广东珠海市麒麟中学2025-2026学年高一下学期期末复习综合卷（二）

**基本信息** 高一下期末综合卷，聚焦复数、向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过分层设题与情境化设计，考查数学抽象、空间观念及应用意识，适配学段能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数虚部、向量夹角、圆锥体积、解三角形|基础概念辨析，如向量夹角分类讨论（第3题）| |填空题|3题15分|向量投影、圆台体积、解三角形参数范围|空间几何体计算与动态问题（第14题边的最大值）| |解答题|5题77分|复数几何意义、三角函数对称中心、解三角形应用、立体几何证明与体积、新定义生成向量|情境化与创新设计，如巡逻艇航行（第17题）、生成向量新定义（第19题），综合考查数学思维与表达|

珠海市麒麟中学高一下学期期末综合卷（二）答案 1 2 3 4 5 A A D A D 6 7 8 9 10 A C C AD BD 11 12 13 14 15 ABD −1； （1） （2） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.　设（为虚数单位），则的虚部是（ 　　） A. 3 B. 3i C. 4 D. −4 ☆【答案】A 2.　若，，若，则的值是（ 　　） A. B. C. −3 D. 3 ☆【答案】A 3.　若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，三向量两两夹角为0或，当夹角为0时，直接求模，当夹角为时，利用向量求模公式即可求解． 【详解】若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为0或， 若夹角为0，因为，则， 若夹角为，， 则． 4.　底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ 　　） A. B. C. D. ☆【答案】A 【解析】由题意知，圆锥的底面直径为2，则底面半径.又母线长，则圆锥的高.∴该圆锥的体积. 5.　在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B=（ 　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】由正弦定理 可得：. 因为 ，所以 ，所以 或 . 6.　在中，角所对的边分别为，如果，则一定是（ 　　） A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ☆【答案】A 【解析】∵，由正弦定理可得，， 即，∴.∵，∴.∴或，即或.∴一定是等腰三角形或直角三角形. 7.　已知平面和直线，下列命题正确的是（ 　　） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ☆【答案】C 8.　已知是单位向量，.若向量满足，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. ☆【答案】C 【解析】∵是单位向量，且，∴. 由可化为.设向量的终点为，向量的终点为， 则点在以为圆心，1为半径的圆上运动.又，即圆心到原点的距离为. ∴的最大值为圆心到原点的距离加上半径，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.　已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在单调递减 D. 将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 【答案】AD 【详解】由函数的图象可知，且图象的最高点坐标为，与它相邻的零点为， 设函数的最小正周期为，则有，故A正确； 因为，由，则. 又由， 因为，所以时，，因此. 因为， 故函数的图象不关于点中心对称，即B错误； 当时，设，因为在上不单调， 故函数在不是单调递减函数，故C错误； 该图象向右平移个单位可得， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得的图象，故D正确. 10.　已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】，，A项，若，则，故A错误； B项，由A知，，则，故B正确； C项，若，则，故C错误； D项，由C知，，则，， 则，，故，故D正确. 11.　已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ 　　） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 ☆【答案】ABD 【解析】对于A选项，在正方体中，，，， ，四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面， 为上一动点，， 正方体的棱长为2， ， 四面体的体积为定值，故A正确； 对于B选项，当为中点时，平面，证明如下： 取的中点，的中点，连接， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面， 平面，平面，， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面，平面， 平面，， ，平面，平面， 即存在点，使平面，故B正确； 对于C选项，过作于点，过作于点， 在直角三角形中，，，， ，， 在中，，，， ，， ，， ，点与重合， 是二面角的平面角， ，故C错误； 对于D选项，取的中点，连接， 在直角三角形中，， 又由B选项中可知，平面，平面， ， ，，，为四面体的外接球的球心， 外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.　已知单位向量满足，则＿＿＿＿＿＿，在方向上的投影向量等于＿＿＿＿＿＿（用向量表示）. ☆【答案】−1；【解析】因为，所以，又因为，所以，所以. 13.　已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为＿＿＿＿＿＿. ☆【答案】 【解析】圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为， 由圆台的侧面积公式得，解得， 由勾股定理得， 由圆台的体积公式得， 14.　在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. ☆【答案】 【解析】在中，由正弦定理得： ， . ∴. 设，其中. ∵，∴. 要使在上有最大值，必须存在使得，即. ∵，∴. ∴且. 即且. 解得，即. ∴实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.　（13分）已知复数，. （1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围； （2）若，求的最小值. ☆【答案】（1） （2） 【解析】解：（1） 依题意有，解得， 得. （2） . 由得 消去得. 当时，取最小值，. 16.　（15分）已知函数． 求函数图象的对称中心； 函数在内是否存在单调增区间？若存在，请说明原因并写出递增区间；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）对于函数 ，令，，解得，，可得函数的对称中心为，． （2）当，有，当2x∈时，函数单调递增，故函数在内，存在单调增区间．由，求得，可得函数的增区间为． 17.　（15分）如图，一艘巡逻艇从小岛出发，沿北偏东的方向航行海里后到达小岛，然后从小岛出发，继续沿某一方向航行海里后到达小岛.小岛与小岛相距海里.三个小岛构成. 其中分别为三角形在顶点处的内角. （1）若满足关系式：，求巡逻艇从小岛直接航行到小岛时应采用的方向（以北偏东角度表示）； （2）巡逻艇从小岛向小岛直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻艇在点抛锚.若从小岛直接前往救援，需行驶2海里到达点.若满足关系式：，求的最大值. ☆【答案】（1）北偏东 （2） 【解析】解：（1）因为，由正弦定理， 得，即， 即，因为，故，解得， 因为，故，故巡逻艇从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行. （2）依题意，，由正弦定理及余弦定理，有，解得， 因为，化简得，， 因为，即，故，当且仅当时取等号，的最大值为. 18.　（17分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点. （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）若，当二面角的正切值为−2时，求直线与平面所成的角. ☆【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】解：（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，， 由及点是棱的中点，可得，因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以，又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面，所以平面，又因为平面，所以 （2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面，所以. （3）设点是与的交点，由（1）可知平面，又，均在平面内，从而有，，故为二面角的平面角，所以，所以，因为，所以为等边三角形. 不妨设菱形的边长为，.则在直角中，，，，所以， 因为平面，所以为直线与平面所成的角. 则，所以直线与平面所成的角为 19.　（17分）已知坐标平面内一点为坐标原点，给定函数，我们称向量为函数的“生成向量”，同时称函数为向量的“生成函数”. （1）记向量的生成函数为，若当且时，求的值； （2）设，求的生成向量，并求出与反向的单位向量； （3）已知向量为函数的生成向量，在中，，，若点为的外心，求的最大值. 【答案】（1） （2），反向单位向量为 （3） 【解析】解：（1）由题意知，向量的生成函数为 ，当时，，即 ， 又，则 ，所以，解得 …………………… 5 分 （2）因为 故函数的生成向量 则，与反向的单位向量为 （3）由题意得，， 在中，，因为，因此 设外接圆半径为，根据正弦定理，，即，故， 所以 ， 因为，所以，， 代入可得 当时，，上式取得最大值 【点拨】处理新定义问题时，首要是准确“翻译”规则.本题的难点在于第（3）问，利用向量的线性运算将未知向量转化为外接圆半径向量（起点为外心），从而利用外心到各顶点距离相等的性质大幅简化数量积的计算. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市麒麟中学高一下学期期末综合卷（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.　设（为虚数单位），则的虚部是（ 　　） A. 3 B. 3i C. 4 D. −4 2.　若，，若，则的值是（ 　　） A. B. C. −3 D. 3 3.　若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 4.　底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ 　　） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B=（ 　　） A. B. 或 C. D. 或 6.　在中，角所对的边分别为，如果，则一定是（ 　　） A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7.　已知平面和直线，下列命题正确的是（ 　　） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8.　已知是单位向量，.若向量满足，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.　已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在单调递减 D. 将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 10. 已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11.　已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ 　　） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.　已知单位向量满足，则＿＿＿，在方向上的投影向量等于＿＿＿＿（用向量表示）. 13.　已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为＿＿＿. 14.　在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.　（13分）已知复数，. （1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围； （2）若，求的最小值. 16.（15分）已知函数． 求函数图象的对称中心； 函数在内是否存在单调增区间？若存在，请说明原因并写出递增区间；若不存在，请说明理由. 17.　（15分）如图，一艘巡逻艇从小岛出发，沿北偏东的方向航行海里后到达小岛，然后从小岛出发，继续沿某一方向航行海里后到达小岛.小岛与小岛相距海里.三个小岛构成.其中分别为三角形在顶点处的内角. （1）若满足关系式：，求巡逻艇从小岛直接航行到小岛时应采用的方向（以北偏东角度表示）； （2）巡逻艇从小岛向小岛直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻艇在点抛锚.若从小岛直接前往救援，需行驶2海里到达点.若满足关系式：，求的最大值. 18.　（17分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点. （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）若，当二面角的正切值为−2时，求直线与平面所成的角. 19.　（17分）已知坐标平面内一点为坐标原点，给定函数，称向量为函数的“生成向量”，同时称函数为向量的“生成函数”. （1）记向量的生成函数为，若当且时，求的值； （2）设，求的生成向量，并求出与反向的单位向量； （3）已知向量为函数的生成向量，在中，，，若点为的外心，求的最大值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $