第1章 4 第1课时 正方形的性质（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 基础过关 ◆◆·逐点击破 7.(陕西中考)如图，在正方形ABCD中，点E, 知识点 正方形的性质 F分别在边BC,CD上，且∠BAE= 1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD ∠DAF.求证：CE=CF 交于点O,则∠ABD的度数为 ( A.30° B.45° C.60 D.90 2.(固原期中)正方形的一条对角线长为8，则 另一条对角线长为 ( A.2 B.4 C.8 D.4√2 3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长 为2cm,那么正方形ABCD的面积为cm. 8.如图，正方形ABCD的对角线交于点O,E 是线段OD上一点，连接CE,过点B作 BF⊥CE于点F,交OC于点G.若OB=√2， BF是∠DBC的平分线，求OE的长. (第3题图) (第4题图) 4.如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长 线上，连接BD,DE.若BE=BD,AB=1,则 CE的长为 5.如图，E是正方形ABCD对角线AC上一 点，且CE=CD,连接BE并延长，交AD于 点F,则∠AFE的度数是 (第5题图) (第6题图) !易错点没有图形的几何题，因考虑不 6.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等 全面导致漏解 边三角形，连接BD,BE,则∠DBE的度数 9.以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角 为 形ADE,则∠AEB的度数为 11第一章特殊平行四边形 T能力提升 >》>整合运用 14.(银川期中)已知：如图，在边长为12的正 10.在平面直角坐标系中，边长为√2的正方形 方形ABCD中，点E在边BC上，BE= OABC按如图所示方式放置，则顶点C的 2CE,将△DCE沿DE折叠至△DFE,延长 坐标为 EF交AB于点G,连接DG. A.(-1,1) (1)求∠GDE的度数； (2)求AG的长度. B.（-1,-√2) C.(-1,-1) D.（-√2，-1) 11.如图，在正方形ABCD中，F为对角线BD 上一点，连接AF并延长，交CD于点E.若 EF=EC,则∠ECF的度数为 A.36 B.32° C.30° D.28° D (第11题图) (第12题图) 12.(银川外国语实验学校开学)如图，正方形 ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上， BC=1,EF=3,H是AF的中点，连接 CH,那么CH的长是 13.(教材P22习题T8(2)变式)如图，已知四 边形ABCD为正方形，点E在BD的延长 线上，连接EA,EC (1)求证：△EAB≌△ECB; (2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE. 【思维拓展 >>强化素养 15.如图，在正方形ABCD中，点E 在AB边上，BE=4√2，M是对 角线BD上一点（∠EMB是锐 角)，连接ME,ME=5,过点M作MNI EM交BC于点N,过点N作NH⊥BD于 点H. (1)MN的长为 (2)△HMN的面积为 数学九年级上册配BSD版12参考答案 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 基础过关 1.C2.(1)有一组邻边(2)正方3.D4.D5.128°6.证明：四边形ABCD是 矩形，.AB=CD,AB∥CD.∴∠C=180-∠B=90°=∠B.∠BAE=∠CDF, .△ABE≌△DCF(ASA).7.证明：四边形ABCD是正方形，.AB∥CD,AD∥ BC..∠BCD=∠A=180°-∠B=90°，∠ADC=180°-∠BCD=90°=∠EDF. ∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.:AD=CD,∴.△ADE≌ △CDF(ASA)..DE=DF. 能力提升 8.D9.A10.(4,3)11.解：(1)四边形ABCD是矩形，.AD∥BC..∠DAE ∠AEB.:EA平分∠BED,∴.∠AEB=∠AED.∴∠DAE=∠AED.∴DE=AD=lO. (2):四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB=6,BC=AD=10,AB∥CD..∠C=180° 弥 ∠B=90°.∴.CE=√/DE-CD'=8.∴.BE=BC-CE=2. 思维拓展 12.解：(1)如答图①所示. a 答图① 她 (2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形如答图③所示. h 答图② 答图③ 2菱形的性质与判定 0 第1课时菱形的性质 基础过关 1.B2.B3.84.证明：四边形ABCD是菱形，∴.OA=OC,AC⊥BD.∴.△AOE和 △COF都是直角三角形.在Rt△AOE和Rt△COF中， ,AE=CF,:.Rt△AOE≌ OA=OC, Rt△COF(HL).∠EAO=∠FCO.5.B6.247.解：(1)四边形ABCD是菱形， 0A=4,OB=3,∴AC=20A=8,BD=20B=6.∴S菱影D=7AC·BD=24.(2)四 线 边形ABCD是菱形，AC⊥BD..∠AOB=90°..AB=√OA+OB=5.CE⊥ AB,∴SE形m=AB·CE=24.∴CE=24.8.45或25 5 能力提升 9.D10.111.48 13 12.(1)证明：：四边形ABCD为菱形，∴.AD∥BC,AC BD.DE⊥BD,.DE∥AC..四边形ACED为平行四边形.(2)解：四边形ABCD 为菱形，OD=号BD=4,:四边形ACED为平行四边形，DE=AC=6.DEL BD,∴.∠ODE=90°.∴.OE=√OD+DE=2√I3.13.(1)证明：连接BD.:四边形 ABCD是菱形，.BD⊥AC.E,F分别是边AB,AD的中点，∴.EF是△ABD的中位 线.∴.EF∥BD.∴.EF⊥AC.(2)解：∠DAC=30°，四边形ABCD是菱形，∴∠DAB 60°，AD=AB.∴.△ABD是等边三角形.∴BD=AB=2.,EF是△ABD的中位线， EF=号BD=1. 思维拓展 14.3【点拨】连接BD.易证△ADE≌△BDF,即可推出AE=BF,列出方程即可解题. 55 第2课时菱形的判定 基础过关 1.C2.C3.AD∥BC(答案不唯一)4.证明：AB=AF,O为BF的中点，∴.AO1 BF,∠BAO=∠FAO.AE垂直平分BF..BE=EF.四边形ABCD是平行四边 形，.AD∥BC..∠FAO=∠BEA...∠BAO=∠BEA..AB=BE.∴.AB=BE=EF AF..四边形ABEF是菱形.5.B6.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AE∥CD,AB=CD.DE∥AC,.四边形ACDE是平行四边形.又AB=AC, .CD=AC..四边形ACDE是菱形.(2)解：四边形ACDE是菱形，AD⊥CE,AE AC=3.∴.∠AHE=90°..四边形ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD.∴.∠BCE= ∠AHE=90°.，AB=AC=3,∴.BE=AB+AE=6.∴.CE=√BE-BC=4√2.7.C 能力提升 8.B9.D10.(1)解：AP=AB射线AQ平分∠BAP(2)证明：.以点A为圆心， AP长为半径画弧，交直线l于点B,.AP=AB.射线AQ平分∠BAP,.∠BAC= AB=AP, ∠PAC.在△ABC和△APC中，∠BAC=∠PAC,.△ABC≌△APC(SAS),∴.BC= AC=AC, PC.又以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C,∴.PA=PC,.AP= AB=BC=PC.∴.四边形ABCP是菱形. 思维拓展 11.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,.四边形 ABCD是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF.,两张矩形纸条的宽 都为1cm,.AE=AF,SaAD=CD·AE=BC·AF,.CD=BC..四边形ABCD 是菱形.(2)由(1)，得AE=AF=1cm.:AD∥BC,.∠ABF=∠BAD=30°.∴.AB= 2AF=2cm.:四边形ABCD是菱形，.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC· AF=2 cm2. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.A2.C3.2√34.证明：(1).四边形ABCD为矩形，.∠ABC=∠DCB=90°，AB= AB=DC, DC.∴∠ABE=∠DCF=90°，在△ABE和△DCF中，∠ABE=∠DCF,∴.△ABE≌ BE=CF, △DCF(SAS).(2).△ABE≌△DCF,∴.∠BAE=∠CDF..四边形ABCD为矩形， ∴.∠BAD=∠ADC=90°...∠BAD+∠BAE=∠ADC+∠CDF..∠EAD=∠FDA. 5.3cm6.50°7.证明：.BD∥CM,CD∥AB,.四边形BMCD是平行四边形. ”∠ACB=90,M是AB边的中点，∴CM=号AB=BM.“四边形BMCD是菱形. 8.D 能力提升 9.C10.A山.5.512.号13.1)证明：DE=0C,CE=0D四边形0CED是 平行四边形.：四边形ABCD为矩形，∴.OA=OC=OD=OB..四边形OCED为菱 形.(2)解：四边形ABCD为矩形，∠ABC=90,OA=号AC=6.“AF垂直平分线 段OB,∴.AB=OA=6.∴.BC=AC-AB2=6√3. 思维拓展 14.解：四边形ACBD是矩形，∴∠DAC=90°，AD∥BC..∠EAF=180°-∠DAC 90,在R△AEF中，G是EF的中点AG=FG=2ER.∴∠GAF=∠R,EF= 2AB,∴.AB=AG..∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F.AD∥BC,∴∠F= ∠CBF.∴.∠ABG=2∠CBF.∠ABC=3∠CBF.∠CBF是∠ABC的一个三等分角. 第2课时矩形的判定 基础过关 1.C2.有三个角是直角的四边形是矩形3.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,OB=OD..∠DAC=∠ADB,.OA=OD..AC=BD.四边形ABCD 是平行四边形，.四边形ABCD是矩形.4.A5.126.(1)答案不唯一，如：选择 ①.证明：AD∥BC,AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形.∠ABC=90°，.四 边形ABCD是矩形.(2)解：在Rt△ABC中，：AB=3,AC=5,∴BC=√JAC-AB= 4.由(1)知四边形ABCD是矩形，.S矩形AD=AB·BC=12.7.C -56 能力提升 8.B9.1010.(1)解：如图，DE即为所求. (2)证明：连接BD.四 边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.由勾股定理，易得BD=AB.:点P是AD的中 点，∴.BP⊥AD.AD∥BC,.BP⊥BC.由作图可知DE⊥BC.∠BPD=∠PBE= ∠BED=90.∴.四边形PBED是矩形. 思维拓展 11,解：(1)选小星的说法.证明如下：连接BE.,AE∥BD,DE∥BA,∴.四边形ABDE 是平行四边形..AE=BD..BD=BC,.AE=BC..AE∥BC,.四边形AEBC是平 行四边形.∠ACB=90°，.四边形AEBC是矩形.∠EBC=90,BE⊥CD.选小 红的说法.证明如下：连接BE,CE.:AE∥BD,DE∥BA,四边形ABDE是平行四边 形.∴AE=BD,AB=DE.:BD=BC,∴.AE=BC.AE∥BC,.四边形AEBC是平 行四边形.∠ACB=90°，.四边形AEBC是矩形..AB=CE..CE=DE.(任选一 (2)BC=号，设BC=2k,则AC=3,CD4,在R△ACD中，A CD2=AD,∴.(3k)2+(4k)2=(5√2)2，解得k=√2（负值已舍去）.∴.AC=3√2. 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.B2.C3.24.√2-15.67.5°6.30°7.证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AB= E∠B=∠D, BC=DC=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中，JAB=AD, .△ABE≌ ∠BAE=∠DAF, △ADF(ASA).BE=DF.BC-BE=DC-DF,即CE=CF.8.解：：四边形AB CD是正方形，∴.AC⊥BD,OC=OB=√2.∴.∠COB=90°.∴.BC=√OB+OC=2. BF⊥CE,∠BFC=∠BFE=9O°.BF平分∠DBC,∴∠CBF=∠EBF.∴∠BCE= ∠BEC..BE=BC=2...OE=BE-OB=2-√2.9.15°或759 能力提升 10.C11.C12.√513.证明：(1)：四边形ABCD为正方形，∴.AB=CB,∠ABE= AB=CB. ∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中，∠ABE=∠CBE,..△EAB≌△ECB(SAS). BE=BE, (2)四边形ABCD为正方形，∴.∠BDC=45°.：△EAB≌△ECB,∠AEC=45°， ÷∠CED=∠AED=∠AEC=22.5.·∠DCE=∠BDC-∠CED=22.5R ∠CED=∠DCE..DC=DE.14.解：(1)：四边形ABCD是正方形，∠ADC= ∠C=∠A=∠B=90°，DC=DA.由折叠可得DC=DF,∠DFE=∠C=90°，∠CDE= ∠FDE,CE=EF.∴∠DFG=90,DA=DF..∠A=∠DFG=90°，：DG=DG,.Rt△DAG ≌R△DFG(HL).∴.∠ADG=∠FDG.:'∠ADG+∠FDG+∠CDE+∠FDE=∠ADC= 90,∠FDG+∠FDE=号×90=45.∠GDE=45.(2):正方形的边长为12，BE= 2CE,.BE=8,CE=EF=4,AB=12..Rt△DAG≌Rt△DFG,∴.AG=FG.设AG= FG=x,则GE=x十4，BG=12-x.:在Rt△BGE中，由勾股定理，得BG十BE= GE,.(12-x)2+82=(x十4)2.解得x=6.AG=6. 思维拓展 15.(1)5(2)6【点拨】(1)过点M作MP⊥BC于点P,MQ⊥AB于点Q,证明 △NMP≌△EMQ即可得解.(2)过点E作EF⊥BM于点F,证明△EFM≌△MHN, 得EF=MH,再求出EF,HN的长即可得解. 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.对3.证明：CE∥BD,DE∥AC,∴.四边形CODE是平行四边形.：四边形 ABCD是正方形，.OD=OC,AC⊥BD..四边形CODE是菱形，∠DOC=90°..四边 形CODE是正方形.4.(1)证明：，DE∥AB,DF∥AC,∴.四边形AFDE是平行四边 形.∠BAC=90°，.四边形AFDE是矩形.：AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. :DF∥AC,∠FDA=∠CAD.∠FDA=∠BAD..AF=DF.四边形AFDE是 正方形.(2)解：：四边形AFDE是正方形，.∠AFD=90°..AF十DF=AD,:AF= DF,AD=2√2，.2DF2=(2√2)2.∴.S四边形AFDE=DF=4. -57