专题04：四边形（导学案）新四年级数学暑假自习课（冀教版·新教材）

四年级数学上册暑假自习课（冀教版·新教材） 专题04：四边形 知识点精讲 知识点01：长方形和正方形 内容 长方形 1. 长方形的四个角都是直角，对边相等； 2. 长方形较长的边叫作长，较短的边叫作宽。 正方形 1. 正方形的四个角都是直接，四条边都相等； 2. 正方形的每条边叫作边长。 【典型例题1】 长方形的上下两条边（    ），相邻的两条边（    ）。（    ） A．互相垂直；普通相交 B．互相平行；互相垂直 C．既不平行也不垂直；互相垂直 D．互相平行；普通相交 【典型例题2】 沈丘行政服务中心地砖边线互相( )，墙角边线互相( )；正方形纸对折两次，折痕可能( )也可能( )。 【变式训练1】 （如图）长方形中( )和( )互相平行；( )和( )互相垂直。 【变式训练2】 观察下图，图中一共有( )个正方形。 知识点02：平行四边形和梯形 内容 平行四边形 1. 平行四边形具有不稳定性； 2. 平行四边形的两组对边分别平行且相等； 3. 平行四边形两组对边之间的垂线叫作平行四边形的高，垂足所在的边叫作平行四边形的底。 梯形 1. 只有一组对边平行的四边形叫作梯形。梯形平行的两条边分别叫作梯形的上底和下底，另外两条边叫作梯形的腰； 2. 从梯形上底上的一点向下底引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫作梯形的高； 3. 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。 【典型例题1】 下面应用了平行四边形容易变形的特点的事例有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【典型例题2】 一个长方形和一个三角形重叠在一起（如图），重叠部分的形状是（    ）。 A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 D．无法判断 【变式训练1】 在下图中找一个点D，使四边形ABCD是一个等腰梯形，下面符合要求的是点（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练2】 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（    ）个。 ①平行四边形ABCD的CD边上的高是15厘米；    ②AB∥CD； ③四边形ABED是一个直角梯形；          ④DE＝10cm A．4 B．2 C．3 D．1 课后强化 一、选择题 1．（    ）的对称轴只有两条。 A．正方形 B．圆 C．长方形 D．平行四边形 2．下图是一个破损的图形，这个图形不可能是（    ）。 A．平行四边形 B．正方形 C．梯形 D．长方形 3．聪聪在如图所示的点子图中画出了梯形ABCD，现在聪聪想任意改动一个点，其余三个点不变，则下面说法中错误的是（    ）。 A．点A向左平移1格，则原来的图形变成了长方形 B．点B向左平移1格，则原来的图形变成了等腰梯形 C．点C向右平移2格，则原来的图形变成了直角梯形 D．点D向右平移1格，则原来的图形变成了平行四边形 4．如图，平行四边形中，当高是10cm时，所对应的底边的长度是（    ）。 A．12cm B．6cm C．10cm D．8cm 5．把一个等腰梯形分成两个图形，这两个图形不可能是（    ）。 A．一个三角形和一个平行四边形 B．两个梯形 C．两个平行四边形 D．两个三角形 二、填空题 6．在数学课堂上，王老师在如图所示的4个图形中选择了一个，并请一位同学通过提问的方式来猜这个图形的形状，王老师只需回答“是”或“不是”。下面是王老师和明明的对话，请帮明明猜出王老师选择的图形是什么形状。 明明：“这个图形是四边形吗？”        王老师：“是。” 明明：“这个图形有钝角吗？”        王老师：“是。” 明明：“这个图形有两组对边互相平行吗？”        王老师：“不是。” 王老师选择的这个图形可能是________。 7．下图中，总共有( )个长方形。 8．如图，两个正方形叠放在一起，的度数是( )°。 9．用四根这样的小棒可以围成( )个不同的平行四边形。围成的形状不能确定，说明平行四边形具有( )的特点。 10．在下图中，小正方形的边长是6厘米，大正方形的边长是8厘米。图中共有( )个梯形，其中最大的梯形的较短底边是( )厘米，较长底边是( )厘米，高是( )厘米。 三、解答题 11．分别画出平行四边形和梯形底边上的高。 12．某花卉博览会中的郁金香展区被设计成平行四边形。（共5分） （1）已知平行四边形ABCD的点A、点B、点C（如图），请你从下图中作出点D，并画出这个平行四边形。 （2）从点E出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 （3）设计师将这个平行四边形分割成两个梯形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是怎么分割的，请你在图中画出来。 13．在方格纸上按要求画出下面的图形。（每个小方格的边长是1厘米） （1）底是3厘米，高是2厘米的平行四边形。 （2）上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米的等腰梯形。 14．一个正方形有几个角？如果去掉一个角后还剩下几个角？ 15．如图，小华家、学校、公园和商场之间的路围成了一个平行四边形。小华爸爸步行从家出发，先到学校接小华，再和小华一起走到公园玩。爸爸单独每分钟走75米，小华走得慢，两人一起走每分钟只能走60米。 (1)从爸爸出发到两人到达公园一共用多长时间？（在学校接小华的时间忽略不计） (2)返回时，两人共同走另一条路“公园→商场→小华家”，走了6分钟时，两人的位置大概在哪儿？用“●”在图上标出来。 参考答案 知识点01 【典型例题1】 B 【分析】根据长方形的性质：长方形的对边互相平行，相邻两条边相交成直角，因此互相垂直。长方形的上下边是一组对边，所以互相平行；相邻的两条边成直角，所以互相垂直。 【详解】长方形的上下两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。 【典型例题2】 平行 垂直 平行 垂直 【分析】根据地砖、墙角的几何特征判断边线的关系，地砖通常为长方形或正方形，其相对的边线方向相同，不相交，因此互相平行；墙角由两条相交的边线组成，形成直角，因此互相垂直。 如图所示：如果两次沿同一个方向对折，得到的两条折痕互相平行；如果一次沿水平方向、一次沿竖直方向对折，得到的两条折痕互相垂直，因此折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 【详解】由分析可知， 沈丘行政服务中心地砖边线互相平行，墙角边线互相垂直；正方形纸对折两次，折痕可能平行也可能垂直。 【变式训练1】 a b a c 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。长方形的对边互相平行，邻边互相垂直。 【详解】在长方形中，对边互相平行，邻边互相垂直。 互相平行的边：a 和 b 互相平行，c 和 d 互相平行。 互相垂直的边：a 和 c 互相垂直，a 和 d 互相垂直，b 和 c 互相垂直，b 和 d 互相垂直。 【变式训练2】 30 【分析】观察图形，这是一个4×4的方格图（横向、纵向都有4个小方格）。1×1的小正方形有：4×4＝16个；2×2的正方形有：3×3＝9个；3×3的正方形有：2×2＝4个；4×4的正方形有：1×1＝1个；然后把数量相加即可得出一共有多少个正方形。 【详解】1×1的小正方形：4×4＝16（个） 2×2的正方形：3×3＝9（个） 3×3的正方形：2×2＝4（个） 4×4的正方形：1×1＝1（个） 16＋9＋4＋1＝30（个） 图中一共有30个正方形。 知识点02 【典型例题1】 C 【分析】平行四边形的不稳定性是指当四边形的边长固定时，其形状和大小不能完全确定。因为平行四边形的夹角可以改变，从而形成无数个边长相同但夹角不同的平行四边形，‌所以受力容易变形，据此解答即可。 【详解】伸缩门在开关过程中，通过平行四边形的变形来实现门的伸缩，应用了平行四边形易变形的特点； 升降机的升降利用了平行四边形易变形的特性，通过变形实现高度的调整，应用了平行四边形易变形的特点； 晾衣架在使用时，依靠平行四边形的变形来改变形状，应用了平行四边形易变形的特点； 停车位是固定的几何形状，未利用平行四边形易变形的特点。 应用了平行四边形容易变形的特点的事例有3个。 【典型例题2】 C 【分析】根据三角形、平行四边形、长方形和梯形的意义和特征进行判断即可。 【详解】A．平行四边形有两组互相平行的对边，重叠部分的图形只有一组对边平行，故不是平行四边形。 B．长方形有四个直角，重叠部分的图形没有直角，故不是长方形； C．梯形有一组对边平行，一组对边不平行，重叠部分的图形符合梯形的特征，故为梯形。 D．重叠部分的图形符合梯形的特征，故为梯形，无法判断说法错误。 【变式训练1】 B 【分析】等腰梯形的特点：一组对边平行，两腰长度相等。据此解答。 【详解】观察图形可知，底边BC是水平方向，需要找出一个点D，使AD平行于BC，且AB的长度等于DC的长度。 A．如果点D在①处，此时AB不等于DC，所以不符合； B．如果点D在②处，此时AD平行于BC且AB等于DC，所以符合； C．如果点D在③处，此时四边形ABCD是一个平行四边形，所以不符合； D．如果点D在④处，此时AD不是平行于BC且AB不等于DC，所以不符合； 符合要求的是点②。 【变式训练2】 A 【分析】观察图片信息，根据平行四边形ABCD的CD边上的高的数据，判断即可；根据平行四边形中两组对边分别平行，判断AB与CD的关系；结合直角梯形的概念，不知道有一组对边平行，并且有直角，判断得出答案；观察DE位置，结合图中数据判断即可。 【详解】①：平行四边形CD边的高是对边到CD的垂线段长度，图中A到CD的垂线段长15cm，符合高的定义，正确； ②：平行四边形对边平行，AB和CD是平行四边形的一组对边，因此AB∥CD，正确。 ③：ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，即AD∥BE；又DE⊥BE，四边形ABED有一组对边平行、且有直角，符合直角梯形的定义，正确。 ④：AD∥BE，两条平行线间的垂线段长度相等，A到BE的垂线段长为10cm，DE也是AD、BE间的垂线段，因此DE＝10cm，正确。 则四个说法都正确。 课后强化 1．C 【分析】根据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而解答。 【详解】A．正方形有四条对称轴，不满足条件； B．圆有无数条对称轴，不满足条件； C．长方形有两条对称轴，满足条件； D．平行四边形没有对称轴，不满足条件。 故答案为：C 2．B 【分析】根据平行四边形两组对边都平行；正方形四条边都相等、四个角都是直角；梯形只有一组对边平行；长方形两组对边都平行且相等，四个角都是直角，以此做出选择。 【详解】画图如下： 因为平行四边形两组对边都平行；梯形只有一组对边平行；长方形两组对边都平行且相等，四个角都是直角，所以这个图形可能是平行四边形、梯形、长方形。因为两条平行线之间的距离小于两条平行线的长度，正方形四条边都相等、四个角都是直角，所以这个图形不可能是正方形。 故答案为：B 3．D 【分析】根据平移，用直观的图形特征来分析每个选项。 【详解】先看原梯形：原梯形 ABCD 中，AB 和 CD 是互相平行的上下底，BD 垂直于 AB 和 CD，是一个直角梯形。 A．点A向左平移1格后，A的新位置和C在同一竖直线上，此时AC会垂直于上下底AB、CD，图形的四个角都是直角，对边相等，变成了长方形，A正确。 B．点B向左平移1格后，新的B点到D点的水平距离，和A点到C点的水平距离相等，两条腰的长度相等，且上下底仍平行，变成了等腰梯形，B正确。 C．点C向右平移2格后，新的C点在CD底上，此时CD仍和AB平行，BD依然垂直于CD和AB，只有一组对边平行且有直角，变成了直角梯形，C正确。 D．点D向右平移1格后，CD的长度变长了，AB和CD虽然还是平行，但长度不相等，不满足平行四边形“两组对边分别平行且相等”，不能变成平行四边形，D错误。 4．D 【分析】根据平行四边形的高和底的意义：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂线是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底，解答此题。 【详解】平行四边形中，当高是10cm时，所对应的底边的长度是8cm。 5．C 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。等腰梯形有且只有一对平行边（上底和下底），两腰相等。由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。可通过试着画一画，选出正确答案。 【详解】A．一个三角形和一个平行四边形：画一条线平行于一条腰（如从梯形上底一端点作平行于腰的线），得到一个平行四边形和一个三角形。 B．两个梯形：画一条线平行于底边（如作中位线），得到两个梯形。 C．两个平行四边形不可能：因为平行四边形需两组对边平行，而等腰梯形仅有一对平行边，分割后无法同时满足两个图形各有两组平行边。例如，画线平行于腰时，只能得到一个平行四边形和一个非平行四边形；画线平行于底边时，只能得到两个梯形（仅一对平行边）。 D．两个三角形：画一条对角线（如连接上底一端点和下底另一端点），得到两个三角形。 综上，不可能的是两个平行四边形； 故答案为：C 6．梯形 【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形；两组对边平行且相等的四边形是平行四边形；四个角都是直角的平行四边形是长方形；三条边首尾连接成的图形是三角形；钝角比直角大，比平角小。据此解答。 【详解】这个图形是四边形，排除了三角形； 这个图形有钝角，排除了长方形； 这个图形没有两组对边互相平行，排除了平行四边形； 梯形是只有一组对边平行的四边形，且其中有钝角，符合题意。 所以王老师选择的这个图形可能是梯形。 7．10 【分析】根据长方形的特点，可以先一个一个的数出长方形共有4个，然后数由2个小长方形组成的大长方形的个数是3个，再数由3个小长方形组成的大长方形的个数是2个，最后数由4个小长方形组成的大长方形的个数是1个，最后把数出的数量相加。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（个） 所以总共有10个长方形。 8．75 【分析】 由图可知，正方形有四个直角，所以∠1＋∠2＝90°，∠2＋30°＋45°＋90°＝180°。那么∠2＝180°－30°－45°－90°，再用90°减∠2即可求出∠1。 【详解】180°－30°－45°－90° ＝150°－45°－90° ＝105°－90° ＝15° 90°－15°＝75° 所以∠1的度数是75°。 9． 无数 不稳定性 【分析】平行四边形的对边相等，平行四边形的四条边长度固定时，夹角可以变化，形状会随之改变，不稳定性易变形。 【详解】只要改变平行四边形的内角，就能得到形状不同的平行四边形，这四根小棒可以围成无数个不同的平行四边形。 围成的形状不能确定，说明平行四边形具有不稳定性的特点。 10． 3 6 8 14 【分析】根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形是梯形，图中一共有3个梯形；其中最大的梯形的较短底边是小正方形的边长，较长底边是大正方形的边长，这个梯形的高是小正方形和大正方形的边长和。 【详解】8＋6＝14（厘米） 因此，图中共有（3）个梯形，其中最大的梯形的较短底边是（6）厘米，较长底边是（8）厘米，高是（14）厘米。 11．见详解 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高。通常作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线； 同样在梯形中，从其中一个底的任一点作另一个底的垂线，这点与垂足间的距离叫做梯形的高。通常作梯形的高时都从上底（较短的底）一个顶点出发作下底的垂线。 画高一般用虚线来表示，要标出垂直符号。 【详解】由分析可作图： （答案不唯一） 12．答案见详解 【分析】（1）根据平行四边形的两组对边平行且相等的性质及图中已画出的图形可知，C点在B点偏左方向1格处，所以D点在A点偏左方向1格处，且与C点在同一条直线上，确定D点位置后，连接AD和DC，即可画出平行四边形。 （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。 过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；据此把展区靠近点E这条边看作一条直线，由点E向直线画垂直线段即可。 （3）只有一组对边平行的四边形叫做梯形；如果梯形的两腰相等，这样的梯形叫做等腰梯形；据此从平行四边形AB边找一点向对边画线段把它分成两个梯形。据此画图。 【详解】如图： （第（3）题答案不唯一） 13．见详解 【分析】（1）画一条水平线段，长度为3个小方格边长，即3厘米，作为平行四边形的底。在底的一个端点，向上垂直数2个小方格，确定一个点。从这个点出发，画一条与底平行且长度为3个小方格边长（3厘米）的线段。连接两条3厘米线段的另外两个端点，这样就画出了底是3厘米，高是2厘米的平行四边形。 （2）梯形的上底与下底是互相平行的，在等腰梯形中，两腰长度相等，两底相互平行。画一条水平线段，长度为4个小方格边长，即4厘米，作为等腰梯形的下底。从下底两端点分别向上垂直数3格，并在水平方向向内移动1格确定上底两个端点。连接这两个点，使这条线段长度为2个小方格边长，即2厘米，作为等腰梯形的上底。分别连接上底的两个端点和下底两端点，使左右两条腰长度相等，这样就画出了上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米的等腰梯形。 【详解】根据分析，如图： 14．4个；可能是5个角；或者4个角；或者3个角 【分析】根据正方形的特征，正方形有4个角，都是直角；题中说的去掉一个角，但没有规定怎么剪。 （1）若剪掉正方形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形，有5个角； （2）若从正方形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形，有4个角； （3）若沿着正方形的对角线剪，则剩余部分为三角形，有3个角；据此解答即可。 【详解】一个正方形有4个角。 如图有3种剪法： 如果去掉一个角后还剩下的角可能是5个角；或者4个角；或者3个角。 【点睛】本题要结合实际，通过画图可以得出结论，要注意考虑到各种情况。 15．(1)12分钟 (2)见详解 【分析】（1）根据题意，先用375除以75算出爸爸到学校用的时间，再用420除以60算出两人从学校到公园用的时间，最后相加，即为爸爸出发到两人到达公园所用的总时间； （2）用两人一起走每分钟走的60米乘走的分钟数，即为走的总路程，平行四边形的对边平行且相等，故公园到商场的距离也是375米，据此分析走6分钟，两人的大概位置。 【详解】（1）375÷75＋420÷60 ＝5＋7 ＝12（分钟） 答：从爸爸出发到两人达到公园一共用12分钟。 （2）60×6＝360（米） 360＜375 375－360＝15（米），非常接近商场。 标注如下： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $