小升初奥数培优：分数百分数应用题（讲义）2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学小升初复习讲义聚焦分数百分数专题，针对小升初30%+分值的应用题，目标帮助学生掌握多单位1统一、三类不变量等高频易错题型，通过核心概念梳理、单位1判定方法讲解、量率对应公式应用及分层例题训练，系统构建解题思路。 亮点在于聚焦失分率80%的易错点，创新采用倒推法解决余下还原问题，以单量不变、和不变、差不变分类突破抓不变量题型，培养学生抽象能力与推理意识。设计基础巩固、能力拔高、压轴拓展三级练习，教师可据此精准定位学生薄弱环节，有效提升复习效率。

小升初奥数培优专题讲义：分数百分数 学习目标 分数百分数是小升初应用题分值占比最高模块（30%+），也是比例、浓度、经济问题的底层基础。校内只考查单一单位1基础题型，奥数培优重点考查：多单位1统一、三类不变量解题、余下还原、利润率逆向计算。本讲义规避简单计算，聚焦失分率80%的易错题型，搭建标准化解题步骤。 知识讲解 一、核心基础概念（培优必区分，校内不讲） 1.具体量：带单位的实际数量，如20千克、50人、120元，数值固定不变。 2.分率（分数/百分数）：不带单位，表示两个量的倍数关系，如、40%，必须依附单位1存在。 3.核心易错区分：和千克完全不同，前者是分率，后者是具体量，90%学生混淆失分。 4.分数与百分数互通：百分数本质是分母为100的特殊分数，所有分数应用题解题逻辑完全通用。 二、单位“1”万能判定方法（解题第一步） 1.显性单位1（90%基础题） 口诀：的前比后。①“A的几分之几”，单位1是A；②“A比B多/少百分之几”，单位1是B。 2.隐性单位1（奥数高频） 题干无明确对比词，默认原有总量、原价、原人数为单位1；例：商品先涨价20%再降价20%，两次单位1分别为原价、涨价后价格，二者不相等。 3.多次变化单位1 出现“余下、剩下、又”等词汇，每一次余下都以当前剩余量为新单位1，不能混用最初单位1。 三、量率对应核心双公式（所有题型通用） 前提：必须保证具体量和分率一一对应，不对应不能直接计算 1.已知单位1，求对应具体量：单位1总量 × 对应分率 = 对应具体量（顺乘） 2.未知单位1，求单位1总量：对应具体量 ÷ 对应分率 = 单位1总量（逆除） 四、六大培优必考题型（梯度排序） 题型1：基础增减分率 求A比B多/少百分之几：差值÷单位1（B）×100%；易错：永远除以“比”后面的量，不是除以两数平均数。 题型2：余下还原问题（倒推法） 题干多次取走余下部分，正向求解复杂，统一用倒推法：从最终剩余具体量反向计算，每次都以当下单位1逆推。 题型3：多主体统一单位1 题干出现2个及以上不同单位1（甲和乙、乙和丙），需把所有分率统一转化为以其中一个量为标准，消除单位1差异。 题型4：抓不变量解题（小升初压轴） 分为三类，覆盖所有分班真题： 1.单量不变：一方数量增减，另一方始终不变（如转来男生，女生人数不变） 2.和不变：内部互相转移数量，双方总和不变（甲乙互相给书本、钱） 3.差不变：双方同时增加/减少相同数量，差值永远不变（同增同减） 题型5：经济百分数（利润折扣） 核心专有公式（校内不讲解，奥数必考）： 1.利润率=（售价-进价）÷进价×100%（注意分母是进价，不是售价） 2.售价=进价×(1+利润率)；折扣=实际售价÷原定标价 3.捆绑促销：买几送几需要换算实际折扣，不能直接按字面计算 题型6：通用百分率 出勤率、成活率、含盐率、合格率，所有百分率分母均为总数，分子为合格数，百分率永远≤100%。 五、七大高频易错雷区 1.先涨a%再降a%，最终价格一定低于原价，永远无法回到原价 2.增加20%和增加到20%语义完全不同，增加到包含本身 3.分率不带单位，具体量带单位，不能直接加减 4.多单位1混用，直接用原始单位1计算余下问题 5.利润率计算时分母误用售价 6.人数、物品数量结果必须向上取整，不能四舍五入 7.甲比乙多25%，乙比甲少不是25%，二者单位1不同 例题讲解 【典型例题1】基础量率对应（顺乘逆除） 题目：果园共有桃树和梨树360棵，梨树占总数的55%，桃树比梨树少多少棵？ 【分析】单位1为果树总棵数（已知），使用顺乘逻辑。先算出桃树对应分率1-55%=45%，求出两类果树分率差值，用单位1×分率差得到数量差。易错点：直接用题干分率当作差值计算。 【详解】棵数分率差：55%-(1-55%)=10%；数量差：360×10%=36（棵） 【答案】36棵 【跟踪训练1】 题目：一桶洗衣液重5千克，第一次用去总量的，还剩多少千克？ 【分析】单位1为洗衣液总重量（已知），先求剩余分率，直接顺乘计算剩余具体量。 【详解】5×(1-)=3（千克） 【答案】3千克 【跟踪训练2】 题目：小明已经看完84页课外书，占全书的42%，这本书还有多少页未读？ 【分析】单位1全书页数未知，先通过量率对应逆除求出全书总页数，再减去已读页数。 【详解】全书页数：84÷42%=200（页）；未读页数：200-84=116（页） 【答案】116页 【典型例题2】余下还原问题（倒推法） 题目：一批快递包裹，第一天派送总数的20%，第二天派送余下的30%，最后剩余224件，这批包裹原有多少件？ 【分析】双层不同单位1：第一天以总包裹数为单位1，第二天以第一天派送后剩余包裹为单位1。正向计算极易混淆，采用倒推法，从最终剩余数量反向逐层求解。 【详解】第一天派送后剩余：224÷(1-30%)=320（件）；原有总数：320÷(1-20%)=400（件） 【答案】400件 【跟踪训练1】 题目：一堆沙土，第一天运走总量的25%，第二天运走余下的，剩余45吨，沙土原有多少吨？ 【分析】经典双层余下题型，严格区分两层单位1，全程使用倒推法，不混用原始总量。 【详解】第一天余下：45÷(1-)=135（吨）；原有总量：135÷(1-25%)=180（吨） 【答案】180吨 【跟踪训练2】 题目：一本教辅书，第一天读全书，第二天读余下的25%，两天一共读90页，全书一共多少页？ 【分析】需要先统一全书为唯一单位1，把第二天阅读量转化为全书分率，再匹配90页的总分率。 【详解】第二天对应全书分率：(1-)×25%=；两日总分率：=；全书页数：90÷=225（页） 【答案】225页 【典型例题3】多主体统一单位1 题目：甲数是乙数的80%，乙数是丙数的，丙数比甲数多28，求丙数。 【分析】题干甲乙丙三个独立单位1，统一以丙数为基准单位1，逐层换算甲乙对应丙的分率，利用量率差值计算。 【详解】乙=丙×；甲=×80%丙=丙；丙数：28÷(1-)=84 【答案】84 【跟踪训练1】 题目：香蕉数量是橙子的75%，橙子是葡萄的，葡萄比香蕉多26千克，葡萄有多少千克？ 【分析】统一葡萄为单位1，逐级向下转化分率，匹配重量差值。 【详解】橙子=0.8葡萄，香蕉=0.8×0.75葡萄=0.6葡萄；葡萄重量：26÷(1-0.6)=65（千克） 【答案】65千克 【跟踪训练2】 题目：甲零花钱是乙的，乙零花钱是丙的90%，甲比丙少39元，丙有多少零花钱？ 【分析】统一丙为单位1，依次换算乙、甲的占比，规避多单位1混乱。 【详解】乙=0.9丙，甲=0.9×丙=0.75丙；丙：39÷(1-0.75)=156（元） 【答案】156元 【典型例题4】单量不变（固定量不变） 题目：书架原有文艺书和科普书共240本，文艺书占总数的25%，后续购入一批科普书，文艺书占总数的15%，购入科普书多少本？ 【分析】新增科普书，文艺书数量全程不变，是解题核心不变量。先算出固定文艺书本数，再求后期总书本数，差值即为新增数量。 【详解】文艺书数量：240×25%=60（本）；后期总书本：60÷15%=400（本）；购入科普书：400-240=160（本） 【答案】160本 【跟踪训练1】 题目：含盐率16%的盐水250克，加入食盐调配为含盐率26%的盐水，需要加入多少克盐？ 【分析】加盐过程中水的质量保持不变，属于单量不变经典变式，以水量为桥梁计算前后盐水总量。 【详解】原有水量：250×(1-16%)=210（克）；后期盐水总量：210÷(1-26%)=280（克）；加盐：280-250=30（克） 【答案】30克 【跟踪训练2】 题目：六（2）班原有40人，男生占45%，转来几名男生后，男生占班级总人数的52%，转来男生几人？ 【分析】转入男生，女生人数恒定不变，用女生人数逆向求后期总人数。 【详解】女生人数：40×(1-45%)=22（人）；后期总人数：22÷(1-52%)≈46（人）；转入男生：46-40=6（人） 【答案】6人 【典型例题5】和不变（内部互相转移） 题目：甲乙两人共有邮票480张，甲把自己邮票的20%送给乙，此时两人邮票数量相等，甲原有邮票多少张？ 【分析】内部互相赠送，邮票总数不发生改变，最后两人数量均分，反向倒推甲赠送前的原有数量。 【详解】后期每人邮票：480÷2=240（张）；甲原有：240÷(1-20%)=300（张） 【答案】300张 【跟踪训练1】 题目：甲乙两个仓库共存粮食720吨，甲仓库运出自身存量的25%给乙仓库，两仓库存粮相等，乙仓库原有存粮多少吨？ 【分析】粮食内部流转，总存量不变，先求甲原有存量，再用总量相减得到乙原有存量。 【详解】后期每仓库存粮：720÷2=360（吨）；甲原有：360÷(1-25%)=480（吨）；乙原有：720-480=240（吨） 【答案】240吨 【跟踪训练2】 题目：甲乙两人共有现金540元，乙拿出自己钱数的10%转给甲，两人现金相等，乙原有多少钱？ 【分析】资金内部转移，总和恒定，反向倒推乙转账前本金。 【详解】后期每人现金：540÷2=270（元）；乙原有：270÷(1-10%)=300（元） 【答案】300元 【典型例题6】利润折扣培优（逆向利润率） 题目：一款保温杯标价240元，商场打八五折销售，仍可获利36%，这款保温杯进价是多少元？ 【分析】逆向利润考题，校内极少涉及。先计算实际成交售价，售价是进价的(1+利润率)，进价为未知单位1，用除法求解，易错点：直接用标价计算利润率。 【详解】实际售价：240×85%=204（元）；进价：204÷(1+36%)=150（元） 【答案】150元 【跟踪训练1】 题目：一双运动鞋标价800元，八折出售后亏损20%，鞋子进价为多少元？ 【分析】亏损20%代表售价=进价×(1-20%)，先算折扣价，再逆向求进价。 【详解】折扣售价：800×0.8=640（元）；进价：640÷0.8=800（元） 【答案】800元 【跟踪训练2】 题目：文具进价75元，想要获得20%利润率，商品标价需要打七五折，标价应为多少元？ 【分析】顺向求目标售价，再结合折扣反向计算对外标价。 【详解】目标售价：75×(1+20%)=90（元）；标价：90÷75%=120（元） 【答案】120元 巩固练习 一、基础巩固11题（课内拔高，零失误要求） 1. 80比50多百分之几？50比80少百分之几？ 【分析】两道题单位1完全不同，差值统一为30，除数分别为后项数字 【详解】(80-50)÷50=60%；(80-50)÷80=37.5% 【答案】60%；37.5% 2. 一款床单原价400元，先降价15%，再涨价15%，现价多少元？ 【分析】两次单位1不同，先以原价为基准，再以降价后价格为基准 【详解】400×(1-15%)×(1+15%)=391（元） 【答案】391元 3. 小麦出粉率85%，磨出面粉510千克，需要小麦多少千克？ 【分析】出粉率=面粉÷小麦总量，面粉为具体量，逆除求小麦总量 【详解】510÷85%=600（千克） 【答案】600千克 4. 一堆石料运走，剩余90吨，运走石料多少吨？ 【分析】剩余分率对应剩余重量，先求总量再求运走量 【详解】石料总量：90÷(1-)=144（吨）；运走：144×=54（吨） 【答案】54吨 5. 水杯进价40元，售价52元，水杯利润率是多少？ 【分析】严格按照利润率公式，分母固定为进价 【详解】(52-40)÷40×100%=30% 【答案】30% 6. 甲数的75%等于乙数的，乙数是120，甲数是多少？ 【分析】先算出乙数的对应数值，再反向求甲数 【详解】120×÷75%=96 【答案】96 7. 彩带长20米，第一次剪掉30%，第二次剪掉3米，剩余彩带多少米？ 【分析】区分分率和具体长度，第二次为带单位具体量，直接减法 【详解】20×(1-30%)-3=11（米） 【答案】11米 8. 实际用电量比计划节约20%，实际用电320度，计划用电多少度？ 【分析】计划用电量为单位1，实际对应分率80% 【详解】320÷(1-20%)=400（度） 【答案】400度 9. 含盐率10%的盐水400克，蒸发部分水后含盐率变为20%，蒸发水多少克？ 【分析】蒸发水盐分不变，单量不变经典题型 【详解】盐量：400×10%=40（克）；新盐水：40÷20%=200（克）；蒸发水：400-200=200（克） 【答案】200克 10. 班级出勤率95%，出勤57人，缺勤多少人？ 【分析】出勤人数对应出勤分率，先求班级总人数 【详解】总人数：57÷95%=60（人）；缺勤：60-57=3（人） 【答案】3人 11. 商品涨价三成后售价390元，原价多少元？ 【分析】三成=30%，现价对应原价130% 【详解】390÷(1+30%)=300（元） 【答案】300元 二、能力拔高10题（统考高频，易错集中） 12. 一批建材，第一次运走30%，第二次运走余下的40%，两次运量相差18吨，建材原有多少吨？ 【分析】统一以原有总量为单位1，换算第二次运量总分率，计算分率差 【详解】第二次总分率：(1-30%)×40%=28%；分率差：30%-28%=2%；总量：18÷2%=900（吨） 【答案】900吨 13. 甲是乙的125%，乙是丙的80%，甲比丙多几分之几？ 【分析】统一丙为单位1，逐层换算甲乙占比 【详解】乙=0.8丙，甲=0.8×1.25丙=丙；差值为0，多0 【答案】0 14. 班级女生占40%，转入4名女生后，女生占班级总人数的50%，原有班级多少人？ 【分析】男生人数全程不变，以男生为不变量解题 【详解】原有男生占60%，后期男生占50%；设原有x人，0.6x=0.5(x+4)，解得x=20 【答案】20人 15. 甲乙共有图书600本，甲拿出自身图书25%给乙后数量相等，乙原有多少本？ 【分析】图书总量不变，内部转移倒推原有数量 【详解】后期各300本；甲原有：300÷0.75=400本；乙原有：200本 【答案】200本 16. 家电标价1200元，先九五折销售，再减免60元，仍获利25%，家电进价多少？ 【分析】减免属于直接减价，不属于折扣，分步核算实际售价 【详解】实际售价：1200×0.95-60=1080元；进价：1080÷1.25=864元 【答案】864元 17. 读一本书，第一天读35页，第二天读全书20%，两天共读全书45%，全书多少页？ 【分析】35页对应分率为两日分率差值，直接量率对应 【详解】35÷(45%-20%)=140（页） 【答案】140页 18. 两桶油质量相同，甲桶倒出40%，乙桶倒出24千克，剩余油量相等，每桶原有多少千克？ 【分析】24千克恰好对应原有油量的40%，直接量率对应 【详解】24÷40%=60（千克） 【答案】60千克 19. 买三送一相当于打几折？ 【分析】4件商品付3件货款，折扣=实付金额÷原价总额 【详解】3÷4=75%，七五折 【答案】七五折 20. 工厂今年产量540件，比去年增产20%，去年比前年减产10%，前年产量多少？ 【分析】双层逆向单位1，由后往前逐层逆除计算 【详解】去年产量：540÷1.2=450件；前年产量：450÷0.9=500件 【答案】500件 21. 一桶食用油，第一次用去25%，第二次比第一次多用12千克，还剩33千克，原有多少千克？ 【分析】多余用量+剩余用量对应总分率，反向求总量 【详解】(12+33)÷(1-25%-25%)=90（千克） 【答案】90千克 三、压轴拓展5题（分班择校真题） 22. 甲乙两箱水果，甲箱占总数60%，从甲箱取出48千克放入乙箱，甲箱占总数36%，水果总重多少千克？ 【分析】两箱水果总和不变，48千克对应前后分率差值 【详解】分率差：60%-36%=24%；总重：48÷24%=200（千克） 【答案】200千克 23. 商品进价上涨20%，售价保持不变，利润率下降15个百分点，原利润率是多少？ 【分析】赋值法设原进价100元，利用售价恒定列等式求解 【详解】设原利润率x，100(1+x)=120(x+0.15)，解得x=30% 【答案】30% 24. 一批零件，第一天加工总数，第二天加工余下，第三天加工余下，剩余42个，原有多少个？ 【分析】多层余下问题，全程倒推法逆向计算，简化正向逻辑 【详解】42÷(1-)÷(1-)÷(1-)=420（个） 【答案】420个 25. 男生人数增加25%，女生人数减少20%，班级总人数不变，原有男女人数比？ 【分析】增减人数相等，建立等式化简比例 【详解】男×25%=女×20%；男:女=4:5 【答案】4:5 26. 商品先降价20%，想要恢复原价，需要涨价百分之几？ 【分析】前后单位1不同，极易误答20%，需要重新计算基准 【详解】设原价100，降价后80；涨价幅度：20÷80=25% 【答案】25% 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优专题讲义：分数百分数 学习目标 分数百分数是小升初应用题分值占比最高模块（30%+），也是比例、浓度、经济问题的底层基础。校内只考查单一单位1基础题型，奥数培优重点考查：多单位1统一、三类不变量解题、余下还原、利润率逆向计算。本讲义规避简单计算，聚焦失分率80%的易错题型，搭建标准化解题步骤。 知识讲解 一、核心基础概念（培优必区分，校内不讲） 1.具体量：带单位的实际数量，如20千克、50人、120元，数值固定不变。 2.分率（分数/百分数）：不带单位，表示两个量的倍数关系，如、40%，必须依附单位1存在。 3.核心易错区分：和千克完全不同，前者是分率，后者是具体量，90%学生混淆失分。 4.分数与百分数互通：百分数本质是分母为100的特殊分数，所有分数应用题解题逻辑完全通用。 二、单位“1”万能判定方法（解题第一步） 1.显性单位1（90%基础题） 口诀：的前比后。①“A的几分之几”，单位1是A；②“A比B多/少百分之几”，单位1是B。 2.隐性单位1（奥数高频） 题干无明确对比词，默认原有总量、原价、原人数为单位1；例：商品先涨价20%再降价20%，两次单位1分别为原价、涨价后价格，二者不相等。 3.多次变化单位1 出现“余下、剩下、又”等词汇，每一次余下都以当前剩余量为新单位1，不能混用最初单位1。 三、量率对应核心双公式（所有题型通用） 前提：必须保证具体量和分率一一对应，不对应不能直接计算 1.已知单位1，求对应具体量：单位1总量 × 对应分率 = 对应具体量（顺乘） 2.未知单位1，求单位1总量：对应具体量 ÷ 对应分率 = 单位1总量（逆除） 四、六大培优必考题型（梯度排序） 题型1：基础增减分率 求A比B多/少百分之几：差值÷单位1（B）×100%；易错：永远除以“比”后面的量，不是除以两数平均数。 题型2：余下还原问题（倒推法） 题干多次取走余下部分，正向求解复杂，统一用倒推法：从最终剩余具体量反向计算，每次都以当下单位1逆推。 题型3：多主体统一单位1 题干出现2个及以上不同单位1（甲和乙、乙和丙），需把所有分率统一转化为以其中一个量为标准，消除单位1差异。 题型4：抓不变量解题（小升初压轴） 分为三类，覆盖所有分班真题： 1.单量不变：一方数量增减，另一方始终不变（如转来男生，女生人数不变） 2.和不变：内部互相转移数量，双方总和不变（甲乙互相给书本、钱） 3.差不变：双方同时增加/减少相同数量，差值永远不变（同增同减） 题型5：经济百分数（利润折扣） 核心专有公式（校内不讲解，奥数必考）： 1.利润率=（售价-进价）÷进价×100%（注意分母是进价，不是售价） 2.售价=进价×(1+利润率)；折扣=实际售价÷原定标价 3.捆绑促销：买几送几需要换算实际折扣，不能直接按字面计算 题型6：通用百分率 出勤率、成活率、含盐率、合格率，所有百分率分母均为总数，分子为合格数，百分率永远≤100%。 五、七大高频易错雷区 1.先涨a%再降a%，最终价格一定低于原价，永远无法回到原价 2.增加20%和增加到20%语义完全不同，增加到包含本身 3.分率不带单位，具体量带单位，不能直接加减 4.多单位1混用，直接用原始单位1计算余下问题 5.利润率计算时分母误用售价 6.人数、物品数量结果必须向上取整，不能四舍五入 7.甲比乙多25%，乙比甲少不是25%，二者单位1不同 例题讲解 【典型例题1】基础量率对应（顺乘逆除） 题目：果园共有桃树和梨树360棵，梨树占总数的55%，桃树比梨树少多少棵？ 【跟踪训练1】 题目：一桶洗衣液重5千克，第一次用去总量的，还剩多少千克？ 【跟踪训练2】 题目：小明已经看完84页课外书，占全书的42%，这本书还有多少页未读？ 【典型例题2】余下还原问题（倒推法） 题目：一批快递包裹，第一天派送总数的20%，第二天派送余下的30%，最后剩余224件，这批包裹原有多少件？ 【跟踪训练1】 题目：一堆沙土，第一天运走总量的25%，第二天运走余下的，剩余45吨，沙土原有多少吨？ 【跟踪训练2】 题目：一本教辅书，第一天读全书，第二天读余下的25%，两天一共读90页，全书一共多少页？ 【典型例题3】多主体统一单位1 题目：甲数是乙数的80%，乙数是丙数的，丙数比甲数多28，求丙数。 【跟踪训练1】 题目：香蕉数量是橙子的75%，橙子是葡萄的，葡萄比香蕉多26千克，葡萄有多少千克？ 【跟踪训练2】 题目：甲零花钱是乙的，乙零花钱是丙的90%，甲比丙少39元，丙有多少零花钱？ 【典型例题4】单量不变（固定量不变） 题目：书架原有文艺书和科普书共240本，文艺书占总数的25%，后续购入一批科普书，文艺书占总数的15%，购入科普书多少本？ 【跟踪训练1】 题目：含盐率16%的盐水250克，加入食盐调配为含盐率26%的盐水，需要加入多少克盐？ 【跟踪训练2】 题目：六（2）班原有40人，男生占45%，转来几名男生后，男生占班级总人数的52%，转来男生几人？ 【典型例题5】和不变（内部互相转移） 题目：甲乙两人共有邮票480张，甲把自己邮票的20%送给乙，此时两人邮票数量相等，甲原有邮票多少张？ 【跟踪训练1】 题目：甲乙两个仓库共存粮食720吨，甲仓库运出自身存量的25%给乙仓库，两仓库存粮相等，乙仓库原有存粮多少吨？ 【跟踪训练2】 题目：甲乙两人共有现金540元，乙拿出自己钱数的10%转给甲，两人现金相等，乙原有多少钱？ 【典型例题6】利润折扣培优（逆向利润率） 题目：一款保温杯标价240元，商场打八五折销售，仍可获利36%，这款保温杯进价是多少元？ 【跟踪训练1】 题目：一双运动鞋标价800元，八折出售后亏损20%，鞋子进价为多少元？ 【跟踪训练2】 题目：文具进价75元，想要获得20%利润率，商品标价需要打七五折，标价应为多少元？ 【典型例题1】基础量率对应（顺乘逆除） 题目：果园共有桃树和梨树360棵，梨树占总数的55%，桃树比梨树少多少棵？ 【分析】单位1为果树总棵数（已知），使用顺乘逻辑。先算出桃树对应分率1-55%=45%，求出两类果树分率差值，用单位1×分率差得到数量差。易错点：直接用题干分率当作差值计算。 【详解】棵数分率差：55%-(1-55%)=10%；数量差：360×10%=36（棵） 【答案】36棵 【跟踪训练1】 题目：一桶洗衣液重5千克，第一次用去总量的，还剩多少千克？ 【分析】单位1为洗衣液总重量（已知），先求剩余分率，直接顺乘计算剩余具体量。 【详解】5×(1-)=3（千克） 【答案】3千克 【跟踪训练2】 题目：小明已经看完84页课外书，占全书的42%，这本书还有多少页未读？ 【分析】单位1全书页数未知，先通过量率对应逆除求出全书总页数，再减去已读页数。 【详解】全书页数：84÷42%=200（页）；未读页数：200-84=116（页） 【答案】116页 【典型例题2】余下还原问题（倒推法） 题目：一批快递包裹，第一天派送总数的20%，第二天派送余下的30%，最后剩余224件，这批包裹原有多少件？ 【分析】双层不同单位1：第一天以总包裹数为单位1，第二天以第一天派送后剩余包裹为单位1。正向计算极易混淆，采用倒推法，从最终剩余数量反向逐层求解。 【详解】第一天派送后剩余：224÷(1-30%)=320（件）；原有总数：320÷(1-20%)=400（件） 【答案】400件 【跟踪训练1】 题目：一堆沙土，第一天运走总量的25%，第二天运走余下的，剩余45吨，沙土原有多少吨？ 【分析】经典双层余下题型，严格区分两层单位1，全程使用倒推法，不混用原始总量。 【详解】第一天余下：45÷(1-)=135（吨）；原有总量：135÷(1-25%)=180（吨） 【答案】180吨 【跟踪训练2】 题目：一本教辅书，第一天读全书，第二天读余下的25%，两天一共读90页，全书一共多少页？ 【分析】需要先统一全书为唯一单位1，把第二天阅读量转化为全书分率，再匹配90页的总分率。 【详解】第二天对应全书分率：(1-)×25%=；两日总分率：=；全书页数：90÷=225（页） 【答案】225页 【典型例题3】多主体统一单位1 题目：甲数是乙数的80%，乙数是丙数的，丙数比甲数多28，求丙数。 【分析】题干甲乙丙三个独立单位1，统一以丙数为基准单位1，逐层换算甲乙对应丙的分率，利用量率差值计算。 【详解】乙=丙×；甲=×80%丙=丙；丙数：28÷(1-)=84 【答案】84 【跟踪训练1】 题目：香蕉数量是橙子的75%，橙子是葡萄的，葡萄比香蕉多26千克，葡萄有多少千克？ 【分析】统一葡萄为单位1，逐级向下转化分率，匹配重量差值。 【详解】橙子=0.8葡萄，香蕉=0.8×0.75葡萄=0.6葡萄；葡萄重量：26÷(1-0.6)=65（千克） 【答案】65千克 【跟踪训练2】 题目：甲零花钱是乙的，乙零花钱是丙的90%，甲比丙少39元，丙有多少零花钱？ 【分析】统一丙为单位1，依次换算乙、甲的占比，规避多单位1混乱。 【详解】乙=0.9丙，甲=0.9×丙=0.75丙；丙：39÷(1-0.75)=156（元） 【答案】156元 【典型例题4】单量不变（固定量不变） 题目：书架原有文艺书和科普书共240本，文艺书占总数的25%，后续购入一批科普书，文艺书占总数的15%，购入科普书多少本？ 【分析】新增科普书，文艺书数量全程不变，是解题核心不变量。先算出固定文艺书本数，再求后期总书本数，差值即为新增数量。 【详解】文艺书数量：240×25%=60（本）；后期总书本：60÷15%=400（本）；购入科普书：400-240=160（本） 【答案】160本 【跟踪训练1】 题目：含盐率16%的盐水250克，加入食盐调配为含盐率26%的盐水，需要加入多少克盐？ 【分析】加盐过程中水的质量保持不变，属于单量不变经典变式，以水量为桥梁计算前后盐水总量。 【详解】原有水量：250×(1-16%)=210（克）；后期盐水总量：210÷(1-26%)=280（克）；加盐：280-250=30（克） 【答案】30克 【跟踪训练2】 题目：六（2）班原有40人，男生占45%，转来几名男生后，男生占班级总人数的52%，转来男生几人？ 【分析】转入男生，女生人数恒定不变，用女生人数逆向求后期总人数。 【详解】女生人数：40×(1-45%)=22（人）；后期总人数：22÷(1-52%)≈46（人）；转入男生：46-40=6（人） 【答案】6人 【典型例题5】和不变（内部互相转移） 题目：甲乙两人共有邮票480张，甲把自己邮票的20%送给乙，此时两人邮票数量相等，甲原有邮票多少张？ 【分析】内部互相赠送，邮票总数不发生改变，最后两人数量均分，反向倒推甲赠送前的原有数量。 【详解】后期每人邮票：480÷2=240（张）；甲原有：240÷(1-20%)=300（张） 【答案】300张 【跟踪训练1】 题目：甲乙两个仓库共存粮食720吨，甲仓库运出自身存量的25%给乙仓库，两仓库存粮相等，乙仓库原有存粮多少吨？ 【分析】粮食内部流转，总存量不变，先求甲原有存量，再用总量相减得到乙原有存量。 【详解】后期每仓库存粮：720÷2=360（吨）；甲原有：360÷(1-25%)=480（吨）；乙原有：720-480=240（吨） 【答案】240吨 【跟踪训练2】 题目：甲乙两人共有现金540元，乙拿出自己钱数的10%转给甲，两人现金相等，乙原有多少钱？ 【分析】资金内部转移，总和恒定，反向倒推乙转账前本金。 【详解】后期每人现金：540÷2=270（元）；乙原有：270÷(1-10%)=300（元） 【答案】300元 【典型例题6】利润折扣培优（逆向利润率） 题目：一款保温杯标价240元，商场打八五折销售，仍可获利36%，这款保温杯进价是多少元？ 【分析】逆向利润考题，校内极少涉及。先计算实际成交售价，售价是进价的(1+利润率)，进价为未知单位1，用除法求解，易错点：直接用标价计算利润率。 【详解】实际售价：240×85%=204（元）；进价：204÷(1+36%)=150（元） 【答案】150元 【跟踪训练1】 题目：一双运动鞋标价800元，八折出售后亏损20%，鞋子进价为多少元？ 【分析】亏损20%代表售价=进价×(1-20%)，先算折扣价，再逆向求进价。 【详解】折扣售价：800×0.8=640（元）；进价：640÷0.8=800（元） 【答案】800元 【跟踪训练2】 题目：文具进价75元，想要获得20%利润率，商品标价需要打七五折，标价应为多少元？ 【分析】顺向求目标售价，再结合折扣反向计算对外标价。 【详解】目标售价：75×(1+20%)=90（元）；标价：90÷75%=120（元） 【答案】120元 巩固练习 一、基础巩固11题（课内拔高，零失误要求） 1. 80比50多百分之几？50比80少百分之几？ 【分析】两道题单位1完全不同，差值统一为30，除数分别为后项数字 【详解】(80-50)÷50=60%；(80-50)÷80=37.5% 【答案】60%；37.5% 2. 一款床单原价400元，先降价15%，再涨价15%，现价多少元？ 【分析】两次单位1不同，先以原价为基准，再以降价后价格为基准 【详解】400×(1-15%)×(1+15%)=391（元） 【答案】391元 3. 小麦出粉率85%，磨出面粉510千克，需要小麦多少千克？ 【分析】出粉率=面粉÷小麦总量，面粉为具体量，逆除求小麦总量 【详解】510÷85%=600（千克） 【答案】600千克 4. 一堆石料运走，剩余90吨，运走石料多少吨？ 【分析】剩余分率对应剩余重量，先求总量再求运走量 【详解】石料总量：90÷(1-)=144（吨）；运走：144×=54（吨） 【答案】54吨 5. 水杯进价40元，售价52元，水杯利润率是多少？ 【分析】严格按照利润率公式，分母固定为进价 【详解】(52-40)÷40×100%=30% 【答案】30% 6. 甲数的75%等于乙数的，乙数是120，甲数是多少？ 【分析】先算出乙数的对应数值，再反向求甲数 【详解】120×÷75%=96 【答案】96 7. 彩带长20米，第一次剪掉30%，第二次剪掉3米，剩余彩带多少米？ 【分析】区分分率和具体长度，第二次为带单位具体量，直接减法 【详解】20×(1-30%)-3=11（米） 【答案】11米 8. 实际用电量比计划节约20%，实际用电320度，计划用电多少度？ 【分析】计划用电量为单位1，实际对应分率80% 【详解】320÷(1-20%)=400（度） 【答案】400度 9. 含盐率10%的盐水400克，蒸发部分水后含盐率变为20%，蒸发水多少克？ 【分析】蒸发水盐分不变，单量不变经典题型 【详解】盐量：400×10%=40（克）；新盐水：40÷20%=200（克）；蒸发水：400-200=200（克） 【答案】200克 10. 班级出勤率95%，出勤57人，缺勤多少人？ 【分析】出勤人数对应出勤分率，先求班级总人数 【详解】总人数：57÷95%=60（人）；缺勤：60-57=3（人） 【答案】3人 11. 商品涨价三成后售价390元，原价多少元？ 【分析】三成=30%，现价对应原价130% 【详解】390÷(1+30%)=300（元） 【答案】300元 二、能力拔高10题（统考高频，易错集中） 12. 一批建材，第一次运走30%，第二次运走余下的40%，两次运量相差18吨，建材原有多少吨？ 【分析】统一以原有总量为单位1，换算第二次运量总分率，计算分率差 【详解】第二次总分率：(1-30%)×40%=28%；分率差：30%-28%=2%；总量：18÷2%=900（吨） 【答案】900吨 13. 甲是乙的125%，乙是丙的80%，甲比丙多几分之几？ 【分析】统一丙为单位1，逐层换算甲乙占比 【详解】乙=0.8丙，甲=0.8×1.25丙=丙；差值为0，多0 【答案】0 14. 班级女生占40%，转入4名女生后，女生占班级总人数的50%，原有班级多少人？ 【分析】男生人数全程不变，以男生为不变量解题 【详解】原有男生占60%，后期男生占50%；设原有x人，0.6x=0.5(x+4)，解得x=20 【答案】20人 15. 甲乙共有图书600本，甲拿出自身图书25%给乙后数量相等，乙原有多少本？ 【分析】图书总量不变，内部转移倒推原有数量 【详解】后期各300本；甲原有：300÷0.75=400本；乙原有：200本 【答案】200本 16. 家电标价1200元，先九五折销售，再减免60元，仍获利25%，家电进价多少？ 【分析】减免属于直接减价，不属于折扣，分步核算实际售价 【详解】实际售价：1200×0.95-60=1080元；进价：1080÷1.25=864元 【答案】864元 17. 读一本书，第一天读35页，第二天读全书20%，两天共读全书45%，全书多少页？ 【分析】35页对应分率为两日分率差值，直接量率对应 【详解】35÷(45%-20%)=140（页） 【答案】140页 18. 两桶油质量相同，甲桶倒出40%，乙桶倒出24千克，剩余油量相等，每桶原有多少千克？ 【分析】24千克恰好对应原有油量的40%，直接量率对应 【详解】24÷40%=60（千克） 【答案】60千克 19. 买三送一相当于打几折？ 【分析】4件商品付3件货款，折扣=实付金额÷原价总额 【详解】3÷4=75%，七五折 【答案】七五折 20. 工厂今年产量540件，比去年增产20%，去年比前年减产10%，前年产量多少？ 【分析】双层逆向单位1，由后往前逐层逆除计算 【详解】去年产量：540÷1.2=450件；前年产量：450÷0.9=500件 【答案】500件 21. 一桶食用油，第一次用去25%，第二次比第一次多用12千克，还剩33千克，原有多少千克？ 【分析】多余用量+剩余用量对应总分率，反向求总量 【详解】(12+33)÷(1-25%-25%)=90（千克） 【答案】90千克 三、压轴拓展5题（分班择校真题） 22. 甲乙两箱水果，甲箱占总数60%，从甲箱取出48千克放入乙箱，甲箱占总数36%，水果总重多少千克？ 【分析】两箱水果总和不变，48千克对应前后分率差值 【详解】分率差：60%-36%=24%；总重：48÷24%=200（千克） 【答案】200千克 23. 商品进价上涨20%，售价保持不变，利润率下降15个百分点，原利润率是多少？ 【分析】赋值法设原进价100元，利用售价恒定列等式求解 【详解】设原利润率x，100(1+x)=120(x+0.15)，解得x=30% 【答案】30% 24. 一批零件，第一天加工总数，第二天加工余下，第三天加工余下，剩余42个，原有多少个？ 【分析】多层余下问题，全程倒推法逆向计算，简化正向逻辑 【详解】42÷(1-)÷(1-)÷(1-)=420（个） 【答案】420个 25. 男生人数增加25%，女生人数减少20%，班级总人数不变，原有男女人数比？ 【分析】增减人数相等，建立等式化简比例 【详解】男×25%=女×20%；男:女=4:5 【答案】4:5 26. 商品先降价20%，想要恢复原价，需要涨价百分之几？ 【分析】前后单位1不同，极易误答20%，需要重新计算基准 【详解】设原价100，降价后80；涨价幅度：20÷80=25% 【答案】25% 学科网（北京）股份有限公司 $