河南省叶县高级中学2025-2026学年高二下学期数学3月月考试题

2025-2026学年高二下学期数学3月月考试题 （ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考试范围：人教A版选择性必修第一、第二册 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的, 请把答案填涂在答题卡相应位置上) 1．已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A． B．4 C． D．2 2．已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，其短轴长为4，离心率为，过点的直线交于A，B两点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 5．如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．定义在R上的函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 7．已知数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分. 在每小题给出的四个选项中，至少有两 个是符合题目要求的, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选得 0 分) 9．下列求导运算正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上，且，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．的面积为 D．直线与仅有一个公共点 11．数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则（    ） A． B．数列是公比为2的等比数列 C． D． 三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上) 12．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 13．已知函数，记在点（其中）处的切线与y轴交点的纵坐标为，若对任意的恒成立，则实数的最小值为__________. 14．在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交于两点．若，则的值为_____． 四、解答题 (本大题共 5 小题, 共计 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题 13 分)已知直线经过点. (1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程； (2)若直线与轴､轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时直线的方程. 16．(本小题 15 分)在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 17．(本小题 15 分)某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 18．(本小题 17 分)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点．    (1)证明：平面平面． (2)若，求二面角的余弦值． (3)若，求点到平面的距离． 19．(本小题 17 分)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到准线的最短距离为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)求与面积之和的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学3月月考试题详解 （ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考试范围：人教A版选择性必修第一、第二册 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的, 请把答案填涂在答题卡相应位置上) 1．已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【详解】由等比数列的前项和公式， 可得， 因为，，成等差数列，可得， 整理得，即，即， 所以，解得或（舍去）， 由，可得， 所以. 故选：D. 2．已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆以，为焦点，即，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即，得出或（舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 3．过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，不妨取渐近线的方程为， 则，又，故， 因为，的面积为6， 所以，解得 所以的渐近线的斜率为. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，其短轴长为4，离心率为，过点的直线交于A，B两点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为， 所以，所以， 所以，即， 所以的周长为． 故选：C. 5．如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 6．定义在R上的函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，.且 所以 7．已知数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为， 当时，， 当时，， 所以， 因为满足上式， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以.又， 故当对任意的恒成立时，可得， 所以整数的最小值为4. 8．过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，，切线斜率. 切线方程：，即. 切线过，代入得：， 整理得：. 由分离参数，得. 令，原题等价于与的图象有两个交点. 求导：，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 当时，，当时，， 作出的大致图象： 由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足 综上所述时，原方程有两个零点. 二、多项选择题(共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分. 在每小题给出的四个选项中，至少有两 个是符合题目要求的, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选得 0 分) 9．下列求导运算正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A：若，则，故A错误； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：若，则，故D正确. 10．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上，且，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．的面积为 D．直线与仅有一个公共点 【答案】ACD 【详解】抛物线的焦点， 准线，准线与轴交点. ，故，A选项正确. 点到直线的距离，故B错误. 抛物线方程为，，. 设，由，得， 解得，，即. 中，，到轴的距离为， 面积，故C正确. 取，，直线的斜率，方程为. 联立，得，即，， 故直线与抛物线仅有一个公共点，由对称性，取时结论一致. 所以D正确. 11．数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则（    ） A． B．数列是公比为2的等比数列 C． D． 【答案】ACD 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 因为，所以， 化简可得，解得或（舍去） 因为，所以， 即，所以. 对于A，，故A正确； 对于B，因为， 所以数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以 ，故D正确. 三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上) 12．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【答案】 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当，即时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 13．已知函数，记在点（其中）处的切线与y轴交点的纵坐标为，若对任意的恒成立，则实数的最小值为__________. 【答案】/ 【详解】因为，则，所以， 所以在点处的切线方程为， 令，得到，所以， 则， 所以， 由对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，又，易知， 所以， 故答案为：. 14．在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交于两点．若，则的值为_____． 【答案】/ 【详解】由条件知．设， 由得， 即，故，进而． 由双曲线的对称性，不妨设，即，则直线l的斜率为， 则直线的方程为，即，代入的方程， 消去并化简可得的二次方程，其两根，． 因此． 故答案为： 四、解答题 (本大题共 5 小题, 共计 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) 15． (本小题 13 分)已知直线经过点. (1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程； (2)若直线与轴､轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)或 (2)4， 【详解】（1）因为直线经过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，直线到原点的距离为1，满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线到原点的距离为1，所以，解得，此时，直线为 所以直线的方程为或. （2）由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，得到，令，得到， 由题知，，得到， ， 当且仅当，即时取等号，此时直线方程为. 16．(本小题 15 分)在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）可得 故 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知， 由单调递增，可知， 故，解得， 即的取值范围为. 17．(本小题 15 分)某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 【答案】(1)半径为；(2)3.5米 【详解】（1）由题，设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的直角坐标系， 因为，和为相对的两个车道，侧墙面米，弧顶高米， 则，，， 易知圆心在轴上，设圆的方程为， 又，在圆上，则， 解得：，， 所以，圆弧所在圆的半径为； （2）设限高为，作交圆弧于，则， 由（1）知，圆的方程为：， 将的横坐标代入圆的方程， 有，解得：或（舍， 所以， 即车辆通过隧道的限制高度是3.5米． 18．(本小题 17分)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点．    (1)证明：平面平面． (2)若，求二面角的余弦值． (3)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3) 【详解】（1）因为侧面是正三角形，是的中点．所以⊥， 而底面是边长为4的正方形，故⊥， 又侧面底面，交线为，平面， 故⊥平面，又平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，故平面⊥平面； （2）取的中点，连接，则⊥， 因为侧面是正三角形，所以⊥， 因为侧面底面，交线为，平面， 所以⊥底面，又平面，所以⊥， 所以两两垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 则，    从图中可以看出，二面角大小为锐角， 故二面角的余弦值为； （3）若，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 故点到平面的距离为. 19．(本小题 17分)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到准线的最短距离为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)求与面积之和的最小值. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）依题意可得：，求解得， 所以椭圆的方程为：. （2）如图： 设直线的方程为：，，，， 则，化简得：， 即， 由于在椭圆内，所以直线与椭圆必有个交点， 所以，， 方程，得出， 同理可得：，， 所以，， 所以 为定值. （3）由题意可得：， ， ， ， 当且仅当时取“， 所以“. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $