精品解析：2025年贵州省黔东南州剑河县第四中学中考模拟考试数学试卷

贵州省2025年中考模拟考试 数学试卷（二） （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列实数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下图为常用玻璃仪器组成的几种实验装置，均可根据不同的实验需求在其中加入不同的液体或固体试剂，在如图的平面图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年1月21日，贵州电信2025万峰林马拉松赛事发布会在兴义市富康国际会展中心举行，2月9日在兴义市阳光谷旅游度假区鸣枪开跑．此次赛事主题为“加油奔跑 兴义真好”，赛事设置马拉松（公里）、半程马拉松（公里）、健康跑（公里）三个项目，总参赛规模12000人（马拉松3000人、半程马拉松3000人、健康跑6000人），其中总参赛人数12000人用科学记数法表示为，则n的值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 4. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，若∠BAC＝52°，则∠E的度数是（　　） A. 18° B. 19° C. 20° D. 40° 5. 用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，将线段先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 某校九年级的甲，乙两名学生都进行了两次中考数学模拟测试，下列关于他们测试成绩的平均数和方差的描述中，能说明甲的成绩较好且更稳定的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 12. 如图，直线与直线交于点，点横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 请你添加常数项，并因式分解：____________________． 14. 代数式有意义时，x的取值范围是__________． 15. 2025年蛇年，中国将迎来首个非遗版春节．春节-中国人传统新年的社会实践被正式列入人类非物质文化遗产代表作名录（名册）．至此，我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数居世界第一，在2005年，中国共只有4个项目，列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册）．假设从2005年到2015年与2015年到2025年这两个时间段内名录（名册）数量的增长率相同，均为x，请你结合题意列出方程__________． 16. 如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是__________．（填序号） 三、解答题（本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）请你从四个整式；；；中，任意选择2个式子填入横线上，并化简：． 18. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注、某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查、根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生人数为__________； （2）补全条形统计图、并求出扇形统计图中“轻度近视”对应扇形的圆心角的度数； （3）如果全校3000学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校学生中近视程度为“高度近视”的人数． （4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 19. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 20. 在平行四边形中，E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 21. 某商店购买了一批A、B两种商品，其中A商品的单价比B商品的单价少9元，已知该商店用3120元购买A商品的件数与用4200元购买B商品的件数相等． （1）求该商店购买的A、B两种商品的单价各是多少元？ （2）若两种商品共购买了200件，且购买的总费用不超过6270元，求至少能购买多少件A商品？ 22. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 23. 如图，已知内接于，且，直径交于点，是上的一点，使． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，求的长． 24. 如图，抛物线过点、与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积； （3）点F是该抛物线上位于第一象限一个动点，直线分别与y轴，直线交于点D，E．当E是的三等分点时，求点F的坐标． 25. 综合与探究：在正方形中，点E在边上，连接． （1）问题探究：如图①，若，，过点E作交于点F，求的长度． （2）问题解决：如图②，若，，点F是上一动点，连接并将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点F是线段的中点时，求线段的值？ （3）拓展延伸：如图③：若四边形是正方形，在直线的上方有一点P，连接，，，且，，求的最大值？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省2025年中考模拟考试 数学试卷（二） （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列实数中，比小数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查实数大小的比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．根据实数的大小做出判断即可． 【详解】解：∵， ∴比小的数是， 故选：A． 2. 下图为常用玻璃仪器组成的几种实验装置，均可根据不同的实验需求在其中加入不同的液体或固体试剂，在如图的平面图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D选项是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 2025年1月21日，贵州电信2025万峰林马拉松赛事发布会在兴义市富康国际会展中心举行，2月9日在兴义市阳光谷旅游度假区鸣枪开跑．此次赛事主题为“加油奔跑 兴义真好”，赛事设置马拉松（公里）、半程马拉松（公里）、健康跑（公里）三个项目，总参赛规模12000人（马拉松3000人、半程马拉松3000人、健康跑6000人），其中总参赛人数12000人用科学记数法表示为，则n的值为（ ） A B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 则， 故选：C． 4. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，若∠BAC＝52°，则∠E的度数是（　　） A. 18° B. 19° C. 20° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得∠E＝∠CAE，再由矩形的性质和三角形的外角性质可求解． 【详解】解：∵CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣52°＝38°， ∵∠ACB＝∠E＋∠CAE＝2∠E， ∴∠E＝19°， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 5. 用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查加减消元法，根据消去，则要使两个方程的含的项的系数相同或互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴要消去，则使方程②中的系数变为2，再与方程①相加即可， 即：，即可消去； 故选D． 6. 如图，点，将线段先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点向上平移a个单位，点向左平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+a）⇒P（x+a，y+b），进行计算即可． 【详解】解：∵点A坐标为（2，1）， ∴线段OA向上 平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（2-3，1+2）， 即（-1，3）， 故选C． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 7. 某校九年级的甲，乙两名学生都进行了两次中考数学模拟测试，下列关于他们测试成绩的平均数和方差的描述中，能说明甲的成绩较好且更稳定的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用平均数和方差的意义．根据平均数越大，成绩越好，方差越小，成绩越稳定判断即可． 【详解】解：∵平均数越大，成绩越好，方差越小，成绩越稳定， ∴能说明甲的成绩较好且更稳定的是且； 故选：C． 8. 已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，由，得，解得，然后分为腰长时，为腰长时两种情况分析即可，熟练掌握相关性质以及运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴不能构成三角形； 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长， 综上：此等腰三角形的周长为， 故选：． 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，根据分式的加减乘除运算法则进行逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 10. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可． 【详解】解：观察一次函数图像可知， ∴二次函数开口向下， 对称轴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键． 11. 如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】由作图得为等腰三角形，可求出，由l1l2得，从而可得结论． 【详解】解：由作图得，， ∴为等腰三角形， ∴ ∵∠BCA＝150°， ∴ ∵l1l2 ∴ 故选B 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出是解答本题的关键． 12. 如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象即可判断；由图象可知，直线过点，得出，根据一次函数的性质即可判断；根据交点坐标以及即可判断；不等式组变形为，解不等式组即可判断判断． 【详解】解：由图象可知，函数经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故说法正确； 由图象可知，函数经过第一、二、四象限， ， 由图象可知，直线经过第一、三象限， ， 函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故说法错误； 直线与直线交于点，点的横坐标为， ， 直线过点， ， ，故说法正确； ，， ， ， ， 解得， 不等式组的解集是故说法正确， 故选：C 【点睛】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 请你添加常数项，并因式分解：____________________． 【答案】 ①. 1（答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解与平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 根据平方差公式的逆用填空即可． 【详解】． 故答案为：1；． 14. 代数式有意义时，x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据题意可得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 15. 2025年蛇年，中国将迎来首个非遗版春节．春节-中国人传统新年的社会实践被正式列入人类非物质文化遗产代表作名录（名册）．至此，我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数居世界第一，在2005年，中国共只有4个项目，列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册）．假设从2005年到2015年与2015年到2025年这两个时间段内名录（名册）数量的增长率相同，均为x，请你结合题意列出方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2025年的名录（名册）数量2005年的名录（名册）数量（1每10年的增长率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 16. 如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是__________．（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的判断和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 利用旋转的性质和正方形的性质，证明，可判定结论①正确； 利用勾股定理可得，可判定结论②错误； 利用等腰三角形的性质推出，利用勾股定理逆定理可推出，可判定结论③正确； 过点D作交延长线于点E，利用勾股定理可求出，进而可判定结论④错误． 【详解】由旋转可知，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 可以由绕点A逆时针旋转得到， 故结论①正确； 由勾股定理得， 故结论②错误； ，， ， 由得， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故结论③正确； 如图，过点D作交延长线于点E，则， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得， ，， 由勾股定理得， 正方形的面积等于， 故结论④错误； 综上可知，正确的结论是①③． 故答案为：①③． 三、解答题（本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）请你从四个整式；；；中，任意选择2个式子填入横线上，并化简：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，涉及零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，分式的运算法则等，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先选取两个整式组成要化简的式子，再利用分式的运算法则进行化简即可． 【详解】解：（1） ， ． （2）情况1：选择和 ， ； ， ； 情况2：选择和 ， ； ， ； 情况3：选择和 ， ； ， ； 情况4：选择和 ， ； ， ； 情况5：选择和 ， ； ， ； 情况6：选择和 ， ； ． 18. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注、某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查、根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生人数为__________； （2）补全条形统计图、并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）如果全校3000学生都参加测试，请你根据抽样测试结果，估计该校学生中近视程度为“高度近视”的人数． （4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】（1）200 （2）见解析； （3）150人 （4）建议学校引导学生利用休息时间多去操场走动，缓解双眼疲劳 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数； （2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“高度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用乘以“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （3）用3000乘以样本中“高度近视”的人数占比即可得到答案； （4）建议合理即可． 【小问1详解】 由题知，所抽取的学生人数中“视力正常”的有90人，占， 抽取的学生人数为人． 故答案为：200． 【小问2详解】 由题知，“中度近视”占，人数为人， “高度近视”人数为人． 补全条形统计图如下所示： ． 扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为． 【小问3详解】 人 估计该校学生中近视程度为“高度近视”的人数为150人． 【小问4详解】 建议学校引导学生利用休息时间多去操场走动，缓解双眼疲劳． 19. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【小问1详解】 由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 20. 在平行四边形中，E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质，推出，进一步可得，，再由E是中点，可证明； （2）过点A作于点G，利用直角三角形的性质求出的长，进一步可得平行四边形的面积，再结合（1）中结论推出的面积等于平行四边形的面积，即可求解． 小问1详解】 四边形是平行四边形， ，即， ，， 又E是中点， ， ． 【小问2详解】 如图，过点A作于点G，则， 又，， ， 平行四边形的面积， 由（1）知，， ， 的面积等于平行四边形的面积，即． 21. 某商店购买了一批A、B两种商品，其中A商品的单价比B商品的单价少9元，已知该商店用3120元购买A商品的件数与用4200元购买B商品的件数相等． （1）求该商店购买的A、B两种商品的单价各是多少元？ （2）若两种商品共购买了200件，且购买的总费用不超过6270元，求至少能购买多少件A商品？ 【答案】（1）该商店购买的A、B两种商品的单价各是26元、35元 （2）至少能购买82件A商品 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意寻找等量关系或不等关系是解题的关键； （1）设该商店购买的A种商品的单价是x元，根据题意列分式方程求解； （2）设购买A商品m件，根据题意列一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设该商店购买的A种商品的单价是x元，则B两种商品的单价是元，由题知， ， 解得， 经检验，是方程的解且符合实际， ． 答：该商店购买的A、B两种商品的单价各是26元、35元． 【小问2详解】 设购买A商品m件，B商品件，由题知， ， 解得， 又m为正整数， ． 答：至少能购买82件A商品． 22. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）该运动员能挂上篮网，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 23. 如图，已知内接于，且，直径交于点，是上的一点，使． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，根据等腰三角形的性质即可证明； （2）先证明，得到，可证四边形是平行四边形，再由角平分线的性质得，即可证明四边形是菱形； （3）在和中，分别用勾股定理即可求，的长． 【小问1详解】 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 四边形是菱形．理由如下： 是直径，， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）得， 平分， ， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 连接， 由（2）得， ． ， ， 由勾股定理得，． ， ． 在中， 由勾股定理得，， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟悉和灵活应用各种性质解决问题是关键． 24. 如图，抛物线过点、与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积； （3）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴，直线交于点D，E．当E是的三等分点时，求点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点F的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求抛物线和直线的解析式、“铅垂法”求三角形的面积最大值， 相似三角形的判定与性质，抛物线与直线的交点等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，设过点P作轴的垂线交于点Q， 则，利用“铅垂法”求的最大面积； （3）设，当时，过点E作轴的平行线，交轴于点G，可得， 利用相似的性质，求出，进一步求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，解方程可求点F的坐标； 当时，同理可求点F的坐标，综合可得结果． 【小问1详解】 将点、代入抛物线， 可得， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 当时，，所以抛物线与y轴交于点， 设直线的解析式为， 将点，代入直线的解析式， 可得， 解得， 直线的解析式为． 点P是直线上方抛物线上一点， 可设， 如图1，连接，，过点P作轴的垂线交于点Q，则， ， 当时，有最大值． 又， 当时，的面积最大，为． 【小问3详解】 设， 当时，如图2，过点E作轴的平行线，交轴于点G，则， ， ， ， ，解得， ． 设直线的解析式为，代入点，， 可得， 解得， 直线的解析式为． 解方程得，， 当时，，所以； 当时，同理可求，直线：， 解方程得，， 当时，，所以； 综上可知，点F的坐标为或． 25. 综合与探究：在正方形中，点E在边上，连接． （1）问题探究：如图①，若，，过点E作交于点F，求的长度． （2）问题解决：如图②，若，，点F是上一动点，连接并将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点F是线段的中点时，求线段的值？ （3）拓展延伸：如图③：若四边形是正方形，在直线的上方有一点P，连接，，，且，，求的最大值？ 【答案】（1） （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等， 熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）利用题中条件和正方形的性质证明，推出，代入数值求解即可； （2）连接，过点G作交延长线于点H，利用题中条件证明，推出，， 再证明，推出，解得，，最后利用勾股定理求线段的值； （3）过点A作，且，证明，推出， 再利用两点之间线段最短，可得，进而可求的最大值． 【小问1详解】 四边形是正方形， ，，， ， ，， 又， ， ， ，即， 解得． 【小问2详解】 如图②，连接，过点G作交延长线于点H，则， 由题知，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，， 又，， ， 又， ， ， 当点F是线段的中点时，， 解得，，， 由勾股定理得，． 【小问3详解】 如图③，过点A作，且，则， 由勾股定理得，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ， 由于两点之间，线段最短，所以， 当B、M、P三点共线时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $