云南省2025-2026学年高二下学期期末模拟考试数学卷（二）

**基本信息** 立足高考全范围，以AI情境等时代素材融合立体几何、概率统计等核心知识，梯度设计检测数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合、复数、向量、椭圆离心率|基础题覆盖高频考点，如第5题圆台体积考查空间观念| |多项选择题|3/18|圆与圆位置关系、等差数列前n项和|第10题结合Sn最值与不等式，考查推理能力| |填空题|3/15|等比数列求和、正三棱锥与球|第14题切线方程综合曲线导数，体现数学思维| |解答题|5/77|立体几何（线面平行、二面角）、概率统计（AI使用调查）、导数综合|16题以AI使用数据为情境，考查独立性检验与条件概率，培养数据意识；19题导数题结合存在性证明，发展创新意识|

2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（二） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（  ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 4．已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 5．已知一圆台上底面直径为，下底面半径为，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（     ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 7．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆相切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 10．设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14 11．已知，是双曲线：的左、右焦点，过的直线为，则（   ） A．若与左、右两支相交于、两点，则 B．当与仅有一个交点时，到的距离为8 C．若与左、右两支交于、两点，则的斜率的取值范围为 D．若与左、右两支相交于、两点，，则为定值12 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 13．已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 14．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 16．（15分）“你好．我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜．两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分）在中，内角的对边分别为，若，且． (1)求角； (2)若点为线段上的一点，且，，求的面积． 18．（17分）已知抛物线上的点到Γ焦点的距离为． (1)求Γ的方程； (2)若直线与Γ交于A，B两点， 求t的取值范围． 19．（17分）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（二） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、公式法解绝对值不等式 【详解】由，得. 又，所以. 由，得， 所以. 因此. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】根据复数的乘法运算及复数的几何意义可得. 【详解】因为． 所以． 3．（2026·四川自贡·模拟预测）已知向量满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知模求数量积 【详解】因为，所以， 化简得：，所以，则：. 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 5．（2026·陕西西安·三模）已知一圆台上底面直径为，下底面半径为，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆台的结构特征辨析、台体体积的有关计算 【分析】先根据题干条件求出圆台的上下底面半径、母线长，再通过勾股定理计算圆台的高，最后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】已知一圆台上底面直径为，则半径，下底面半径为，即，母线， 圆台的轴截面如图所示，其中，， 由题意可知圆台的高， 则根据圆台的体积公式得圆台的体积，故D正确. 6．（2026·吉林长春·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（     ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【详解】甲不站在两端，则甲有种站法，甲和乙不相邻，则乙有种站法， 则不同的排列方式有种. 7．（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【详解】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以，选D. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（2026·全国二卷·高考真题）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆相切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 【答案】BC 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 10．（2026·河南开封·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14 【答案】ABD 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，由，可得， 因为，可得，所以，正确； B，由A分析且，所以且，正确； C，在等差数列中，由且， 当时，得；当时，得， 所以取得最大值时，，错误； D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，正确. 11．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知，是双曲线：的左、右焦点，过的直线为，则（   ） A．若与左、右两支相交于、两点，则 B．当与仅有一个交点时，到的距离为8 C．若与左、右两支交于、两点，则的斜率的取值范围为 D．若与左、右两支相交于、两点，，则为定值12 【答案】BCD 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】对A，计算得到过且与左右两支相交的直线斜率为时，弦长，因此不成立；对B，确定过 且与双曲线仅有一个交点的直线为两条渐近线，代入点到直线距离公式计算得到直线的距离恒为；对C，根据双曲线渐近线斜率与交点位置的关系，可得直线与双曲线左右两支相交时斜率满足；对D，利用的条件结合韦达定理解出斜率，代入弦长公式计算得弦长为定值. 【详解】双曲线 ，得 ，焦点 ， 对于A：若直线为轴，交双曲线左右两支于，此时，A错误； 对于B：在双曲线外部，过的直线与双曲线仅有一个交点时，只能是平行于渐近线的直线， 渐近线斜率为，则直线方程为，整理得， 到的距离，B正确； 对于C：若直线斜率存在，设，由，得， 若交左右两支于两点，需两根之积，即，得，即； 若直线斜率不存在，则，两个交点都在左支，不符合要求； 因此斜率范围为，C正确； 对于D：设，AB中点，直线斜率为， 由，得，整理得 即，所以， 整理得 由在双曲线上，可得，， 两式作差得，即 所以，即，解得 由，得，则，解得， 所以， 所以 ，即为定值，D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．（2025·上海·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【答案】 9 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的其他性质、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式化简所求比值后代入计算结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. 13．（2026·陕西榆林·三模）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据三棱锥的体积公式求出到底面的距离为，结合底面正三角形的外接圆半径和外接球的性质可求得球的半径，从而求出球的表面积. 【详解】因为底面是边长为的正三角形， 所以的面积为， 设到底面的距离为，正三棱锥的体积为. 则，所以. 底面正三角形的外接圆半径，故， 设球的半径为，则， 所以，球的表面积为. 14．（25-26高二下·浙江·阶段检测）曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】求出切线方程，设切线与曲线切于点，利用导数的几何意义以及点在切线上可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】对函数求导得，故曲线在处的切线斜率为， 所求切线方程为，即， 设直线与曲线切于点， 对函数求导得，所以曲线在点处的切线斜率为， 且点在直线上，所以有，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据菱形性质得到是等边三角形，取的中点，连接，得，再由面面垂直性质定理得到平面，再结合题中条件利用线面垂直判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量法求出平面与平面的法向量，计算夹角余弦值 【详解】（1）因为底面为菱形，，所以是等边三角形，， 取的中点，连接， 在菱形中，，所以是等边三角形，则， 又因为平面平面，且平面平面， 平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，以A为原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为 y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为，所以， 因为E为PD的中点，所以， ，设平面的法向量为， 则，取，得. ，设平面的法向量为， 则，取，得， 二面角为钝角， 故， 所以二面角的余弦值为. 16．（15分）（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）“你好．我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜．两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为的使用情况与学历无关； (2)（i）（ii） 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、条件概率性质的应用、独立事件的乘法公式 【分析】（1）先假设的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可指导比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知，甲获胜的概率，只需计算出拿出比赛结果后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【详解】（1）零假设为：的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据， 可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明推断不成立， 因此可以认为成立，即认为的使用情况与学历无关. （2）（i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， ， ， ， 比赛结束甲获胜时的得分可能取值为10，20，30， 则， ， ， 所以比赛结束后，甲获胜的概率， （ii）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”， ， 则，因此比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 17．（15分）（25-26高一下·河北石家庄·期中）在中，内角的对边分别为，若，且． (1)求角； (2)若点为线段上的一点，且，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理边角互化后，再由三角恒等变换后求解； （2）利用中线的向量表示，平方后求出，再由三角形面积公式得解. 【详解】（1）依题意由正弦定理得， 即． 因为，所以． 所以，即． （2）因为， , 所以，两边平方， 得, 即 ， 可得， 又，所以代入方程，可解得． 所以的面积. 18．（17分）（2026·河北保定·二模）已知抛物线上的点到Γ焦点的距离为． (1)求Γ的方程； (2)若直线与Γ交于A，B两点， 求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据抛物线的定义和几何性质，结合已知条件构造方程求出，进而求出Γ的方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理化简，结合已知条件构造不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】（1）已知点在抛物线上，则，解得， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线定义得，解得， 抛物线的方程为． （2）    联立直线与抛物线得， 直线与抛物线交于A，B两点，则，解得， 设，由韦达定理得， ， ， ， ， ，即，解得， 综上可得，t的取值范围为． 19．（17分）（2026·山西·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $