第十章 二元一次方程组 期末复习高频考点核心知识清单-七年级数学新教材人教版

第十章 二元一次方程组 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 二元一次方程与二元一次方程组基础 （1）二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做二元一次方程。 标准形式：（，为常数）。 核心条件（三者缺一不可）： ① 整式方程（分母、根号内不含未知数）；②一共含有两个不同未知数；③含未知数的项的次数均为1。 （2）二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 性质：一般情况下，一个二元一次方程有无数组解；若限定整数解、非负整数解，则解的个数有限。 （3）二元一次方程组 定义：由两个或两个以上的二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。 二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，即同时满足方程组中每一个方程的一对未知数的值。方程组的解一般写成的形式。 2. 解二元一次方程组（核心考点：消元思想） 基本思路：消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，分为代入消元法和加减消元法两大类。 （1）代入消元法 步骤： ① 变形：选取一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示； ② 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； ③ 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； ④ 回代：把求得的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值； ⑤ 写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解。 适用场景：方程组中有未知数系数为，或某一方程容易变形的题型。 （2）加减消元法 步骤： ① 化系数：利用等式性质，给两个方程同乘适当的数，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； ② 加减消元：系数相反则两式相加，系数相等则两式相减，消去一个未知数，得到一元一次方程； ③ 求解、回代、写解：同代入消元法。 适用场景：两个方程中同一未知数的系数成倍数关系，适合加减运算的题型。 （3）整体思想（拓展解法） 部分题型无需单独求出，可整体求、、等代数式的值，简化计算。 3. 三元一次方程组（拓展考点） 定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组。 解法思路：依旧使用消元法，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再按照二元一次方程组的解法求解。 4. 二元一次方程组的实际应用（期末重难点） （1）列方程组解应用题通用步骤 ①审：审题，找出题目中的已知量、未知量，梳理两组等量关系； ②设：设未知数（一般直接设，复杂题型可间接设）； ③列：根据两组等量关系，列出二元一次方程组； ④解：解方程组，求出未知数的值； ⑤验：检验解是否符合方程、是否符合实际生活意义； ⑥答：规范作答，写出完整答案。 （2）常见应用题题型及等量关系 ①分配问题：物资分配、人员分配，根据 “总数、差值” 列等式； ②古代数学问题（《算法统宗》《孙子算经》等）：读懂古文，翻译出数量关系； ③行程问题：路程 = 速度 × 时间，相遇问题：路程和 = 总路程； ④几何图形问题：利用图形边长、周长、面积的数量关系列方程； ⑤方案问题：求整数解，结合实际筛选可行方案。 5. 期末复习总结归纳（考前速记卡） 概念速记：二元一次方程，两未知、次数 1、整式方程。 解法口诀：代入消元看系数，系数为 1 优先用；加减消元找倍数，同倍加减消一元。 解的特征：单个二元一次方程无数解，方程组取公共解。 应用题技巧：找两组独立等量关系，一题列两个方程。 避坑红线： ￮ 判断二元一次方程时，忽略 “整式方程”，误认分式方程； ￮ 加减消元时，漏乘方程中常数项； ￮ 应用题求解后，忘记检验解的实际意义（人数、长度等不能为负数、小数）； ￮ 求整数解时，遗漏限制条件。 二、高频考点 + 典例 考点 1：二元一次方程（组）的概念（基础选择、填空） 典例 1 下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 典例 2 已知关于x，y的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D． 考点 2：二元一次方程（组）的解（基础必考） 典例 1 已知是二元一次方程的解，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 典例 2 二元一次方程有______个非负整数解． 考点 3：解二元一次方程组（计算核心，解答题主力） 典例 1 利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 典例 2 由二元一次方程可以得到用表示的式子为______． 典例 3 阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程组的方法是消元法，即将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解． 我们也知道二元一次方程的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程的正整数解的过程： 由，得． ∵，均为正整数，∴，． ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数． 又∵，∴． 将代入，得， ∴的正整数解为． (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为元，钢笔的单价为元，则有哪几种购买方案？ (3)试求方程组的正整数解； (4)若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 考点 4：实际问题与二元一次方程组（应用题重难点） 典例 1 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 典例 2 成渝路内江至成都段全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇，小汽车比客车多行驶20千米．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是（ ） A．B．C．D． 典例 3 把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管，如果不造成浪费，那么共有种不同的截法（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 考点 5：三元一次方程组（拓展选择、计算） 典例 有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元． A．25 B．100 C．50 D．125 三、期末高频易错点 易错点 1：判断二元一次方程概念出错 • 典例：判断是否为二元一次方程 • 错解：是二元一次方程 • 正解：不是二元一次方程 • 原因：该方程分母含有未知数，属于分式方程，二元一次方程必须是整式方程。 易错点 2：求未知数次数时计算失误 • 典例：方程是二元一次方程，求 • 错解： • 正解： • 原因：含未知数的项次数为 1，需列等式，简单计算出错。 易错点 3：加减消元漏乘常数项 • 典例：解，①消元 • 错解： • 正解： • 原因：等式变形时，方程每一项都要同乘数字，包含右侧常数项，极易遗漏。 易错点 4：二元一次方程整数解漏解、多解 • 典例：求的非负整数解 • 错解：只算出 2 组解 • 正解：共 4 组解 • 原因：忽略（未知数可取 0），对 “非负整数” 概念理解不全。 易错点 5：应用题等量关系翻译错误 • 典例：绳索对折后量竿，比竿短 5 尺，列等式 • 错解： • 正解： • 原因：对折绳索，长度变为原来的，无法正确转化生活语言为数学等式。 易错点 6：方程组解的概念混淆 • 典例：仅满足方程组其中一个解，就判定为方程组的解 下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． • 错解：代入一个方程成立，即为方程组的解 • 正解：必须同时满足所有方程，才是方程组的公共解 解：，①+②得：，即，把代入①得：， 则方程组的解为，故答案选B． • 原因：混淆 “单个方程的解” 和 “方程组的解” 两个概念。 易错点 7：代入消元时代入错误方程 • 典例：用①变形后的式子，再次代入①进行计算 解方程组： • 错解：循环代入同一方程，无法求解 • 正解：变形后的式子必须代入另一个方程消元 解：， 整理方程②得：4x-5y=-7③， ①－③得：-y+5y=12， 整理解得：有，把有代入①得：4x-3=5，解得：x=2， ∴原方程组的解为：． • 原因：不理解消元的核心目的，操作步骤混乱。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 二元一次方程与二元一次方程组基础 （1）二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做二元一次方程。 标准形式：（，为常数）。 核心条件（三者缺一不可）： ① 整式方程（分母、根号内不含未知数）；②一共含有两个不同未知数；③含未知数的项的次数均为1。 （2）二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 性质：一般情况下，一个二元一次方程有无数组解；若限定整数解、非负整数解，则解的个数有限。 （3）二元一次方程组 定义：由两个或两个以上的二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。 二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，即同时满足方程组中每一个方程的一对未知数的值。方程组的解一般写成的形式。 2. 解二元一次方程组（核心考点：消元思想） 基本思路：消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，分为代入消元法和加减消元法两大类。 （1）代入消元法 步骤： ① 变形：选取一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示； ② 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； ③ 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； ④ 回代：把求得的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值； ⑤ 写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解。 适用场景：方程组中有未知数系数为，或某一方程容易变形的题型。 （2）加减消元法 步骤： ① 化系数：利用等式性质，给两个方程同乘适当的数，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； ② 加减消元：系数相反则两式相加，系数相等则两式相减，消去一个未知数，得到一元一次方程； ③ 求解、回代、写解：同代入消元法。 适用场景：两个方程中同一未知数的系数成倍数关系，适合加减运算的题型。 （3）整体思想（拓展解法） 部分题型无需单独求出，可整体求、、等代数式的值，简化计算。 3. 三元一次方程组（拓展考点） 定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组。 解法思路：依旧使用消元法，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再按照二元一次方程组的解法求解。 4. 二元一次方程组的实际应用（期末重难点） （1）列方程组解应用题通用步骤 ①审：审题，找出题目中的已知量、未知量，梳理两组等量关系； ②设：设未知数（一般直接设，复杂题型可间接设）； ③列：根据两组等量关系，列出二元一次方程组； ④解：解方程组，求出未知数的值； ⑤验：检验解是否符合方程、是否符合实际生活意义； ⑥答：规范作答，写出完整答案。 （2）常见应用题题型及等量关系 ①分配问题：物资分配、人员分配，根据 “总数、差值” 列等式； ②古代数学问题（《算法统宗》《孙子算经》等）：读懂古文，翻译出数量关系； ③行程问题：路程 = 速度 × 时间，相遇问题：路程和 = 总路程； ④几何图形问题：利用图形边长、周长、面积的数量关系列方程； ⑤方案问题：求整数解，结合实际筛选可行方案。 5. 期末复习总结归纳（考前速记卡） 概念速记：二元一次方程，两未知、次数 1、整式方程。 解法口诀：代入消元看系数，系数为 1 优先用；加减消元找倍数，同倍加减消一元。 解的特征：单个二元一次方程无数解，方程组取公共解。 应用题技巧：找两组独立等量关系，一题列两个方程。 避坑红线： ￮ 判断二元一次方程时，忽略 “整式方程”，误认分式方程； ￮ 加减消元时，漏乘方程中常数项； ￮ 应用题求解后，忘记检验解的实际意义（人数、长度等不能为负数、小数）； ￮ 求整数解时，遗漏限制条件。 二、高频考点 + 典例 考点 1：二元一次方程（组）的概念（基础选择、填空） 典例 1 下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、表达式，无等号，不是方程，故本选项不符合题意； B、方程含两个未知数、，次数均为1，且为整式方程，是二元一次方程，故本选项符合题意； C、方程含三个未知数、、，属于三元一次方程，故本选项不符合题意； D、方程选项含分式，非整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：B． 【易错点拨】忽略 “整式方程”“两个未知数” 两个核心条件。 典例 2 已知关于x，y的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【详解】∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴，，解得：，， 将，，代入得，故选：D． 考点 2：二元一次方程（组）的解（基础必考） 典例 1 已知是二元一次方程的解，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴，∴，∴，故选：C． 典例 2 二元一次方程有______个非负整数解． 【答案】4 【详解】解：∵，∴， ∵方程的解为非负整数，∴，∴有4组非负整数解．故答案为：4． 考点 3：解二元一次方程组（计算核心，解答题主力） 典例 1 利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】A 【详解】解：， 要消去x，可以将或，故选项A正确，选项B错误； 要消去y，可以将，故选项C，D错误．故选：A 典例 2 由二元一次方程可以得到用表示的式子为______． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：． 典例 3 阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程组的方法是消元法，即将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解． 我们也知道二元一次方程的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程的正整数解的过程： 由，得． ∵，均为正整数，∴，． ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数． 又∵，∴． 将代入，得， ∴的正整数解为． (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为元，钢笔的单价为元，则有哪几种购买方案？ (3)试求方程组的正整数解； (4)若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【详解】（1）解：由，得， ∵，均为正整数，∴，∴， ∵为正整数，即为正整数，∴， 将代入，得， ∴的正整数解为，故答案为：； （2）解：购买了笔记本本，钢笔支， ∴，得， ∵，均为正整数，∴，∴， ∵为正整数，即为正整数，∴为的倍数， 又∵，∴或，∴或， ∴有两种购买方案：方案一：购买笔记本本，钢笔支；方案二：购买笔记本本，钢笔支； （3）解：，得，， 同理得或， 代入①中，得（舍去）或， ∴方程组的正整数解为； （4）解：，得，， ∴， 把代入得，， ∵解是正整数， ∴或或或，解得：（舍去）或或或， ∴整数的值为，，． 考点 4：实际问题与二元一次方程组（应用题重难点） 典例 1 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺，根据题意得，，故选：． 典例 2 成渝路内江至成都段全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇，小汽车比客车多行驶20千米．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：根据等量关系：“相遇时两车走的路程之和为170千米”，“ 小汽车比客车多行驶20千米”， 可得出方程组：，故选：D． 典例 3 把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管，如果不造成浪费，那么共有种不同的截法（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解；截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费， 设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，由题意得，2x+y＝7， 因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：，，，则有三种不同的截法．故选D． 考点 5：三元一次方程组（拓展选择、计算） 典例 有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元． A．25 B．100 C．50 D．125 【答案】C 【详解】解：设甲、乙、丙的单价分别为元、元、元， 根据题意：得，把这两个方程相加得：， ，购甲、乙、丙各一件共需元，故选：C． 三、期末高频易错点 易错点 1：判断二元一次方程概念出错 • 典例：判断是否为二元一次方程 • 错解：是二元一次方程 • 正解：不是二元一次方程 • 原因：该方程分母含有未知数，属于分式方程，二元一次方程必须是整式方程。 易错点 2：求未知数次数时计算失误 • 典例：方程是二元一次方程，求 • 错解： • 正解： • 原因：含未知数的项次数为 1，需列等式，简单计算出错。 易错点 3：加减消元漏乘常数项 • 典例：解，①消元 • 错解： • 正解： • 原因：等式变形时，方程每一项都要同乘数字，包含右侧常数项，极易遗漏。 易错点 4：二元一次方程整数解漏解、多解 • 典例：求的非负整数解 • 错解：只算出 2 组解 • 正解：共 4 组解 • 原因：忽略（未知数可取 0），对 “非负整数” 概念理解不全。 易错点 5：应用题等量关系翻译错误 • 典例：绳索对折后量竿，比竿短 5 尺，列等式 • 错解： • 正解： • 原因：对折绳索，长度变为原来的，无法正确转化生活语言为数学等式。 易错点 6：方程组解的概念混淆 • 典例：仅满足方程组其中一个解，就判定为方程组的解 下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． • 错解：代入一个方程成立，即为方程组的解 • 正解：必须同时满足所有方程，才是方程组的公共解 解：，①+②得：，即，把代入①得：， 则方程组的解为，故答案选B． • 原因：混淆 “单个方程的解” 和 “方程组的解” 两个概念。 易错点 7：代入消元时代入错误方程 • 典例：用①变形后的式子，再次代入①进行计算 解方程组： • 错解：循环代入同一方程，无法求解 • 正解：变形后的式子必须代入另一个方程消元 解：， 整理方程②得：4x-5y=-7③， ①－③得：-y+5y=12， 整理解得：有，把有代入①得：4x-3=5，解得：x=2， ∴原方程组的解为：． • 原因：不理解消元的核心目的，操作步骤混乱。 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十章二元一次方程组知识清单 一、 核心知识总结（必背·期末重点) 1.二元一次方程与二元一次方程组基础 (1)二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 标准形式：ax+by=c(a≠0，b≠0，a、b、c为常数)。 核心条件（三者缺一不可）： ①整式方程（分母、根号内不含未知数）；②一共含有两个不同未知数；③含未知数的项的次数均为1。 (2)二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 性质：一般情况下，一个二元一次方程有无数组解；若限定整数解、非负整数解，则解的个数有限。 (3)二元一次方程组 定义：由两个或两个以上的二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。 二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，即同时满足方程组中每一个方程的一对未知数的值。 方程组的解一般写成二8的形式。 2.解二元一次方程组（核心考点：消元思想) 基本思路：消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，分为代入消元法和加减消元法两大类。 (1)代入消元法 步骤： ①变形：选取一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示： ②代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程： ③求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值： ④回代：把求得的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值： ⑤写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解。 适用场景：方程组中有未知数系数为士1，或某一方程容易变形的题型。 (2)加减消元法 步骤： ①化系数：利用等式性质，给两个方程同乘适当的数，使同一个未知数的系数互为相反数或相等： ②加减消元：系数相反则两式相加，系数相等则两式相减，消去一个未知数，得到一元一次方程： ③求解、回代、写解：同代入消元法。 适用场景：两个方程中同一未知数的系数成倍数关系，适合加减运算的题型。 (3)整体思想（拓展解法） 部分题型无需单独求出x、y,可整体求x+y、x-y、2x+y等代数式的值，简化计算。 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.三元一次方程组（拓展考点） 定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，叫做三元一次方 程组。 解法思路：依旧使用消元法，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再按照二元 一次方程组的解法求解。 4.二元一次方程组的实际应用（期末重难点） (1)列方程组解应用题通用步骤 ①审：审题，找出题目中的已知量、未知量，梳理两组等量关系： ②设：设未知数（一般直接设x、y,复杂题型可间接设）： ③列：根据两组等量关系，列出二元一次方程组： ④解：解方程组，求出未知数的值： ⑤验：检验解是否符合方程、是否符合实际生活意义： ⑥答：规范作答，写出完整答案。 (2)常见应用题题型及等量关系 ①分配问题：物资分配、人员分配，根据“总数、差值”列等式： ②古代数学问题(《算法统宗》《孙子算经》等)：读懂古文，翻译出数量关系： ③行程问题：路程=速度×时间，相遇问题：路程和=总路程； ④几何图形问题：利用图形边长、周长、面积的数量关系列方程； ⑤方案问题：求整数解，结合实际筛选可行方案。 5.期末复习总结归纳（考前速记卡） 概念速记：二元一次方程，两未知、次数1、整式方程。 解法口诀：代入消元看系数，系数为1优先用：加减消元找倍数，同倍加减消一元。 解的特征：单个二元一次方程无数解，方程组取公共解。 应用题技巧：找两组独立等量关系，一题列两个方程。 避坑红线： 。判断二元一次方程时，忽略“整式方程，误认分式方程 。加减消元时，漏乘方程中常数项； 。应用题求解后，忘记检验解的实际意义（人数、长度等不能为负数、小数）； 。求整数解时，遗漏限制条件。 二、高频考点+典例 考点1：二元一次方程（组）的概念（基础选择、填空） 典例1下列方程中，是二元一次方程的是（) 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x+y B.2x+y=1 C.x+y+z=0 D.x+3=5 典例2已知关于x,y的方程是2xa-2-y2+b=1二元一次方程，则ab的值为() A.-2 B.2 C.3 D.-3 考点2：二元一次方程（组）的解（基础必考） x=10 典例1已知 y=20 是二元一次方程ax+2y=100的解，则实数a的值为(） A.2 B.4 C.6 D.8 典例2二元一次方程2x+y=7有 个非负整数解， 考点3：解二元一次方程组（计算核心，解答题主力) 典例1利用加减消元法解方程组2x+5y=-10@ ,下列做法正确的是() 5x-3y=6 ② A.要消去x,可以将①×(-5)+②×2B.要消去x,可以将①×2+②×(-5) C.要消去y,可以将①×5+②×3 D.要消去y,可以将①×5+②×2 典例2由二元一次方程3x-y=1可以得到用x表示y的式子为_ 典例3阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程生十)二一名的方法是消元法。即将它化为一元一次方程来解，可求得方程 到十y二16有唯一样。 我们也知道二元一次方程2x+3y=12的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数 解.下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整数解的过程： 由2x+3y=12,得y=22=4-号x. x,y均为正整数， 42x>0,0<x<6. 3 “y为正整数，即4-x为正整数， .x为3的倍数 又0<x<6,.x=3. 将x=3代入y=4-x,得y=4-号×3=2， 六2x+3列=12的正整数解为化3 (1)请你写出方程3x+y=5的正整数解： (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3 元，钢笔的单价为5元，则有哪几种购买方案？ (3)试求方程组2x+y+z-10 3x+y-z=12的正整数解： 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④若关，)的二元一次方起里到2+动=1 的解是正整数，求整数k的值. 考点4：实际问题与二元一次方程组（应用题重难点） 典例1我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿， 却比竿子短一托（一托按照5尺计算）·”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿 长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根 据题意可列方程组为() x=y+5 (X+5=y A. x-5-号 B.x=y+5 1x-5=2y x-5= D.{x+5=y 12x-5=y 典例2成渝路内江至成都段全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过 1小时10分钟相遇，小汽车比客车多行驶20千米.设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小 时，则下列方程组正确的是() 77 x+y=20 x-y=20 x+y=20 x+二y=170 6 6 6x+6y=170B. A.7.7 x+6y=170C 7 7 1 6 6 6 x-6y=170D. 7 77 6 6 66y=20 典例3把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，如果不造成浪费，那么共有种不同的截法 () A.6 B.5 C.4 D.3 考点5：三元一次方程组（拓展选择、计算） 典例有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共 需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需()元. A.25 B.100 C.50 D.125 三、期末高频易错点 易错点1：判断二元一次方程概念出错 。 典例：判断x+号=5是否为二元一次方程 。 错解：是二元一次方程 ·正解：不是二元一次方程 ·原因：该方程分母含有未知数，属于分式方程，二元一次方程必须是整式方程。 易错点2：求未知数次数时计算失误 ·典例：方程2xa-2-y2+b=1是二元一次方程，求a、b 。 错解：a=2,b=2 正解：a=3,b=-1 。 原因：含未知数的项次数为1，需列等式a一2=1,2+b=1,简单计算出错。 易错点3：加减消元漏乘常数项 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典例：59y=60,0x(-列消元 。 错解：-10x-25y=-10 ·正解：-10x-25y=50 ·原因：等式变形时，方程每一项都要同乘数字，包含右侧常数项，极易遗漏。 易错点4：二元一次方程整数解漏解、多解 ·典例：求2x+y=7的非负整数解 ·错解：只算出2组解 ·正解：共4组解 ·原因：忽略x=0(未知数可取0)，对“非负整数”概念理解不全。 易错点5：应用题等量关系翻译错误 ·典例：绳索对折后量竿，比竿短5尺，列等式 ·错解：x-5=2y ·正解：x-5=之 ·原因：对折绳索，长度变为原来的，无法正确转化生活语言为数学等式。 易错点6：方程组解的概念混淆 ·典例：仅满足方程组其中一个解，就判定为方程组的解 下列各组数中，是一元一次方程细低以+y二的解的是() A8=9 B.g=日 c{- D. x=1 y=1 ·错解：代入一个方程成立，即为方程组的解 ·正解：必须同时满足所有方程，才是方程组的公共解 解： x+y=2① 2x-y=4②' ①+②得：3x=6,即x=2,把x=2代入①得：y=0, 则方程组的解为妮二日，故答案选B ·原因：混淆“单个方程的解”和“方程组的解”两个概念。 易错点7：代入消元时代入错误方程 ·典例：用①变形后的式子，再次代入①进行计算 4x-y=5 解方程组： 5y-2=4x+5 错解：循环代入同一方程，无法求解 。 正解：变形后的式子必须代入另一个方程消元 4x-y=5① 解： 5y-2=4x+5② 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理方程②得：4x-5y=-7③ ①-③得：-y+5y=12 整理解得：有，把有代入①得：4x-3=5,解得：x=2, [x=2 ∴，原方程组的解为： y=3 。 原因：不理解消元的核心目的，操作步骤混乱。