第2章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

△ADH(SAS)..AE=AH,∠BAE=∠DAH..∠BAE+∠BAH=∠BAH+∠DAH= 90°，即∠EAH=∠BAD=90°.∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAH=45°.在△EAF和△HAF AE-AH, 中，∠EAF=∠HAF,∴.△EAF≌△HAF(SAS),.EF=HF.DH+HF=DF, AF-AF. .BE+EF=DF.(3)如图③， 将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到 △ABK,连接KM.:四边形ABCD是正方形，.AB=AD=3√2，∠BAD=90°， ∠ABD=∠ADB=45,BD=VAB+AD=6.÷BM=专BD=2.DM=BD BM=4.由旋转可得，∠KAN=90°，AK=AN,BK=DN,∠ABK=∠ADB=45°， ∴∠KBM=∠ABK+∠ABD=90°.：∠KAN=90°，∠MAN=45°，.∠KAM= ∠MAN=45°.AM=AM,.△AMK≌△AMN(SAS),∴.KM=MN.设MK=MN= x,则BK=DN=4-x.在Rt△BMK中，由勾股定理，得BK+BM=MK.∴.(4 x)2+2=x2,解得x=2.5,.MN=2.5. 第二章综合评价 1.C2.B3.B4.A5.C6.D7.D8.A9.x2-2x=0(答案不唯-)10.n≥-1 1山.212.-213.4014.-1215.316.-头【解析把x=m代入方程+2x十 n-3=0,得t+2m十n-3=0..n=-m2-2m十3.∴.m-n=m-（-m2-2m十3)= (+号）广-卧：(m+子）广≥0(a号)广-裂一斗m的最小做是 3、 。17.解：移项，得+6x=2.配方，得2十6x十=2+3，即（x十3)P=1.两边 开平方，得x十3=士√/工.∴.x1=一3十√，x2=一3-√工.18.解：她们的解法都不 正确.正确的解答过程如下：原方程可变形为3(x一3)一(x一3)2=0.∴.(x一3)(3一x十 3)=0,∴.x一3=0，或3一x十3=0..x1=3,x2=6.19.解：设该地9,10两个月新安 装智能充电桩个数的月平均增长率为x.根据题意，得200(1十x)=338,解得x1=0.3= 30%,x2=一2.3（不合题意，舍去）.答：该地9,10两个月新安装智能充电桩个数的月 平均增长率为30%.20.解：设道路的宽为xm.根据题意，得(50一x)(30一x)= 1269,解得=3，=77（不合题意，舍去），答：道路的宽为3m.21.解：(1)，△=b一 4ac=[-(k+1)]-4×1×(2k-2)=(k-3)≥0，.方程有两个实数根.(2)由(1)知 △=k-3,x=二[-k+1)±k=3)-士1±k-3)》,即，=k-1,x,=2. 2 :方程有一个根小于2-1<2，解得<3.2解：1)：a=3,6=-号a-6 3-()=名6-1=3×(）-1=-号：号≠-号(3，-)不是相 伴有理数对”.(2)：(n,一n)是“相伴有理数对”，.n-(-n)=n·（-n)-1,即2n= n-1,整理，得n2+2n十1=0，即(n十1)2=0，解得n=-1.23.解：（任务1）(50十2. 5x)(任务2)根据题意，得(50-x-20)(50十2.5x)=1560,解得x1=4,x2=6.:要 减少库存，.x=6.答：枸杞的售价应降低6元/kg.24.解：(1)当AB=AD时，四边形 ABCD是菱形，即方程x2一mx十9-二=0有两个相等的实数根.A=(一m) 24 4(受-）=0，解得m=m=1.当m=1时，四边形ABCD是菱形.(2)由根与系 数的关系，得十=m,1g-1.(x一3)x3)=1x93(x十)」 5m,受-子-3m十9=5m,解得m=名，25，解：124(2)x2十16x-5=2+ 16x十82-69=(x十8)2-69.：(x十8)2≥0，∴.(x+8)2-69≥-69..当x=-8时，x2 十16x-5有最小值，最小值为-69.(3)S>S.理由如下：由题意，得S=(3a十2)(2a十5)= 6a2+19a+10,S2=5a(a十5)=5a2+25a,.S1-S=6a2+19a十10-5a2-25a=a2 6a十10=(a-3)2+1.:(a-3)2≥0，.(a-3)2十1>0.∴.S1-S2>0.∴.S>S2. 26.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm.根据题意，得(100-2x)(40-2x)= 1600,解得x1=10,x2=60(不合题意，舍去).答：剪去的小正方形的边长为10cm. (2)0设收纳盒的高为acm,则收纳盒底面的长为100,24=(50一a)cm,宽为 (40-2a)cm.根据题意，得(50-a)(40-2a)=608,解得a1=12,a2=58(不合题意，舍 去).答：收纳盒的高为12cm,②不能.理由如下：由①，得该收纳盒的高为12cm, 12<18,∴.不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒. 85 第三章综合评价 1.D2.B3.B4.A5.A6.C7.A8.B9.3 10.∠B=∠D(答案不唯一) 1.1212.95°13.(2.-1)14.415.号16号 17.解：a,b,c,d是成比例线 段号-台a=4,6=5=10号=9.d= 2 。18.解：工=1， y3y= 3,六原式=产经=号=-719.解：1)如图①.△0G甲为所求，（②）如图②， 一x 点E即为所求， 图① 图② 20宝到：由肉数定理得c-0-64正-瓜器-号是方9铝 5=E·AC_CD=AD 02…CE=AC 元△ACD0△ECA.21.解：I)如图，△AB,C即为所 求. 点B,C的坐标分别为B1(6,6),C(9,3).(2)3:1 O■■ 22.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD..∠AEB=∠DAE.:∠B ∠AED,∴.△ABED△DEA.(2)解：四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB=6.由(1)知 △DEA兰（篇-（传）广-京双年1BcnA ∠CDB,∠ABE=∠C△ABBO△CR,8=品-号=号又：CD∥EP, ÷B票-=号.(2)：CD/EF,∠BEF=∠C又：∠EBF=∠CBD,∴△BEF △Bcn品邵那-音部景5名EF-cD-6 24I)证明：AB=BD·BC0-0:∠B=∠B△ABD0△CBA ∴.∠BAD=∠C.:AD是△ABC的角平分线，∠BAC=2∠BAD.∴∠BAC=2∠C, ∴.△ABC是倍角三角形.(2)解：作△ABC的角平分线AD,则∠BAC=2∠BAD= 2∠CAD,.∠BAC=2∠C,∴.∠BAD=∠C..∠B=∠B,.△ABD∽△CBA,.AB= BD·BC,∴.BD=6.4..CD=BC-BD=10-6.4=3.6.∠CAD=∠C,∴AD= CD=3.6“把船是AC=45.2五，解：1h题痘知BC1AB,DF AD∠CBA=∠FDA=90.又：∠CAB=∠FAD△CAB△FAD÷0-既 由题意知，AD=3m,A=5m,BC=3,5cm号咒DF-=2.1m,即小视力表 中相应“E”的高度是2.1cm.(2)连接A'B',过点C作CD⊥MN于点D,延长CD交 AB'于点E.由题意知AB/MN/A.易得△MNC△ABC,∴答-罡由题 意知CE=5m,DE=3m,AB'=AB=0.8m,“CD=CEDE=2m大g=3 .MN=0.32m.镜长至少为0.32m.26.(1)证明：：∠ACB=∠AED=90°， ∠ABC=∠ADE=0,÷0-2=2,∠CAB=∠EAD=60.∠DAB=∠EAC △DABO△EAC(2)解：F△DABO△EAC,∴∠DBA=∠ECA,光-是=2， DB=4,EC=2.:DA=3,DE=33∠DCA-∠DBA=90,∴∠DCA ∠CA=0,即∠DCE=0DC=DE-C-√）-2=.(3)解： 如图， 过点C作CP的垂线交BP的延长线于点H,连接AH.,'∠BPC= 一 86 120°，∴.∠HPC=60°..∠PHC=30°.∠ACB=∠HCP=90°，∠BAC=30°， ∠ACH-∠CP,瓷-S-原，△ACHO△BCP,∠AHC=∠BPC-12m. 部瓷-.BP=AH=4a:∠PH=30∠AP120-30=90, 即AHLBH,.Sm=合BP,AH=号×4X4V5=8VE. 期中综合评价 1.C2.B3.C4.D5.A6.D7.D8.A9.DE∥BC(答案不唯一)10.3 11.112.7713.64°14.x1=-2,x2=-615.13.516.4√3-417.解：原方程 可变形为x(x一3)一(2x一6)=0，(x一3)(x一2)=0..x一3=0，或x一2=0.∴.x1=3, x2=2.18.证明：AB=CD,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形..AC= 2AO,BD=2OD.OA=OD,AC=BD..四边形ABCD是矩形.19.解：(1)垂直 平分线(2)四边形AECF是菱形，理由如下：由作图可知，AE=CE,AF=CF,MN⊥ AC..∠EAC=∠ECA,∠FAC=∠FCA,∠EOA=∠FOA=90°.，·四边形ABCD是矩 形，∴.AB∥CD..∠ECA=∠FAC..∠EAC=∠FAC.:AO=AO,.△EAO≌△FAO (ASA)..AE=AF..AE=CE=AF=CF..四边形AECF是菱形.20.解：(1)①③ (2)解方程x2-2x=0,可得x1=2,x2=0.当相同的根是x=2时，把x=2代入方程 x2+3x十m-1=0,得22+3×2十m-1=0,解得m=-9.此时方程为x2+3x-10=0, 解得x1=2,x2=一5，符合题意；当相同的根是x=0时，把x=0代入方程x2十3.x十 m-1=0,得02十3×0十m一1=0，解得m=1,此时方程为x2十3x=0,解得x1=0,x2 -3,符合题意；∴m的值是-9或1,21.证明：：四边形ABCD是矩形，∴∠DAB= 90°.BD⊥EC,∴∠DFE=90°.∴∠DAB=∠DFE.∠FDE=∠ADB,∴.△FDE∽ △ADB,÷器器是品又：∠FDA=∠EDB△AFD△BED 22.解：(1)如图，△CMN即为所求.M 1:4(2)如图，点M即为所求， 23.解：由题意，得∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90°，.△ABC B △CED是器即8-DE=1.2m∠CED=∠HFD=90,∠CDE- ∠HDP,△CED△HFD5-B,即=P5DF=6m∴ER=DE+DF= 7.2m答：河EF的宽度为7.2m.24.解：(1)根据题意，得△=(2m)2-4(m2十m)≥ 0,解得m≤0.(2)根据题意，得x1十x2=-2m,x1x2=m2十m.x号十x=(x1十x2)2- 2x1x2=12,∴.(-2m)2-2(m2十m)=12,即m2-m-6=0,解得m1=-2,2=3. :m≤0，m的值为-2.25.解：（任务1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销 售量的月平均增长率为x.根据题意，得3(1十x)2=5.07,解得x1=0.3=30%,x2= 一2.3（不合题意，舍去）.答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长 率为30%.（任务2）设下调后每辆汽车的售价为y万元.根据题意，得(y一15)(8+ 2装写×1）=96，解得以=21,0=23.“此次销售尽量让利于厦客y一21，答：下调 后每辆汽车的售价为21万元.26.解：(1)W2(2):△ABC为等腰直角三角形， .∠ABC=45°，∠BAC=90°.：四边形BCDE为矩形，∴.∠EBC=∠E=90°. ∴.∠EBF=∠EBC-∠ABC=45°.∴△EBF为等腰直角三角形.设EB=EF=a,则 BF=√EB+EF=√2a,ED经过AB的中点F,∴AB=2BF=2√2a.∠EBF= ∠A仪-45∠R-∠A-0△FB△ABC器克9，即相板比为得 (3)如图③， P延长EA交BF于点H,交FC的延长线于点G.:'△BEF, △ABC为等腰直角三角形，∴.AB=AC,BE=EF,∠BEF=∠BAC=90°，∠EBF= ∠AC=45,BF=EF-何E,BC=V网AC-AB小器-能 √E.:∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF,∴.∠EBA=∠FBC.∴△EBA∽△FBC. 一 87-第二章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个 选项中只有一个符合题目要求) 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 数 A.x+y=3 B.3x+y2=2C.2x-x2=3 D.x(x2-3)=0 2.将一元二次方程2x2一4x=一5化成一般形式后，若二次项的系数是 2,则一次项系数和常数项分别是 ) A.4,5 B.-4,5 C.-4,-5 D.5,4 3.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边都加上4的是( A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 C.x2+8x=5 D.2x2+4x=5 4.一元二次方程3x2一2x一1=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 5.下列方程中，最适合用因式分解法求解的是 A.(x-2)(x-3)=1 B.x2-2x-1=0 C.x-2=x2-4 D.x2-3x十4=0 6.《四元玉鉴》是我国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著.书 中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯 九百七十五文.只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？ 译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文.已知 这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每 尺的价格各是多少？（注：1贯=1000文）设这匹锦的长为x尺，根据 题意可列方程为 ( ) 剑 A.(x-3)(x-47)=2975 B.(x+3)(x-47)=2975 C.(x+3)(x十47)=2975 D.(x-3)(x+47)=2975 7.若m是方程x2-20x-2=0的一个根，则m2-19m- m2二2的值为 40 总 ( A.18 B.20 C.21 D.22 批 8.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P从点A出发沿 AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以 1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动.当 △PQC的面积等于16cm时，运动时间为 A.2s B.4s C.10s D.2s或10s 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.写出一个一元二次方程，使它有一个根为2，则该方程可以为 10.若关于x的一元二次方程(x一2)2=十1有实数根，则n的取值范 围是 11.已知一元二次方程(m十2)x2+7m.x十m2-4=0有一个根为0，则m 的值为 12.若方程(m-2)xm-2十(3-m)x-2=0是一元二次方程，则m= 13.三(6)班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共 送了1560张，则三(6)班的人数是 14.用配方法解一元二次方程4x2十bx十a=0,得2x-3=士√6，则b的 值为 15.若，n是一元二次方程x2-3.x+1=0的两个实数根，则(m-1)2+ n的值为 16.已知m是关于x的一元二次方程x2十2x十n-3=0的一个根，则 m一n的最小值是 三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分， 23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分) 17.解方程：x2+6x-2=0. 18.小敏与小霞两名同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下： 小敏 小霞 两边都除以(x一3)， 原方程可变形为3(x一3)一(x一3)2=0. 得3=x-3, ∴.(x-3)(3-x-3)=0. 解得x=6. ∴.x-3=0,或3-x-3=0. .x1=3,x2=0. 你认为她们的解法是否正确？若不正确，写出正确的解答过程. 8 19.智能充电桩通过技术创新实现了“安全、高效、便捷、经济、环保”的 全方位突破，可以为用户提供优质充电服务.某地为了方便居民充 电，8月份新安装了200个充电桩，随着居民对智能充电桩需求量的 增加，10月份新安装充电桩338个.求该地9,10两个月新安装智能 充电桩个数的月平均增长率. 20.某市提出“全民健身手牵手，幸福生活心连心”的健康锻炼计划，为 了更好地为广大市民提供锻炼的场所，准备将体育公园内一个长 50m、宽30m的矩形场地ABCD按如图所示的设计进行改造，场地 内修等宽交叉的两条路，剩余部分安装健身器材，安装健身器材的 面积是1269m.求道路的宽 21.已知关于x的一元二次方程x2-(k十1)x十2k一2=0. (1)试判断方程的根的情况； (2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围. —9 22.定义：使a一b=ab一1成立的一对有理数a,b称为“相伴有理数对”，记 作(a,b).例如：5-1=5×1一1，.(5,1)是“相伴有理数对”. (1)判断数对(3，一)是否为“相伴有理数对”，并通过计算说明 理由； (2)若(n,-n)是“相伴有理数对”，求n的值. 23.根据以下素材，探索完成任务. 宁夏是国家林业和草原局命名的中国名特优经济林之 背景 乡一“中国枸杞之乡”，宁夏枸杞有“粒大、肉厚、籽少，味 甜”的特点 某超市售卖成本为20元/kg的宁夏枸杞，该超市销售一段时 间后发现，当枸杞的售价为50元/kg时，月销售量为50kg.若 素材 在此基础上每千克枸杞的售价每降低2元，则枸杞的月销售量 将增加5kg 问题解决 设枸杞的售价降低x元/kg,则枸杞的月销售量为 kg 任务1 (用含x的代数式表示) 该超市为使销售枸杞的月销售利润达到1560元，且尽量 任务2 减少库存，则枸杞的售价应降低多少 10 24.已知□ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+ 2 子=0的两个实数根。 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ (2)若这个方程的两个实数根分别是x1,x2,且(x1一3)(x2一3)= 5m,求m的值. 25.阅读下列材料：利用完全平方公式，可将多项式x2十bx十c化为 (x十m)2十n的形式，然后由(x十m)≥0就可求出多项式x2十bx十 c的最小值： 例题：求x2一12x+37的最小值. 解：x2-12x+37=x2-12x+62+1=(x-6)2+1. .(x-6)2≥0，.(x-6)2+1≥1. ∴.当x=6时，x2-12x+37有最小值，最小值为1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： x2-8x+18=x2-8x+4+ =(x )2+2; (2)将x2+16x-5化为(x+m)2+n的形式，并求出x2+16x-5的 最小值； (3)如图，矩形甲的长、宽分别为3a十2,2a十5，面积为S1,矩形乙的 长、宽分别为5a,a+5,面积为S2,试比较S1与S2的大小，并说 明理由. 3a42 5a 2a+3 多 g+5 -11 26.综合与实践：九年级课外小组计划用两块长100cm、宽40cm的长 方形硬纸板做收纳盒。 【任务要求】 任务一：设计无盖长方体收纳盒.如图①，把一块长方形硬纸板的四 角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收 纳盒 任务二：设计有盖长方体收纳盒.如图②，把另一块长方形硬纸板的 四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳 盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分. 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2,则剪去的小正 方形的边长为多少厘米？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608cm2. ①该收纳盒的高为多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图③所示的玩具机械狗完全立着放 入该收纳盒，并说明理由。 E(H H VF(G) 图① 图② 21cm 18 cm 15 cm 图③ -12