第十一章 不等式与不等式组 期末复习高频考点核心知识清单-七年级数学新教材人教版

第十一章 不等式与不等式组 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 不等式相关基础概念 （1）不等式定义 用不等号（、、、、）连接起来的式子，叫做不等式。常见不等号含义： ：大于；：小于；：大于或等于（不小于）；：小于或等于（不大于）；：不等于。 （2）一元一次不等式 定义：只含有一个未知数，并且含未知数的式子是整式，未知数的最高次数为 1的不等式。 三大判定条件（缺一不可）：① 仅 1 个未知数；② 未知数次数为 1；③ 整式不等式。 标准形式：、、、（）。 （3）不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值。一个不等式通常有无数个解。 不等式的解集：一个不等式所有解的集合。解集是范围，解是范围内的具体数值。 解不等式：求不等式解集的过程。 （4）一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分。 解不等式组：先分别解组内每个不等式，再找公共部分。 2. 不等式的基本性质（期末核心、易混点） 性质序号 文字表述 数学语言 关键注意事项 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若，则 加减运算，不等号永远不变向 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若，则， 乘除正数，不等号不变向 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变 若，则， 乘除负数，一定要变号（高频易错点） 补充拓展： ①不等式左右互换，不等号方向改变，如； ②若，无法直接推出，需讨论的正负。 3. 一元一次不等式解法（步骤同一元一次方程，仅最后一步有区别） 完整解题步骤： ①去分母：不等式两边同乘各分母最小公倍数（若乘数为负数，不等号变向）； ②去括号：遵循去括号法则，注意符号； ③移项：把含未知数项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号； ④合并同类项：化为最简形式（或）； ⑤系数化为 1：两边同除以未知数系数。系数为负时，不等号必须改变方向。 4. 一元一次不等式组解集四种情况（同未知数、两大取大 / 两小取小） （1）设两个不等式解集为、（），分四类： ①同大取大：，解集为； ②同小取小：，解集为； ③大小小大中间找：，解集为； ④大大小小找不到：（），无解。 （2）数轴表示解集规则 ①空心圆圈：表示不包含该点（对应、）； ②实心圆点：表示包含该点（对应、）； ③折线方向：大于向右画，小于向左画；多个解集取重叠区域。 5. 含参不等式（组） ①已知解集反求参数：根据不等式性质、解集范围列等式 / 不等式求解参数； ②已知整数解个数求参数：先解出不等式（组）解集，再结合整数解个数，确定参数取值边界（重点判断能否取等号）； ③不等式与方程（组）综合：先解方程（组），将解代入不等式，转化为含参数不等式求解。 6. 一元一次不等式（组）的实际应用 （1）解题通用六步骤 ①审：审题，找出题目中的不等关系（关键词：至少、至多、不超过、不少于、大于、小于等）； ②设：设未知数（一般直接设，实际问题未知数多为正整数）； ③列：根据不等关系，列出一元一次不等式（组）； ④解：求解不等式（组）； ⑤验：结合实际意义，筛选符合条件的解（人数、数量、长度等为正整数）； ⑥答：规范书写答案。 （2）常见关键词对应不等号 ①至少、不低于、不少于 ②至多、不高于、不超过 ③大于、多于 ；小于、少于 （3）常考题型 方案设计问题、利润最值问题、工程问题、行程问题、价格采购问题，核心是挖掘题干中的不等关系。 7. 期末复习总结归纳（考前速记卡） ①性质口诀：加减不变向，乘正不变向，乘负必变向。 ②解不等式步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化 1（最后一步警惕变号）。 ③不等式组解集：同大取大，同小取小，大小中间找，大大小小无解了。 ④数轴识图：空心不含点，实心含点，右大左小。 ⑤避坑红线： ￮ 系数化为 1 时，系数为负数忘记改变不等号方向（最高频错误）； ￮ 数轴表示解集时，空心、实心圆点混用； ￮ 含参题型中，整数解边界漏判等号； ￮ 实际应用中，忽略未知数为正整数的隐含条件。 二、高频考点 + 典例 考点 1：一元一次不等式的概念及解（基础选择、填空） 典例 1 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 典例 2 下列各数是不等式的一个解的是（    ） A．0 B． C． D．1 考点 2：不等式的性质（必考基础题） 典例 1 已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 典例 2 下列变形错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点 3：解一元一次不等式（组）（计算核心，解答题主力） 典例 1 不等式2x-4＞0的解集是_______ 典例 2 下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成填空． 解不等式： 解：去分母，得，…………第一步 去括号，得，…………………第二步 移项，合并同类项，得，……………第三步 两边都除以，得，……………………第四步 所以，原不等式的解集为． (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是______； (2)上述求解过程中，从第______步发生错误，具体错误是______； (3)直接写出该不等式的解集：______． 典例 3 不等式组的整数解是____________． 典例 4 解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1)；(2)． 考点 4：一元一次不等式（组）的应用（期末重难点，解答压轴） 典例 1 限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 典例 2 一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 典例 3 为提高居民的垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶． 素材一：购买4个A型号新型垃圾桶和2个B型号新型垃圾桶共需440元；购买3个A型号新型垃圾桶和4个B型号新型垃圾桶共需580元． 素材二：该社区要购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，总费用不超过15320元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的． 请完成下列任务： 任务一：求A，B两种型号的新型垃圾桶每个的售价； 任务二：该社区有几种购买方案？ 考点 5：含参不等式（组）（难点、拔高题型） 典例 1 若不等式组有解，则m的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 典例 2 关于的不等式组仅有3个整数解，那么的取值范围为（   ） A． B． C． D． 典例 3 如果关于x的不等式的解集为，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、期末高频易错点 易错点 1：一元一次不等式概念判断遗漏条件 • 典例：判断为一元一次不等式，求 • 错解：由，得 • 正解：且，最终 • 原因：只关注未知数次数为 1，忽略未知数系数不能为 0的核心条件。 易错点 2：系数化为 1 时，负数未改变不等号方向 • 典例：解不等式 • 错解：两边除以，得 • 正解：两边除以，得 • 原因：遗忘不等式性质 3，不等式两边同除以负数，不等号必须反向（本章第一高频错误）。 易错点 3：混淆不等式 “解” 与 “解集” • 典例：认为不等式的一个解就是全部解集 • 错解：找到一个符合的数，当作完整解集 • 正解：单个数值是解，所有解组成的范围才是解集 • 原因：概念理解模糊，区分不清个体与集合。 易错点 4：不等式组数轴表示空心、实心混用 • 典例：将在数轴上用空心圆圈表示 • 错解：空心圆圈 • 正解：实心圆点 • 原因：记忆错误；包含端点，用实心圆；不包含端点，用空心圆。 易错点 5：含参题型整数解边界判断错误（等号取舍） • 典例：不等式组解集，有 3 个整数解，求范围 • 错解： • 正解： • 原因：无法精准判断参数边界能否取等号，是含参题型的核心难点。 易错点 6：不等式性质滥用（忽略系数正负） • 典例：由推出 • 错解：变形成立 • 正解：变形错误 • 原因：未讨论字母的正负，为负数时不等号需要变向。 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十一章不等式与不等式组知识清单 一、核心知识总结（必背·期末重点） 1.不等式相关基础概念 (1)不等式定义 用不等号(>、<、≥、≤、≠)连接起来的式子，叫做不等式。常见不等号含义： >:大于：<：小于；≥：大于或等于（不小于）：≤：小于或等于（不大于）：≠：不等于。 (2)一元一次不等式 定义：只含有一个未知数，并且含未知数的式子是整式，未知数的最高次数为1的不等式。 三大判定条件（缺一不可）：①仅1个未知数；②未知数次数为1；③整式不等式。 标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0(a≠0)。 (3)不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值。一个不等式通常有无数个解。 不等式的解集：一个不等式所有解的集合。解集是范围，解是范围内的具体数值。 解不等式：求不等式解集的过程。 (4)一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分。 解不等式组：先分别解组内每个不等式，再找公共部分。 2.不等式的基本性质（期末核心、易混点） 性质序号 文字表述 数学语言 关键注意事项 性质1 不等式两边加（或减）同一个数 若a>b,则a士c> 加减运算，不等号永远不 (或式子)，不等号方向不变 b士c 变向 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个 若a>b,c>0,则 乘除正数，不等号不变向 正数，不等号方向不变 ac>bc, c 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个 若a>b,c<0,则 乘除负数，一定要变号 负数，不等号方向必须改变 ac<bc,a<b (高频易错点) 补充拓展： ①不等式左右互换，不等号方向改变，如a>b台b<a: ②若ac>bc,无法直接推出a>b,需讨论c的正负。 3.一元一次不等式解法（步骤同一元一次方程，仅最后一步有区别） 完整解题步骤： ①去分母：不等式两边同乘各分母最小公倍数（若乘数为负数，不等号变向）： 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②去括号：遵循去括号法则，注意符号： ③移项：把含未知数项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号； ④合并同类项：化为最简形式ax>b(或ax<b): ⑤系数化为1：两边同除以未知数系数a。系数为负时，不等号必须改变方向。 4.一元一次不等式组解集四种情况（同未知数、两大取大/两小取小) (1)设两个不等式解集为x>a、x>b(a>b),分四类： ①同大取大：>8解朱为x>a: ②同小取小： x<b ,解集为x<b; ®大小小大中间找：5 ,解集为b<x<a: @大大小小找不到：6(a>b),无解。 (2)数轴表示解集规则 ①空心圆圈：表示不包含该点（对应>、<）： ②实心圆点：表示包含该点（对应≥、≤）； ③折线方向：大于向右画，小于向左画；多个解集取重叠区域。 5.含参不等式（组） ①己知解集反求参数：根据不等式性质、解集范围列等式/不等式求解参数： ②已知整数解个数求参数：先解出不等式（组）解集，再结合整数解个数，确定参数取值边界（重点判 断能否取等号)： ③不等式与方程（组）综合：先解方程（组），将解代入不等式，转化为含参数不等式求解。 6.一元一次不等式（组）的实际应用 (1)解题通用六步骤 ①审：审题，找出题目中的不等关系（关键词：至少、至多、不超过、不少于、大于、小于等）： ②设：设未知数（一般直接设，实际问题未知数多为正整数）： ③列：根据不等关系，列出一元一次不等式（组）： ④解：求解不等式（组）： ⑤验：结合实际意义，筛选符合条件的解（人数、数量、长度等为正整数）； ⑥答：规范书写答案。 (2)常见关键词对应不等号 ①至少、不低于、不少于→≥ ②至多、不高于、不超过→≤ ③大于、多于→>：小于、少于→< (3)常考题型 方案设计问题、利润最值问题、工程问题、行程问题、价格采购问题，核心是挖掘题干中的不等关系。 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.期末复习总结归纳（考前速记卡） ①性质口诀：加减不变向，乘正不变向，乘负必变向。 ②解不等式步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化1（最后一步警惕变号）。 ③不等式组解集：同大取大，同小取小，大小中间找，大大小小无解了。 ④数轴识图：空心不含点，实心含点，右大左小。 ⑤避坑红线： 。系数化为1时，系数为负数忘记改变不等号方向（最高频错误)： 。数轴表示解集时，空心、实心圆点混用： 。含参题型中，整数解边界漏判等号； 。实际应用中，忽略未知数为正整数的隐含条件。 二、高频考点+典例 考点1：一元一次不等式的概念及解（基础选择、填空) 典例1已知(m+4)xlm-3+6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 典例2下列各数是不等式2+=2<1的一个解的是() A.0 B.-1 C.-2 D.1 考点2：不等式的性质（必考基础题） 典例1已知a<b,则下列不等式错误的是() A.a-7<b-7B.-a<-b C. D.1-3a>1-3b 典例2下列变形错误的是() A.若a>b,则a+5>b+5 B.若a>b,则a-3>b-3 C.若a>b,则-2a<-2b D.若ac>bc,则a>b 考点3：解一元一次不等式（组）（计算核心，解答题主力） 典例1不等式2x4>0的解集是」 典例2下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成填空. 解不等式：2>x+2 3 解：去分母，得x-2>3(x+2),…第一步 去括号，得x-2>3x+6,…第二步 移项，合并同类项，得-2x>8, 第三步 两边都除以-2，得x>-4, 第四步 所以，原不等式的解集为x>一4. (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是」 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)上述求解过程中，从第步发生错误，具体错误是 (3)直接写出该不等式的解集： 典例3不等式组吗x9的整数解是 典例4解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来， 3x+4≥5(x-2) (5x≤3x+2:(21-号2<+· 2 3 考点4：一元一次不等式（组）的应用（期末重难点，解答压轴) 典例1限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限 区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求，如图所示，能通过该路段的车辆高度x(单位：米) 的范围可表示为() A.X>3 B.x=3 C.x<3 D.0<x≤3 典例2一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前 2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为() A.65 B.70 C.75 D.80 典例3为提高居民的垃圾分类意识，某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾桶， 素材一：购买4个A型号新型垃圾桶和2个B型号新型垃圾桶共需440元；购买3个A型号新 型垃圾桶和4个B型号新型垃圾桶共需580元. 素材二：该社区要购买A,B两种型号的新型垃圾桶共200个，总费用不超过15320元，且B 型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的 2-3 请完成下列任务： 任务一：求A,B两种型号的新型垃圾桶每个的售价： 任务二：该社区有几种购买方案？ 考点5：含参不等式（组）（难点、拔高题型） 典例1者不等式组x弧°有解，则m的值可以是（) A.4 B.3 C.2 D.1 爽例2关于的不等式2x3。)仅有3个整数解，那么m的取位花用为《) A.m≥-1 B.m<1 C.0≤m<1 D.0<m≤1 典例3如果关于x的不等式(m一2)x<m-2的解集为x>1,那么m的取值范围是() A.m<0 B.m>0 C.m<2 D.m>2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、期末高频易错点 易错点1：一元一次不等式概念判断遗漏条件 ·典例：判断(m+4xlm-3+6>0为一元一次不等式，求m ·错解：由m-3=1,得m=±4 ·正解：1m-3=1且m+4≠0，最终m=4 ·原因：只关注未知数次数为1，忽略未知数系数不能为0的核心条件。 易错点2：系数化为1时，负数未改变不等号方向 ·典例：解不等式-2x>8 ·错解：两边除以-2，得x>-4 ·正解：两边除以-2，得x<-4 ·原因：遗忘不等式性质3，不等式两边同除以负数，不等号必须反向（本章第一高频错误）。 易错点3：混淆不等式“解”与“解集” ·典例：认为不等式的一个解就是全部解集 ·错解：找到一个符合的数，当作完整解集 ·正解：单个数值是解，所有解组成的范围才是解集 ·原因：概念理解模糊，区分不清个体与集合。 易错点4：不等式组数轴表示空心、实心混用 ·典例：将x≥1在数轴上用空心圆圈表示 ·错解：空心圆圈 ·正解：实心圆点 ·原因：记忆错误：≥、≤包含端点，用实心圆；>、<不包含端点，用空心圆。 易错点5：含参题型整数解边界判断错误（等号取舍） ·典例：不等式组解集m<x≤3，有3个整数解，求m范围 ·错解：0<m<1 ·正解：0≤m<1 ·原因：无法精准判断参数边界能否取等号，是含参题型的核心难点。 易错点6：不等式性质滥用（忽略系数正负) ·典例：由ac>bc推出a>b ·错解：变形成立 ·正解：变形错误 ·原因：未讨论字母c的正负，c为负数时不等号需要变向。 第十一章 不等式与不等式组 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 不等式相关基础概念 （1）不等式定义 用不等号（、、、、）连接起来的式子，叫做不等式。常见不等号含义： ：大于；：小于；：大于或等于（不小于）；：小于或等于（不大于）；：不等于。 （2）一元一次不等式 定义：只含有一个未知数，并且含未知数的式子是整式，未知数的最高次数为 1的不等式。 三大判定条件（缺一不可）：① 仅 1 个未知数；② 未知数次数为 1；③ 整式不等式。 标准形式：、、、（）。 （3）不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值。一个不等式通常有无数个解。 不等式的解集：一个不等式所有解的集合。解集是范围，解是范围内的具体数值。 解不等式：求不等式解集的过程。 （4）一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分。 解不等式组：先分别解组内每个不等式，再找公共部分。 2. 不等式的基本性质（期末核心、易混点） 性质序号 文字表述 数学语言 关键注意事项 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若，则 加减运算，不等号永远不变向 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若，则， 乘除正数，不等号不变向 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变 若，则， 乘除负数，一定要变号（高频易错点） 补充拓展： ①不等式左右互换，不等号方向改变，如； ②若，无法直接推出，需讨论的正负。 3. 一元一次不等式解法（步骤同一元一次方程，仅最后一步有区别） 完整解题步骤： ① 去分母：不等式两边同乘各分母最小公倍数（若乘数为负数，不等号变向）； ②去括号：遵循去括号法则，注意符号； ③移项：把含未知数项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号； ④合并同类项：化为最简形式（或）； ⑤系数化为 1：两边同除以未知数系数。系数为负时，不等号必须改变方向。 4. 一元一次不等式组解集四种情况（同未知数、两大取大 / 两小取小） （1）设两个不等式解集为、（），分四类： ①同大取大：，解集为； ②同小取小：，解集为； ③大小小大中间找：，解集为； ④大大小小找不到：（），无解。 （2）数轴表示解集规则 ①空心圆圈：表示不包含该点（对应、）； ②实心圆点：表示包含该点（对应、）； ③折线方向：大于向右画，小于向左画；多个解集取重叠区域。 5. 含参不等式（组） ①已知解集反求参数：根据不等式性质、解集范围列等式 / 不等式求解参数； ②已知整数解个数求参数：先解出不等式（组）解集，再结合整数解个数，确定参数取值边界（重点判断能否取等号）； ③不等式与方程（组）综合：先解方程（组），将解代入不等式，转化为含参数不等式求解。 6. 一元一次不等式（组）的实际应用 （1）解题通用六步骤 ①审：审题，找出题目中的不等关系（关键词：至少、至多、不超过、不少于、大于、小于等）； ②设：设未知数（一般直接设，实际问题未知数多为正整数）； ③列：根据不等关系，列出一元一次不等式（组）； ④解：求解不等式（组）； ⑤验：结合实际意义，筛选符合条件的解（人数、数量、长度等为正整数）； ⑥答：规范书写答案。 （2）常见关键词对应不等号 ①至少、不低于、不少于 ②至多、不高于、不超过 ③大于、多于 ；小于、少于 （3）常考题型 方案设计问题、利润最值问题、工程问题、行程问题、价格采购问题，核心是挖掘题干中的不等关系。 7. 期末复习总结归纳（考前速记卡） ①性质口诀：加减不变向，乘正不变向，乘负必变向。 ②解不等式步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化 1（最后一步警惕变号）。 ③不等式组解集：同大取大，同小取小，大小中间找，大大小小无解了。 ④数轴识图：空心不含点，实心含点，右大左小。 ⑤避坑红线： ￮ 系数化为 1 时，系数为负数忘记改变不等号方向（最高频错误）； ￮ 数轴表示解集时，空心、实心圆点混用； ￮ 含参题型中，整数解边界漏判等号； ￮ 实际应用中，忽略未知数为正整数的隐含条件。 二、高频考点 + 典例 考点 1：一元一次不等式的概念及解（基础选择、填空） 典例 1 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且，∴．故答案为：4． 【易错点拨】只考虑次数，忽略系数不为 0的限制条件。 典例 2 下列各数是不等式的一个解的是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：，，，则是不等式的一个解．故选：C． 考点 2：不等式的性质（必考基础题） 典例 1 已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，，，， ∴A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求；故选：B． 典例 2 下列变形错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、若，则，本选项不符合题意； B、若，则，本选项不符合题意； C、若，则，本选项不符合题意； D、若，当时，则，原变形错误，本选项符合题意．故选：D． 考点 3：解一元一次不等式（组）（计算核心，解答题主力） 典例 1 不等式2x-4＞0的解集是_______ 【答案】x＞2 【详解】解：∵2x-4＞0，∴2x＞4，∴x＞2．故答案为：x＞2. 典例 2 下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成填空． 解不等式： 解：去分母，得，…………第一步 去括号，得，…………………第二步 移项，合并同类项，得，……………第三步 两边都除以，得，……………………第四步 所以，原不等式的解集为． (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是______； (2)上述求解过程中，从第______步发生错误，具体错误是______； (3)直接写出该不等式的解集：______． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是不等式的性质2：在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变； 故答案为：不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：根据题意：上述求解过程中，从第四步发生错误，具体错误是在不等式两边同时乘（除以）同一个负数，不等号的方向改变，即两边都除以时，不等号的方向没有改变； 故答案为：四，两边都除以时，不等号的方向没有改变； （3）解：解不等式， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得， 所以，原不等式的解集为． 故答案为：． 典例 3 不等式组的整数解是____________． 【答案】 【详解】解：解不等式得；解不等式得， 不等式组的解集为 在这个范围内的整数只有， 不等式组的整数解是，故答案为： ． 典例 4 解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1)；(2)． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得．该解集在数轴上表示为： （2）解： 解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为，该解集在数轴上表示为： 考点 4：一元一次不等式（组）的应用（期末重难点，解答压轴） 典例 1 限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图形可得能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为，故选：D． 典例 2 一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】D 【详解】解：设以后几天平均每天至少完成的土方数为x方，根据题意，得，解得．故选：D． 典例 3 为提高居民的垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶． 素材一：购买4个A型号新型垃圾桶和2个B型号新型垃圾桶共需440元；购买3个A型号新型垃圾桶和4个B型号新型垃圾桶共需580元． 素材二：该社区要购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，总费用不超过15320元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的． 请完成下列任务： 任务一：求A，B两种型号的新型垃圾桶每个的售价； 任务二：该社区有几种购买方案？ 【详解】解：任务一：设A种型号的新型垃圾桶的单价为x元，B种型号的新型垃圾桶的单价为y元，根据题意得：，解得：， ∴A种型号的新型垃圾桶的单价为60元，B种型号的新型垃圾桶的单价为100元． 任务二：设购买A种型号的新型垃圾桶个，则购买B种型号的新型垃圾桶个， ∴，解得：， ∵为整数，故a可以取117，118，119，120， 此时对应的b值为：83，82，81，80，故总共有4种方案． 考点 5：含参不等式（组）（难点、拔高题型） 典例 1 若不等式组有解，则m的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：，解不等式①得：，∵这个不等式组有解，∴， 观察四个选项可知，只有选项D符合，故选：D． 典例 2 关于的不等式组仅有3个整数解，那么的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 解不等式①可得，解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解，原不等式组的解集为， 该不等式组恰好有三个整数解，整数解为1，2，3， ．故选∶C． 典例 3 如果关于x的不等式的解集为，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，∴，∴，故选C． 三、期末高频易错点 易错点 1：一元一次不等式概念判断遗漏条件 • 典例：判断为一元一次不等式，求 • 错解：由，得 • 正解：且，最终 • 原因：只关注未知数次数为 1，忽略未知数系数不能为 0的核心条件。 易错点 2：系数化为 1 时，负数未改变不等号方向 • 典例：解不等式 • 错解：两边除以，得 • 正解：两边除以，得 • 原因：遗忘不等式性质 3，不等式两边同除以负数，不等号必须反向（本章第一高频错误）。 易错点 3：混淆不等式 “解” 与 “解集” • 典例：认为不等式的一个解就是全部解集 • 错解：找到一个符合的数，当作完整解集 • 正解：单个数值是解，所有解组成的范围才是解集 • 原因：概念理解模糊，区分不清个体与集合。 易错点 4：不等式组数轴表示空心、实心混用 • 典例：将在数轴上用空心圆圈表示 • 错解：空心圆圈 • 正解：实心圆点 • 原因：记忆错误；包含端点，用实心圆；不包含端点，用空心圆。 易错点 5：含参题型整数解边界判断错误（等号取舍） • 典例：不等式组解集，有 3 个整数解，求范围 • 错解： • 正解： • 原因：无法精准判断参数边界能否取等号，是含参题型的核心难点。 易错点 6：不等式性质滥用（忽略系数正负） • 典例：由推出 • 错解：变形成立 • 正解：变形错误 • 原因：未讨论字母的正负，为负数时不等号需要变向。 学科网（北京）股份有限公司 $