专题05 图形的性质（4大考点）（贵州专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦图形的性质四大核心考点，汇编2026年贵州各地二模真题，突出情境化命题与能力分层设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30题|相交线与平行线（五线谱线段角度计算）、三角形（全等判定）、四边形（正多边形叠放）、圆（消防车道弧长）|情境化素材：上肢牵引器、莱洛三角形；真题适配贵州二模| |填空|约10题|三角形（动点最值）、四边形（中点四边形）、圆（弦长计算）|梯度设计：从直接计算到动态探究（如动点G轨迹）| |解答|约17题|三角形（旋转综合）、四边形（折叠探究）、圆（切线证明）|综合应用：尺规作图与几何变换融合（如菱形折叠）、跨考点综合（圆与三角形证明）|

专题05 图形的性质 4大考点概览 考点01相交线与平行线 考点02三角形 考点03四边形 考点04圆 相交线与平行线 考点01 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，直线，直线与直线和相交，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·二模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，和是五线谱上的两条线段，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·二模）如图，，c是截线，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州黔南·模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州黔东南·二模）如图1是某小区安装的上肢牵引器，图2是小林绘制的该牵引器在使用过程中某个瞬间的示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，已知，和始终垂直于地面，若与水平地面平行，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州黔东南·二模）如图，点在直线外，点在直线上，且，，，，则点到直线的距离是（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．3.8 7．（2026·贵州·模拟预测）如图是小星探索两直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州黔东南·二模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·贵州毕节·二模）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（    ） A．40° B．60° C．80° D．100° 10．（2026·贵州毕节·二模）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 三角形 考点02 1．（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 2．（2026·贵州铜仁·二模）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州黔东南·二模）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 4．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州遵义·二模）如图，在正方形中，点P是上任意一点，，，垂足分别为点M，N，若，则（     ） A． B．5 C． D． 6．（2026·贵州六盘水·二模）如图是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该“莱洛三角形”的周长为，则这个等边三角形的边长（单位：）是（     ） A． B．10 C．20 D．30 7．（2026·贵州遵义·二模）如图，是等边的高，若，则的长为_________． 8．（2026·贵州遵义·二模）如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 9．（2026·贵州铜仁·二模）如图，正方形中，，点是边的中点，点是对角线上的动点，过点作，交于点．当为最小值时，长为_______． 10．（2026·贵州六盘水·二模）在中，，是的平分线，点是射线上一点，以点为顶点作，分别与，交于点，（点不与点，重合）． (1)如图1，，，若点与和的交点重合，则线段，，之间的数量关系为 ； (2)如图2，，，． ①当点与和的交点重合时，求的值； ②点为射线上一点，连接，，若四边形是菱形（如图3），，，求的长． 四边形 考点03 1．（2026·贵州遵义·二模）把边长相等的正六边形和正五边形的一边按如图的方式叠放在一起，则度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·二模）如图，菱形的两条对角线交于点，若，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 3．（2026·贵州遵义·二模）如图，在矩形中分别以，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与，相交于点和点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 5．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 6．（2026·贵州遵义·二模）下列命题中，是假命题的是（   ） A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线相等 7．（2026·贵州铜仁·二模）平行四边形相邻两条边长分别为4和6，则此平行四边形的周长为（   ） A．10 B．20 C．15 D．30 8．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，，，点，，，分别在边，，，上，，将分成面积相等的四部分，若，则的长为______． 9．（2026·贵州安顺·二模）如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 10．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，点E为正方形内一点，且，，若，则的长为_______． 11．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是_____ ． 12．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 13．（2026·贵州遵义·二模）在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 14．（2026·贵州安顺·二模）如图，在矩形中，，，是边上的一点，延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当为何值时，四边形是菱形？请说明理由． 15．（2026·贵州铜仁·二模）如图，在中，点，分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)，，，求的长． 16．（2026·贵州安顺·二模）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． (1)概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是________． (2)操作验证：黄金矩形可通过下面的折纸方法得到． ①在一张矩形纸片的一端，按图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处．            ④展平纸片，按照所得到的点折出． 请说明为什么矩形为黄金矩形．（提示：设的长为2） (3)探究发现： 小明在操作时发现：如图5，点为正方形边上任意一点（点不与端点重合），连接，先折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；再过点折叠纸片，使得点，分别落在边，上，展开，折痕为，则四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 17.（2026·贵州遵义·二模）如图①，点是矩形的对角线的中点，，点在边上，连接，作点关于直线的对称点，若，连接，，． (1)如图①，时，用含的代数式表示，写出两条与线段相等的线段； (2)如图②，若时，设与交于点，探索，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若交射线于点，交于点，当时，求的值． 18．（2026·贵州遵义·二模）如图，E是正方形的边上一点，连接，延长至点F使得，连接． (1)求证：； (2)过点E作，垂足为G，当E为的中点，且时，求的长． 19．（2026·贵州遵义·二模）如图，正方形中，点、分别是、边上一点，且，连接、相交于点． (1)求证：； (2)连接，延长交的延长线于点，若点是的中点，，求的长． 20．（2026·贵州遵义·二模）某兴趣小组围绕“矩形折叠问题”展开探究．如图，在矩形中，，点为边上一点（不与点，点重合）连接，将矩形沿折叠，使点落在点处． (1)【观察发现】写出图1中除直角外的一组相等角：__________； (2)【迁移探究】如图2，若点恰好落在上，求的长． (3)【拓展应用】若点的对应点落在矩形的对称轴上，求的长． 21．（2026·贵州铜仁·二模）问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 圆 考点04 1．（2026·贵州遵义·二模）小红同学制作了一把扇形纸扇（如图①）．其打开后的形状如图②所示．，，她在扇面一侧涂上颜色（阴影部分），则涂上颜色的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·二模）某小区内的消防车道有一段弯道，弯道的内外边缘均为圆弧，如图所示，，所在圆的圆心为，点，分别在，上．已知消防车道内侧半径，消防车道宽．若，则消防车道内外边缘长度差为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·二模）小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州安顺·二模）如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在中，，点O是边的中点，以O为圆心，长为半径作弧交斜边于点D，若，，则图中的长为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，直径垂直弦，，，则圆心O到弦的距离是（   ） A． B． C．8 D． 7．（2026·贵州黔东南·二模）如图，四边形内接于，为的直径，，以下说法一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州毕节·二模）如图，点、、、在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·贵州遵义·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为的与轴相交于，两点，点在上，连接，，，，过点的一条直线分别与轴，轴交于，两点，且点的坐标为． (1)的度数为_________°； (2)求证：直线与相切； (3)已知为直线上任意一点，求的最小值． 10．（2026·贵州遵义·二模）如图，内接于，将沿翻折得到，交于点，连接，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的半径． 11．（2026·贵州六盘水·二模）如图，内接于，圆心在边上，点是劣弧的中点，连接交于点，连接，点在的延长线上，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一个与相等的角： ； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 12．（2026·贵州黔东南·二模）如图，为的直径，为上的一点，连接，点在的延长线上，且满足，过点作交的延长线于点，交于点． (1)写出与相等的一个角： ； (2)求证：为的切线； (3)若，求的长． 13．（2026·贵州黔东南·二模）如图，是的外接圆，，过点A作交的延长线于点E，交于点D． (1)在不添加字母或辅助线的情况下，写出一个与相等的角：_______，与的数量关系是________； (2)试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 14．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，是直径，点E是上一点，过点C的切线交于点D，，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径； (3)延长交切线于点F，过点E作于点G，交于点H．若，求的值． 15．（2026·贵州遵义·二模）如图，为半圆的直径，与半圆相切于点于点，与半圆相交于点，连接与交于点． (1)写出图中一个与相等的角：__________； (2)求证：； (3)若点为的中点，，，求阴影部分的面积． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的性质 4大考点概览 考点01相交线与平行线 考点02三角形 考点03四边形 考点04圆 相交线与平行线 考点01 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，直线，直线与直线和相交，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角定义可以求出，根据两直线平行，同位角相等可知． 【详解】解：， ， ， ． 2．（2026·贵州遵义·二模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，和是五线谱上的两条线段，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得， ∴． 3．（2026·贵州遵义·二模）如图，，c是截线，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对顶角的性质与平行线的性质求解即可. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，c是截线， ∴. 4．（2026·贵州黔南·模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·贵州黔东南·二模）如图1是某小区安装的上肢牵引器，图2是小林绘制的该牵引器在使用过程中某个瞬间的示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，已知，和始终垂直于地面，若与水平地面平行，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，推导出，得到求出，，则，即可解答． 【详解】解：过点B作，如图 ∴， ∵和始终垂直于地面，与水平地面平行， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·贵州黔东南·二模）如图，点在直线外，点在直线上，且，，，，则点到直线的距离是（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．3.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离为垂线段的长度，解题的关键是正确理解垂线段的长度． 根据点到直线的距离为垂线段的长度进行判断即可． 【详解】解：根据点到直线的距离为垂线段的长度， ∴点到直线的距离是线段的长度， 所以，点到直线的距离是3， 故选：A． 7．（2026·贵州·模拟预测）如图是小星探索两直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角相等，两直线平行．根据同位角相等，两直线平行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 当时，木条a与b平行， 故选：B． 8．（2026·贵州黔东南·二模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9．（2026·贵州毕节·二模）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（    ） A．40° B．60° C．80° D．100° 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得出答案． 【详解】解：∵纸片是菱形 ∴对边平行且相等 ∴（两直线平行，内错角相等） 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是要知道两直线平行，内错角相等． 10．（2026·贵州毕节·二模）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解． 【详解】解：由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据作图过程判断出平分． 三角形 考点02 1．（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 2．（2026·贵州铜仁·二模）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，为的平分线，，结合角平分线的性质可得，即可判断A选项；由已知条件可证明，可得，即可判断B选项；根据，，可得，即可判断D选项，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，为的平分线，， ， ． 故A选项正确，不符合题意； ，， ． ． 故B选项正确，不符合题意； 在中，， 在中，， ． 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出， 故C选项不正确，符合题意． 故选：C． 3．（2026·贵州黔东南·二模）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定A选项；再说明可得垂直平分线段可判定B选项；根据直角三角形的性质可得可判定C选项；，根据三角形的面积公式即可判定D选项；． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故B选项不符合题意， ∵， ∴，故C选项符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意， 故选：C． 4．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求得，进而根据旋转的性质得出，，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到，使点在上， ∴，， ∴． 5．（2026·贵州遵义·二模）如图，在正方形中，点P是上任意一点，，，垂足分别为点M，N，若，则（     ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，即可求出答案． 【详解】解：设正方形中、交于O， 四边形是正方形，， ，，． ，， ∴四边形是矩形． ，． ， ． ， ． ． ． ． 6．（2026·贵州六盘水·二模）如图是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该“莱洛三角形”的周长为，则这个等边三角形的边长（单位：）是（     ） A． B．10 C．20 D．30 【答案】B 【分析】根据“莱洛三角形”的周长由三段相等的圆弧组成，并根据弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这个等边三角形的边长为，则圆弧的半径也为 ， 该三角形是等边三角形， 圆弧所对的圆心角为， 一段圆弧的长为， “莱洛三角形”的周长为，且由三段相等的圆弧组成， ，解得， 即这个等边三角形的边长是 ． 7．（2026·贵州遵义·二模）如图，是等边的高，若，则的长为_________． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一求解． 【详解】解：∵是等边的高， ∴． 8．（2026·贵州遵义·二模）如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 分别延长交于点H，证明四边形为平行四边形，再由G为的中点，可得G正好为中点，从而得到在P的运动过程中，G始终为的中点，G的运行轨迹为的中位线，进而得到当P在中点时，的值最小，此时，即可求解． 【详解】解：如图，分别延长交于点H， ∵，均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． ∵G为的中点， ∴G正好为中点， 即在P的运动过程中，G始终为的中点， ∴G的运行轨迹为的中位线， ∴，， ∵当P在中点时，， ∴当P在中点时，的值最小，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时， ∴的最小值为， 故答案为： 9．（2026·贵州铜仁·二模）如图，正方形中，，点是边的中点，点是对角线上的动点，过点作，交于点．当为最小值时，长为_______． 【答案】 【分析】取的中点，连接、、，根据题意可得垂直平分，则，推出的最小值为，作于点，于点，则，证明，得出，可知的最小值为，根据勾股定理求出，再证明，得，则，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 点是边的中点， ，， ， 平分， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 作于点，于点，则， ， 四边形是矩形， ，即， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 的最小值为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2026·贵州六盘水·二模）在中，，是的平分线，点是射线上一点，以点为顶点作，分别与，交于点，（点不与点，重合）． (1)如图1，，，若点与和的交点重合，则线段，，之间的数量关系为 ； (2)如图2，，，． ①当点与和的交点重合时，求的值； ②点为射线上一点，连接，，若四边形是菱形（如图3），，，求的长． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据题意可得，，，，证明，得到，即可得出答案； （2）①取的中点，连接，则，根据题意得到，，，证明是等边三角形，得到，证明，得到，可得答案； ②当点靠近点时，过点作于点，交于点，连接，设交于点，根据题意得到，，，，证明，得到，证明，得到 ，设 ，则 ， ， ，求出 ，，，再求出，得到，即可求解． 当点靠近点时，同理可得，，，，，，由即可求解． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：①如图，取的中点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴，，， 在中，， ∴ ， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∵，即， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ； ②当点靠近点时，过点作于点，交于点，连接，设交于点，如图： ∵是的平分线，，， ∴，，，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵，即， ∴ ， ∴ ， 在 和中， ， ∴， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∵， ， ∴ ， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点靠近点时，如图，过点作于点，交于点，连接， 设， 同理可得，，，，，， ， ，解得， ． 综上，． 四边形 考点03 1．（2026·贵州遵义·二模）把边长相等的正六边形和正五边形的一边按如图的方式叠放在一起，则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的内角度数的计算，根据正多边形的内角度数的公式，分别计算出每一个正多边形的内角度数即可求解． 【详解】解：∵正边形内角和公式为，每个内角的度数为， ∴正六边形（）每个内角：， 正五边形（）每个内角：， ∴． 2．（2026·贵州遵义·二模）如图，菱形的两条对角线交于点，若，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的两条对角线交于点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ． 3．（2026·贵州遵义·二模）如图，在矩形中分别以，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与，相交于点和点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，，求解，结合作图求解，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 4．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去． 5．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】连接，根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线的性质可得，即可判断甲；四边形是菱形，只能判断，无法得到四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接， ， 若四边形是矩形，则， 点分别是各边的中点， ， 四边形是菱形，故甲说法正确； 若四边形是菱形，则， ， 无法证明四边形是矩形，故乙说法错误． 6．（2026·贵州遵义·二模）下列命题中，是假命题的是（   ） A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和判定定理，逐一判断各选项命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：选项A，平行四边形的对边相等，是平行四边形的性质定理，是真命题，不符合题意； 选项B，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，是真命题，不符合题意； 选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，是真命题，不符合题意； 选项D，平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，只有矩形这类特殊平行四边形的对角线才相等，因此原命题是假命题，符合题意． 7．（2026·贵州铜仁·二模）平行四边形相邻两条边长分别为4和6，则此平行四边形的周长为（   ） A．10 B．20 C．15 D．30 【答案】B 【分析】利用平行四边形对边相等的性质得到其他两条边的长，再根据平行四边形的周长公式即可计算周长． 【详解】解：∵平行四边形对边相等，相邻两条边长分别为和，且平行四边形的对边相等， ∴该平行四边形的四条边长依次为，，，， ∴此平行四边形的周长为． 8．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，，，点，，，分别在边，，，上，，将分成面积相等的四部分，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，交于点，由平行四边形的性质可知，过平行四边形的对称中心的直线平分该四边形的面积，可得，根据，，可知，，所以可得，根据平行四边形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，过点分别作的平行线交于点，作交的延长线于点，在中，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接，交于点， 则，将分成了面积相等的四部分，且，也过的对称中心点， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ， 过点分别作的平行线交于点，作交的延长线于点， 则四边形为平行四边形， ， ， ，， ，， 在中，， ． 9．（2026·贵州安顺·二模）如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点P，连接，根据正方形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点P，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点H为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴. 10．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，点E为正方形内一点，且，，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点A作的垂线，交的延长线于点F，证明，设，可得，先在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求出x即可． 【详解】解：如图，过点A作的垂线，交的延长线于点F， ∵四边形为正方形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去）， ． 11．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是_____ ． 【答案】 18 【分析】易得垂直平分，进而推出的周长为的长，再根据平行四边形的周长公式进行求解即可. 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线，交于点O， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴平行四边形的周长. 12．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是矩形， 证明：四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的中位线， ， ， ， ， 矩形的面积． 13．（2026·贵州遵义·二模）在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）选择①：利用一组对边相等且平行的四边形易证四边形为平行四边形，再根据，即可证明结论；选择②：根据等腰三角形三线合一可得，由三个角为直角的四边形是矩形，即可证明结论； （2）由（1）知四边形为矩形，勾股定理求出，再求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）选择①； 证明：点为中点， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 于点， ， 四边形为矩形， 选择②连接，， 证明：， 为等腰三角形， 点为中点， ， ， ， ， ， 于点 ， 四边形为矩形； （2）解：如图，连接， 由（1）知四边形为矩形， ， 在中，， ∴ ， 点为中点， ， 在中， ， ∴． 14．（2026·贵州安顺·二模）如图，在矩形中，，，是边上的一点，延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当为何值时，四边形是菱形？请说明理由． 【答案】(1)证明：矩形中，是边上的一点，延长至点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． (2)解：当时，四边形是菱形， 理由如下：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 解得， 当时，四边形是菱形． 【分析】（1）根据矩形性质推出，进而代换出，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据菱形性质推出，再结合勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 15．（2026·贵州铜仁·二模）如图，在中，点，分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出相等的边和平行线，然后利用矩形的判定定理进行证明； （2）根据矩形的性质得出直角三角形，判定是等腰直角三角形，求出，利用锐角三角函数求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ，     ． 16．（2026·贵州安顺·二模）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． (1)概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是________． (2)操作验证：黄金矩形可通过下面的折纸方法得到． ①在一张矩形纸片的一端，按图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处．            ④展平纸片，按照所得到的点折出． 请说明为什么矩形为黄金矩形．（提示：设的长为2） (3)探究发现： 小明在操作时发现：如图5，点为正方形边上任意一点（点不与端点重合），连接，先折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；再过点折叠纸片，使得点，分别落在边，上，展开，折痕为，则四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)设的长为2， 如图1：由折叠的性质可得：． 如图2：由折叠的性质可得：； 如图3：由勾股定理可得： 由折叠的性质可得：， ∴， 如图4：， 所以矩形为黄金矩形． (3)四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值，这个定值是，理由如下： 如图，连接，设正方形的边长为1，设，则， 设，则， 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∴，整理得：， ∴四边形的周长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值． 【分析】（1）将代入计算、化简即可； （2）利用折叠的性质可得、、，勾股定理可得，再利用线段的和差以及黄金矩形的定义即可解答； （3）如图，连接，设正方形的边长为1，设，则，设，则，利用折叠的性质、勾股定理可得，进而得到四边形的周长为，矩形的周长为，最后求比例即可． 【详解】（1）解：将代入可得：． （2）解：略 （3）解：四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值，这个定值是，理由略． 17.（2026·贵州遵义·二模）如图①，点是矩形的对角线的中点，，点在边上，连接，作点关于直线的对称点，若，连接，，． (1)如图①，时，用含的代数式表示，写出两条与线段相等的线段； (2)如图②，若时，设与交于点，探索，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若交射线于点，交于点，当时，求的值． 【答案】(1)；， (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及对称的性质得出，，根据点是矩形对角线的中点，可得，结合已知条件得出是等边三角形，进而得出，再根据三角形内角和定理即可求解． （2）在上取一点(截长补短构造全等三角形)，使得，连接．证明是等边三角形，由对称可得，，，证明得出，即可得证； （3）①当在线段上时，如图，连接，证明，设，则，则，进而根据相似三角形的性质，即可求解；②当在线段的延长线上时，如图，连接，同法求得的值． 【详解】（1）解：∵点是矩形的对角线的中点， ∴， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵点，关于直线对称， ， 点是矩形对角线的中点， ， ， 是等边三角形， ， ． ∴与线段相等的线段：， （2）； 证明：如解图，在上取一点(截长补短构造全等三角形)，使得，连接． 由（1）得，， ， 是等边三角形， ，， ， 由对称可得，，， ， ， ； （3）①当在线段上时，如图，连接， 由对称可得，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ； ②当在线段的延长线上时，如图，连接， ，，， ， 由对称可得，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 综上所述，的值为或． 18．（2026·贵州遵义·二模）如图，E是正方形的边上一点，连接，延长至点F使得，连接． (1)求证：； (2)过点E作，垂足为G，当E为的中点，且时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意得，则有，然后可得，进而可得，根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 19．（2026·贵州遵义·二模）如图，正方形中，点、分别是、边上一点，且，连接、相交于点． (1)求证：； (2)连接，延长交的延长线于点，若点是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）结合（1）证明，进而证明，再证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可获得答案． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， ，， ， ， ∴， 在中，， ． 20．（2026·贵州遵义·二模）某兴趣小组围绕“矩形折叠问题”展开探究．如图，在矩形中，，点为边上一点（不与点，点重合）连接，将矩形沿折叠，使点落在点处． (1)【观察发现】写出图1中除直角外的一组相等角：__________； (2)【迁移探究】如图2，若点恰好落在上，求的长． (3)【拓展应用】若点的对应点落在矩形的对称轴上，求的长． 【答案】(1)（或） (2) (3)的长为或 【分析】（1）根据折叠的性质，即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理求得，在中，根据得出方程，解方程，即可求解． （3）分两种情况讨论，①当点落在的垂直平分线上，②当点落在的垂直平分线上，分别画出图形，根据轴对称的性质以及解直角三角形的知识求解即可． 【详解】（1）解： 根据折叠可得（或） （2）在矩形中，，， 设，则 在中，，则 在中， 解得 （3）①当点落在的垂直平分线上 如图，点为中点，点为中点，点在线段上 设，则 在中，，则 在中， 解得此时 ②当点落在的垂直平分线上 如图，点为中点，点为中点，点在射线上 ，即 此时 综上所述，的长为或 21．（2026·贵州铜仁·二模）问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】 （1）， 证明：四边形是菱形， ， ， 和为等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ； （2）①； ②①中的结论仍成立． 证明：延长至H，使，连接，NH， E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 又， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【分析】本题是四边形综合题，考查菱形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形性质、等边三角形的性质与判定，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题的关键． （1）根据菱形的性质证明和为等边三角形，证明，即可得到结论； （2）①E为BM的中点，是等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论； ②延长至H，使，连接，NH，证明，根据全等三角形的性质得到为等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）①如图， E为BM的中点，是等边三角形， ， ， 故答案为：； ②略 圆 考点04 1．（2026·贵州遵义·二模）小红同学制作了一把扇形纸扇（如图①）．其打开后的形状如图②所示．，，她在扇面一侧涂上颜色（阴影部分），则涂上颜色的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧长公式与周长的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意，得 涂上颜色的周长为． 2．（2026·贵州遵义·二模）某小区内的消防车道有一段弯道，弯道的内外边缘均为圆弧，如图所示，，所在圆的圆心为，点，分别在，上．已知消防车道内侧半径，消防车道宽．若，则消防车道内外边缘长度差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用弧长公式进行求解． 【详解】解：． 3．（2026·贵州遵义·二模）小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据的圆周角所对的弦是直径，只有选项A中的工件合格． 4．（2026·贵州安顺·二模）如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，构造弧对应的圆心角，因为要求弧长需要先确定圆心角和半径，所以首先明确弧长公式为，其中是圆心角度数，是圆的半径．利用圆周角定理，因为圆周角和圆心角对应同一段弧，所以可由已知的的度数求出的度数．将得到的圆心角的度数和已知的半径代入弧长公式，计算弧的长度． 【详解】连接、， ， ． 半径， ， 因此的长为． 5．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在中，，点O是边的中点，以O为圆心，长为半径作弧交斜边于点D，若，，则图中的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先求出，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，， ， ， ∵点是边的中点， ， ∵以点为圆心，长为半径作弧，交斜边于点， ， ， ， ， ∴图中的长为． 6．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，直径垂直弦，，，则圆心O到弦的距离是（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】令与交于点，由圆周角定理可得，求出，再解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：如图，令与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·贵州黔东南·二模）如图，四边形内接于，为的直径，，以下说法一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴，故选项正确； ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵不一定是的直径， ∴不一定等于， ∴不一定等于，即和不一定相等， ∴不一定等于，故选项错误； 由已知条件无法得出，故无法得到，故选项错误； ∵不一定是的直径， ∴不一定等于， ∴和不一定互补， ∴无法得出，故选项错误． 8．（2026·贵州毕节·二模）如图，点、、、在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求得，根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点、、、在上， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，掌握圆周角定理是解题的关键． 9．（2026·贵州遵义·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为的与轴相交于，两点，点在上，连接，，，，过点的一条直线分别与轴，轴交于，两点，且点的坐标为． (1)的度数为_________°； (2)求证：直线与相切； (3)已知为直线上任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的倍，直接算出； （2）过点作轴，结合和的半径求出，然后用勾股定理逆定理证明，从而证得直线是的切线； （3）作点关于的对称点，将的最小值转化为，求出点的坐标，再用两点间距离公式算出​即可． 【详解】（1）解：， ． （2）证明：如图，过点作轴， ，， ， ， ， 点的坐标为， ∴， ， ， ， ，即， 为的半径， 直线与相切． （3）解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，交于点， ， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 点的坐标为， 为直线上任意一点， ， ， 当点与点重合，取得最小值，即， 点的坐标为， ， 故的最小值为． 10．（2026·贵州遵义·二模）如图，内接于，将沿翻折得到，交于点，连接，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 (3)5 【分析】（1）利用圆周角定理即可证明结论成立； （2）利用圆周角定理结合圆内接四边形的性质求得，利用平行线的性质求得，据此计算即可得到； （3）连接并延长交于点，连接，令，在中，求得，设的半径为，在中，利用勾股定理列式计算求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知，， 在中，，， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形； （3）解：由（2）得：， 由折叠可知，， ， 是等腰三角形， 连接并延长交于点，连接， 是等腰的外接圆， 则：， 在中： ，， 令，则：， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 设的半径为，则： ， 在中：， 即， 解得：． 11．（2026·贵州六盘水·二模）如图，内接于，圆心在边上，点是劣弧的中点，连接交于点，连接，点在的延长线上，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一个与相等的角： ； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）连接，先求得，再由，得到，即，可得结论； （3）由得到，设，则，根据勾股定理求出，证明，得到，求出，再代入，求出，可得的长． 【详解】（1）解：∵点是劣弧的中点， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：由（2）知，， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 12．（2026·贵州黔东南·二模）如图，为的直径，为上的一点，连接，点在的延长线上，且满足，过点作交的延长线于点，交于点． (1)写出与相等的一个角： ； (2)求证：为的切线； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用等角的余角相等得； （2）连接，根据切线的判定证明即可； （3）连接，，证明，，得到；推出，据此计算求解即可； 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）证明：连接，则， ， 为的直径， 即， ， 又， ， ， 为的切线； （3）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； ∵， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（2026·贵州黔东南·二模）如图，是的外接圆，，过点A作交的延长线于点E，交于点D． (1)在不添加字母或辅助线的情况下，写出一个与相等的角：_______，与的数量关系是________； (2)试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)与相切，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据圆中半径处处相等得，则 ； 根据，可得． （2）延长交于点，根据垂径定理推论得出，，结合，得出，则是的切线． （3）由（2）知，利用求得，再用勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理，，解得，最后利用，对应边成比例即可得出答案． 【详解】（1）解：∵、都是的半径， ∴， ∴ ； ∵， ∴． （2）解：与相切，理由如下： 延长交于点， ∵，是的外接圆， ∴，， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， 即与相切． （3）解：由（2）知， ∴． ， ∴在中，，即， ， ， 设，则，则， ， ， ∵， ， ， ，即， ． 14．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，是直径，点E是上一点，过点C的切线交于点D，，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径； (3)延长交切线于点F，过点E作于点G，交于点H．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）由题意可得，则，结合等边对等角得出，即可得证； （2）过点O作于点F，由垂径定理可得，求出，再结合矩形的判定与性质即可得出结果； （3）连接，设，则，，，，由勾股定理可得，再证明，由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点O作于点F，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， 四边形是矩形， ，即的半径为5； （3）解：连接，如图： ∵， ∴设，则， ，， ， 又是的切线， ， 在中，， ， ， 又， ， ， ， ， 又平分， ， ， 即的值为． 15．（2026·贵州遵义·二模）如图，为半圆的直径，与半圆相切于点于点，与半圆相交于点，连接与交于点． (1)写出图中一个与相等的角：__________； (2)求证：； (3)若点为的中点，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)（或均可） (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，先推导出，，继而求出，得到，即可解答； （2）连接，先推导出，，继而求出，得到，则，即可解答； （3）连接、、，先推导出，，得到，为等边三角形，且，求出 ，进而推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：或，理由如下： 连接，如图 与半圆相切于点，为半径， 又， 又， ， ， ∵， ． （2）证明：连接，如图 与半圆相切于点，为半径， 又， 又， ， ， ∵， ∴， ； （3）解：连接、、，如图 点为中点，， ，， ，为等边三角形，且， ， 又， ∴， ， ， ． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $