第2章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第二章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 5 6 8 9 10 答案 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 A.x+y=3 B.3x+y2=2 C.2.x-x2=3 D.x(x2-3)=0 2.一元二次方程x2一4=0的解是 A.x1=2,x2=-2 B.x=-2 C.x=2 D.x1=2,x2=0 3.将一元二次方程2x2一4x=一5化成一般形式后，若二次项的 批 系数是2，则一次项系数和常数项分别是 ( ) A.4,5 B.-4,5 C.-4,-5 D.5,4 4.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边都加上4的是 ( A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 C.x2+8x=5 D.2x2+4x=5 5.一元二次方程3x2一2x一1=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 6.下列方程中，最适合用因式分解法求解的是 A.(x-2)(x-3)=1 B.x2-2x-1=0 C.x-2=x2-4 D.x2-3.x+4=0 棕7.《四元玉鉴》是我国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所 著.书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖 批 得钱二贯九百七十五文.只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、 尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯 九百七十五文.已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十 七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（注：1贯=1000 文)设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为 ( ) A.(x-3)(x-47)=2975 B.(x+3)(x-47)=2975 C.(x+3)(x+47)=2975 D.(x-3)(x+47)=2975 8.一元二次方程2-4x十3=0的两根为x1,2,则1十1的 值为 ) A号 C.4 D.3 9.若m是方程x2-20x-2=0的一个根，则m2-19m 40 m”2的 值为 ( A.18 B.20 C.21 D.22 10.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P从点A 出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B 出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B 时，点Q也停止运动.当△PQC的面积等于16cm时，运动 时间为 A.2s B.4s C.10s D.2s或10s 二、填空题（每小题3分，共24分》 11.写出一个一元二次方程，使它有一个根为2，则该方程可以为 12.若关于x的一元二次方程(x一2)2=n十1有实数根，则n的 取值范围是 13.已知一元二次方程(m十2)x2+7m.x十m2一4=0有一个根为 0,则m的值为 14.在实数范围内定义一种新运算，规定：a★b=a2一b,则方程 (x十2)★5=0的解为 15.甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为1.5m/s,乙的 速度为1m/s,乙一直向东走，甲先向南走10m,后又朝北偏 东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了m 16.若m,n是一元二次方程x2一3x十1=0的两个实数根，则 (m-1)2+n的值为 17.等腰三角形的两条边长是方程x2一8x十12=0的两个根，则 这个等腰三角形的周长为 —8 18.已知m是关于x的一元二次方程x2十2x十n一3=0的一个 根，则m一n的最小值是 三、解答题（共66分） 19.(6分)解方程：x2十6x-2=0. 20.(6分)小敏与小霞两名同学解方程3(x一3)=(x一3)的过 程如下： 小敏 小霞 两边都除以(x一3)， 原方程可变形为3(x-3)一(x一3)2=0， 得3=x-3. (x-3)(3-x-3)=0. 解得x=6. x-3=0,或3-x-3=0 .x1=3,x2=0. 你认为她们的解法是否正确？若不正确，写出正确的解答过程。 9 21.(6分)智能充电桩通过技术创新实现了“安全、高效、便捷、经 济、环保”的全方位突破，可以为用户提供优质充电服务.某地 为了方便居民充电，8月份新安装了200个充电桩，随着居民 对智能充电桩需求量的增加，10月份新安装338个充电桩. 求该地9,10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率. 22.(6分)某市提出“全民健身手牵手，幸福生活心连心”的健康 锻炼计划，为了更好地为广大市民提供锻炼的场所，准备将体 育公园内一个长50m、宽30m的矩形场地ABCD按如图所 示的设计进行改造，场地内修等宽交叉的两条路，剩余部分安 装健身器材，安装健身器材的面积是1269m.求道路的宽. 23.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-(k十1)x十2k-2=0. (1)试判断方程的根的情况； (2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围. 10 24.(10分)根据以下素材，探索完成任务. 富平县是国家林业局命名的中国名特优经济林之乡一“中 背景 国柿乡”，富平柿饼有“霜厚、底亮、质润、味香甜”的特点 某超市售卖成本为20元/kg的富平柿饼，该超市销售一段时 间后发现，当柿饼的售价为50元/kg时，月销售量为50kg.若 素材 在此基础上每千克柿饼的售价每降低2元，则柿饼的月销售量 将增加5kg 问题解决 设柿饼的售价降低x元/kg,则柿饼的月销售量为 kg 任务1 (用含x的代数式表示) 该超市为使销售柿饼的月销售利润达到1560元，且尽量 任务2 减少库存，则柿饼的售价应降低多少 25.(10分)已知☐ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程 x2一mx十罗一}=0的两个实数根。 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ (2)若这个方程的两个实数根分别是x1,x2,且(x1一3)(x2一 3)=5m,求m的值. —11 26.(12分)综合与实践：九年级课外小组计划用两块长100cm、 宽40cm的长方形硬纸板做收纳盒. 【任务要求】 任务一：设计无盖长方体收纳盒.如图①，把一块长方形硬纸 板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无 盖的长方体收纳盒. 任务二：设计有盖长方体收纳盒.如图②，把另一块长方形硬 纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的 长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分， 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm,则剪去 的小正方形的边长为多少厘米？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608cm2. ①该收纳盒的高为多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图③所示的玩具机械狗完全 立着放入该收纳盒，并说明理由. 图① 21cm E(H) 3 cm VFG) 15 cm 图② 图③ 12第二章综合评价 1.C2.A3.B4.B5.A6.C7.D8.A9.D10.A11.x2-2x=0(答案不 唯-）12.n≥-113.214.x1=-7,x2=315.2416.317.1418.-2 【解析】把x=m代入方程x2十2x十n-3=0,得m2十2m十n-3=0.∴.n=-m2-2十 3m-=m-(-m-2m+3)=(a+受)广-头.(m+受)≥0(m+受) 头-头.m一n的最小值是-头19.解：移项，得r+6r=2配方，得十6x 3=2+32,即(x十3)=11.两边开平方，得x十3=士/1I,即x十3=√1T,或x十3= -√工.∴.x1=一3十√T,x2=-3-√工.20.解：她们的解法都不正确.正确的解答 过程如下：原方程可变形为3(x一3)一(x一3)2=0，(x一3)(3一x十3)=0.x一3=0，或 3一x十3=0..x1=3,x2=6.21.解：设该地9,10两个月新安装智能充电桩个数的 月平均增长率为x.根据题意，得200(1十x)2=338,解得x1=0.3=30%,x2=-2.3 (不合题意，舍去).答：该地9,10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为 306.22.解：设道路的宽为xm.根据题意，得(50一x)(30一x)=1269,解得x1=3, x2=77(不合题意，舍去).答：道路的宽为3m.23.解：(1)：△=b一4ac=[-(k十 1)]2-4×1×(2k-2)=(k一3)≥0，.方程有两个实数根.(2)由(1)知△=(k-3)2, x=二[-k+1)吉3D_+1±，k-3》,即1=k-1,=2.:方程有一个 2×1 根小于2，∴k-1<2,解得k<3.24.解：（任务1）(50十2.5x)(任务2)根据题意，得 (50-x一20)(50十2.5x)=1560,解得x1=4,x2=6.:要减少库存，.x=6.答：柿饼 的售价应降低6元/kg.25.解：(1)当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，即方程x 一m受一子=0有两个相等的实数根.4=（一m一4（受一寸）=0，解得m= 2=1.,当m=1时，四边形ABCD是菱形.(2)由根与系数的关系，得x1十x2=m, 4,=罗-子.：(a-3)-3)=-3(十x)+9=5m罗--3m+9 5m,解得m=名.26，解：)设剪去的小正方形的边长为xcm,根据题意，得(100 2x)(40一2x)=1600,解得x1=10,x2=60(不合题意，舍去).答：剪去的小正方形的边 长为10cm.(2)0设收纳盒的高为acm,则收纳盒底面的长为100,2=(50一a)cm, 2 宽为(40-2a)cm.根据题意，得(50-a)(40-2a)=608,解得a1=12,a2=58(不合题 意，舍去)，答：收纳盒的高为12cm.②不能.理由如下：由①，得该收纳盒的高为12cm. ·1218,.不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒. 第三章综合评价 1.D2.B3.B4.D5A6,A7.C8.D9.A10.B1.子 12.∠B=∠D (答案不唯-)13.2014.2，-1)15.416.117.号18.号 19.解：a,b,c, d旦成刷残段，..a=方.a=4,6一为C一10，··5d…2.、 b 5 2 .20.解：设AE =Dx.DE/BC裙能即。=后解得x=卓.AE-只 21.证明： 由尔数定理海AC-后DAE-瓜荒号是方号是亮 9.:能-是-是△ACD△BcA 22.解：(1)如图，△A1B1C即为所求. 点B1,C的坐标分别为(6,6)，(9,3).(2)3：123.(1)证明： .四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD..∠AEB=∠DAE.∠B=∠AED,.△ABE∽ △DEA.(2)解：：四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB=6.由(1)知△ABE△DEA, ÷=(铝)=（告）=音24解：AB/CD∠A=∠CDB,∠ABE S△DEA ∠C△ABE△E∴8器=提-碧=子又：CD∥E,B那-器=号 (2)CD∥EF,·∠BEF=∠C又∠EBF=∠CBD,△BEF∽△BCD..5= 部器=号器=号需=是E=号CD=65解：由题意知C 76 ⊥AB,DF⊥AD,.∠CBA=∠FDA=90°.又.'∠CAB=∠FAD,.△CAB∽△FAD 六铝-股由题意知，AD=3m,AB=5m,BC=85m号-5DF= 2.1cm,即小视力表中相应“E"的高度是2.1cm.(2)连接A'B',过点C作CD⊥MN于 点D,延长CD交A'B'于点E.由题意知，AB∥MN∥A'B'.易得△MNC∽△A'B'C, ÷器-罡由题意知CE=5m,DE=3n,AB=AB=0,8mCD=CE-DE= 2mM=2,MN=0.32m,镜长至少为0.32m,26,解：CPBD (2)成立，理由如下：设AB,CP交于点O.,∠ABC=∠ADE=26°，∠BAC=∠DAE= 90,△ABC△ADE裙.脚2把：∠BAC=∠DAE=90∠DAB +∠BAE=∠BAE+∠CAE=90°..∠DAB=∠EAC.∴.△ADBO△AEC.∴.∠ABD =∠ACE.:∠OAC=90°，.∠ACE+∠AOC=90°.'∠BOP=∠AOC,∴∠ABD+ ∠BOP=90°..∠OPB=90°，即CP⊥BD.(3)如答图，当点E在线段 AB上时，：△ABC和△ADE是等腰直角三角形，.AD=AE=6,AB =AC=8,∠BAC=∠DAE=90°，∴.CE=√AE+AC=√62+8= 10,BE=AB-AE=8-6=2.在△ADB和△AEC中，1 (AD-AE, ∠DAB=∠EAC,..△ADB≌△AEC(SAS).,.∠ABD=∠ACE.又 答图 AB=AC, ∠PEB=∠AC△PBEn△ACE28器聘-最PB=号 期中综合评价 1.C2.B3.C4.B5.D6.A7.A8.D9.D10.A11.DE∥BC(答案不唯一) 12.313.2.514.4915.64°16.=-2，x=-617.13.518.4或25 19.解：原方程可变形为x(x一3)一(2x一6)=0.(x一3)(x一2)=0.x一3=0，或x一2 0.=3=2.20.解：h∥h∥月6-器AB=6,BC=8,DF=12, 2示号EF=号21.证明：AB=(CD.AD=BC四边形ABCD是平 行四边形..AC=2AO,BD=2OD.OA=OD,.AC=BD..四边形ABCD是矩形. 得∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90',△ABCD = S,即：8-是DE=1.2m.:∠CED-ZHFD=90,∠CDE=∠HDF △CE△HFB:E-8E即志=PSDF=6mEF=DE+DF=.2mn 答：河EF的宽度为7.2m.23.解：(1)根据题意，得△=(2m)-4(m2十m)≥0，解得 m≤0.(2)根据题意，得x1十x2=-2m,x1x2=m2十m.x1十x号=（x1十x2)2-21x2 =12,.(-2m)2-2(m2十m)=12,即m2-1-6=0,解得m1=-2,2=3..m0, .m的值为一2.24.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.AB∥CD,CD=AB=4, ∠B=90,:BE=DF=号，AB-BE=CD-DF,即AE=CF=号.四边形AECF 是平行四边形，在R△BCE中，CE=VBE于BC=号.CE=AE.四边形AECF 是菱形.(2)解：连接AC在R△ABC中，AC=VAB+BC=2.“Sr=号AC· EF=AE·BC,EF=2AE:BC=5.25.解：（任务1）设从1月份到3月份该品牌 AC 新能源汽车销售量的月平均增长率为x.根据题意，得3(1十x)2=5.07,解得x1=0.3 =30%,x2=一2.3（不合题意，舍去）.答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量 的月平均增长率为30%.（任务2）设下调后每辆汽车的售价为y万元.根据题意，得(y 一15(8+5×1）=96，解得0=21，=28：此次销售尽最让利于顾客，y 21.答：下调后每辆汽车的售价为21万元.26.解：(1).四边形ABCD是正方形，AE =AB,.AB=AD,∠BAD=90°.∴AE=AD.∴∠AEB=∠ABE,∠AED=∠ADE. :∠AEB+∠ABE+∠AED+∠ADE+∠BAD=360°，.2∠AEB+2∠AED+90°= 360°..∠AEB十∠AED=135°...∠BED=∠AEB十∠AED=135°.(2)如图②， )过点A作AGLBE-于点G,则GB=GE=合BE:CELBF,∴∠BEC= B ∠AGB=∠ABC=90°.：∠BAG+∠ABG=90°，∠CBE+∠ABG=90°，∴.∠BAG= ∠CBE.:BC=AB,△BEC≌△AGB.∴EC=GB=BE.过点P作PH⊥BE于点 一77 H,则PH∥CE.由(1)知∠BED=135°，∴.∠HEP=180°-∠BED=180°-135°=45 ∴∠HPE=∠IEP=45HE=HP,PH/CR,∴△PH△BCE-能 器子÷部-器：BC=6,B即=号BC=4(S如周@，过点A作AM ⊥BE于点M. :AB=AE,∴BM=EM=号BE.:四边形ABCD是矩 P A 形，∴.∠ABC=∠BCD=∠AMB=90°.∴.∠BAM+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM= 90.∠BAM=∠CBR.△ABMD△BFC÷部-兴：点F是CD的中点CP =专CD=4六F=V7=4m.“而型BM=BE 410 5 8Y严，过点E作ENLC于点NEN∥D.∴△BEN∽△BFC器-器= 号器=吉：EN/cD△PEw∽△PmG器-器=日器= 第四章综合评价 1.D2.A3.A4.D5.A6.B7.A8.C9.C10.C11.灯光12.14 13.圆锥14.S4<S2<S15.(3.8,0)16.甲17.3十4√318.60π十48 19.解：如图所示。 主视图 左视图 俯视图 20.解：如图所示 左视图 俯祝图 21.解：(1)102√3(2)这个几何体的侧面积为(4十4十4)×10=120(cm2). 22.解：过点B作BH⊥CC1于点H.在Rt△BHC中，∠BCH=45°，BC=4cm,易得 BH=2√2cm.,正方形纸板ABCD在投影面上的正投影为A1B1CD,,B1C=BH =2√2cm,CD=CD=4cm.Sm边形A,cD,=BC·CD=8√2cm.23.解：(1) 上面的长方体的长为6mm,宽为2mm,高为6mm,下面的长方体的长为10mm,宽为 9mm,高为2mm.(2)这个立体图形的体积为6×2×6+10×9×2=252(mm3). 24.解：(1)16√2(2)过点E作EF⊥AB于点F.易得四边形DEFB是矩形，∴.EF= BD16EmDE=你，“物商与影长的比是1：2盖-AF-合EF=8V万m .DE=BF=AB-AF=(16-8√2)m.答：落在乙楼上的影子DE的长为(16-8√2)m. 25.解：(1)如图所示. 主视图 左视图 (2)226.解：(1)图②图①(2)如答图①所示，FM即为所作， C B GD H FM 答图① (3)如答图②，记图①的投影中心为O,过点O作ON⊥BM于点V. 0 E B GD HFM 答图② .'ON⊥BM,AB⊥MN,CD⊥MN,.AB∥ON,CD∥ON.,.△ABG∽△ONG,△CDH △oNH小点e,8票-盟：AB=8.6m,G=DH=4m,cD=2.25n,BD =6m8祭-即3.6NB+0=40N. 4 4 ON FNB+4+6,即2.25(NB+10) 78