故选C。 8．（24-25高二上·广东湛江·期末）如图所示，电荷量为q的带电小球A用长为l的绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为的小球B固定在O点正下方绝缘柱上，之间距离为，小球A平衡时与小球B位于同一竖直平面内，此时悬线与竖直方向夹角，已知带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g，则（　　） A．细线拉力大小为 B．小球A的质量为 C．剪断细线瞬间，小球A的加速度大小为g D．剪断细线，小球A做匀加速运动 【答案】B 【详解】AB．以小球A为研究对象，受力情况如图所示 由几何关系可知AB连线与竖直方向夹角为30°；由库仑定律得 由共点力平衡条件得FTcos30°+Fcos30°=mg 联立解得， 故A错误，B正确； C．剪断细线瞬间小球A受的合外力为FT，可知加速度 故C错误； D．剪断细线之后，小球A受不变的竖直向下的重力和不断变化的库仑力，合外力不断变化，可知加速度不断变化，小球A做非匀加速运动，故D错误。 故选B。 二、多选题 9．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与带电小球A连接。A、B、C三个带电小球均可视作质点，且质量均为m，，，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　） A． B． C．弹簧伸长量为 D．相邻两小球间距为 【答案】BCD 【详解】ABD．三小球间距均相等，对C球受力分析可知C球带正电，根据平衡条件 对B小球受力分析，根据平衡条件 两式联立解得，，故A错误，BD正确； C．对A、B、C三小球整体受力分析，根据平衡条件 弹簧伸长量，故C正确。 故选BCD。 10．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）两个点电荷与静止于竖直平面上，于点放置一质量为的带电小球，恰好处于静止状态，其中与夹角为，设，则（　　） A．与的电荷量之比为 B．与的电荷量之比为 C．小球带正电 D．小球的质量为 【答案】AC 【详解】ABC．设 根据几何关系有 对带电小球进行受力分析，可得 其中，联立解得 且小球带正电，故AC正确，B错误； D．受力分析可得 解得 因未知，故无法求出，故D错误。 故选AC。 11．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，带电小球由绝缘细线和悬挂而处于静止状态，其中水平，地面上固定一绝缘且内壁光滑的圆弧细管道，圆心与球位置重合，管道底端与水平地面相切，一质量为可视为质点的带电小球从端口由静止释放，当小球运动到端时对管道壁恰好无压力，重力加速度为。在小球由滑到过程中，下列说法中正确的是（　　） A．小球机械能逐渐减小 B．小球所受库仑力大小为 C．细线PM的拉力先增大后减小 D．小球的加速度大小先增大后减小 【答案】BC 【详解】A．小球b所受库仑力和管道的弹力始终与速度垂直，即只有重力做功，所以小球b机械能守恒，故A错误； B．对小球b从G运动到H的过程，根据机械能守恒有 又小球b在H端时对管道壁恰好无压力，则小球b在H端时，根据牛顿第二定律有 联立解得，故B正确； C．设PN与竖直方向的夹角为，小球b与小球a的连线与水平方向的夹角为，小球a受力平衡，根据正交分解，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得 由题知下滑过程中从0增大到90°，故细线PM的拉力先增大后减小，故C正确； D．设小球b与小球a的连线与水平方向的夹角为，设小球b到达任意位置的线速度大小为，根据机械能守恒有 根据牛顿第二定律，沿半径方向有 解得 沿切线方向有 解得 故小球b在任意位置加速度为向心加速度和切向加速度合成，即为 故下滑过程中从0增大到90°，可知小球的加速度一直变大，故D错误。 故选BC。 三、解答题 12．（25-26高二上·河北·期末）如图，两绝缘细线上端分别固定在水平天花板上的A、B两点，下端均与一质量为m、带电荷量为（）的小球M相连，小球M静止于C点，CA、CB与竖直方向的夹角分别为37°和53°，在带电小球M右侧固定一小球N，小球N带电荷量大小可以调节，设为aq，两球距离为L，两球连线在水平方向上且与两细线在同一竖直平面内，固定小球N后，若小球M的位置没变化，k为静电力常量，，两球可视为点电荷，求a的取值范围。 【答案】 【详解】当细线上力为0时，对小球受力分析，此时小球带正电，电荷量为，根据库仑定律有 根据平衡条件可得 解得 当细线上力为0时，对小球受力分析，此时小球带负电，电荷量为，根据库仑定律有 根据平衡条件可得 解得 若小球的位置没变化，则两细线都不能松弛，则的取值范围为。 13．（24-25高三上·湖南·阶段检测）如图所示，A、B两个带电小球用绕过光滑定滑轮的绝缘细线连接，足够高的绝缘光滑挡板固定在竖直面内，B球与挡板接触，A、B两球在同一水平线上且处于静止状态，悬挂A球的细线与水平方向的夹角为37°，悬挂B球的细线竖直，A、B两球带等量正电荷，细线的总长为L，静电力常量为k，小球B的质量为m，重力加速度为g，，不计小球的体积，求： (1)小球A的质量多大； (2)小球A的带电量是多少； (3)剪断细线，当A、B间的距离为L时，小球A的加速度多大。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小球B研究，根据力的平衡，细线上的拉力 对小球A研究，有 解得 （2）对小球A研究 根据几何关系 解得 ， （3）剪断细线，B做自由落体运动，A在竖直方向也做自由落体运动，A、B始终在同一水平线上。当A、B间的距离为L时，A、B间的库仑力 根据牛顿第二定律 解得 14．（25-26高二上·福建宁德·期中）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三个均匀带电小球的质量均为M，已知A、B球的带电量当系统处于静止状态时，小球A、B之间的距离等于小球B、C之间的距离。已知静电力常量为k，三个均匀带电小球均可看成点电荷，重力加速度为g。求： (1)C球受到的静电力，A球受到的静电力； (2)弹簧的压缩量； (3)C球的带电量；小球B、C间的距离。 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【详解】（1）对C球，由平衡条件，可知C球受到的静电力 方向沿斜面向上。 对两球整体，由平衡条件可知整体受到的静电力 根据牛顿第三定律可知，A球受到的静电力 方向沿斜面向下。 （2）对三球整体分析，由平衡条件有 解得 （3）A、C对的库仑力分别为， 对B，由平衡条件有 、B对的库仑力分别为， 对C有 联立解得， 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $