25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学 九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，涵盖求根公式推导、根的判别式及解题步骤。通过回顾配方法解具体方程，引导学生推导一般形式方程的求根公式，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接旧知与新知。 其特色在于以推导过程培养数学推理能力，通过判别式符号与根的关系强化符号意识，结合错误分析（如小海同学未化一般式的错误）提升运算能力。学生能系统掌握公式法，教师可借助清晰步骤和分层练习提高教学效率。

25.2.2 公式法 第二十五章 一元二次方程 回顾旧知 用配方法解方程 3x2+6x-9=0 . 方程两边都除以3，得 即 开平方得 解得 配成了(x+n)2=p形式! 解：移项，得 3x2 + 6x = 9. 配方，得 任务一：推导一元二次方程的求根公式. 活动：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式： ax2＋bx＋c = 0(a≠0) ①. (1)尝试按照上述思路将①配成 (x+n)2=p 的形式. (2)思考 p 的符号与方程的解的关系，求出①的解. ax2＋bx＋c = 0(a≠0) ①. 方程两边都除以a，得 解：(1) 移项，得 ax2 + bx = -c 配方，得 即 (1)尝试按照上述思路将①配成 (x+n)2=p 的形式. 因为 a≠0，所以 4a2>0. 式子 b2－4ac 的值有以下三种情况： 这时，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个不等的实数根： 这时，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根： 这时，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 无实数根． (2)思考 p 的符号与方程的解的关系，求出①的解. 一般地，式子 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2－4ac. 当Δ＞0时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个不等的实数根； 当Δ= 0时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 无实数根. 一元二次方程的求根公式： 当Δ≥0时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式. 2x2-3x-5=0 -3x2+2x-8=0 Δ的值 根的情况 按要求完成下列表格： 49 0 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 -92 任务二：理解公式法的概念，用公式法求解一元二次方程. 活动：观察方程，解答下列问题. a = 2，b = –5，c = 3 . 解：Δ=b2－4ac = (–5)2 – 4×2×3 = 1 > 0 , (1)上式中 a、b、c的值分别是多少？ (2)方程根的情况如何？你能求出方程的根吗？ 即 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 解：化简为一般式：x2- +3=0 a=1，b= ，c=3. Δ= b2-4ac= = 0 方程有两个相等的实数根 (3)用公式法解下列方程，并与同伴交流总结解题步骤. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）将一元二次方程整理成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)； （2）确定公式中a、b、c的值(注意它们的符号)； （3）求出△= b2-4ac的值； （4）当△>0时，一元二次方程的根： 当△=0时，一元二次方程的根： 当△<0时，方程无实数根. 针对本节课的关键词“公式法”，你能说说学到了哪些知识吗？ 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. Δ= b2-4ac. 根的判别式 1.以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　) A. x2－6x＝0 B. x2－9＝0 C. x2－6x＋6＝0 D. x2－6x＋9＝0 D 2.若一元二次方程x²－2x＋c = 0无实数根，则实数c的取值范围为 ______. c＞1 3.已知关于x的一元二次方程x²－2x＋k = 0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． k = -1(答案不唯一) 4. 用公式法解下列方程： ( 1 ) x2-10x + 25 = 0； ( 2 ) 3x2 + 8x - 4 = 0. 解： 方程有两个不等的实根 即 Δ= b2－4ac＝82－4×3×(-4) = 112＞0， 解： Δ = 即 5.已知关于x的方程 (m+1) x2 - 2mx + m - 3 = 0 有实数根，求m的取值范围. 解：①当m+1=0 <m>，即m = -1 <m></m> 时，一元一次方程为2x-4=0，此时方程有实数根； ②当m+1 ≠ 0</m> ，即m ≠ -1时， 若一元二次方程 (m+1) x2 - 2mx + m - 3 = 0有实数根， 则b2－4ac＝(-2m)2 - 4×( m + 1 ) × ( m - 3 ) = 8m + 12 ≥ 0 ， 解得 m ≥ 且m ≠ -1. 6. 小海同学解一元二次方程 的过程如下： 解：a ＝ 4，b＝ ，c＝ Δ = b2－4ac＝ (1)小海的求解过程是从________步开始出现错误. ① (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根. 解：a ＝ 4，b＝ ，c ＝ . Δ = b2－4ac＝ $