河南省叶县高级中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

**基本信息** 涵盖函数、数列、概率统计等模块，以数字通信信号接收、跳舞与性别调研等真实情境设计问题，体现数学眼光观察现实、思维分析逻辑、语言表达数据的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数切线、数列、正态分布|基础概念与运算，如曲线切线方程、等差数列等比中项| |多选题|3题|回归分析、二项式定理、函数性质|综合辨析，如经验回归方程相关性、二项式系数应用| |填空题|3题|概率分布、数列积最值、四平方和定理|创新情境，如四平方和定理应用| |解答题|5题|数列证明与求和、独立性检验与分布列、立体几何面面垂直与二面角、函数极值与恒成立、椭圆方程与切线及面积最值|分层递进，如第16题用独立性检验分析跳舞与性别关联体现数据意识，第18题函数多问设计考查推理能力|

2025-2026学年下学期高二6月月考 数学答案 一、单选题 1.【答案】A 【详解】f'(x)=6x-e*,则f'(0)=-1,又f(0)=3×02-e°=-1， 则所求切线方程为y+1=-x,即x+y+1=0.故选：A. 2.【答案】D 【详解】由组合数性质知C+C?=C4(n∈N),所以C1=C+1,所以n+1=15,得n=14 3.【答案】B 【详解】已知{an}是公差不为0的等差数列，首项为a,=2,设公差为d,则 a,=a+(n-1d=2+(n-1d, ∴.a3=2+2d,a4=2+3d,a6=2+5d, 已知a,a4,a6成等比数列，则(2+3d)2=(2+2d)(2+5d), 展开整理得d2+2d=0,解得d=0(舍去)或d=-2,∴.d=-2, .a10=a1+9d=2+9x-2)=-16. 4.【答案】B 1 3 【详解】因为b=1-青-是=吉，所以E(X)=1×5+2×+3× =2, 555 则E(2X+1)=2E(X)+1=5. 5.【答案】c 3 【详解P(4B)=P(A)P(B A)专克3，则PHeI3 故选：C. P(B)44 11 6.【答案】D 【详解】因为X~N(41,o),Y~N(42,o)，两曲线分别关于x=41和x=山对称， 所以由图可知4，<42，，所以A错误； 因为×分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以σ1>2？所以B错误； 由正态分布在区间上的概率的几何意义，有P(X≥2)<P(X≥4)，C错误； P(Y≤o)<P(Y≤o2),D正确. 故选：D 7.【答案】B 【详解】设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则A=“发送的信号为1”，B= “接收到的信号为1”， 由题意得P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)=0.8,P(B|A=0.2,P(BA=0.1,P(B|A=0.9, P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(B|A)=0.5×0.8+0.5×0.1=0.45, P(AB)=P(4)P(BI)_0.5x0.11 P(B) 0.459 8.【答案】（e,+o 【详解】：f(x)=ae+na。-2>0,则e+aa+na>n(x+2)+2, x+2 两边加上x得到e+aa+x+lna>x+2+ln(x+2)=ex+2)+ln(x+2), .y=e+x单调递增，.x+lna>lnx+2),即lna>lnx+2)-x, ◆a国=2-.别=女21圆的定义板-2+ x∈(-2，-1)时，g'(x)>0,gx)单调递增，x∈(-1，+o),g'x)<0,gx)单调递减， .Ina>g(x)max =g(-1)=1, .a>e. 故答案为：c 二、多选题 9.【答案】AC 【详解】因为-<0，所以A正确： 第8天的平均气温的预测值为18℃，但实际值不一定是18℃，B错误； 由x=4,及(，)在经验回归直线上，得=19，C正确： 因为x,y负相关，所以相关系数r<0, 剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点后，变大，但变小，D错误. 故选：AC. 10.ACD 心 【详解】由题意知，2”=1024，解得n=10. 于是，(4x-3)°=a+a,(x-1)+a,(x-12+…+a(x-1)°， 令t=x-1,则x=1+1,代入得4t+1-30=(4t+1)°=a。+a,t+a,2+…+ao0 (4t+1)°展开式的通项公式为T,=Co(41)1'=C40-r.0-r. 对于A:令10-r=1,则r=9,所以T。=C4t=40t,故4，=40，A正确. 对于B:令t=1,则(4×1+1)°=510=a,+4+a2+…+ao, 令1=0，则(4×0+1)°=1=a, 所以a,+a2+…+a10=510-a0=510-1,B错误. 对于c:对(4+1)°=。+at+a,2+…+ao"两边求导得， 10×4×4t+1'=a,+2a2t+…+10aot°， 令t=1,则a1+2a2+…+10a0=10×4×(4×1+1)°=40×59=40×5×58=200×58， 故能被200整除，C正确. 对于D:令t=2,则(4×2+1°=90=a+2a,+2a2+…+2°a0 90=(7+2)0=C80×70+C10×79×2+…+C18×20, 因为C0×70+C10×7”×2+…+C×7×2均能被7整除，所以只需判断20÷7的余数即可. 又210=1024=146×7+2，所以210÷7=146…2. 综上，a+2a1+4a2+…+2an除以7所得的余数为2，D正确. 11.AD 【详解】A选项，f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>1, 故x∈oo,0Ua,+oo)时f'(x)>0,故f(x)在-0,0)，a,+0上单调递增， x∈(0，a)时，∫'(x)<0,f(x)单调递减， 则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值， 由f(0)=1>0,f(a)=1-a3<0,则f(0)f(a)<0, 根据零点存在定理f(x)在(0，a)上有一个零点， 又f(-1)=-1-3a<0,f(2a)=4a3+1>0,则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0, 则f(x)在(-1,0)，(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，f(x)有三个零点，A选项正确； B选项，f'(x)=6x(x-a),a<0时，x∈(a,0),f'(x)<0,f(x)单调递减， x∈(0，+0)时f'(x)>0,f(x)单调递增， 此时f(x)在x=0处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴， 即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x), 即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1, 根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有x3的项为2C(2b)°(-x)=-2x3, 于是等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴，C选项错误； D选项， f(I)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心， 则f(x)+f(2-x)=6-6a,事实上， f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a, 于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a 12-6a=0 即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1，f(I)是f(x)的对称中心，D选项正确. 18-12a=6-6a 故选：AD 三、填空题 12.详解：根据分布列的性质可得， Pm5=0+P5=小+P5=2=付+写+写=1得a是 13.【答案】25 解析：解：因为4，=256，且a,=2a,所以=， 所以数列{an}为等比数列，则数列a,=a,(月)-3=256()-3=2-， (21-n)n 所以T=20×2°×2°×…×2-0=21094+1-0=22， 因为咖a-+g, 2 21 8 又因为m∈N*,所以当n=10或n=11时，21，m严取最大值55， 2 所以(T）=T0=T1=25 6 故答案为：25 14.48 【分析】分类讨论四个数的组成后，由排列数公式与计数原理求解即可. 【详解】依题意，a,b,c,d均为不超过6的自然数， 最大数为6的情况：38=62+12+12+02，此时共有A=12个有序数组； 最大数为5的情况：38=52+32+22+02，此时共有A4=24个有序数组； 最大数为4的情况：38=42+32+32+22，此时共有A=12个有序数组： 当最大数为3时，32+32+32+32<38，不满足题意， 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组a,b,c,d的个数是12+24+12=48. 故答案为：48 四、解答题 15.解：()：n=4ar1+3:49(n≥2)， 两端除以4，得亲-=3即6-n1=3, 由a1=16,得b1=4, 所以数列{b}是以4为首项，3为公差的等差数列， b=4+3(n-1)=3n+1 (W:2=3n+1,an=(3n+1)4”, Sn=4×42+7×42+…+(3n+1)44,① 48m=4×42+7×43+…+(3n+1)4n+1② 由①-②，得-38n=4×41+3×(42+…+4)-(3m+1)4+1, Sn=()4+1-×4-(42+…+4)=(y)4*1-青×42-1 =n:4n+1. 16.【详解】(1)零假设：H。:喜欢跳舞与性别无关联， 由题意，x 90(25×25-35x5-5.625>3.841, 60×30×30×60 依据小概率值=0.05的独立性检验，可推断H,不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联. (2)由题知，考生喜欢跳舞的概率P=30-1, 903·不喜欢跳舞的概率为幻 X的可能取值为0,1,2,3 川x-2=c后子Px=品 所以X的分布列如下： X 0 1 2 8 4 P 27 9 2-9 27 由》 数学期里E(X)=3×写1， 8 17.【详解】(1)在矩形BCCB中，E,E,分别为BC,B,C,的中点，连接BE1,则BE1/EC? 在ABC与△AB,C,中，易得DE/IAB,DB/AB1?因为AB1IAB,所以DE1ID,E, 因为DE丈平面ABE,D,D,E,C平面ABED,所以DEII平面ABE,D, 同理，DC,/IAD,因为DC丈平面ABE,D,ADC平面ABE,D,所以DC,//平面ABE,D, 又因DC,ODE=D,DC,DEc平面CDE，,故平面C,DEII平面ABE,D· (2)以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴正方向，OC所在直线为y轴正方向， 过点O和平面ABC垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， woo.-.cto.... 设平面C,DE的法向量为m=(x,1,), 证-a心c9小两店普小 m·DE=0x1=0 则 mC=0即{+v5y+25-0令y=2,则m-0,2-5), ,即 设平面A,B,ED的法向量为i=(x2,y2,z2), 则 iD正=0，即=0 iEB =0 {x-5%+2,=0令为=2，则万=0,2，同， 所以cos(m,) mn1 7' 所以平面C,DE与平面AB,ED夹角的余弦值为 18.【答案】(1)-e2; (2)当a≥0时，函数g(x)不存在极值； 当a<0时，函数g(x)存在极大值n 日山，此时x=,不存在极小值。 (3)4. 【小问1详解】 当a=1时，f(x)=x+xlnx,其定义域为(0，+o), f(x)=1+Inx+1=Inx+2, 令f'(x)=0,即nx+2=0,解得x=e2, 所以当x∈(0，e2)时，f'(x)<0,函数f(x)在(0，e2)上单调递减， 当xee2,+o)时，f'"(x)>0,函数f(x)在(e2,+o）上单调递增， 所以，当x=e2时，函数f(x)取得最小值，即f(e2）=e2+e21ne2=e2-2e2=-e2, 所以当a=1时，f(x)的最小值为-e2,此时x=e2. 【小问2详解】 由题意得，gx)=f(x)-（x-1lnx=ax+xlnx-(x-l)lnx=ax+lnx,其定义域为0，+oo), 则g(x)=a+1, ①当a≥0时，g(x)=a+>0恒成立，所以函数g(x)在(0，+o上单调递增， 所以g(x)不存在极值； 10 ②当a<0时令g到=a+日=0，解得x=日 所以当xe0-君}时，8>0，函数8在0-君) 上单调递增， 当个合时g<0,厨数在（日】 上单调递减， 所以，当x时，g存在楼大值》=a》n（)n(日》1，无极小值： 综上所述，当a≥0时，函数gx)不存在极值； 当a<0时，两数引刘车在极大值n(》1,此时x=女不华在极小值 【小问3详解】 由题意知，当a=2时，不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1，+oo)上恒成立， 即k(x-l)<2x+xnx,等价于k<2x+xlx在x∈L,+o)上恒成立， x-1 设h(x)=2x+xlnx,即 x-1 (x)-3+nx)(x-1)-(2x+xln)-3-x (x-12 (x-1)2, 令()=x-3-nx,则r(x)=1-1, 当x∈(1，+o)时，t(x)=1-1>0恒成立，则(x在(1，+∞)上单调递增， 又t4)=1-ln4<0,t(5)=2-ln5>0, 所以3x,∈(4,5)，使txo)=0,即h(x)=0, 当x∈(1，x),t(x)<0,即h'(x<0, 11 当x∈x,+oo),tx>0,即h'x)>0, 即h(x)在(1，x,)上单调递减，在(xo,+o）上单调递增， 当x=xo,hx)存在最小值，即h(xo), 由txo)=xo-lnx-3=0,得lnxo=xo-3, 6=2+5=2+6-到-5-5=， x0-1x0-10-1 所以k<h()=x∈(4,5)，又K为整数，所以K的最大值为4. [a2-b2=3 19解：(1)由题意可得c=5,又3,1，解得 +=1 乙故椭圆c的标准方程为聋+广=1. b=1 (2i)由(1)可得：A(-2,0),B(0,-1,设P(x,),x>0,>0, 可知直线4B方程为：：=号设切线方程为，=+m, 2 代入号+产1得到号+m2-1=0令4m-2-小-0，解得a=, 因P在第一象限，切线斜率为负，故m=√2，所以切线方程为：x+2y-2√2=0. (i)直线La:x+2y+2=0,P(x,小到直线的距离为d=出+2+且AB=5, 5 5a5x+g+国-+2+s2可+4+2-+1 5 当且仅当x,=2y。=√2时等号成立因为P(x)在椭圆上，所以x+4=4, 则+令心 （+2 9 则：y11…c产 （y。+1 则4C=”+22BD2h1+2+2 y。+1 x。+2 x。+2 5w4dl-5022,）22252-2 x。+2 2x+x+20+2+x,+2八+2 所以△PCD的面积SAPCD=SaP4B-SBcD≤V2+1-2=V2-1,所以△PCD面积的最大值为√2-1. 3 ( ) 2025-2026学年下学期高二6月月考 数学答题卡 姓名：__________________班级：________________ 准考证号 ( 贴条形码区 ) ( 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2．请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 。 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 。 4．请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱 ) ( 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 ) 第I卷(请用2B铅笔填涂) ( 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 )第II卷(请在各试题的答题区内作答) ( 1 2 .（ 5 分） ________________ 1 3 .（ 5 分） ________________ 1 4 .（ 5 分） ________________ 此区域不作答 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 15. ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 1 6 . ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 17 . ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 18 . ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 19. ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) 数学答题卡 第1页 （共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年下学期高二6月月考 数学试题 1、 单选题 1. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2．已知，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 3. 已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． X 1 2 3 P b 4．已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，这两个正态曲线如图所示.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 8.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）. 2、 多选题 9. 已知某地10月份第x天的平均气温为y（单位：℃），x，y线性相关，由x，y的前7天样本数据求得的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. x，y负相关 B. 第8天的平均气温为18℃ C. 前7天平均气温的平均数为19℃ D. 若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大 10．若展开式中所有二项式系数之和为1024，且，则（    ） A． B． C．能被200整除 D．除以7所得的余数为2 11．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 3、 填空题 12. 设随机变量的概率分布列为，其中，那么的值为______. 13. 已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______. 14．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中，，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数为__________.（用数字作答） 四、解答题 15. 已知数列 . (I) 令 ,证明数列 是等差数列,并求出通项公式; (II) 求数列 的前 项和 . 喜欢跳舞 不喜欢跳舞 女性 25 35 男性 5 25 16. 近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随机调研了本校2026年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况如表：（单位：人） (1)根据表中数据并依据小概率值的独立性检验， 分析喜欢跳舞与性别是否有关联？ (2) 用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2026年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中喜欢跳舞的人数为X，求X的分布列及数学期望. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：，. 17. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）求函数的极值； （3）当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 19.椭圆：()经过点,左、右焦点分别,. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左顶点为,下顶点为,是椭圆在第一象限上的一点,直线与轴相交于点,直线与轴相交于点. (ⅰ)过点做椭圆的切线,当切线平行时,求：切线方程. (ⅱ)求面积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $