专题1.8 基本不等式及其应用（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦基本不等式8大核心题型，通过分层训练实现从概念理解到综合应用的递进突破，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|8题型（约32题）|覆盖比较大小、积/和最值、商式最值、条件等式、“1”的妙用、恒成立问题及实际应用|从基础概念到复杂应用，构建“概念理解-方法应用-综合拓展”逻辑链| |分层突破|A/B/C三组|基础跟踪练巩固运算能力，培优提升练强化推理意识，真题实战演练培养模型观念|遵循认知规律，实现从简单到复杂、从抽象到具体的能力进阶|

专题1.8 基本不等式及其应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 由基本不等式比较大小】 1 【题型2 基本不等式求积的最大值】 3 【题型3 基本不等式求和的最小值】 4 【题型4 二次与二次（或一次）的商式的最值】 6 【题型5 条件等式求最值】 7 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 9 【题型7 基本不等式的恒成立、有解问题】 10 【题型8 基本不等式的实际应用】 12 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 由基本不等式比较大小】 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式逐项判断即可. 【解答过程】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断. 【解答过程】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A. 3．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意有，进而有，再应用基本不等式，即可比较大小. 【解答过程】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B. 4．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式得到、，进而求的范围，注意等号成立条件. 【解答过程】由，即，又， 所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错； 由，即， 所以，当且仅当时等号成立，C、D错. 故选：A. 【题型2 基本不等式求积的最大值】 5．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【解答过程】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D. 6．（2026·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【解题思路】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值. 【解答过程】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 7．（2026·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 【答案】C 【解题思路】应用基本不等式计算求解即可. 【解答过程】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，C正确． 故选：C. 8．（2026·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【解答过程】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B. 【题型3 基本不等式求和的最小值】 9．（2026·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【解题思路】将变形为，然后利用基本不等式求得最小值. 【解答过程】由题得，因为，所以，同理， 将条件变形为， 则， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28. 故选：C. 10．（2026·广东梅州·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可. 【解答过程】由，，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 11．（2026·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】由基本不等式即可求解. 【解答过程】， 当且仅当， 即，等号成立， 所以的最小值为6， 故选：A. 12．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用基本不等式可得到，再代换，令，解一元二次不等式可得答案. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当时，取等号. 令得：， 由得：， 所以：，即， 解得：或， 又因为，所以， 故，当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 【题型4 二次与二次（或一次）的商式的最值】 13．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对变形后，利用基本不等式求解. 【解答过程】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 14．（25-26高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【解题思路】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【解答过程】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A. 15．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是__________. 【答案】 【解题思路】依题意利用基本不等式计算可得. 【解答过程】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为：. 16．（25-26高一上·湖南益阳·阶段检测）已知，则函数的最小值是__________． 【答案】 【解题思路】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【解答过程】因为， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是， 故答案为：. 【题型5 条件等式求最值】 17．（2026·四川德阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据，得，利用基本不等式求得其最小值. 【解答过程】由，，且，得. 当且仅当，即，即，或时，等号成立. 所以，当，或时，取得最小值，最小值为4. 故选：A. 18．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】由题意可得，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式可得最值. 【解答过程】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 20．（2026·安徽·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先化简得出，再应用基本不等式计算的最小值即可求解. 【解答过程】已知，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 21．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，且，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】利用常数代换，结合基本不等式可得. 【解答过程】因为，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是5. 故选：D. 22．（2026·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【解题思路】利用基本不等式的乘“1”法即可得解. 【解答过程】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 23．（2026·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【解答过程】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 24．（2026·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】将已知等式变形为，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得. 【解答过程】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D. 【题型7 基本不等式的恒成立、有解问题】 25．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【解题思路】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【解答过程】当时，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 26．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【解答过程】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 27．（25-26高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【解答过程】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 28．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【解答过程】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B. 【题型8 基本不等式的实际应用】 29．（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解题思路】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【解答过程】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 30．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【解答过程】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 31．（25-26高三上·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】首先由长方体的体积公式求得底面面积，再用底面的长和宽表示纸的面积，最后用基本不等式，即可求最小值. 【解答过程】设底面长方形的长和宽分别为和，则， 纸的面积， 当时等号成立， 所以小李所用纸的面积的最小值为. 故答案为：. 32．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是__________个/时． 【答案】60 【解题思路】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【解答过程】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 一、单选题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）函数（）的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式即可求解． 【解答过程】由题得， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 则函数（）的最小值为12． 故选：B. 2．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【解题思路】通过换“1”法，再通过基本不等式求解即可. 【解答过程】由题得， 所以，当且仅当，时取等号， 所以的最小值为9. 故选：B. 3．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解题思路】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【解答过程】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 故选：C. 4．（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据基本不等式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【解答过程】若，则，充分性成立； 若，取，满足条件， 则，不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2025·湖北黄冈·一模）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【解题思路】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【解答过程】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 6．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【解答过程】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 故选：A. 二、填空题 7．（2026·安徽六安·模拟预测）设，则的最小值为__________． 【答案】4 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】由，得 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故答案为：4. 8．（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】因为正实数满足， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 9．（2026·四川成都·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】利用“1的代换”构造乘积形式，化简后运用均值不等式求最小值. 【解答过程】由均为正数，且， 则， 当且仅当，解得时等号成立. 则的最小值为. 故答案为：. 10．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【解答过程】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 11．（2026·湖南怀化·一模）已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】利用1的代换，再结合基本不等式即可求得最小值. 【解答过程】由 ，得 ，即 （）， 则， 当且仅当 ，即，再结合 ， 可解得 ，满足条件， 因此的最小值为. 故答案为：. 12．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【解题思路】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【解答过程】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 故答案为：16. 一、单选题 1．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 【答案】D 【解题思路】正数a，b满足，可得，解出即可得ab的最小值. 【解答过程】因为a，b为正数，且 所以， 即，解得，所以； 当且仅当时取等号，ab的最小值为9. 故选：D. 2．（2026·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【答案】B 【解题思路】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【解答过程】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B. 3．（2026·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【答案】C 【解题思路】代入，再由基本不等式即可求解； 【解答过程】由题意知， 当且仅当，即时，等号成立． 因此，的最小值为． 故选：C. 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则 的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解题思路】本题分两种情况讨论，当和时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值. 【解答过程】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 二、填空题 5．（2025·广东深圳·一模）若实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】先利用换元法化简已知条件，求得，再利用基本不等式求得的最小值. 【解答过程】令， 所以，两边平方并化简得， 同理， 由题知，则， 故，得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为__________． 【答案】8 【解题思路】根据题意，将原问题转化为求的最小值，再利用基本不等式进行求解即可. 【解答过程】由 . 从而原问题转化为求的最小值. 因为 ， （以上均为当且仅当时取等号）. 所以. 即实数的最大值为8. 故答案为：8. 三、解答题 7．（25-26高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 8．（25-26高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【解题思路】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【解题思路】由基本不等式，即可得解. 【解答过程】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 故选：B. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断. 【解答过程】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 二、填空题 3．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】 【解题思路】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【解答过程】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 故答案为：． 4．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是__________． 【答案】2 【解题思路】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值． 【解答过程】解：∵，， ∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2． 5．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为__________． 【答案】4 【解题思路】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【解答过程】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4. 6．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为__________． 【答案】12 【解题思路】利用不等式即可求解. 【解答过程】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.8 基本不等式及其应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 由基本不等式比较大小】 1 【题型2 基本不等式求积的最大值】 2 【题型3 基本不等式求和的最小值】 2 【题型4 二次与二次（或一次）的商式的最值】 2 【题型5 条件等式求最值】 3 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 3 【题型7 基本不等式的恒成立、有解问题】 4 【题型8 基本不等式的实际应用】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 由基本不等式比较大小】 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 3．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 基本不等式求积的最大值】 5．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 7．（2026·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 8．（2026·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 基本不等式求和的最小值】 9．（2026·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 10．（2026·广东梅州·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 11．（2026·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 12．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 二次与二次（或一次）的商式的最值】 13．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）设，则 （    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 15．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是__________. 16．（25-26高一上·湖南益阳·阶段检测）已知，则函数的最小值是__________． 【题型5 条件等式求最值】 17．（2026·四川德阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 18．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·安徽·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 21．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，且，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．4 D．5 22．（2026·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 23．（2026·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 24．（2026·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【题型7 基本不等式的恒成立、有解问题】 25．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 26．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 27．（25-26高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 28．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型8 基本不等式的实际应用】 29．（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 30．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高三上·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 32．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是__________个/时． 一、单选题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）函数（）的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 2．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 3．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·湖北黄冈·一模）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 6．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026·安徽六安·模拟预测）设，则的最小值为__________． 8．（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为__________. 9．（2026·四川成都·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值为__________. 10．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为__________. 11．（2026·湖南怀化·一模）已知，且，则的最小值为__________. 12．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 一、单选题 1．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 2．（2026·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 3．（2026·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则 的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 二、填空题 5．（2025·广东深圳·一模）若实数满足，则的最小值为__________. 6．（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为__________． 三、解答题 7．（25-26高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 8．（25-26高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 4．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是__________． 5．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为__________． 6．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $