第1章 3 第1课时 矩形的性质（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

参考答案 第一章特殊平行四边形 1 认识特殊的平行四边形 基础过关 1.C2.(1)有一组邻边(2)正方3.D4.D5.128°6.证明：.四边形ABCD是 矩形，.AB=CD,AB∥CD...∠C=180°-∠B=90°=∠B..∠BAE=∠CDF .△ABE≌△DCF(ASA).7.证明：四边形ABCD是正方形，.AB∥CD,AD∥ BC...∠BCD=∠A=180°-∠B=90°，∠ADC=180°-∠BCD=90°=∠EDF ∴，∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.:AD=CD,.△ADE≌ △CDF(ASA)..DE=DF 能力提升 8.D9,A10.(4,3)11.解：(1)，四边形ABCD是矩形，.AD∥BC..∠DAE= ∠AEB.:EA平分∠BED,∴∠AEB=∠AED.∴∠DAE=∠AED..DE=AD=1O. (2):四边形ABCD是矩形，.CD=AB=6,BC=AD=10,AB∥CD..∠C=180° ∠B=90°.∴.CE=DE-CD=8.BE=BC-CE=2. 思维拓展 12.解：(1)如答图①所示. 弥 帐 答图① (2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形如答图③所示. 柏 答图② 答图③ 封 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础过关 1.B2.B3.84.证明：四边形ABCD是菱形，.OA=OC,AC⊥BD..△AOE和 0 △C0F都是直角三角形.在R△A0E和R△C0F巾，合货-E:R△A0E≌ Rt△COF(HL)..∠EAO=∠FCO.5.156.D7.解：(1)：四边形ABCD是菱 形，0A=4,0B=3,AC=20A=8,BD=20B=6.S0wm=合AC·BD=24. (2)四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴∠AOB=90°.∴AB=√OA+OB=5. :CELAB.:.S=ABCE=24.CE-琴8.4V5或2万 能力提升 9.D10.111.9.612.(1)证明：四边形ABCD为菱形，.AD∥BC,AC⊥BD 线 ·DE⊥BD,.DE∥AC..四边形ACED为平行四边形.(2)解：·四边形ABCD为 菱形，OD=号BD=4.:四边形ACED为平行四边形，DE=AC=6,:DELBD, .∠ODE=90°..OE=√OD+DE=213.13.(1)证明：连接BD.:四边形 ABCD是菱形，.BD⊥AC.E,F分别是边AB,AD的中点，，.EF是△ABD的中位 线.∴.EF∥BD.∴.EF⊥AC.(2)解：∠DAC=30°，四边形ABCD是菱形，∴∠DAB= 60°，AD=AB.∴△ABD是等边三角形..BD=AB=2.EF是△ABD的中位线， ∴EF=号BD=1. 思维拓展 14.3【点拨】连接BD.易证△ADE≌△BDF,即可推出AE=BF,列出方程即可解题. 第2课时菱形的判定 基础过关 1.C2.AD∥BC(答案不唯一)3.证明：AB=AF,O为BF的中点，.AO⊥BF ∠BAO=∠FAO..AE垂直平分BF.,.BE=EF.四边形ABCD是平行四边形 ∴.AD∥BC.∠FAO=∠BEA.∠BAO=∠BEA.∴.AB=BE.∴.AB=BE=EF= AF..四边形ABEF是菱形.4.B5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AE∥CD,AB=CD.:DE∥AC,.四边形ACDE是平行四边形.又：AB=AC, .CD=AC..四边形ACDE是菱形.(2)解：四边形ACDE是菱形，.AD⊥CE,AE 49 =AC=3..∠AHE=90°.四边形ABCD是平行四边形，.BC∥AD.,.∠BCE= ∠AHE=90°.AB=AC=3,.BE=AB十AE=6..CE=√/BE-BC=4√2.6.C 能力提升 7.B8.D9.(1)证明：四边形AECF是菱形，.OA=OC,OE=OF,AC⊥EF.BE =DF,.BE十OE=DF+OF,即OB=OD..四边形ABCD是平行四边形.又'AC EF,即AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形， ·∠ADB=7∠ADC=∠ABC=30,AD=AB=6√3.：AE⊥AD,∴.∠EAD月 90°..DE=2AE.在Rt△AED中，AE十AD=DE2,即AE十(6√3)2=(2AE)2, .AE=6.∴.菱形AECF的周长为4AE=24. 思维拓展 10.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,∴.四边形 ABCD是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF.,两张矩形纸条的宽 都为1cm,∴.AE=AF.:SaAD=CD·AE=BC·AF,.CD=BC.∴.四边形ABCD 是菱形.(2)由(1)，得AE=AF=1cm..AD∥BC,.∠ABF=∠BAD=30°..AB= 2AF=2cm.,四边形ABCD是菱形，∴.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC· AF=2 cm2. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.A2.C3.84.证明：(1)四边形ABCD为矩形，·∠ABC=∠DCB=90°，AB= (AB=DC, DC.∴·∠ABE=∠DCF=90°.在△ABE和△DCF中，∠ABE=∠DCF,∴.△ABE≌ BE=CF, △DCF(SAS).(2).△ABE≌△DCF,.∠BAE=∠CDF..四边形ABCD为矩形， .∠BAD=∠ADC=90°.，，∠BAD+∠BAE=∠ADC+∠CDF..∠EAD=∠FDA. 5.0.96.50°7.证明：.BD∥CM,CD∥AB,∴.四边形BMCD是平行四边形. ”∠ACB=90,M是AB边的中点，CM=AB=BM.“四边形BMCD是菱形. 8.D 能力提升 9.C10.A11.5.512.313.(1)证明：.DE=OC,CE=OD,.四边形OCED是 平行四边形.：四边形ABCD为矩形，.OA=OC=OD=OB.∴.四边形OCED为菱 形.(2)解：四边形ABCD为矩形，∠ABC=90,OA=AC-6,AF垂直平分线 段OB,∴.AB=OA=6.∴.BC=√AC-AB=63. 思维拓展 14.解：.四边形ACBD是矩形，∴.∠DAC=90°，AD∥BC.∴.∠EAF=180°一∠DAC =90,:在R△AEF中，G是EF的中点，AG=FG=号ER.∠GAF=∠R.:EF =2AB,.AB=AG..,∠ABG=∠AGB=∠F十∠GAF=2∠F..AD∥BC,..∠F= ∠CBF..∠ABG=2∠CBF..∠ABC=3∠CBF..∠CBF是∠ABC的一个三等分角. 第2课时矩形的判定 基础过关 1.C2.有三个角是直角的四边形是矩形3.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,AD∥BC..DE∥BC.AD=DE,.CB=DE..四边形BCED 是平行四边形.，AB=BE,.CD=BE..四边形BCED是矩形.4.A5.12 6.(1)答案不唯一，如：选择①.证明：'AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四 边形.：∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形.(2)解：在Rt△ABC中，AB=3,AC= 5,∴BC=V√AC一AB=4.由(1)知四边形ABCD是矩形，∴.S矩形Acn=AB·BC=12. 7.C 能力提升 8.B9.1010.(1)证明：AO=CO=10,BO=DO,.四边形ABCD是平行四边形， AC=AO+CO=20..AB=12,BC=16,,.AB2+BC=122+162=202=AC ∴.△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：四边形 ABCD是矩形，∴∠ADC=90°.：∠ADF:∠FDC=3:2,∠ADF+∠FDC=∠ADC =90,∠FDC=名∠ADC=36.DF⊥AC,.∠DC0=90°-∠FDC=54.四边 形ABCD是矩形，.CO=DO...∠ODC=∠DCO=54°..∠BDF=∠ODC-∠FDC =18°. 思维拓展 11.解：(I)选小星的说法，连接BE.:AE∥BD,DE∥BA,.四边形ABDE是平行四 边形.∴.AE=BD.BD=BC,.AE=BC.AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边 形.∠ACB=90°，.四边形AEBC是矩形.∠EBC=90°.∴.BE⊥CD.选小红的说 法，连接BE,CE.:AE∥BD,DE∥BA,∴.四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD, AB=DE.BD=BC,.AE=BC.AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边形. '∠ACB=90°，∴.四边形AEBC是矩形..AB=CE..CE=DE.（任选一个即可) 2)C=号，设BC=2k,则AC=3k.CD=4k,在R△ACD中，“AC+CD定 AD,.(3k)2十(4k)2=(5√2)2，解得k=√2（负值已舍去）.，.AC=3√2. 50 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.B2.D3.24.√2-15.67.5°6.30°7.证明：：四边形ABCD是正方形， /B=/D, .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中，AB=AD, ,.△ABE ∠BAE=∠DAF, ≌△ADF(ASA)..BE=DF.∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF.8.解：：四边形 ABCD是正方形，.AC⊥BD,OC=OB=√2..∠COB=90°..BC=√/OB十OC=2. :BF⊥CE,∴∠BFC=∠BFE=90°.：BF平分∠DBC,∠CBF=∠EBF.∴∠BCE =∠BEC..BE=BC=2..OE=BE-OB=2-√2.9.15°或75 能力提升 10.C11.C12.4913.证明：(1).四边形ABCD为正方形，.AB=CB,∠ABE= (AB=CB, ∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中，J∠ABE=∠CBE,.△EAB≌△ECB(SAS). BE=BE, (2).四边形ABCD为正方形，.∠BDC=45°.·△EAB≌△ECB,∠AEC=45°， ·∠CED=∠AED=2∠AEC=22.5°，∠DCE=∠BDC-∠CED=22.5, .∠CED=∠DCE..DC=DE.14.(1)证明：.四边形ABCD和四边形CEFG是正 方形，.∠ACD=∠GCF=45°..∠ACF=∠ACD十∠GCF=90°..H是AF的中点， ∴CH=2AF.(2)解：·四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，AB=BC=1,EF =CE=3,∠B=∠E=90°.∴.AC=W√AB+BC=√2，CF=√EF+CE=3√2. :∠ACF=90,.AF=AC+CF=25.CH=号AF=5, 思维拓展 15.(1)5(2)6【点拨】(1)过点M作MP⊥BC于点P,MQ⊥AB于点Q,证明 △NMP≌△EMQ即可得解.(2)过点E作EF⊥BM于点F,证明△EFM≌△MHN, 得EF=MH,再求出EF,HN的长即可得解. 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.①②（或①③）3.证明：四边形ABCD是矩形，，.∠A=∠ADC=90°.由折 叠的性质，得AE=EF,∠A=∠DFE=90°，.四边形ADFE是矩形.，AE=EF,.四 边形ADFE是正方形.4.证明：CE∥BD,DE∥AC,.四边形CODE是平行四 边形.四边形ABCD是正方形，.OD=OC,AC⊥BD..四边形CODE是菱形， ∠DOC=90°..四边形CODE是正方形.5.(1)证明：DE∥AB,DF∥AC,.四边 形AFDE是平行四边形.∠BAC=90°，∴.四边形AFDE是矩形.AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD.'DF∥AC,.∠FDA=∠CAD..∠FDA=∠BAD..AF=DF. ∴.四边形AFDE是正方形.(2)解：四边形AFDE是正方形，.∠AFD=90°，∴.AF 十DF=AD.:AF=DF,AD=2W2,.2DF2=(2V2)2..S四边形AFDE=DF2=4. 能力提升 6.C7.22.5°8.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∠BAD=90°，AC是∠BAD 的平分线.：PM⊥AD,PN⊥AB,∴.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°..∠PMA= ∠PNA=∠BAD=90°..四边形PMAN是矩形.又：PM=PN,∴.四边形PMAN是 正方形.(2)解：：四边形PMAN是正方形，∴∠APM=∠APN=45.:∠EPA=15°， ·∠EPM=∠APM-∠EPA=30°.∴.EM=- EP-1.PM-EP-EMF-3. .S正方形PMAV=(W5)2=3. 思维拓展 9.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,.∠EMC=∠ENC= ∠END=90°.：四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA.∴.∠MEN =360°-∠EMC-∠ENC-∠BCD=90°，EM=EN...∠FEM十∠FEN=90°..EF ⊥DE,∴.∠DEF=90°.∴.∠DEN+∠FEN=90°..∠FEM=∠DEN.∴.△FEM≌ △DEN(ASA)..FE=DE..矩形DEFG是正方形.(2)解：CE十CG的长是定值.由 (1)知矩形DEFG是正方形，.DE=DG,∠EDC十∠CDG=90°..四边形ABCD是正 方形，∴.AD=CD=AB=4√E,∠ADE+∠EDC=90°.∠ADE=∠CDG.∴.△ADE≌ △CDG(SAS).∴.AE=CG.∴.CE+CG=CE+AE=AC=√AD+CD=8,是定值. 专题一中点四边形问题【回归教材】 1.(1)证明：连接BD.E,H分别是AB,DA的中点，.EH是△ABD的中位线 ∴EH=2BD,EH∥BD.同理，FG=号BD,FG∥BD.∴.EH=FG,EH∥FG..四边 形EFGH是平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC, BD交于点O.E,F分别是AB,BC的中点，.EF是△ABC的中位线..EF∥AC, EF=AC.同理，得HG∥AC,HG=2AC.∴EF∥HG,EF=HG..四边形EFGH 是平行四边形.AB=AD,BC=CD,.AC是线段BD的垂直平分线..AC⊥BD. :E,H分别为AB,AD的中点，EH是△ABD的中位线..EH∥BD.:EF∥AC, ∴EF⊥EH,即∠HEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.【变式题C【拓展练】 513矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 口基础过关 ◆◆逐点击破 知识点2直角三角形斜边上的中线的性质 知识点1矩形的性质 5.如图，两条公路AC,BC恰好互相垂直，公路 1.(泸州中考)矩形具有而菱形不具有的性 AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM 质是 ( 的长为0.9km,则C,M两点间的距离为 A.对角线相等 B.对角线互相平分 km. C.对角线互相垂直D.对角相等 2.如图，在矩形ABCD中，M是边AB上一点， 连接CM.若CM=DC=10,BC=8,则AM 的长为 (第5题图) (第6题图) A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AB 的中点.若∠B=50°，则∠OCB的度数为 7.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，M是AB (第2题图) (第3题图) 边的中点，连接CM,过点B作BD∥CM,过 3.(教材P12例1变式)（甘孜中考）如图，在矩 点C作CD∥AB,CD与BD交于点D.求 形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, 证：四边形BMCD是菱形. ∠AOB=60°，AB=4,则AC的长为 4.(无锡中考)如图，在矩形ABCD中，点E在 CB的延长线上，点F在BC的延长线上，且 BE=CF,连接AE,DF (1)求证：△ABE≌△DCF; (2)求证：∠EAD=∠FDA. !易错点 在矩形的有关计算中，忽视多 解情况而致错 8.若矩形的一内角平分线把矩形的一条边 分成3cm和5cm两部分，则此矩形的周 长为 () A.16 cm B.22 cm C.26 cm D.22cm或26cm 7第一章特殊平行四边形 T能力提升 >》>整合运用 (2)若AF垂直平分线段OB,且AC=12, 9.(陕西中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 求BC的长， ∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC于 点E,则图中与∠A互余的角共有( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (第9题图) (第10题图) 10.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,点E在OC上，连接BE.若BE= ·思维拓展 ,◆·强化素养 AD,∠ACB=62°，则∠OBE的度数为 14.阅读理解新趋势阅读下面的材料： 三等分角是古希腊三大儿何问题之一.如 A.6° B.8 C.10° D.12° 图，任意∠ABC可被看作是矩形ACBD的 11.数形结合新理念如图，矩形ABCD的对角 对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的 线AC与数轴重合（点C在正半轴上）， 射线BF交AC于点E,交DA的延长线于 AB=5,BC=12,点A表示的数是一1，则对 点F.若EF=2AB,则∠CBF是∠ABC的 角线AC,BD的交点表示的数是 一个三等分角 证明：如图，取EF的中点G,连接AG (第11题图) (第12题图) 12.如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠， 任务：完成材料证明中的剩余部分. 使C,A两点重合，点D落在点G处.已知 AB=4,BC=8,则线段FD的长是 13.(教材P27复习题T11变式)如图，矩形ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,DE=OC, CE=OD. (1)求证：四边形OCED为菱形； 数学九年级上册配BSD版8