第二章 相交线与平行线 期末高频必刷题 -2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线核心考点，以6大题型构建从基础计算到动态综合的递进训练体系，融入生活情境培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线角度计算|3题|考查对顶角、邻补角及垂线性质的角度换算|从相交线基本概念出发，奠定角度计算基础| |三线八角识别|4题|通过图形辨析同位角、内错角、同旁内角的位置关系|衔接相交线与平行线，为判定定理应用做铺垫| |平行性质求角度|8题|结合折叠、反射等情境，运用平行性质推导角度|强化平行线性质的直接应用，培养几何直观| |判定与性质综合|4题|包含推理填空与证明题，需综合运用判定与性质|构建“判定平行→应用性质”的逻辑链条，提升推理意识| |拐点拐角模型|7题|以机器人、冰舞等情境呈现“M”“Z”型模型，需作辅助线转化|深化平行线性质的复杂应用，培养模型观念| |动点综合|5题|涉及射线旋转、点运动等动态问题，需分类讨论|融合几何与代数，发展空间观念与应用意识|

第二章 相交线与平行线期末高频必刷题 【题型1 相交线中的角度计算】 【题型2 同位角、内错角和同旁内角的识别】 【题型3 利用平行的性质求角度】 【题型4 平行线的判定与性质综合】 【题型5 拐点拐角模型】 【题型6 平行线中的动点综合】 【题型1 相交线中的角度计算】 1．如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将一把剪刀张开一定的角度，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是过直线上点O的一条射线，于O，，的度数为（  ） A． B． C． D． 【题型2 同位角、内错角和同旁内角的识别】 4．如图，和是同位角的是（     ） A． B． C． D． 5．下列图中，与是同位角的是（   ） A．B．C． D． 6．如图，两条直线，被直线所截．构成8个角．简称为“三线八角”，下面对各个角的描述正确的是（    ） A．与互为同位角 B．与互为同旁内角 C．与互为内错角 D．与互为对顶角 7．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【题型3 利用平行的性质求角度】 8．如图，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，，点E在上，连接，．若平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，是杠杆受力示意图，重力G与拉力F的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 11．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．如图，直线a，b被直线c所截，，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 13．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 14．如图，太阳灶光源发出的光线，经反射后沿着与直线平行的方向射出．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 15．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠．其中与的数量关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型4 平行线的判定与性质综合】 16．推理填空： 如图，，，．请将求的过程填写完整． 解：（已知）， （________），又（已知）， （________）， ________（________）， （已知）， ________． 17．已知：如图，，C为上一点，平分，，，求的大小． 18．如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若． (1)求证：，并写出最后一步的依据； (2)若，求的度数． 19．如图，的角平分线和直线交于点，作，已知， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型5 拐点拐角模型】 20．如图1，高铁车顶上的“受电弓”能保持稳定和高效的电能传输．其示意图如图2所示，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．如图1是某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一条腿直立于地面，另一条腿的小腿刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点B，，于点A．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．若，那么（     ） A． B． C． D． 22．2026年总台春晚舞台上，融入了大量冰雪运动元素，展现了“冰与火”的视觉盛宴．如图1是某冰上舞蹈演员的表演瞬间，抽象为如图2所示的几何图形．已知演员的右臂与冰面平行，右臂与身体躯干的夹角为，腿部与冰面的夹角为，则躯干与腿部的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 23．2026年春晚《武》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 24．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”，例如，，，因为，所以是的“4系数补角”． 【概念理解】 (1)若，则的“2系数补角”的度数为________． (2)【初步认识】如图1，平面内，，点E、F分别为直线、上一点，点P为平行线间一点，连接，，已知，，完成下列问题： ①求的度数； ②是的“_______系数补角”． (3)【问题解决】在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点，点P为平行线间一点，连接，，设与直线的夹角为α，当，且是的“3系数补角”时，的度数为________． 25．如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 26．【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； (2)【类比应用】如图2，已知，点在直线的上方，点在直线上，连接，，则，，之间有何数量关系?请说明理由； (3)【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的角平分线和的角平分线相交于点，求的度数．（用含的代数式表示） 【题型6 平行线中的动点综合】 27．如图，已知，是直线，间的一点，于点，交于点，．        (1)的度数为 ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 28．如图，，求度数． 小明的思路是：过点作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，求得的度数为______度； (2)如图3，，点在射线上运动，，，当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出间的数量关系．（本题的解答过程不需要写理由．） 29．如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），和分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)当时，求的度数； (2)点P在射线上运动，若． ①问与之间有何数量关系？请说明理由； ②当点P运动到使时，请直接写出与之间的数量关系． 30．【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线期末高频必刷题 【题型1 相交线中的角度计算】 【题型2 同位角、内错角和同旁内角的识别】 【题型3 利用平行的性质求角度】 【题型4 平行线的判定与性质综合】 【题型5 拐点拐角模型】 【题型6 平行线中的动点综合】 【题型1 相交线中的角度计算】 1．如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直的定义可得，再根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以． 2．如图，将一把剪刀张开一定的角度，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图知与是对顶角，则． 3．如图，是过直线上点O的一条射线，于O，，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先，根据，得，，再根据平角的定义得，然后，由，得，进而得，最后，可得的度数为． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型2 同位角、内错角和同旁内角的识别】 4．如图，和是同位角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角的定义判断即可． 【详解】解：同位角定义是：两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角， 故和是同位角的是A． 5．下列图中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，叫做同位角，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A． 与在截线的同旁，且在被截两直线之间，是同旁内角，故本选项不符合题意； B． 与在截线的同旁，且都在被截直线的同侧，是同位角，故本选项符合题意； C．与在截线的两侧，不是同位角，故本选项不符合题意； D．与的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角，故本选项不符合题意． 6．如图，两条直线，被直线所截．构成8个角．简称为“三线八角”，下面对各个角的描述正确的是（    ） A．与互为同位角 B．与互为同旁内角 C．与互为内错角 D．与互为对顶角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角及对顶角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．与不是同位角，故A错误； B．与在截线右侧，且在直线、之间，互为同旁内角，故B正确； C．与在截线左侧，且在直线、上方，互为同位角，故C错误； D． 与没有公共顶点，不是对顶角，故D错误． 7．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】同位角：在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，内错角：在截线两旁，被截线之内的两角，同旁内角：在截线同旁，被截线之内的两角；首先结合图形找出需要判断的两个角所涉及的直线，再根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行分析即可． 【详解】解：．与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； ．与不是同位角，说法错误，故该选项不符合题意； ．与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； ．与是同旁内角，说法正确，故该选项不符合题意； 【题型3 利用平行的性质求角度】 8．如图，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）以及对顶角相等的性质，建立与的数量关系进行求解． 【详解】解：如图，设的对顶角为， ， ， ， ， ， ． 9．如图，，点E在上，连接，．若平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质求出即可． 【详解】解：， 平分， ， ． 10．如图，是杠杆受力示意图，重力G与拉力F的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，重力G与拉力F的方向所在直线平行， ∴， ∵， ∴． 11．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形对边平行，得，故；由折叠的性质得，再结合以及平角的定义，列方程求解得出，进而求得的度数． 【详解】解： 四边形是长方形， ， ． 由折叠的性质可知，， ． ，且， ， 即， ， ， ， ∴ ∴． 12．如图，直线a，b被直线c所截，，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义求出的度数，结合已知条件求出的度数，最后利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求出的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 13．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺中，，， ， ， ， ， ，选项符合题意． 14．如图，太阳灶光源发出的光线，经反射后沿着与直线平行的方向射出．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，， ∴，， ∴． 15．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠．其中与的数量关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可知折叠前后的对应角相等，根据平行线的性质，得到，结合平角的定义即可得出与的数量关系． 【详解】 解：由平行可知，， 由折叠可知，， ∴， ∴． 【题型4 平行线的判定与性质综合】 16．推理填空： 如图，，，．请将求的过程填写完整． 解：（已知）， （________），又（已知）， （________）， ________（________）， （已知）， ________． 【答案】解：（已知）， ，又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， ． 【详解】解：（已知）， ，又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行），（已知）， ． 17．已知：如图，，C为上一点，平分，，，求的大小． 【答案】 【分析】首先求出，然后根据角平分线的概念得到，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴． 18．如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若． (1)求证：，并写出最后一步的依据； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析，同位角相等，两直线平行（方法不唯一） (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，的角平分线和直线交于点，作，已知， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知证明 ， 即可证明 ； （2）由垂线的定义得到，根据角平分线的定义求出 ，再结合平行线的性质可得 ，最后利用平角的定义即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， （2）解：， ， ，平分， ， ， ， ． 【题型5 拐点拐角模型】 20．如图1，高铁车顶上的“受电弓”能保持稳定和高效的电能传输．其示意图如图2所示，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，根据平行线的判定和性质求出，，根据计算即可． 【详解】解：如图，作， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 21．如图1是某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一条腿直立于地面，另一条腿的小腿刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点B，，于点A．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22．2026年总台春晚舞台上，融入了大量冰雪运动元素，展现了“冰与火”的视觉盛宴．如图1是某冰上舞蹈演员的表演瞬间，抽象为如图2所示的几何图形．已知演员的右臂与冰面平行，右臂与身体躯干的夹角为，腿部与冰面的夹角为，则躯干与腿部的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将分割为两个角分别求解即可． 【详解】解：过点作，如图， ， ， ， ， ， ． 23．2026年春晚《武》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过点作 ，利用平行线的性质求出的度数，再根据已知条件求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】过点作 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 24．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”，例如，，，因为，所以是的“4系数补角”． 【概念理解】 (1)若，则的“2系数补角”的度数为________． (2)【初步认识】如图1，平面内，，点E、F分别为直线、上一点，点P为平行线间一点，连接，，已知，，完成下列问题： ①求的度数； ②是的“_______系数补角”． (3)【问题解决】在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点，点P为平行线间一点，连接，，设与直线的夹角为α，当，且是的“3系数补角”时，的度数为________． 【答案】(1)； (2)①；②5； (3)或． 【分析】（1）设的“2系数补角”是，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①过点作，得，可得； ②根据几系数补角的定义列方程求解即可； （3）先求出，再分点P在之间，点在点左右两侧，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设的“2系数补角”是，根据题意，得： ， 解得：， 所以，的“2系数补角”的度数是； （2）解：①过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②∵，， 根据定义得， ∴， 解得， ∴是的“5系数补角”； （3）解：∵，且是的“3系数补角”， ∴， ∴， ∴， 当点P在之间，点在点右侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在之间，点在点左侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 又 ∴； 综上，的度数为或． 25．如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，可得，由（1）得：，利用平行线的性质建立方程求解即可； （3）令，，可得．证明，．结合．再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴令，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）得，， ∴， 解得， ∴． 26．【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； (2)【类比应用】如图2，已知，点在直线的上方，点在直线上，连接，，则，，之间有何数量关系?请说明理由； (3)【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的角平分线和的角平分线相交于点，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，利用两直线平行同位角和内错角相等得到答案； （2）过点作，得，再根据，即可得到答案； （3）依题意，，，由（2）得，可知，得到答案． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，的角平分线和的角平分线相交于点， 平分，平分， ，， 由（2）知， ， ， 同（2）理，可知， 【题型6 平行线中的动点综合】 27．如图，已知，是直线，间的一点，于点，交于点，．        (1)的度数为 ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①或；②的值为秒或秒或秒 【分析】 （1）延长与相交于点，利用三角形外角的性质求解即可； （2）①根据，在的上方和下方两种情况讨论求解即可； ②根据逆时针旋转和顺时针旋转的不同位置，满足的不同情况进行分类讨论即可. 【详解】（1）解：延长与相交于点，如图， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①Ⅰ、如图， ，， ， 射线运动的时间（秒）， 射线旋转的角度， 又， ； Ⅱ、如图所示， ，， ， 射线运动的时间（秒）， 射线旋转的角度， 又， ； 综上：的度数为或； ②解：Ⅰ、当由运动到如图时，，与相交于点， 根据题意可知，经过秒，则，， ， ， ， 解得（秒）； Ⅱ、当运动到，再由运动到如图时，，与相交于点， 根据题意可知，经过秒， ， ， ，， 运动的度数为：，即， 解得； Ⅲ、当由运动如图时，， 根据题意可知，经过秒， ，， ，， ，， 又， ， ， 解得（秒）， 当的值为秒或秒或秒时，． 28．如图，，求度数． 小明的思路是：过点作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，求得的度数为______度； (2)如图3，，点在射线上运动，，，当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出间的数量关系．（本题的解答过程不需要写理由．） 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)当点在直线左侧时，；当点在直线右侧时， 【分析】（1）根据平行线的判定和性质求解； （2）过点作，根据平行线的判定和性质证明； （3）分两种情况进行讨论，根据平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：，证明如下： 如图3所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点在直线左侧时， 如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在直线右侧时， 如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，当点在直线左侧时，；当点在直线右侧时，． 29．如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），和分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)当时，求的度数； (2)点P在射线上运动，若． ①问与之间有何数量关系？请说明理由； ②当点P运动到使时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）由平行线的性质及角平分线的定义可得结论； （2）①证明方法同（1）问；②由平行线的性质可得，结合条件，可得，再由角平分线的定义、平行线的性质等可求得答案． 【详解】（1）解：， ， 又， ． ，分别平分和， ，， ； （2）解：①，理由如下： ，分别平分和， ，， ， ， ， ， ． ②， ， 当时，有， ， ， ，分别平分和， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题核心是平行线同旁内角互补与角平分线的综合应用，关键是通过平行线性质转化角度，再结合角平分线进行等量代换，推导出角度间的数量关系． 30．【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 【答案】(1)75 (2)①53；② (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得； （2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：如图，当在的上方时，当在的下方的位置时，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①当时，， ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）解：如图，当在的上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当在的下方的位置时， 此时旋转过的角度为， ∴， 解得：； 综上：当时，直接写出三角板的运动时间为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $