第9.2节 库仑定律（高效培优·讲义）物理人教版必修第三册

本讲义聚焦库仑定律核心知识点，系统梳理电荷间作用力的影响因素、库仑实验原理及静电力计算方法，通过目标导航、考点解析、深化点拨等学习支架，衔接电荷概念与后续电场知识，构建完整知识脉络。 资料以科学探究为特色，通过库仑扭秤实验分析微小量放大法，培养科学思维；构建点电荷模型，结合共线电荷平衡等实例强化物理观念。课中辅助实验教学与例题解析提升授课效果，课后通过真题与分层练习帮助学生查漏补缺。

第9.2节 库仑定律 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 电荷之间的作用力 考点02 库仑的实验 考点03 静电力计算 03 避坑指南·解题通法 角度01 点电荷模型 角度02 库仑定律内容和表达式 角度03 库仑的实验 角度04 共线的自由电荷的平衡问题 角度05 多个点电荷间库仑力合成 角度06 非共线带电体的平衡问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.了解冲量的概念，理解动量定理的内涵。 2.知道动量定理和动能定理的区别。 3.能用动量定理解释生产生活中的有关现象和解决实际问题。 1.通过理论推导，掌握动量定理的表达式。 2.通过对比，理解动量定理和动能定理的区别。 3.通过分析生活中的缓冲现象，掌握动量定理的应用。 知识导图 考点01 电荷之间的作用力 1、探究电荷间相互作用力的影响因素 （1）实验原理：如下图受力分析所示，F＝mgtanθ ，F随θ变大（小）而变大（小）。 （2）实验操作： ①保持带正电的小球电荷量不变，改变悬点位置（先后挂在P1、P2、 P3位置），从而改变小球间距r，观察夹角θ变化情况，探究电荷间作用力与距离的关系。 ②保持悬点位置不变，改变带正电的小球的电量q，观察夹角θ变化情况，探究电荷间作用力与电荷量的关系。 （3）实验现象：q不变，r变大（小），θ变小（大）；r不变，q变大（小），θ变大（小）。 （4）实验结论：电荷间的作用力与距离有关，与电荷量有关。 2、库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。这个规律叫做库仑定律。这种电荷之间的相互作用力叫做静电力或库仑力。 （1）库仑力的表达式：F＝k，其中k叫静电力常量。该常量的确定方法：在公式中的各物理量都采用国际单位时，k＝9.0×109N·m2/C2。q1、q2为点电荷电量，r是指两点电荷之间的距离。 （2）库仑力方向：在两点电荷的连线上，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。 （3）库仑力是电荷之间的一种相互作用力，具有自己的特性，对物体的平衡和运动起着独立的作用，因此受力分析时不能漏掉。 （4）库仑定律即适用静止电荷也适用运动电荷。 3、点电荷：当带电体之间的距离比他们自身的大小大得多，以致带电体的大小及形状对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷是理想化模型，只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。 （1）将带电体看成点电荷的条件：如果带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响很小，就可以忽略这些次要因素，只保留对研究的问题起关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。 （2）三个点电荷在同一直线上的平衡规律：三点共线，两同夹异，两大夹小，近小远大。三个点电荷的电荷量满足。 【深化点拨】 1．点电荷与元电荷的区分 （1）元电荷是最小的电荷量，其数值等于一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值。 （2）点电荷只是不考虑带电体的大小，形状及电荷分布状况，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是元电荷的整数倍。 2．库仑定律适用条件 （1）库仑定律只适用于真空中的静止点电荷，但在要求不很精确的情况下，空气中的点电荷的相互作用也可以应用库仑定律。 （2）当带电体间的距离远大于它们本身的尺寸时，可把带电体看做点电荷，但不能根据公式错误地推论：当r→0时，F→∞，其实在这样的条件下，两个带电体已经不能再看做点电荷了。 （3）对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离。 （4）对两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布。 1．将真空中两点电荷的距离由变为，其他条件不变，则两者间的库仑力变为以前的（    ） A． B． C．2倍 D．4倍 2．（多选）两个完全相同的金属小球，带电量之比为1：5，当它们相距r时的相互作用力为F1。若把它们互相接触后再放回原处，它们的相互作用力变为F2，则F1与F2的比值可能是（　　） A．5：1 B．5：9 C．5：4 D．5：8 【点电荷与元电荷的比较】 点电荷 元电荷 定义 忽略形状、大小，集中于一点的理想化带电模型 自然界中最小的电荷量，是电荷基本单元 物理意义 一种物理模型，描述带电体形态 电荷量的数值，是物理常量 电荷量 电荷量可大可小，可为任意整数倍元电荷 固定值e=1.60×10-19C 电性 可带正电、负电 无单独电性指向，电子、质子的电荷量等于元电荷 能否分割 带电多少不受此限制 电荷量不能再分，所有带电体电量均为e的整数倍 联系 点电荷的电荷量一定是元电荷的整数倍。 两者均是电学基础概念，常配合用于电场、库仑定律相关分析。 考点02 库仑的实验 1、实验装置：如下图分析所示。 2、实验原理：带电小球A与C之间的作用力使悬丝扭转，扭转的角度和力的大小有一定的对应关系。 3、实验操作 （1）改变A和C之间的距离，记录每次悬丝扭转的角度，然后找出力F与距离r的关系。（2）改变A和C的带电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，然后找出力F与电荷量q之间的关系。 4、实验现象：q不变，r变大（小），θ变小（大）；r不变，q变大（小），θ变大（小）。 5、实验结论：当电量不变时，力F与距离r的二次方成反比，即F∝；当距离不变时，力F与q1和q2的乘积成正比，即F∝q1q2。 【深化点拨】 1．扭秤实验体现的物理学方法：微小量放大法。 2．静电力常量的数值：在国际单位制中，电荷量的单位是库仑（C），力的单位是牛顿（N），距离的单位是米（m）。通过实验测定k的数值是k=9.0×109N•m2/C。 1．如图所示的装置是库仑扭秤，下列说法正确的是（　　） A．该装置是用来测量电流大小的仪器 B．该装置通过悬丝的扭转角度来反映库仑力的大小 C．该装置只能研究同种电荷之间的相互作用 D．该装置测定的电荷间的作用力与距离成正比 2．库仑利用扭秤装置研究了静止的点电荷间的相互作用力。如图所示的实验装置为库仑扭秤，细丝的下端悬挂一根绝缘棒，棒的一端是一个带电的金属小球A，另一端有一个不带电的B球，B与A处于静止状态；当把另一个带电的金属球C插入容器并使它靠近A时，A和C之间较小的作用力可以使细丝发生比较大的可测量的扭转，通过细丝扭转的角度可以比较力的大小。 (1)通过细丝扭转的角度可以比较力的大小，这里用到的实验方法为________。 A．等效替代法 B．微小量放大法 C．极限法 D．控制变量法 (2)保持电荷量不变，改变A和C的距离，得到相互作用力F和A、C间距离r的关系，这里用到的实验方法为________。 A．等效替代法 B．微小量放大法 C．极限法 D．控制变量法 考点03 静电力计算 1、库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。这个规律叫做库仑定律。这种电荷之间的相互作用力叫做静电力或库仑力。 （1）库仑力的表达式：F＝k，其中k叫静电力常量。该常量的确定方法：在公式中的各物理量都采用国际单位时，k＝9.0×109N·m2/C2。q1、q2为点电荷电量，r是指两点电荷之间的距离。 （2）方向：在两点电荷的连线上，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。 （3）适用条件：真空中静止的点电荷。注意：一般在空气中也近似成立。 注意：库仑定律适用于真空中的点电荷，当两个物体间的距离趋近于零时，带电体已经不能被看作是点电荷，库仑定律就不再适用了。 2、库仑力的计算方法：先计算大小（代入电荷量q1、q2的绝对值）；再判断方向；对于多个点电荷，其中每一个点电荷所受的总的库仑力等于其它点电荷分别单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。 （1）库仑力是电荷之间的一种相互作用力，具有自己的特性，对物体的平衡和运动起着独立的作用，因此受力分析时不能漏掉。 （2）库仑定律即适用静止电荷也适用运动电荷。 【深化点拨】 1．四步解决库仑力作用下的平衡问题 2．三个自由点电荷的平衡问题 ①平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷平衡的位置是另外两个点电荷的合场强为零的位置。 ②平衡规律： 3、利用三角形相似法处理带电小球的平衡问题 常见模型 几何三角形和力的矢量三角形 比例关系 4、解决平衡类问题的通用方法都是： （1）对物体进行受力分析。 （2）运用合成与分解的方法列出平衡表达式。 （3）求解需要的物理量。 1．正点电荷A和B，带电量均为Q，若在其连线的中点上放置一点电荷C，使三者均静止，则点电荷C是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带负电，电量为 D．正负电均可，电量为 2．（多选）如图，用两根细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点，两小球静止时，在同一水平面上，悬线与竖直方向的偏角分别为α和β，α＞β。下列说法正确的是（　　） A．A对B的库仑力大于B对A的库仑力 B．A的质量小于B的质量 C．绳子对A的拉力小于绳子对B的拉力 D．A的带电量大于B的带电量 【库仑定律与万有引力定律区别】 定律 库仑定律 万有引力定律 公式 F＝k F＝G 影响因素 q1、q2、r m1、m2、r 区别 与两物体电荷量有关，有引力、斥力 与两个物体质量有关，只有引力 适用条件 真空中点电荷的相互作用 质点的相互作用 共同点 都与距离平方成反比；都有一个常量，该常量都可用扭秤实验得出 库仑定律的综合应用及解题步骤 1. 库仑定律公式应用的“适用条件”陷阱 （1）点电荷模型： 核心原则： F＝k仅适用于真空中的静止点电荷。 避坑点：当两个带电体距离 r很近，不能看作点电荷时，不能直接代入公式计算。 特例：若为两个相同的金属球，带同种电荷会相互排斥导致电荷分布在远端，等效距离 r效>r ，实际力 F< k；带异种电荷则相反。 2. “三个自由电荷平衡”口诀：“三点共线，两同夹异，两大夹小，近小远大”。 三点共线：三个电荷必须在一条直线上。 两同夹异：中间的电荷电性与两边相反（如 + − +或 − + −）。 两大夹小：中间电荷的电荷量绝对值最小。 近小远大：中间电荷靠近电荷量较小的那个外侧电荷。 解题步骤： 先分析中间电荷的平衡（确定位置关系）。 再分析两端任一电荷的平衡（列方程求解电量比例）。 3. 库仑力作用下的“动态分析” （1）接触后分开问题： 过程：两球接触 →电荷中和或平分 →分开。 易错点：分开后的库仑力必须用新分配的电荷量计算，千万不要沿用旧的 q1、q2 。 （2）悬挂小球偏转问题（相似三角形法）： 场景：带电小球挂在绝缘细线下，受库仑斥力偏转。 技巧：如果题目给出几何尺寸（绳长 L、间距 r、高度 h），且角度未知，不要硬算三角函数。 通法：利用力的矢量三角形与几何三角形相似。 4. 多个点电荷的“叠加原理” （1）矢量合成原则：库仑力是矢量，遵循平行四边形定则。 对称性：如果电荷分布具有对称性（如正多边形顶点），利用对称性可以抵消部分分力，简化计算。 正交分解：对于不规则分布，建立坐标系，将各分力分解到 x,y轴上分别求和。 5. 结合牛顿第二定律与动量守恒 非平衡态运动： 分析：若系统所受合外力不为零（如光滑水平面上仅受库仑力），则系统动量守恒。 能量观点：只有库仑力做功时，系统的动能与电势能之和守恒。 注意：库仑力做正功，电势能减小，动能增加；反之亦然。 角度01 点电荷模型 1．下列说法正确的是（　　） A．质子的电荷量为一个元电荷，但质子是实实在在的粒子，不是元电荷 B．相互作用的两点电荷，它们的电荷量不相等，则它们之间的库仑力大小一定不相等 C．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体 D．根据可知，当r→0时，F→ 2．（多选）下列关于点电荷的说法中正确的是（    ） A．无论两个带电体多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体就可以看作点电荷 B．一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷 C．一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷 D．形状不规则的带电体也可以看作点电荷 3．氢原子中的电子在半径r=5.3×10-11 m的轨道上绕核做逆时针运动，已知电子质量m=9.10×10-31 kg，带电荷量e=1.6×10-19 C，静电力常量k=9×109 N·m2/C2则： （1）电子绕核运动的速率是多少？ （2）电子绕核运动的周期是多少？ （3）电子绕核运动可等效为一环形电流，则其等效电流为多大？电流方向如何？ 角度02 库仑定律内容和表达式 4．如图所示，用两根同样长的绝缘细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点。小球A的质量小于小球B的质量，小球A所带的电荷量大于小球B所带的电荷量。两小球静止时，细绳与竖直方向的夹角分别为和，两小球均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　） A．小球A受到的库仑力小于小球B受到的库仑力 B．拉小球A绳子上的拉力小于拉小球B绳子上的拉力 C． D． 5．（多选）两个完全相同的金属小球、分别置于绝缘支架上，它们之间的距离远大于小球的直径。已知球所带电荷量的绝对值为，球所带电荷量的绝对值为，球、之间作用力的大小为。金属小球与、两球完全相同。现将不带电的小球先与球接触、再与球接触后移至远处，然后将小球、之间的距离增大到原来的倍，此时、之间作用力的大小仍为，由此可知可能为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，质量为的小球A穿在光滑绝缘细杆上，杆的倾角为，小球A带正电（可视为点电荷），电荷量为。在杆上B点处固定一个电量为的正点电荷。将小球A由距B竖直高度为处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。整个装置处于真空中，已知静电力常量和重力加速度，取，。求： (1)A球刚释放时的加速度大小； (2)当A球的速度最大时，A球与B点间的距离（结果可用根式表示）。 角度03 库仑的实验 7．由库仑定律可知，真空中两个静止的点电荷，带电荷量分别为和，其间距为时，它们之间相互作用力的大小为，式中为静电力常量。若用国际单位制的基本单位表示，的单位应为（　　） A． B． C． D． 8．（多选）如图所示，在库仑扭秤实验中，两个完全相同的小球A和B分别带等量同种电荷，小球固定在绝缘支架上，小球通过金属细丝悬挂在扭秤上。当系统平衡时，金属细丝的扭转角度为，库仑力与扭转角度成正比，即。实验中，得到如下表中数据，下列说法正确的是（     ） 距离变化 电荷量变化 扭转角变化 不变 不变 （两球） （两球） 不变 A．库仑力与电荷量成正比 B．库仑力与距离的二次方成反比 C．若距离减小为原来的一半，两小球电荷量也减半，库仑力大小保持不变 D．若距离减小为原来的一半，两小球电荷量也减半，库仑力大小变为原来2倍 9．18世纪，库仑设计扭秤装置探究电荷间相互作用规律。其装置核心是一根弹性金属丝悬挂绝缘横杆，杆的一端是一个带电的金属小球A，另一端有一个不带电的球B，B与A所受的重力平衡。当把另一个与A相同的带电金属球C插入容器并使它靠近A时，A和C之间较小的作用力可以使细银丝发生比较大的可测量的扭转，通过细银丝扭转的角度可以比较力的大小。 (1)“通过细丝扭转的角度比较力的大小”用到的实验方法为___________； A．微小量放大法 B．控制变量法 C．极限法 (2)若开始时A球不带电，改变C球带电量Q，将A球与C球接触后分开，保持其距离r不变，发现A、C间的静电力大小与___________（填“Q”“”或“”）成正比； (3)若保持电荷量不变，通过旋转顶部旋钮M改变带电小球间距r，利用金属丝扭转角度α衡量电荷间作用力F大小。实验数据记录如下： 实验序号 两小球的球心距离r（单位：m） 金属丝扭转角度（单位：度） ① 0.1 36 ② 0.2 9 ③ 0.3 4 已知在该装置中，金属丝扭转角度与两小球间库仑力成正比。根据上述数据，推导库仑力F与两小球间距r的关系为___________。 角度04 共线的自由电荷的平衡问题 10．在光滑水平桌面上固定两个相距为L、电荷量均为q的带正电的绝缘小球A和B，在A和B连线中点正上方处固定一个带负电的绝缘小球C，将一电荷量也为q的带正电的绝缘小球D放置于桌面上，小球A、B、D恰好在桌面上一个正三角形的三个顶点上且小球D恰好静止，绝缘小球均视为点电荷，则小球C所带的电荷量的绝对值为（   ） A．q B． C．2q D． 11．（多选）一带电小球A，固定在绝缘竖直墙壁上，一段不可伸长的绝缘轻绳跨过光滑的定滑轮O一端与带电小球B相连，另一端用外力F拉住，滑轮在小球A的正上方，静止时OA与OB距离相等，重力加速度为g，如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．若此时将OB绳剪断，则剪断瞬间B球的加速度大小为g B．若调节力F，使OB绳缓慢变长，则OB绳拉力变小 C．若调节力F，使OB绳缓慢变短，则A、B两小球间的电场力变小 D．若调节力F，使OB绳缓慢变化一小段长度，则B球的运动轨迹为圆弧 12．如图，两绝缘细线上端分别固定在水平天花板上的A、B两点，下端均与一质量为m、带电荷量为（）的小球M相连，小球M静止于C点，CA、CB与竖直方向的夹角分别为37°和53°，在带电小球M右侧固定一小球N，小球N带电荷量大小可以调节，设为aq，两球距离为L，两球连线在水平方向上且与两细线在同一竖直平面内，固定小球N后，若小球M的位置没变化，k为静电力常量，，两球可视为点电荷，求a的取值范围。 角度05 多个点电荷间库仑力合成 13．如图所示，B、C、D三个小球固定在绝缘水平地面上，四个小球所在位置恰在一个边长为a的正四面体的四个顶点上，其中小球B、C、D带正电，四个小球的带电量均为q；A球质量未知，设重力加速度为g，静电力常量为k，则A球的电性与质量为（    ） A．正电,     B．负电,      C．正电,     D．负电,      14．（多选）如图是一种测量未知电荷q的实验装置。其中q、Q1固定在A、B两点，2用一根绝缘细线拴接在A、B连线上的O点，平衡时夹角为θ。已知q、Q1、Q2到O点的距离分别为a、b、c，三者均为正电荷，且均放置于光滑绝缘的水平桌面上。下列说法正确的是（　　）    A．该实验装置需要同时已知Q1、Q2的电荷量大小 B．该实验装置只需要已知1的电荷量大小 C．根据实验数据可以得到 D．根据实验数据可以得到 15．如图所示，在三角形的三个顶点a、b、c处分别固定三个点电荷，a、b两处的点电荷都带正电，c处点电荷所受库仑力的合力的方向垂直于a、b的连线向下，已知a处点电荷所带的电荷量为，，。 (1)试判断c处点电荷的电性； (2)求b处点电荷的带电荷量。 角度06 非共线带电体的平衡问题 16．如图所示，水平桌面上固定一半径为R的半球形光滑绝缘碗，球心为O。有两个完全相同可视为点电荷的带电金属球甲、乙，电荷量分别为3q和q（q＞0）。甲固定于碗内壁A点，将乙放于碗内壁B点时，它恰好能处于静止状态。已知A、O、B三点位于同一个竖直平面内，O、B在同一水平面上，，静电力常量为k，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．两球之间的库仑力大小为 B．乙球的质量为 C．碗对乙球的支持力为 D．若用绝缘镊子将乙与甲充分接触后，再置于B点，乙球依然能静止 17．（多选）如图所示，用固定在O点的绝缘细线系两个带电小球A、B，它们所带电荷量大小相等。两个小球静止时刚好在同一水平直线上，此时OA与竖直方向的夹角，OB与竖直方向的夹角。已知A球的质量为m，A、B两个小球之间的距离为L，静电力常量为k，重力加速度为g，，，下列说法中正确的是（　　） A．A、B两个小球带异种电荷 B．OA细线的拉力为 C．小球B的质量为 D．两个小球所带电荷量大小为 18．如图所示，球心为、半径为的光滑绝缘半球形容器固定在水平面上，A、B两个完全相同的金属球带有同种电荷，两金属球的质量均为，A球带电量为B球带电量的4倍，将A球固定在容器最低点，B球在容器内壁某处处于静止状态，且与圆心的连线与竖直方向的夹角为，两球均可视为质点，重力加速度为，静电力常量为，求： (1)容器内壁对B球的支持力大小； (2)B球的带电量； (3)将B球与A球接触一下后再放回原处并由静止释放，释放一瞬间，小球B的加速度大小。 【例1】（2025·湖南·高考真题）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【深化点拨】 受力分析与动态变化的核心知识点： （1）静止状态下的受力平衡分析：对小球 A 进行受力分析，考查重力、绳子拉力、库仑斥力三个力的平衡关系，尤其是利用几何角度判断力的方向，通过正交分解或力的合成来分析平衡条件。 （2）库仑力的特点：两带电小球间的库仑斥力属于非接触力，方向沿两球连线，在 A 球静止和剪断绳子瞬间，库仑力的大小和方向都不会发生变化，这是解题的关键前提。 （3）瞬间加速度的分析：剪断轻绳瞬间，绳子拉力消失，但库仑力和重力不变，考查瞬时加速度的计算，核心是分析瞬间的合力方向与大小，注意轻绳和轻杆的不同受力特点。 （4）轻杆的受力分析：小球B始终静止，考查轻杆对B球的作用力变化。B球受到重力、库仑斥力和杆的作用力，剪断绳子前后，库仑斥力不变，杆的作用力需要根据合力平衡重新分析，判断其大小变化。 （5）几何关系在受力分析中的应用：题目给出的 60°、30° 夹角，是判断力的方向、确定力的合成与分解关系的关键，考查利用几何角度简化受力分析的能力。 【变式1-1】如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（   ）    A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1 【变式1-2】（2025·安徽·高考真题）（多选）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、，质量分别为m、，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为、，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　） A． B． C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 【变式1-3】有一竖直面内半径为的光滑绝缘圆弧轨道，两个质量相同的小球A、B（小球半径远小于）在轨道上保持静止，A、B小球带有电荷量均为的同种电荷，稳定时如图，其中，小球A、B和圆心的连线与竖直方向都成，静电力常量为，重力加速度为，求： (1)A、B小球间的库仑力大小； (2)小球A的质量。 【例2】（2025·河北·高考真题）（多选）如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则的绝对值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【深化点拨】 静电场中电荷分配与库仑定律的核心知识点： （1）相同金属小球接触起电的电荷分配规律：两个完全相同的金属小球接触后，电荷会先中和再平分，总电荷量平均分配到两个小球上，这是分析接触后电荷量变化的核心依据。 （2）库仑定律的应用条件：题目中“两者间距远大于小球直径”，满足点电荷的条件，可直接应用库仑定律分析静电力的大小，静电力与两球电荷量的乘积成正比。 （3）接触顺序对电荷分配的影响：小球C先与A接触、再与B接触，两次接触过程会改变A、B的电荷量，需要按顺序分步分析电荷的转移与分配。 （4）等量同种电荷的静电力特点 初始时 A、B 带有等量同种电荷，接触后静电力大小不变，说明接触后两球电荷量的乘积与原来相同，这是解题的关键条件。 （5）正负电荷的中和与分配 题目中未限定Q的电性，需要考虑Q与q同种或异种的情况，异种电荷接触时会先中和再平分，可能得到不同的结果，因此要考虑绝对值的多种可能。 【变式2-1】两个分别带电荷量为和（）的完全相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，两小球相互接触后将其固定距离仍r，则两球间库仑力的大小为（     ） A． B． C． D．8F 【变式2-2】（多选）如图所示，光滑水平面上有两个带电小球，在水平外力F的作用下一起沿水平面向右做匀加速运动，两小球质量相同，电荷量的绝对值均为q，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．两小球一定带异种电荷 B．两小球一定带同种电荷 C．两小球之间的距离L为 D．两小球之间的距离L为 【变式2-3】如图所示，一倾角为的光滑绝缘斜面体稳固地固定于水平面上，带有电荷量为的负点电荷A被固定于斜面底端，将质量为的带电小球放置在斜面上距离负点电荷A为的点处，小球恰好保持静止。已知重力加速度为，静电力常量为，，，求： (1)判定小球所带电荷的电性； (2)计算小球所带的电荷量； (3)若在A、两点的中点处再固定一个电荷量为的正点电荷，求带电小球的加速度大小。 ⚡基础速刷 1．“电”的概念古来有之，但对电的研究到了16世纪才随着现代科学的发展而开始。在静电学的发展史中，法国物理学家库仑的功劳首屈一指，他让电学成为一门现代科学。关于比荷、元电荷、点电荷、库仑定律，下列说法正确的是（　　） A．带电性质不同的质子和电子所带电荷量大小相等，它们的比荷也相等 B．元电荷是自然界中最小的电荷量，元电荷可以是质子也可以是电子 C．体积小的带电小球在任何情况下都可以看成点电荷 D．真空中两静止的点电荷之间的库仑力大小总是相等的 2．在点固定的点电荷产生的静电场中，一电子仅在静电力作用下的运动轨迹如图中实线所示，、是轨迹上两点。已知，电子在点所受静电力大小为，则电子在点处所受静电力大小为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，、是圆的两个互相垂直的直径，在A点固定一个点电荷，在C点固定另一个点电荷，这时两点电荷间的库仑力大小为F，若将C点的点电荷移到B点，则两点电荷间的库仑力大小为（　　） A． B． C．2F D． 4．（多选）关于点电荷、元电荷、检验电荷，下列说法正确的是（　　） A．点电荷是一种理想化的模型 B．点电荷所带电荷量一定是元电荷电荷量的整数倍 C．点电荷所带电荷量一定最小 D．点电荷、元电荷、检验电荷是同一种物理模型 5．（多选）如图所示，水平地面上方点用两根绝缘细线分别系着两个带电小球甲、乙，甲的质量为、电荷量为，乙的质量为、电荷量为，当两个小球静止时距地面高度相同，两细线与竖直方向夹角分别为、，且。下列说法正确的是（　　） A． B． C．同时剪断两细线，甲球落地时间大于乙球落地时间 D．同时剪断两细线，甲球落地时的速度小于乙球落地时的速度 6．如图所示，绝缘细线绕过光滑定滑轮，细线两端分别连接带电小球A、B，A、B球的质量均为m，用外力F（大小未知）控制调节B的位置，当A、B在同一水平直线上时保持A、B静止，此时OA段细线长为L，连接B球的细线与水平方向的夹角为，连接A球的细线与水平方向的夹角为，小球和滑轮的大小忽略不计，重力加速度为g，求： (1)细线上的拉力大小； (2)作用在B球上的外力大小。 🚀能力跃升 7．如图所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为和，球c带负电，在图示位置处于静止状态，已知、和的连线的长度分别为、和，，则（     ） A．球a带负电 B．球b带正电 C． D． 8．如图所示，水平面上放置一个绝缘轻支杆，支杆上的带电小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B球缓慢移动一小段距离，支杆始终静止，下列说法正确的是（　　） A．带电小球B的运动轨迹为直线 B．带电小球B受到的库仑力先增大再减小 C．带电小球B受到的库仑力大小不变 D．地面给绝缘轻支杆的支持力一直小于带电小球A的重力 9．如图，质量为、电荷量为的带电小球用一端固定在点上的绝缘轻绳连接，电荷量为的小球在点正下方用固定的绝缘轻杆连接。球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，点与小球的间距为。点与小球的间距为，静电力常量为，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．小球、之间的库仑力大小 B．小球A、B之间库仑力大小 C．小球B的带电荷量为 D．细线拉力大小 10．（多选）如图所示，光滑绝缘水平面上固定两个带正电的小球A、B，且小球A电荷量大于小球B电荷量。将一带负电的绝缘小球C放置在A、B连线之间，小球C保持静止。下列说法正确的是（     ） A．静止时，小球C到A的距离大于小球C到B的距离 B．仅增大小球C的电荷量，C静止的位置不变 C．仅小幅增大A的电荷量，小球C将向B侧移动 D．仅将A、B两球电荷量同时增加两倍，C静止的位置一定向左偏移 11．（多选）球心为，半径为的半球形光滑绝缘碗固定于水平面上，带电量为的小球甲固定在碗内壁的最低点，质量为的带电小球乙静止在碗内壁上的点，过、、的截面如图所示，之间的距离为。现缓慢增加甲球的电量，则乙球沿碗内壁缓慢向上运动到同一截面上与点等高的点。已知静电力常量为，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．乙球带正电，电荷量为 B．乙球向上运动过程中，点的电势不变 C．当乙球刚运动到点时，甲球的电量为 D．乙球向上运动过程中，碗内壁对乙球的支持力大小不变 12．如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为、带电荷量为（未知）的圆环套在竖直杆上。质量为、带电荷量为的滑块静置于水平地面上，、均保持静止，两者连线与水平地面的夹角，圆环距地面的高度为，静电力常量为，重力加速度为。求： (1)圆环所带电荷种类； (2)圆环所受库仑力的大小和所带电荷量； (3)滑块所受摩擦力。 🌟思维挑战 13．如图所示，一光滑绝缘半圆环固定在竖直面内，半径为，圆环最低点固定一电荷量为的小球，另一质量为的小球恰好静止在与圆心等高的点，某时刻起，小球缓慢漏电，开始在竖直圆环上缓慢运动。下列说法中正确的是（　　） A．小球漏电前的电荷量 B．漏电过程中，圆环对小球的支持力大小变小 C．漏电过程中，小球的电荷量与两球间的距离的平方成正比 D．漏电过程中，两球间的库仑力逐渐减小 14．如图所示，带电荷量为的点电荷固定在光滑绝缘水平面内点的正上方，三个带电荷量均为、完全相同的带电小球、C、D在光滑绝缘水平面上做匀速圆周运动，轨迹圆相同，半径均为，且三个小球对水平面恰无作用力，已知，重力加速度为，静电力常量为，忽略一切摩擦和阻力，则小球B的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 15．（多选）如图所示，在一倾角为的绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从点移至A正上方的点处，已知、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．物体A受到斜面的支持力可能一直增大 B．物体受到斜面的摩擦力可能先减小后增大 C．地面对斜面的摩擦力可能先减小后增大 D．地面对斜面的支持力一定一直增大 16．如图所示，均可视为质点的三个物体A、B、C在倾角为30°的光滑绝缘斜面上，A绝缘，A与B紧靠在一起，C紧靠在固定挡板上，质量分别为，，，其中A不带电，B、C的电荷量分别为、且保持不变，开始时三个物体均能保持静止。现给A施加一平行于斜面向上的力F，使A沿斜面做匀加速直线运动，经过时间t，向上运动，向上力F变为恒力，已知静电力常量为，g取。求： （1）开始时BC间的距离L； （2）A做匀加速的加速度大小； （3）F从变力到恒力需要的时间t。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9.2节 库仑定律 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 电荷之间的作用力 考点02 库仑的实验 考点03 静电力计算 03 避坑指南·解题通法 角度01 点电荷模型 角度02 库仑定律内容和表达式 角度03 库仑的实验 角度04 共线的自由电荷的平衡问题 角度05 多个点电荷间库仑力合成 角度06 非共线带电体的平衡问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.了解冲量的概念，理解动量定理的内涵。 2.知道动量定理和动能定理的区别。 3.能用动量定理解释生产生活中的有关现象和解决实际问题。 1.通过理论推导，掌握动量定理的表达式。 2.通过对比，理解动量定理和动能定理的区别。 3.通过分析生活中的缓冲现象，掌握动量定理的应用。 知识导图 考点01 电荷之间的作用力 1、探究电荷间相互作用力的影响因素 （1）实验原理：如下图受力分析所示，F＝mgtanθ ，F随θ变大（小）而变大（小）。 （2）实验操作： ①保持带正电的小球电荷量不变，改变悬点位置（先后挂在P1、P2、 P3位置），从而改变小球间距r，观察夹角θ变化情况，探究电荷间作用力与距离的关系。 ②保持悬点位置不变，改变带正电的小球的电量q，观察夹角θ变化情况，探究电荷间作用力与电荷量的关系。 （3）实验现象：q不变，r变大（小），θ变小（大）；r不变，q变大（小），θ变大（小）。 （4）实验结论：电荷间的作用力与距离有关，与电荷量有关。 2、库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。这个规律叫做库仑定律。这种电荷之间的相互作用力叫做静电力或库仑力。 （1）库仑力的表达式：F＝k，其中k叫静电力常量。该常量的确定方法：在公式中的各物理量都采用国际单位时，k＝9.0×109N·m2/C2。q1、q2为点电荷电量，r是指两点电荷之间的距离。 （2）库仑力方向：在两点电荷的连线上，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。 （3）库仑力是电荷之间的一种相互作用力，具有自己的特性，对物体的平衡和运动起着独立的作用，因此受力分析时不能漏掉。 （4）库仑定律即适用静止电荷也适用运动电荷。 3、点电荷：当带电体之间的距离比他们自身的大小大得多，以致带电体的大小及形状对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷是理想化模型，只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。 （1）将带电体看成点电荷的条件：如果带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响很小，就可以忽略这些次要因素，只保留对研究的问题起关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。 （2）三个点电荷在同一直线上的平衡规律：三点共线，两同夹异，两大夹小，近小远大。三个点电荷的电荷量满足。 【深化点拨】 1．点电荷与元电荷的区分 （1）元电荷是最小的电荷量，其数值等于一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值。 （2）点电荷只是不考虑带电体的大小，形状及电荷分布状况，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是元电荷的整数倍。 2．库仑定律适用条件 （1）库仑定律只适用于真空中的静止点电荷，但在要求不很精确的情况下，空气中的点电荷的相互作用也可以应用库仑定律。 （2）当带电体间的距离远大于它们本身的尺寸时，可把带电体看做点电荷，但不能根据公式错误地推论：当r→0时，F→∞，其实在这样的条件下，两个带电体已经不能再看做点电荷了。 （3）对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离。 （4）对两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布。 1．将真空中两点电荷的距离由变为，其他条件不变，则两者间的库仑力变为以前的（    ） A． B． C．2倍 D．4倍 【答案】A 【详解】由库仑定律可知，真空中两电荷的作用力大小满足 由题意，两点电荷的距离由变为，其他条件不变，可知两者间的库仑力变为以前的 故选A。 2．（多选）两个完全相同的金属小球，带电量之比为1：5，当它们相距r时的相互作用力为F1。若把它们互相接触后再放回原处，它们的相互作用力变为F2，则F1与F2的比值可能是（　　） A．5：1 B．5：9 C．5：4 D．5：8 【答案】BC 【详解】两小球相距r时相互作用力为 若两小球所带的电荷异号，接触后再分开，两球电量的绝对值为，此时两球的库仑力为 则 若两小球所带的电荷同号，接触后再分开，两球电量的绝对值为，此时两球的库仑力为 则 故选BC。 【点电荷与元电荷的比较】 点电荷 元电荷 定义 忽略形状、大小，集中于一点的理想化带电模型 自然界中最小的电荷量，是电荷基本单元 物理意义 一种物理模型，描述带电体形态 电荷量的数值，是物理常量 电荷量 电荷量可大可小，可为任意整数倍元电荷 固定值e=1.60×10-19C 电性 可带正电、负电 无单独电性指向，电子、质子的电荷量等于元电荷 能否分割 带电多少不受此限制 电荷量不能再分，所有带电体电量均为e的整数倍 联系 点电荷的电荷量一定是元电荷的整数倍。 两者均是电学基础概念，常配合用于电场、库仑定律相关分析。 考点02 库仑的实验 1、实验装置：如下图分析所示。 2、实验原理：带电小球A与C之间的作用力使悬丝扭转，扭转的角度和力的大小有一定的对应关系。 3、实验操作 （1）改变A和C之间的距离，记录每次悬丝扭转的角度，然后找出力F与距离r的关系。（2）改变A和C的带电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，然后找出力F与电荷量q之间的关系。 4、实验现象：q不变，r变大（小），θ变小（大）；r不变，q变大（小），θ变大（小）。 5、实验结论：当电量不变时，力F与距离r的二次方成反比，即F∝；当距离不变时，力F与q1和q2的乘积成正比，即F∝q1q2。 【深化点拨】 1．扭秤实验体现的物理学方法：微小量放大法。 2．静电力常量的数值：在国际单位制中，电荷量的单位是库仑（C），力的单位是牛顿（N），距离的单位是米（m）。通过实验测定k的数值是k=9.0×109N•m2/C。 1．如图所示的装置是库仑扭秤，下列说法正确的是（　　） A．该装置是用来测量电流大小的仪器 B．该装置通过悬丝的扭转角度来反映库仑力的大小 C．该装置只能研究同种电荷之间的相互作用 D．该装置测定的电荷间的作用力与距离成正比 【答案】B 【详解】A．库仑扭秤是用来研究电荷间相互作用、探究静电力规律的装置，不是测量电流大小的仪器，A错误； B．该装置利用转换放大法，电荷间的库仑力会使悬挂的横杆转动，悬丝的扭转角度可以间接反映库仑力的大小，B正确； C．库仑扭秤既可以研究同种电荷的相互排斥，也可以研究异种电荷的相互吸引，C错误； D．库仑通过该装置得到电荷间的静电力与距离的平方成反比，D错误。 故选B。 2．库仑利用扭秤装置研究了静止的点电荷间的相互作用力。如图所示的实验装置为库仑扭秤，细丝的下端悬挂一根绝缘棒，棒的一端是一个带电的金属小球A，另一端有一个不带电的B球，B与A处于静止状态；当把另一个带电的金属球C插入容器并使它靠近A时，A和C之间较小的作用力可以使细丝发生比较大的可测量的扭转，通过细丝扭转的角度可以比较力的大小。 (1)通过细丝扭转的角度可以比较力的大小，这里用到的实验方法为________。 A．等效替代法 B．微小量放大法 C．极限法 D．控制变量法 (2)保持电荷量不变，改变A和C的距离，得到相互作用力F和A、C间距离r的关系，这里用到的实验方法为________。 A．等效替代法 B．微小量放大法 C．极限法 D．控制变量法 【答案】(1)B (2)D 【详解】（1）通过细丝扭转的角度可以比较力的大小，这里用到的实验方法为微小量放大法。 （2）保持电荷量不变，改变A和C的距离，得到相互作用力F和A、C间距离r的关系，用到的实验方法为控制变量法。 考点03 静电力计算 1、库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。这个规律叫做库仑定律。这种电荷之间的相互作用力叫做静电力或库仑力。 （1）库仑力的表达式：F＝k，其中k叫静电力常量。该常量的确定方法：在公式中的各物理量都采用国际单位时，k＝9.0×109N·m2/C2。q1、q2为点电荷电量，r是指两点电荷之间的距离。 （2）方向：在两点电荷的连线上，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。 （3）适用条件：真空中静止的点电荷。注意：一般在空气中也近似成立。 注意：库仑定律适用于真空中的点电荷，当两个物体间的距离趋近于零时，带电体已经不能被看作是点电荷，库仑定律就不再适用了。 2、库仑力的计算方法：先计算大小（代入电荷量q1、q2的绝对值）；再判断方向；对于多个点电荷，其中每一个点电荷所受的总的库仑力等于其它点电荷分别单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。 （1）库仑力是电荷之间的一种相互作用力，具有自己的特性，对物体的平衡和运动起着独立的作用，因此受力分析时不能漏掉。 （2）库仑定律即适用静止电荷也适用运动电荷。 【深化点拨】 1．四步解决库仑力作用下的平衡问题 2．三个自由点电荷的平衡问题 ①平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷平衡的位置是另外两个点电荷的合场强为零的位置。 ②平衡规律： 3、利用三角形相似法处理带电小球的平衡问题 常见模型 几何三角形和力的矢量三角形 比例关系 4、解决平衡类问题的通用方法都是： （1）对物体进行受力分析。 （2）运用合成与分解的方法列出平衡表达式。 （3）求解需要的物理量。 1．正点电荷A和B，带电量均为Q，若在其连线的中点上放置一点电荷C，使三者均静止，则点电荷C是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带负电，电量为 D．正负电均可，电量为 【答案】C 【详解】由分析可知，点电荷C需带负电才能平衡正点电荷A和B间的斥力，所以要使三个点电荷均静止，则点电荷C带负电。设点电荷C的带电量为，到点电荷A和B的距离均为，则对点电荷A进行受力分析，列平衡方程为 即 解得 故选C。 2．（多选）如图，用两根细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点，两小球静止时，在同一水平面上，悬线与竖直方向的偏角分别为α和β，α＞β。下列说法正确的是（　　） A．A对B的库仑力大于B对A的库仑力 B．A的质量小于B的质量 C．绳子对A的拉力小于绳子对B的拉力 D．A的带电量大于B的带电量 【答案】BC 【详解】AD．两球之间的库仑斥力属于作用力和反作用力，大小相等，方向相反，根据库仑定律，可知无法确定两小球的电量大小，故AD错误； B．两个小球均受重力、库仑斥力F和拉力T，根据平衡条件有， 根据题有α＞β，则有 即 可得 故B正确； C．对两小球，根据平衡条件有， 根据题有α＞β，则有 即 可得 故C正确。 故选BC。 【库仑定律与万有引力定律区别】 定律 库仑定律 万有引力定律 公式 F＝k F＝G 影响因素 q1、q2、r m1、m2、r 区别 与两物体电荷量有关，有引力、斥力 与两个物体质量有关，只有引力 适用条件 真空中点电荷的相互作用 质点的相互作用 共同点 都与距离平方成反比；都有一个常量，该常量都可用扭秤实验得出 库仑定律的综合应用及解题步骤 1. 库仑定律公式应用的“适用条件”陷阱 （1）点电荷模型： 核心原则： F＝k仅适用于真空中的静止点电荷。 避坑点：当两个带电体距离 r很近，不能看作点电荷时，不能直接代入公式计算。 特例：若为两个相同的金属球，带同种电荷会相互排斥导致电荷分布在远端，等效距离 r效>r ，实际力 F< k；带异种电荷则相反。 2. “三个自由电荷平衡”口诀：“三点共线，两同夹异，两大夹小，近小远大”。 三点共线：三个电荷必须在一条直线上。 两同夹异：中间的电荷电性与两边相反（如 + − +或 − + −）。 两大夹小：中间电荷的电荷量绝对值最小。 近小远大：中间电荷靠近电荷量较小的那个外侧电荷。 解题步骤： 先分析中间电荷的平衡（确定位置关系）。 再分析两端任一电荷的平衡（列方程求解电量比例）。 3. 库仑力作用下的“动态分析” （1）接触后分开问题： 过程：两球接触 →电荷中和或平分 →分开。 易错点：分开后的库仑力必须用新分配的电荷量计算，千万不要沿用旧的 q1、q2 。 （2）悬挂小球偏转问题（相似三角形法）： 场景：带电小球挂在绝缘细线下，受库仑斥力偏转。 技巧：如果题目给出几何尺寸（绳长 L、间距 r、高度 h），且角度未知，不要硬算三角函数。 通法：利用力的矢量三角形与几何三角形相似。 4. 多个点电荷的“叠加原理” （1）矢量合成原则：库仑力是矢量，遵循平行四边形定则。 对称性：如果电荷分布具有对称性（如正多边形顶点），利用对称性可以抵消部分分力，简化计算。 正交分解：对于不规则分布，建立坐标系，将各分力分解到 x,y轴上分别求和。 5. 结合牛顿第二定律与动量守恒 非平衡态运动： 分析：若系统所受合外力不为零（如光滑水平面上仅受库仑力），则系统动量守恒。 能量观点：只有库仑力做功时，系统的动能与电势能之和守恒。 注意：库仑力做正功，电势能减小，动能增加；反之亦然。 角度01 点电荷模型 1．下列说法正确的是（　　） A．质子的电荷量为一个元电荷，但质子是实实在在的粒子，不是元电荷 B．相互作用的两点电荷，它们的电荷量不相等，则它们之间的库仑力大小一定不相等 C．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体 D．根据可知，当r→0时，F→ 【答案】A 【详解】A．一个质子所带的电荷量是元电荷，但质子本身不是元电荷，A正确； B．根据牛顿第三定律，两电荷间的库仑力是一对相互作用力，大小相等，B错误； C．点电荷的定义取决于研究问题中带电体的形状和大小是否可忽略，而非实际体积或电荷量的大小，C错误； D．当时，带电体不能当作点电荷对待，库仑定律不适用，D错误。 故选A。 2．（多选）下列关于点电荷的说法中正确的是（    ） A．无论两个带电体多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体就可以看作点电荷 B．一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷 C．一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷 D．形状不规则的带电体也可以看作点电荷 【答案】AD 【详解】ACD．无论两带电体自身大小、形状怎样，当两带电体之间的距离远大于它们的大小时，带电体本身的大小、形状对于所研究的问题影响很小，可把带电体看作点电荷，故AD正确，C错误； B．尽管带电体很小，但两带电体相距很近，以至于本身的大小和形状对问题的影响不能忽略，两带电体则不能被看作点电荷，故B错误。 故选AD。 3．氢原子中的电子在半径r=5.3×10-11 m的轨道上绕核做逆时针运动，已知电子质量m=9.10×10-31 kg，带电荷量e=1.6×10-19 C，静电力常量k=9×109 N·m2/C2则： （1）电子绕核运动的速率是多少？ （2）电子绕核运动的周期是多少？ （3）电子绕核运动可等效为一环形电流，则其等效电流为多大？电流方向如何？ 【详解】（1）根据库仑力提供向心力得 代入数据得 v=2.2×106 m/s （2）电子运动的周期 T= 代入数据得 T=1.5×10-16s （3）电子绕核运动可等效为一环形电流，则其等效电流为 代入数据得 I=1.1×10-3A 电子带负电，电流的方向与电子运动的方向相反，所以为顺时针方向。 角度02 库仑定律内容和表达式 4．如图所示，用两根同样长的绝缘细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点。小球A的质量小于小球B的质量，小球A所带的电荷量大于小球B所带的电荷量。两小球静止时，细绳与竖直方向的夹角分别为和，两小球均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　） A．小球A受到的库仑力小于小球B受到的库仑力 B．拉小球A绳子上的拉力小于拉小球B绳子上的拉力 C． D． 【答案】B 【详解】A．由牛顿第三定律可知，小球A受到的库仑力与小球B受到的库仑力大小相等，故A错误； BCD．对两小球受力分析，如图所示 每个小球均为三力平衡，由相似三角形可得， 且 得， 又由， 解得，故B正确，CD错误。 故选B。 5．（多选）两个完全相同的金属小球、分别置于绝缘支架上，它们之间的距离远大于小球的直径。已知球所带电荷量的绝对值为，球所带电荷量的绝对值为，球、之间作用力的大小为。金属小球与、两球完全相同。现将不带电的小球先与球接触、再与球接触后移至远处，然后将小球、之间的距离增大到原来的倍，此时、之间作用力的大小仍为，由此可知可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】初始时、之间作用力的大小为，设、之间距离为r，则 若初始时、带同种电荷，则球先与球接触后，球3和球1的电荷量各为 球再与球接触后,球2的电荷量变为 移走球3后，将小球、之间的距离增大到原来的倍，此时、之间作用力的大小仍为则 可解得 若初始时、带异种电荷，则球先与球接触后，球3和球1的电荷量各为 球再与球接触后,球2的电荷量变为 移走球3后，将小球、之间的距离增大到原来的倍，此时、之间作用力的大小仍为则 可解得 故CD正确，AB错误。 故选CD。 6．如图所示，质量为的小球A穿在光滑绝缘细杆上，杆的倾角为，小球A带正电（可视为点电荷），电荷量为。在杆上B点处固定一个电量为的正点电荷。将小球A由距B竖直高度为处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。整个装置处于真空中，已知静电力常量和重力加速度，取，。求： (1)A球刚释放时的加速度大小； (2)当A球的速度最大时，A球与B点间的距离（结果可用根式表示）。 【详解】（1）A球与B点间距 根据牛顿第二定律 解得 （2）当时，速度最大，此时 解得 角度03 库仑的实验 7．由库仑定律可知，真空中两个静止的点电荷，带电荷量分别为和，其间距为时，它们之间相互作用力的大小为，式中为静电力常量。若用国际单位制的基本单位表示，的单位应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】C．选项中的（库仑）不是国际单位制的基本单位，C错误； D．选项中的（牛顿）不是国际单位制的基本单位，D错误； AB．根据牛顿第二定律有 所以 电流强度 所以 根据库仑定律有 所以的单位应为，A错误，B正确。 故选B。 8．（多选）如图所示，在库仑扭秤实验中，两个完全相同的小球A和B分别带等量同种电荷，小球固定在绝缘支架上，小球通过金属细丝悬挂在扭秤上。当系统平衡时，金属细丝的扭转角度为，库仑力与扭转角度成正比，即。实验中，得到如下表中数据，下列说法正确的是（     ） 距离变化 电荷量变化 扭转角变化 不变 不变 （两球） （两球） 不变 A．库仑力与电荷量成正比 B．库仑力与距离的二次方成反比 C．若距离减小为原来的一半，两小球电荷量也减半，库仑力大小保持不变 D．若距离减小为原来的一半，两小球电荷量也减半，库仑力大小变为原来2倍 【答案】BC 【详解】由表中数据可知，库仑力与成反比，与两小球所带电荷量乘积成正比。 故选BC。 9．18世纪，库仑设计扭秤装置探究电荷间相互作用规律。其装置核心是一根弹性金属丝悬挂绝缘横杆，杆的一端是一个带电的金属小球A，另一端有一个不带电的球B，B与A所受的重力平衡。当把另一个与A相同的带电金属球C插入容器并使它靠近A时，A和C之间较小的作用力可以使细银丝发生比较大的可测量的扭转，通过细银丝扭转的角度可以比较力的大小。 (1)“通过细丝扭转的角度比较力的大小”用到的实验方法为___________； A．微小量放大法 B．控制变量法 C．极限法 (2)若开始时A球不带电，改变C球带电量Q，将A球与C球接触后分开，保持其距离r不变，发现A、C间的静电力大小与___________（填“Q”“”或“”）成正比； (3)若保持电荷量不变，通过旋转顶部旋钮M改变带电小球间距r，利用金属丝扭转角度α衡量电荷间作用力F大小。实验数据记录如下： 实验序号 两小球的球心距离r（单位：m） 金属丝扭转角度（单位：度） ① 0.1 36 ② 0.2 9 ③ 0.3 4 已知在该装置中，金属丝扭转角度与两小球间库仑力成正比。根据上述数据，推导库仑力F与两小球间距r的关系为___________。 【答案】(1)A (2) (3)力F与距离r的二次方成反比或 【详解】（1）A和C之间较小的作用力可以使细丝发生比较大的可测量的扭转，通过细丝扭转的角度可以比较力的大小，用到的实验方法为微小量放大法； （2）若A球不带电，C球带电量为Q，其距离为r，将A球与C球接触后分开，则A、C之间的静电力大小 则A球所受的静电力与成正比。 （3）库仑力F与扭转角度α成正比，根据表中数据，两小球间距r的平方与扭转角度α成反比，库仑力F与两小球间距r的二次方成反比，或。 角度04 共线的自由电荷的平衡问题 10．在光滑水平桌面上固定两个相距为L、电荷量均为q的带正电的绝缘小球A和B，在A和B连线中点正上方处固定一个带负电的绝缘小球C，将一电荷量也为q的带正电的绝缘小球D放置于桌面上，小球A、B、D恰好在桌面上一个正三角形的三个顶点上且小球D恰好静止，绝缘小球均视为点电荷，则小球C所带的电荷量的绝对值为（   ） A．q B． C．2q D． 【答案】C 【详解】对小球D受力分析，在水平桌面内，根据平衡条件则有 解得 故选C。 11．（多选）一带电小球A，固定在绝缘竖直墙壁上，一段不可伸长的绝缘轻绳跨过光滑的定滑轮O一端与带电小球B相连，另一端用外力F拉住，滑轮在小球A的正上方，静止时OA与OB距离相等，重力加速度为g，如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．若此时将OB绳剪断，则剪断瞬间B球的加速度大小为g B．若调节力F，使OB绳缓慢变长，则OB绳拉力变小 C．若调节力F，使OB绳缓慢变短，则A、B两小球间的电场力变小 D．若调节力F，使OB绳缓慢变化一小段长度，则B球的运动轨迹为圆弧 【答案】AD 【详解】对小球B受力分析，受重力、绳子拉力、库仑力。由于重力竖直向下平行于，拉力沿绳平行于，库仑力沿连线平行于，力的矢量三角形与几何三角形相似。根据相似三角形对应边成比例可得 A．剪断前，由比例式知 剪断瞬间绳子拉力消失，库仑力和重力不变，合力大小 故加速度，A正确。 B．由，当变长时，拉力变大，B错误。 C．由及库仑定律 联立得 由于、、、、均不变，故A、B距离保持不变，库仑力大小不变，C错误。 D．因A固定且A、B距离不变，B球运动轨迹是以A为圆心的圆弧，D正确。 故选AD。 12．如图，两绝缘细线上端分别固定在水平天花板上的A、B两点，下端均与一质量为m、带电荷量为（）的小球M相连，小球M静止于C点，CA、CB与竖直方向的夹角分别为37°和53°，在带电小球M右侧固定一小球N，小球N带电荷量大小可以调节，设为aq，两球距离为L，两球连线在水平方向上且与两细线在同一竖直平面内，固定小球N后，若小球M的位置没变化，k为静电力常量，，两球可视为点电荷，求a的取值范围。 【详解】当细线上力为0时，对小球受力分析，此时小球带正电，电荷量为，根据库仑定律有 根据平衡条件可得 解得 当细线上力为0时，对小球受力分析，此时小球带负电，电荷量为，根据库仑定律有 根据平衡条件可得 解得 若小球的位置没变化，则两细线都不能松弛，则的取值范围为。 角度05 多个点电荷间库仑力合成 13．如图所示，B、C、D三个小球固定在绝缘水平地面上，四个小球所在位置恰在一个边长为a的正四面体的四个顶点上，其中小球B、C、D带正电，四个小球的带电量均为q；A球质量未知，设重力加速度为g，静电力常量为k，则A球的电性与质量为（    ） A．正电,     B．负电,      C．正电,     D．负电,      【答案】A 【详解】设正四面体的四个顶点为ABCD，作底边三角形BCD中点O，连结OD，AO，如图所示 由几何关系可知 B点小球在A点产生的场强为 同理C、D两点小球在A点产生的场强也为 这三个场强水平分量互成120°且大小相等，最终抵消所以A 的合场强为 则A点电荷受静电力大小为 若小球在A保持静止则所受电场力方向向上，所以小球A带正电，又由于 解得 故选A。 14．（多选）如图是一种测量未知电荷q的实验装置。其中q、Q1固定在A、B两点，2用一根绝缘细线拴接在A、B连线上的O点，平衡时夹角为θ。已知q、Q1、Q2到O点的距离分别为a、b、c，三者均为正电荷，且均放置于光滑绝缘的水平桌面上。下列说法正确的是（　　）    A．该实验装置需要同时已知Q1、Q2的电荷量大小 B．该实验装置只需要已知1的电荷量大小 C．根据实验数据可以得到 D．根据实验数据可以得到 【答案】BC 【详解】令Q1、Q2间的距离为e，q、Q2间的距离为d，如图所示，根据库仑定律 ，    利用三角形可知 利用几何关系可知 根据余弦定理可知 联立解得 因此该实验装置只需要已知1的电荷量大小及a、b、c的大小就可以算出q的电荷量。 故选BC。 15．如图所示，在三角形的三个顶点a、b、c处分别固定三个点电荷，a、b两处的点电荷都带正电，c处点电荷所受库仑力的合力的方向垂直于a、b的连线向下，已知a处点电荷所带的电荷量为，，。 (1)试判断c处点电荷的电性； (2)求b处点电荷的带电荷量。 【详解】（1）c处点电荷所受库仑力的合力的方向垂直于a、b的连线向下，可知c处点电荷受力如图所示 可知c处点电荷受到a、b处点电荷的库仑引力，由于a、b处点电荷带正电，所以c处点电荷带负电。 （2）由题图可得 又，， 联立解得b处点电荷的带电荷量为 角度06 非共线带电体的平衡问题 16．如图所示，水平桌面上固定一半径为R的半球形光滑绝缘碗，球心为O。有两个完全相同可视为点电荷的带电金属球甲、乙，电荷量分别为3q和q（q＞0）。甲固定于碗内壁A点，将乙放于碗内壁B点时，它恰好能处于静止状态。已知A、O、B三点位于同一个竖直平面内，O、B在同一水平面上，，静电力常量为k，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．两球之间的库仑力大小为 B．乙球的质量为 C．碗对乙球的支持力为 D．若用绝缘镊子将乙与甲充分接触后，再置于B点，乙球依然能静止 【答案】B 【详解】A．几何关系可知，两球之间的库仑力大小为，故A错误； BC．对乙球，根据平衡条件有 联立解得，故B正确，C错误； D．两球充分接触后带电量平分，导致两球间的库仑力发生了变化，乙球不能在B点处于静止状态，故D错误。 故选B。 17．（多选）如图所示，用固定在O点的绝缘细线系两个带电小球A、B，它们所带电荷量大小相等。两个小球静止时刚好在同一水平直线上，此时OA与竖直方向的夹角，OB与竖直方向的夹角。已知A球的质量为m，A、B两个小球之间的距离为L，静电力常量为k，重力加速度为g，，，下列说法中正确的是（　　） A．A、B两个小球带异种电荷 B．OA细线的拉力为 C．小球B的质量为 D．两个小球所带电荷量大小为 【答案】BC 【详解】A．由题意可知，两个小球间存在相互作用的斥力，所以两个小球带同种电荷，故A错误； B．对A受力分析如图所示 则有 解得，故B正确； C．对A 对B受力分析有 解得，故C正确； D．由库仑定律有 解得，故D错误。 故选BC。 18．如图所示，球心为、半径为的光滑绝缘半球形容器固定在水平面上，A、B两个完全相同的金属球带有同种电荷，两金属球的质量均为，A球带电量为B球带电量的4倍，将A球固定在容器最低点，B球在容器内壁某处处于静止状态，且与圆心的连线与竖直方向的夹角为，两球均可视为质点，重力加速度为，静电力常量为，求： (1)容器内壁对B球的支持力大小； (2)B球的带电量； (3)将B球与A球接触一下后再放回原处并由静止释放，释放一瞬间，小球B的加速度大小。 【详解】（1）对小球B研究，根据力的平衡可知容器内壁对小球B的支持力 解得 （2）设B球带电量为，对小球B研究，根据力的平衡可知  解得 （3）两球接触后，两球各自的带电量 B球放回原处并由静止释放，释放的一瞬间，根据牛顿第二定律可知  解得 【例1】（2025·湖南·高考真题）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【答案】C 【详解】AB．根据题意A球静止时，对A球受力分析，如图所示 由平行四边形定则及几何关系，轻绳上拉力为 A球与B球间的库仑力 故AB错误； C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球受到轻绳的拉力消失，其它两力保持不变，根据三力平衡知识，此时A球的合外力大小为，则加速度大小为g，故C正确； D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间B球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静止状态，则轻杆对B球的作用力不变，故D错误。 故选C。 【深化点拨】 受力分析与动态变化的核心知识点： （1）静止状态下的受力平衡分析：对小球 A 进行受力分析，考查重力、绳子拉力、库仑斥力三个力的平衡关系，尤其是利用几何角度判断力的方向，通过正交分解或力的合成来分析平衡条件。 （2）库仑力的特点：两带电小球间的库仑斥力属于非接触力，方向沿两球连线，在 A 球静止和剪断绳子瞬间，库仑力的大小和方向都不会发生变化，这是解题的关键前提。 （3）瞬间加速度的分析：剪断轻绳瞬间，绳子拉力消失，但库仑力和重力不变，考查瞬时加速度的计算，核心是分析瞬间的合力方向与大小，注意轻绳和轻杆的不同受力特点。 （4）轻杆的受力分析：小球B始终静止，考查轻杆对B球的作用力变化。B球受到重力、库仑斥力和杆的作用力，剪断绳子前后，库仑斥力不变，杆的作用力需要根据合力平衡重新分析，判断其大小变化。 （5）几何关系在受力分析中的应用：题目给出的 60°、30° 夹角，是判断力的方向、确定力的合成与分解关系的关键，考查利用几何角度简化受力分析的能力。 【变式1-1】如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（   ）    A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1 【答案】C 【详解】对小球受力分析如图所示    由正弦定理有 其中 ∠CPH = ∠OPB，∠CHP = ∠HPD = ∠APO 其中△APO中 同理有 其中 ， 联立有 Q1：Q2= 2n3：1 故选C。 【变式1-2】（2025·安徽·高考真题）（多选）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、，质量分别为m、，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为、，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　） A． B． C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 【答案】ABD 【详解】AB．如图，对两球进行受力分析，设两球间的库仑力大小为F，倾角为，对甲球根据平衡条件有，① 对乙球有， 联立解得② 故 同时有 解得 故AB正确； C．若将甲、乙互换位置，若二者仍能保持静止，同理可得对甲有， 对乙有， 联立可得，无解 假设不成立，故C错误； D．若撤去甲，对乙球根据动能定理 根据前面分析由①②可知 联立解得 故D正确。 故选ABD。 【变式1-3】有一竖直面内半径为的光滑绝缘圆弧轨道，两个质量相同的小球A、B（小球半径远小于）在轨道上保持静止，A、B小球带有电荷量均为的同种电荷，稳定时如图，其中，小球A、B和圆心的连线与竖直方向都成，静电力常量为，重力加速度为，求： (1)A、B小球间的库仑力大小； (2)小球A的质量。 【详解】（1）根据库仑定律，A、B小球间的库仑力大小 （2）对A分析可知 解得 【例2】（2025·河北·高考真题）（多选）如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则的绝对值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】AD 【详解】C先跟A接触后，两者电荷量均变为，C再跟B接触后，两则电荷量均变为，此时AB之间静电力大小仍为，则有 解得或； 则的绝对值可能是1或者5。 故选AD。 【深化点拨】 静电场中电荷分配与库仑定律的核心知识点： （1）相同金属小球接触起电的电荷分配规律：两个完全相同的金属小球接触后，电荷会先中和再平分，总电荷量平均分配到两个小球上，这是分析接触后电荷量变化的核心依据。 （2）库仑定律的应用条件：题目中“两者间距远大于小球直径”，满足点电荷的条件，可直接应用库仑定律分析静电力的大小，静电力与两球电荷量的乘积成正比。 （3）接触顺序对电荷分配的影响：小球C先与A接触、再与B接触，两次接触过程会改变A、B的电荷量，需要按顺序分步分析电荷的转移与分配。 （4）等量同种电荷的静电力特点 初始时 A、B 带有等量同种电荷，接触后静电力大小不变，说明接触后两球电荷量的乘积与原来相同，这是解题的关键条件。 （5）正负电荷的中和与分配 题目中未限定Q的电性，需要考虑Q与q同种或异种的情况，异种电荷接触时会先中和再平分，可能得到不同的结果，因此要考虑绝对值的多种可能。 【变式2-1】两个分别带电荷量为和（）的完全相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，两小球相互接触后将其固定距离仍r，则两球间库仑力的大小为（     ） A． B． C． D．8F 【答案】A 【详解】接触前，根据库仑定律，两球间库仑力大小为 完全相同的金属小球接触时，电荷先中和再平分，总电荷量为 因此接触后每个小球的电荷量均为。接触后两球距离仍为，此时库仑力大小为： 联立两式可得 故选A。 【变式2-2】（多选）如图所示，光滑水平面上有两个带电小球，在水平外力F的作用下一起沿水平面向右做匀加速运动，两小球质量相同，电荷量的绝对值均为q，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．两小球一定带异种电荷 B．两小球一定带同种电荷 C．两小球之间的距离L为 D．两小球之间的距离L为 【答案】AC 【详解】AB．两小球在水平外力的作用下一起沿水平面向右做匀加速运动，说明两小球之间存在相互吸引的力，才能保证它们一起运动。根据电荷间的相互作用规律：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，可知两小球一定带异种电荷，A正确，B错误； CD．设两小球的质量均为m，加速度为，整体受到外力，根据牛顿第二定律 对后面小球根据库仑定律 联立解得，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式2-3】如图所示，一倾角为的光滑绝缘斜面体稳固地固定于水平面上，带有电荷量为的负点电荷A被固定于斜面底端，将质量为的带电小球放置在斜面上距离负点电荷A为的点处，小球恰好保持静止。已知重力加速度为，静电力常量为，，，求： (1)判定小球所带电荷的电性； (2)计算小球所带的电荷量； (3)若在A、两点的中点处再固定一个电荷量为的正点电荷，求带电小球的加速度大小。 【详解】（1）由于小球保持静止，则负点电荷A对小球B的力为斥力，故小球也带负电。 （2）根据小球B受力平衡可得 解得 （3）对小球B，根据牛顿第二定律可得 解得 ⚡基础速刷 1．“电”的概念古来有之，但对电的研究到了16世纪才随着现代科学的发展而开始。在静电学的发展史中，法国物理学家库仑的功劳首屈一指，他让电学成为一门现代科学。关于比荷、元电荷、点电荷、库仑定律，下列说法正确的是（　　） A．带电性质不同的质子和电子所带电荷量大小相等，它们的比荷也相等 B．元电荷是自然界中最小的电荷量，元电荷可以是质子也可以是电子 C．体积小的带电小球在任何情况下都可以看成点电荷 D．真空中两静止的点电荷之间的库仑力大小总是相等的 【答案】D 【详解】A．质子和电子所带电荷量大小相等（均为元电荷），但质子质量远大于电子质量（约1836倍），因此比荷（电荷量与质量的比值，即）不相等。电子比荷远大于质子比荷，故A错误； B．元电荷是自然界中最小的电荷量（），但元电荷不是实体粒子；质子和电子是携带元电荷的粒子，但元电荷不是质子或电子，故B错误； C．点电荷是理想模型，其适用条件是带电体的尺寸远小于它们之间的距离。体积小的带电小球在距离很近时（如两小球紧贴），尺寸不可忽略，不能视为点电荷，故C错误； D．库仑定律是实验定律（由库仑通过扭秤实验得出），且根据定律，两电荷间库仑力大小相等、方向相反，符合牛顿第三定律，故D正确。 故选D。 2．在点固定的点电荷产生的静电场中，一电子仅在静电力作用下的运动轨迹如图中实线所示，、是轨迹上两点。已知，电子在点所受静电力大小为，则电子在点处所受静电力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据库仑定律可知，电子在A点所受静电力大小为 电子在B点处所受静电力大小为 故选D。 3．如图所示，、是圆的两个互相垂直的直径，在A点固定一个点电荷，在C点固定另一个点电荷，这时两点电荷间的库仑力大小为F，若将C点的点电荷移到B点，则两点电荷间的库仑力大小为（　　） A． B． C．2F D． 【答案】C 【详解】设圆的半径为，两点电荷的电荷量分别为、，则 当两点电荷在、两点时， 所以两点电荷间的库仑力大小 故选C。 4．（多选）关于点电荷、元电荷、检验电荷，下列说法正确的是（　　） A．点电荷是一种理想化的模型 B．点电荷所带电荷量一定是元电荷电荷量的整数倍 C．点电荷所带电荷量一定最小 D．点电荷、元电荷、检验电荷是同一种物理模型 【答案】AB 【详解】A．点电荷是一种理想化的模型，实际并不存在，A正确； B．任何电荷所带电荷量都一定是元电荷电荷量的整数倍，B正确； C．点电荷所带电荷量不一定最小，只是当带电体间的距离比它们本身的大小大得多，以至于带电体的形状大小和电荷分布对它们间的相互作用力的影响可忽略不计时，带电体就可以视为点电荷，C错误； D．根据定义可知，点电荷、元电荷、检验电荷表示的意义不一样，点电荷是理想化的物理模型，元电荷是最小的电荷量，不是物理模型，检验电荷是用来检验电场是否存在的电荷，体积要小，带电量也要小；故D错误。 故选AB。 5．（多选）如图所示，水平地面上方点用两根绝缘细线分别系着两个带电小球甲、乙，甲的质量为、电荷量为，乙的质量为、电荷量为，当两个小球静止时距地面高度相同，两细线与竖直方向夹角分别为、，且。下列说法正确的是（　　） A． B． C．同时剪断两细线，甲球落地时间大于乙球落地时间 D．同时剪断两细线，甲球落地时的速度小于乙球落地时的速度 【答案】BD 【详解】A．由于甲、乙受库仑力是相互作用力等大反向，甲、乙带同种电荷，电荷量大小关系不确定， A错误； B．分析受力可知 因，则甲的重力大，即， B正确； C．同时剪断两细线，甲、乙小球竖直方向受重力，加速度均为重力加速度，竖直方向运动位移相同，下落时间相同，C错误； D．由于甲球质量大，水平方向加速度小，小球落地时竖直方向速度相同，甲的水平方向速度小，即甲球落地时的速度小于乙球落地时的速度，D 正确。 故选BD。 6．如图所示，绝缘细线绕过光滑定滑轮，细线两端分别连接带电小球A、B，A、B球的质量均为m，用外力F（大小未知）控制调节B的位置，当A、B在同一水平直线上时保持A、B静止，此时OA段细线长为L，连接B球的细线与水平方向的夹角为，连接A球的细线与水平方向的夹角为，小球和滑轮的大小忽略不计，重力加速度为g，求： (1)细线上的拉力大小； (2)作用在B球上的外力大小。 【详解】（1）设细线的拉力为T，对A球受力分析，在竖直方向有   解得 （2）则库仑力的大小 小球B受到的重力mg、库仑力、细线的拉力这三个力在竖直方向的合力 方向竖直向下；水平方向的合力 方向水平向右。根据力的平衡可知，作用在小球B上的外力大小 🚀能力跃升 7．如图所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为和，球c带负电，在图示位置处于静止状态，已知、和的连线的长度分别为、和，，则（     ） A．球a带负电 B．球b带正电 C． D． 【答案】C 【详解】AB．根据题意，由于小球带负电，且处于静止状态，可知，小球排斥小球带负电，小球吸引小球带正电，故AB错误； CD．由库仑定律有、 对小球受力分析，如图所示 由相似三角形可得 联立解得，故C正确，D错误。 故选C。 8．如图所示，水平面上放置一个绝缘轻支杆，支杆上的带电小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B球缓慢移动一小段距离，支杆始终静止，下列说法正确的是（　　） A．带电小球B的运动轨迹为直线 B．带电小球B受到的库仑力先增大再减小 C．带电小球B受到的库仑力大小不变 D．地面给绝缘轻支杆的支持力一直小于带电小球A的重力 【答案】C 【详解】BC．对带电小球B受力分析，如图所示 根据相似三角形知识可得 可知、、不变，缓慢拉动细线（变小），不变，故库仑力大小不变，方向改变，故B错误，C正确； A．由可知两小球间的距离不变，故带电小球B的运动轨迹为圆，故A错误; D．对小球A和绝缘轻支杆整体受力分析，受重力、B球向下的作用力、地面的支持力，可知地面给绝缘轻支杆的支持力大于带电小球A的重力，故D错误； 故选C 9．如图，质量为、电荷量为的带电小球用一端固定在点上的绝缘轻绳连接，电荷量为的小球在点正下方用固定的绝缘轻杆连接。球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，点与小球的间距为。点与小球的间距为，静电力常量为，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．小球、之间的库仑力大小 B．小球A、B之间库仑力大小 C．小球B的带电荷量为 D．细线拉力大小 【答案】D 【详解】AB．小球的受力如图所示 由余弦定理得 几何三角形与力三角形相似，由对应边成比例 结合库仑定律解得，故AB错误; C．由之前分析，解得，故C错误； D．由之前分析，解得，故D正确。 故选D。 10．（多选）如图所示，光滑绝缘水平面上固定两个带正电的小球A、B，且小球A电荷量大于小球B电荷量。将一带负电的绝缘小球C放置在A、B连线之间，小球C保持静止。下列说法正确的是（     ） A．静止时，小球C到A的距离大于小球C到B的距离 B．仅增大小球C的电荷量，C静止的位置不变 C．仅小幅增大A的电荷量，小球C将向B侧移动 D．仅将A、B两球电荷量同时增加两倍，C静止的位置一定向左偏移 【答案】AB 【详解】A．带负电的小球C静止，受力平衡，即A、B对C的库仑力大小相等，列出平衡方程为 得 其中为C到A的距离，为C到B的距离。已知，则，故A正确； B．平衡方程中C的电荷量被约去，即平衡位置与无关，因此仅增大C的电荷量，C静止的位置不变，故B正确； C．仅小幅增大A的电荷量，则A对C的吸引力增大，大于B对C的吸引力，小球C将向A侧移动，故C错误； D．仅将A、B两球电荷量同时增加两倍，即A、B两球电荷量同时变为原来的三倍，仍然满足平衡方程，故C静止的位置不变，故D错误。 故选AB。 11．（多选）球心为，半径为的半球形光滑绝缘碗固定于水平面上，带电量为的小球甲固定在碗内壁的最低点，质量为的带电小球乙静止在碗内壁上的点，过、、的截面如图所示，之间的距离为。现缓慢增加甲球的电量，则乙球沿碗内壁缓慢向上运动到同一截面上与点等高的点。已知静电力常量为，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．乙球带正电，电荷量为 B．乙球向上运动过程中，点的电势不变 C．当乙球刚运动到点时，甲球的电量为 D．乙球向上运动过程中，碗内壁对乙球的支持力大小不变 【答案】AD 【详解】ACD．因乙球受库仑斥力，根据同种电荷相互排斥，且甲球带正电，故乙球也带正电，乙球受重力、库仑斥力、碗对其支持力N，三力动态平衡 由合成法得力的矢量三角形与相似，故有 解得 碗对其支持力大小为不变 当乙球刚运动到点时，甲球的电量为 故AD正确，C错误； B．根据点电荷的电势公式，乙球在运动过程中在点产生的电势不变，但甲球的电量增大，其在点产生的电势增大，故点的电势增大，故B错误。 故选AD。 12．如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为、带电荷量为（未知）的圆环套在竖直杆上。质量为、带电荷量为的滑块静置于水平地面上，、均保持静止，两者连线与水平地面的夹角，圆环距地面的高度为，静电力常量为，重力加速度为。求： (1)圆环所带电荷种类； (2)圆环所受库仑力的大小和所带电荷量； (3)滑块所受摩擦力。 【详解】（1）对圆环进行受力分析，圆环静止，受力平衡，圆环与滑块之间为斥力，所以圆环和滑块之间带同种电荷，则圆环带正电。 （2）对圆环受力分析有，， 联立解得， （3）对滑块进行受力分析 方向水平向左。 🌟思维挑战 13．如图所示，一光滑绝缘半圆环固定在竖直面内，半径为，圆环最低点固定一电荷量为的小球，另一质量为的小球恰好静止在与圆心等高的点，某时刻起，小球缓慢漏电，开始在竖直圆环上缓慢运动。下列说法中正确的是（　　） A．小球漏电前的电荷量 B．漏电过程中，圆环对小球的支持力大小变小 C．漏电过程中，小球的电荷量与两球间的距离的平方成正比 D．漏电过程中，两球间的库仑力逐渐减小 【答案】D 【详解】A．以圆心为参考，由几何关系漏电前，对受力分析在切线方向解得，故A错误； B．设某时刻与圆心连线与竖直向下方向夹角为，距离，库仑力，沿切线方向，法线方向 联立解得，，故B错误 C．由， 联立解得，故C错误； D．由，漏电时缓慢向最低点运动，从减小到，故逐渐减小，故D正确； 故选D。 14．如图所示，带电荷量为的点电荷固定在光滑绝缘水平面内点的正上方，三个带电荷量均为、完全相同的带电小球、C、D在光滑绝缘水平面上做匀速圆周运动，轨迹圆相同，半径均为，且三个小球对水平面恰无作用力，已知，重力加速度为，静电力常量为，忽略一切摩擦和阻力，则小球B的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由几何关系可知AB与水平面的夹角为， 则对B根据牛顿第二定律可知 对B竖直方向 解得小球B的角速度大小为 故选D。 15．（多选）如图所示，在一倾角为的绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从点移至A正上方的点处，已知、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．物体A受到斜面的支持力可能一直增大 B．物体受到斜面的摩擦力可能先减小后增大 C．地面对斜面的摩擦力可能先减小后增大 D．地面对斜面的支持力一定一直增大 【答案】BD 【详解】CD．以A和C整体为研究对象，受力分析如图所示 设B对A的库仑力大小为F，与竖直方向的夹角为，根据平衡条件得， 小球B从P点到Q点过程中库仑力F的大小不变，减小，减小，故地面对斜面C的摩擦力逐渐减小；增大，故地面对斜面的支持力一定一直增大，故C错误，D正确； AB．以A为研究对象，受力分析如图所示 小球B从P点到Q点过程中库仑力F的大小不变，但B对A的库仑力F垂直于斜面方向的分力先增大后减小，根据平衡条件 可知物体A受到斜面的支持力先增大后减小，故A错误； B．以A为研究对象，若刚开始，则物体受到斜面的摩擦力沿斜面向下，小球B从P点到Q点过程中库仑力F的大小不变，但B对A的库仑力F平行于斜面方向的分力先沿斜面向上减小，根据平衡条件，可知摩擦力沿斜面向下，大小在减小；当时摩擦力，继续沿斜面向上减小，则摩擦力方向变成沿斜面向上，大小不断增大；当反向，方向变成沿斜面向下，大小不断增大，则摩擦力方向仍沿斜面向上，大小仍不断增大，故物体受到斜面的摩擦力先减小后增大；若刚开始，则物体受到斜面的摩擦力沿斜面向上，小球B从P点到Q点过程中库仑力F的大小不变，但B对A的库仑力F平行于斜面方向的分力先沿斜面向上减小，根据平衡条件，可知摩擦力沿斜面向上不断增大；当反向，方向变成沿斜面向下，大小不断增大，则摩擦力方向仍沿斜面向上，大小仍不断增大，故物体受到斜面的摩擦力一直增大，由题无法知道与的大小关系，故物体受到斜面的摩擦力可能先减小后增大，也可能一直增大，故B正确。 故选BD。 16．如图所示，均可视为质点的三个物体A、B、C在倾角为30°的光滑绝缘斜面上，A绝缘，A与B紧靠在一起，C紧靠在固定挡板上，质量分别为，，，其中A不带电，B、C的电荷量分别为、且保持不变，开始时三个物体均能保持静止。现给A施加一平行于斜面向上的力F，使A沿斜面做匀加速直线运动，经过时间t，向上运动，向上力F变为恒力，已知静电力常量为，g取。求： （1）开始时BC间的距离L； （2）A做匀加速的加速度大小； （3）F从变力到恒力需要的时间t。 【详解】（1）A、B、C静止时，以AB为研究对象，受力分析有 代入数据解得 L=2.0m （2）A向上运动，向上力F变为恒力，经分析知AB分离时两者之间弹力恰好为零，此后F变为恒力，即此时B向上运动了1m，对B由牛顿第二定律得 其中 解得 （3）由匀加速运动规律得 解得 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $