专题04 图形的变化（4大考点）（贵州专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦图形变化四大核心考点，融合贵州地域文化与实际应用的二模试题汇编，涵盖对称、视图、相似及三角函数，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|31题|图形对称（轴对称/中心对称）、投影视图（三视图/展开图）、相似三角形（性质/判定）、锐角三角函数（计算/应用）|以黔陶乡陶杯、石鼓等地域文化素材设计视图题，结合夹岩水利枢纽测量、日晷晷针计算考查三角函数应用| |解答题|13题|相似综合证明、三角函数实际测量|设置桑梯安全角度、红枫湖大桥高度等探究题，体现数学建模与跨学科实践|

专题04 图形的变化 4大考点概览 考点01图形的对称 考点02投影与视图 考点03图形的相似 考点04锐角三角函数 图形的对称 考点01 1．（2026·贵州六盘水·二模）下列音符中，可以看作轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州安顺·二模）“平安顺意”写成下列字体，可以看作轴对称图形的字是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图所示的化学实验仪器平面图，其中是轴对称图形的是（   ） A．烧杯 B．U型管 C．双颈烧瓶 D．漏斗 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）随着健康生活理念的提高，人们的环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州·模拟预测）下列汉字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A．爱 B．我 C．中 D．华 6．（2026·贵州遵义·二模）下列春晚的标志中，属于中心对称图形的是（   ） A． B．C． D． 投影与识图 考点02 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）花溪区黔陶乡的制陶史可追溯至明代洪武年间．如图是一款陶制茶杯，关于它的三视图下列说法正确的是（     ） A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同 C．主视图和左视图相同 D．三视图各不相同 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）下列立体图形的主视图为圆的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州·模拟预测）如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．图2是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州遵义·二模）石鼓（如图）是中国古代文化的瑰宝，象征着万物丰茂、财丰物足．下列图形中，属于石鼓的俯视图的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州黔东南·二模）墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州铜仁·二模）下图是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·贵州遵义·二模）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州遵义·二模）如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（   ） A． B． C． D． 9．（2026·贵州毕节·二模）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·贵州安顺·二模）如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·贵州遵义·二模）下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·贵州毕节·二模）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（    ） A． B． C． D． 图形的相似 考点03 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，，若，，则等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2026·贵州黔南·模拟预测）如图是一架梯子及其侧面示意图，已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是边和的中点，则与的面积之比为（    ） A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶1 4．（2026·贵州遵义·二模）如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 5．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在中，，．若的周长为6，则的周长是（     ） A．6 B．9 C．12 D．18 6．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，中，E是上一点，且，连接、交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·贵州铜仁·二模）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为______． 9．（2025·贵州遵义·一模）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为______米． 10．（2026·山西阳泉·一模）如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为______． 11．（2026·贵州遵义·二模）如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接，，． (1)写出与线段相等的线段： ； (2)过点D作的切线，交的延长线于点G．求证：； (3)若，，求的长． 12．（2026·贵州遵义·二模）如图，是的直径，过点作的切线，连接交于点，点是下方半圆的中点，连接，，，交于点，． (1)写出图中两个的角，并直接写出线段与线段的数量关系； (2)求证：； (3)若的半径为，求的长． 13．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，点E是线段上的动点，连接，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，交于点K，连接交于点H． (1)【问题解决】如图，______度，写出图中一对相似三角形：________； (2)【问题探究】连接，试探究线段与的数量关系； (3)【深入研究】当点E为的中点时，求的值． 14．（2026·福建漳州·一模）如图，正方形内接于，点在上，连接，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究之间的等量关系． 15．（2026·贵州安顺·二模）如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，直线与的延长线相交于点，弦平分，连接，． (1)判断与的位置关系为________；在不添加辅助线的情况下，写出图中一对相等的角：________． (2)求证：． (3)若，，求的长． 锐角三角函数 考点04 1．（2026·贵州·模拟预测）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）计算： 在①，②，③，④中任选3个式子求和； 3．（2026·贵州黔南·模拟预测）计算、化简： 计算：从①，②，③，④中选择三个代数式求和； 4．（2026·贵州铜仁·二模）计算与化简求值： 计算： 5．（2026·贵州安顺·二模）按要求完成下列各题： 计算：． 6．（2026·贵州遵义·二模）计算、化简求值 ． 7．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在中，，，点是边上一点，连接并延长至，使，点在的延长线上，且，连接．若，，则的长为___________． 8．（2026·贵州遵义·二模）如图，在四边形中，，，点E在边上，连接，点G在上，且，点F是的中点，连接，，，．若，，则的长是_______． 9．（2026·贵州黔东南·二模）小星想测量某景区内一尊孔子雕像的高度，如图1是雕像的实景图，图2为小星设计的测量示意图，在C处测得雕像顶A的仰角为，在综合楼门前的台阶D处测得雕像顶A的仰角为，C，D两处的水平距离为0.45米，台阶的高度为0.18米，已知B，C，E三点在同一直线上，点A，B，C，D，E在同一平面内． (1)设孔子雕像的高为x米，请用x的代数式表示的长，即_________米； (2)求雕像的高．（精确到0.1米，参考数据：，，） 10（2026·贵州遵义·二模）小星利用测角仪测量古建筑的高度．如图，古建筑前有一座高为3米的斜坡（米），在斜坡顶端处测得古建筑顶部的仰角为，沿斜坡走5米到达斜坡底部处（米），此时测得古建筑的仰角为于点在同一条直线上，涉及到的所有点在同一平面内，设的高度为米．（参考数据：．） (1)直接写出的长为__________，的长为__________（用含的代数式表示）； (2)求古建筑的高度． 11．（2026·贵州遵义·二模）实践探究：某校数学研学小组为测量贵州水利一号工程——夹岩水利枢纽及黔西北供水工程的大坝高度，采用无人机采集相关数据． 数据采集：如图是测量的示意图，点A表示大坝的顶部，点B表示大坝的底部，为大坝的垂直高度．无人机从大坝一侧飞行至点C处时，测得点A的仰角为，点B的俯角为，无人机沿水平方向飞行至点D处，在D处测得点A的仰角为． 数据应用：图中各点均在同一竖直平面内，计算大坝的高度．（参考数据：，，，） 12．（2026·贵州遵义·二模）贵州红枫湖大桥由于建立在岩溶发育地区，对桥梁的安全、美观及其与环境的协调有较高的要求，图（1）是其实景图．某数学兴趣小组为了测量其塔身的高度，设计了如图（2）所示的测量示意图．该小组测量河岸C到塔身底部中央B的水平距离为48米后，沿着坡比为的斜坡走了40米到达点D，再沿着平台往前行走40米后到达点F，，在F处测量塔身顶端A的仰角刚好为． (1)求平台到水平面的距离； (2)求塔身的高度．（精确到1米，参考数据，） 13．（2026·贵州安顺·二模）下图是某同学安装的化学实验装置，安装要求：试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，即．已知试管长度，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离（精确到）． (2)实验时，点，，在同一条直线上，经测量，，．求试管夹到桌面的垂直距离（精确到）． （参考数据：，，，） 14．（2026·贵州遵义·二模）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，路线为折线，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行．（参考数据：，，，结果保留整数） (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 15．（2026·贵州遵义·二模）桑梯—登以采桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．（参考数据：，，，，） (1)当时，若人站在的中点处，求此人离地面的高度；（结果保留根号） (2)当时，求桑梯顶端到地面距离的范围．（结果精确到米） 16．（2026·贵州六盘水·二模）赤道式日晷（guǐ）是中国古代经典的天文计时仪器．如图1是某景区日晷实物图．数学兴趣小组想要了解日晷的晷针长度和晷针针尖到地面的铅直高度，他们将日晷实物图抽象成如图2所示的几何图形，并进行了如下的实地测量： 【测量数据】 如图2，点，，，在同一平面内，测得晷针与水平线的夹角，，． 【问题解决】 根据以上测量的数据，解答下列问题： (1)求晷针的长度． (2)求晷针的针尖到地面的铅直高度． （结果精确到，参考数据：，，） 17.（2026·贵州遵义·二模）海龙屯是中国保存最完整的中世纪军事城堡之一，在第39届世界遗产大会上被列入《世界遗产名录》．某综合实践小组开展测量“飞虎关”高度的活动，记录如下． 活动主题 测量“飞虎关”的高度 实物图和测量示意图 测量说明 图1是“飞虎关”与三十六步天梯，图2是测量示意图，“飞虎关”高度为，“三十六步天梯”长为． 测量数据 ，，． 备注 （1）点A，B，C，D在同一平面上； （2）参考数据：，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求点B到的垂直距离； (2)求“飞虎关”的高度． 18．（2026·江苏无锡·一模）图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 (1)求图2中塔底半径． (2)如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的变化 4大考点概览 考点01图形的对称 考点02投影与视图 考点03图形的相似 考点04锐角三角函数 图形的对称 考点01 1．（2026·贵州六盘水·二模）下列音符中，可以看作轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 2．（2026·贵州安顺·二模）“平安顺意”写成下列字体，可以看作轴对称图形的字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各选项进行判断即可． 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 3．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图所示的化学实验仪器平面图，其中是轴对称图形的是（   ） A．烧杯 B．U型管 C．双颈烧瓶 D．漏斗 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．烧杯口左侧有导流嘴，沿竖直中线折叠左右无法重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．U型管沿竖直中线折叠左右能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意； C．双颈烧瓶两个颈方向不同，沿竖直中线折叠左右无法重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．漏斗下端管口为斜切状，沿竖直中线折叠左右无法重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）随着健康生活理念的提高，人们的环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A、B、D都不符合轴对称图形的定义； C符合轴对称图形的定义， 故选：C． 5．（2026·贵州·模拟预测）下列汉字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A．爱 B．我 C．中 D．华 【答案】C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．爱不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．我不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．中是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D．华既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．（2026·贵州遵义·二模）下列春晚的标志中，属于中心对称图形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【详解】在平面内，将一个图形绕某一点旋转，若旋转后的图形能和原图形重合，这个图形就是中心对称图形． 选项A：绕图形中心旋转，旋转后的图形和原图形完全重合，属于中心对称图形； 选项B：旋转后，图形的结构位置和原图形不重合，不是中心对称图形； 选项C：旋转后图形方向颠倒，和原图形不重合，不是中心对称图形； 选项D：旋转后和原图形不重合，不是中心对称图形． 投影与识图 考点02 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）花溪区黔陶乡的制陶史可追溯至明代洪武年间．如图是一款陶制茶杯，关于它的三视图下列说法正确的是（     ） A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同 C．主视图和左视图相同 D．三视图各不相同 【答案】C 【详解】解：观察可知，茶杯的主视图和左视图相同，与俯视图不相同. 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）下列立体图形的主视图为圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、主视图为正方形，不符合题意； B、主视图为圆形，符合题意； C、主视图为三角形，不符合题意； D、主视图为长方形且中间有一条竖直的虚线，不符合题意． 3．（2026·贵州·模拟预测）如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．图2是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知：“斗”的俯视图是 ． 4．（2026·贵州遵义·二模）石鼓（如图）是中国古代文化的瑰宝，象征着万物丰茂、财丰物足．下列图形中，属于石鼓的俯视图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，石鼓边缘的圆都可以看见，则俯视图是 5．（2026·贵州黔东南·二模）墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的视图是主视图: 6．（2026·贵州铜仁·二模）下图是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从该几何体的左侧看，一共一列，高度为二，故D选项符合． 7．（2026·贵州遵义·二模）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： 故选：B． 8．（2026·贵州遵义·二模）如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，根据三棱柱的展开图特点解题即可． 【详解】由题可知，几何体为三棱柱． 故选：C． 9．（2026·贵州毕节·二模）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥体的立体图形判断即可． 【详解】用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形， 故选：B． 【点睛】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键． 10．（2026·贵州安顺·二模）如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子不符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子符合题意． 故选：D． 11．（2026·贵州遵义·二模）下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据简单几何体的三视图逐个判断即可．掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意； B．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意； C．长方体的三视图都是矩形，但3个矩形的长、宽不同，故此选项不符合题意； D．球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意． 故选：D． 12．（2026·贵州·模拟预测）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（   ）    A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】通过观察立体图形即可． 【详解】 解：该立体图形的主视图是  ， 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答． 13．（2026·贵州毕节·二模）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大， ∴用图象刻画出来应为C． 故选：C． 【点睛】考点：1．函数的图象；2．中心投影；3．数形结合． 图形的相似 考点03 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，，若，，则等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·贵州黔南·模拟预测）如图是一架梯子及其侧面示意图，已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是边和的中点，则与的面积之比为（    ） A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶1 【答案】A 【分析】根据面积比等于相似比平方，即可求出△ADE与△ABC的比． 【详解】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴； 故选：A； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是△ABC的中位线，判断△ADE∽△ABC，要求同学们掌握相似三角形的面积比等于相似比平方． 4．（2026·贵州遵义·二模）如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】B 【分析】过点P作于点F，交于点E，证明得，即可求出，移动后过点作于点，交于点，，同理，则，即，求出，即可求解． 【详解】如图，过点P作于点F，交于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 移动后如图，过点作于点，交于点， ∵投影的长度缩短了， ∴， 同理， ∴，即， ∴， 经检验，是原分式方程的根， ∴点P相对于木棒向右平移了． 5．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在中，，．若的周长为6，则的周长是（     ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据，得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为6， ∴． 6．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，中，E是上一点，且，连接、交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可求出，证明，根据相似三角形的性质求出，然后根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·贵州铜仁·二模）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 8．（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于，延长交于，连接，易证，，从而得，，则，根据点为的中点得，进而得，再证，从而得，，在中根据求得和，在中由勾股定理求得，则，然后根据列方程，据此可得的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于，延长交于，连接，如图所示： 则，， ，， ， ，点为的中点， ， ， 即点为的中点， ， ，， 平分， ， ， 即为等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一定理得：， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等，正确添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 9．（2025·贵州遵义·一模）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为______米． 【答案】/1.5/ 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出同位角相等，证明三角形相似，利用相似三角形的性质即可求出结果． 【详解】解：， ， ， 解得，， ． 故答案为：． 10．（2026·山西阳泉·一模）如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，可得三边为，然后证明，则设，再证明，可设，最后由，建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：过点作于点，则 ∵， ∴ ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设 由折叠可得，， ∵， ∴ 同理可设， ∵ ∴， 解得， ∴． 11．（2026·贵州遵义·二模）如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接，，． (1)写出与线段相等的线段： ； (2)过点D作的切线，交的延长线于点G．求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)线段 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用“同一个圆中，弧相等，则弧所对的弦相等”求解； （2）根据“在同一个圆中，等弧所对的圆周角相等”以及等腰三角形的性质得到，从而利用“内错角相等两直线平行”证得，证得，然后利用已知条件证三角形相似求解； （3）根据直径所对圆周角是直角，在中求得圆的半径，再利用垂径定理进行求解． 【详解】（1）解：∵点D是的中点， ∴， ∴． （2）证明：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， 由（1）知， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． （3）解：由（1）知， 在中，， ， 如图所示，连接交于点， ∵点D是的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则， 在和中，， ， ∴，解得， 则， ∴． 12．（2026·贵州遵义·二模）如图，是的直径，过点作的切线，连接交于点，点是下方半圆的中点，连接，，，交于点，． (1)写出图中两个的角，并直接写出线段与线段的数量关系； (2)求证：； (3)若的半径为，求的长． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用切线性质、直径所对圆周角为直角，结合直角三角形的性质确定的角；再结合半圆中点的性质，利用等腰直角三角形的边角关系确定线段与的数量关系； （2）根据等弧所对的圆周角相等，结合同弧所对的圆周角相等，证明两组角对应相等，从而证明三角形相似； （3）通过作辅助线构造等腰直角三角形与含角的直角三角形，利用三角函数建立方程求出线段长度，再结合勾股定理计算的长． 【详解】（1）解：是的切线，， ， 是的直径， ， ， 如图，连接， ， 是下方半圆的中点， ， ， ； （2）证明：点是下方半圆的中点， ， ； ， ， ； （3）解：如图，过点作于点， 由（2）可知， 是的直径， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 在中，， ， 解得， ， ． 13．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，点E是线段上的动点，连接，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，交于点K，连接交于点H． (1)【问题解决】如图，______度，写出图中一对相似三角形：________； (2)【问题探究】连接，试探究线段与的数量关系； (3)【深入研究】当点E为的中点时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由旋转性质得，，则是等腰直角三角形，进而可得，由正方形的性质和余角定义可得到， ，又，利用相似三角形的判定可得答案； （2）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明，再结合勾股定理即可得出结论； （3）设，则，过点作延长线于点，过点作于点G，证明四边形是正方形得到，则，证明得到；再证明得到，则，进而可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质得，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，又， ∴； （2）解：如图，过点作延长线于点，则， 由旋转得，， ∴， ∵在正方形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵点是的中点， ∴设，则， 过点作延长线于点，过点作于点G， 则， ∴四边形是矩形， 由（2）知，， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2026·福建漳州·一模）如图，正方形内接于，点在上，连接，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究之间的等量关系． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； (2) (3) ，理由如下： 延长到点H，使得，连接， ∵， ∴， ∵正方形中，， 又∵ ∴ ∴ ∵正方形中，， ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，则，再由圆周角定理得到，然后结合公共角即可 ； （2）先证明，结合，则可设，那么，由，求出，由（1）知，则，连接，则，确定是的直径，再由弧长公式求解即可； （3）延长到点H，使得，连接，先证明，则，可得，则由勾股定理得到，再等量代换求证即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 设， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 由（1）知 ∴ 连接，则 ∵正方形内接于， ∴是的直径， ∵ ∴ ∴的长为； （3）略 15．（2026·贵州安顺·二模）如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，直线与的延长线相交于点，弦平分，连接，． (1)判断与的位置关系为________；在不添加辅助线的情况下，写出图中一对相等的角：________． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)证明：是的直径， ， ， 和过点的切线互相垂直，即， ， ， ，， ， ， ， ，即， ，， ． (3) 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据等边对等角可得相等的角； （2）由直径所对的圆周角为直角可得，结合，由同角的余角相等可证得，易证，根据平行线的性质以及等边对等角，等量代换证明，即可得证； （3）连接，根据角平分线的性质结合圆周角定理可得，，进而可得的长，由（2）所得相似三角形的性质结合可得与的比值，在中，利用勾股定理即可列方程求解即可． 【详解】（1）解：是的切线，是半径， ； ， ；（答案不唯一） （2）略 （3）解：如图，连接， 弦平分， ， ， ． 是的直径， ， ， ． 由（2）得，，，即， ，，即， ． 设，则，， 在中，， 即， 解得（不合题意，舍去），． ． 锐角三角函数 考点04 1．（2026·贵州·模拟预测）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）计算： 在①，②，③，④中任选3个式子求和； 【详解】解：①，②，③，④ 选①②③时，； 选①②④时，； 选②③④时，； 选①③④时，； 3．（2026·贵州黔南·模拟预测）计算、化简： 计算：从①，②，③，④中选择三个代数式求和； 【详解】解：选①②③： 选①②④： ． 选①③④： ． 选②③④： ； 4．（2026·贵州铜仁·二模）计算与化简求值： 计算： 【详解】解：原式 ； 5．（2026·贵州安顺·二模）按要求完成下列各题： 计算：． 【详解】解： 6．（2026·贵州遵义·二模）计算、化简求值 ． 【详解】解：原式 7．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在中，，，点是边上一点，连接并延长至，使，点在的延长线上，且，连接．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】过点E作于点G，交于点H，解直角三角形得出，证明，得出，同理得，得出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过点E作于点G，交于点H，如图所示： 则， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·贵州遵义·二模）如图，在四边形中，，，点E在边上，连接，点G在上，且，点F是的中点，连接，，，．若，，则的长是_______． 【答案】 【分析】连接，先证明四边形为矩形，得出，，解直角三角形得出，证明为等腰直角三角形，得出，，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，作交的延长线于，则，则四边形为矩形，得出，，设，则，，证明，得出，，，证明，得出，，求出，从而可得，，由勾股定理可得，则，再证明，即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，作交的延长线于，则， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·贵州黔东南·二模）小星想测量某景区内一尊孔子雕像的高度，如图1是雕像的实景图，图2为小星设计的测量示意图，在C处测得雕像顶A的仰角为，在综合楼门前的台阶D处测得雕像顶A的仰角为，C，D两处的水平距离为0.45米，台阶的高度为0.18米，已知B，C，E三点在同一直线上，点A，B，C，D，E在同一平面内． (1)设孔子雕像的高为x米，请用x的代数式表示的长，即_________米； (2)求雕像的高．（精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)2.5米 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，则，再解即可； （2）先表示出，再解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则 由题意得，， ∴ 在中， ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ 在中， ∴ ∴ 解得， 答：雕像的高为米． 10（2026·贵州遵义·二模）小星利用测角仪测量古建筑的高度．如图，古建筑前有一座高为3米的斜坡（米），在斜坡顶端处测得古建筑顶部的仰角为，沿斜坡走5米到达斜坡底部处（米），此时测得古建筑的仰角为于点在同一条直线上，涉及到的所有点在同一平面内，设的高度为米．（参考数据：．） (1)直接写出的长为__________，的长为__________（用含的代数式表示）； (2)求古建筑的高度． 【答案】(1)4米；米 (2)古建筑的高度为24米 【分析】（1）由勾股定理得米，再证明是等腰直角三角形，可得米，从而可得米； （2）过点的水平线交于点，则四边形为矩形，得，在中得，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：在中， 根据勾股定理得：； 在中， ， ∴， 米； （2）解：过点的水平线交于点， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 古建筑的高度为24米． 11．（2026·贵州遵义·二模）实践探究：某校数学研学小组为测量贵州水利一号工程——夹岩水利枢纽及黔西北供水工程的大坝高度，采用无人机采集相关数据． 数据采集：如图是测量的示意图，点A表示大坝的顶部，点B表示大坝的底部，为大坝的垂直高度．无人机从大坝一侧飞行至点C处时，测得点A的仰角为，点B的俯角为，无人机沿水平方向飞行至点D处，在D处测得点A的仰角为． 数据应用：图中各点均在同一竖直平面内，计算大坝的高度．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】延长交于点E，先解，再解，最后由求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点E， 由题意可知，，，，，， ， ， ， 在中，，， ，， 在中，，， ， ， 答：大坝的高度约为． 12．（2026·贵州遵义·二模）贵州红枫湖大桥由于建立在岩溶发育地区，对桥梁的安全、美观及其与环境的协调有较高的要求，图（1）是其实景图．某数学兴趣小组为了测量其塔身的高度，设计了如图（2）所示的测量示意图．该小组测量河岸C到塔身底部中央B的水平距离为48米后，沿着坡比为的斜坡走了40米到达点D，再沿着平台往前行走40米后到达点F，，在F处测量塔身顶端A的仰角刚好为． (1)求平台到水平面的距离； (2)求塔身的高度．（精确到1米，参考数据，） 【答案】(1)32米 (2)97米 【分析】（1）过点D作于点G，设米，则米，根据勾股定理得出米，根据米，求出，即可得出答案； （2）延长，交于点H，在中，根据，求出米，再求出结果即可． 【详解】（1）解：过点D作于点G，如图所示： ∵斜坡的坡比为， ∴设米，则米， 根据勾股定理得：米， ∵米， ∴， 解得：， 即平台到水平面的距离（米）． （2）解：延长，交于点H，如图所示： 则，米，， ∴， 根据题意得：米，米，， 根据解析（1）得：（米）， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：塔身的高度为97米． 13．（2026·贵州安顺·二模）下图是某同学安装的化学实验装置，安装要求：试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，即．已知试管长度，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离（精确到）． (2)实验时，点，，在同一条直线上，经测量，，．求试管夹到桌面的垂直距离（精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据线段的数量关系推出，再利用解直角三角形的计算求出，证明四边形为矩形，结合矩形性质即可求出酒精灯与铁架台的水平距离； （2）过点作于点，于点，利用解直角三角形的计算求出，证明四边形为矩形，进而求出，再次利用解直角三角形的计算求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点作于点， ， ， ， ， 倾斜角为， ， ， 四边形为矩形， ； （2）解：过点作于点，于点， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ． 14．（2026·贵州遵义·二模）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，路线为折线，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行．（参考数据：，，，结果保留整数） (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 【答案】(1)点到直线的距离为． (2)现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于点，于点，证明四边形为矩形，得到，，解直角三角形得出的长，即可； （2）解直角三角形得到的长，求出的长，由勾股定理得到的长，根据，即可． 【详解】（1）解：作于点，于点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ，，， ∴， ∴ ， ∴ ． 答：点到直线的距离为． （2）解：在中，，，， ∴ ， 由（1）可得， ，， ∵ ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为：， ． 15．（2026·贵州遵义·二模）桑梯—登以采桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．（参考数据：，，，，） (1)当时，若人站在的中点处，求此人离地面的高度；（结果保留根号） (2)当时，求桑梯顶端到地面距离的范围．（结果精确到米） 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）过作，垂足是点，则，求出，在中，，即，则； （）过点作，垂足是点，则，分别求出当时，当时，的长，则可得出桑梯顶端到地面距离的范围． 【详解】（1）解：过作，垂足是点，则， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，，即 ∴， ∴此人离地面的高度为； （2）解：过点作，垂足是点，则， 当时， ∵， ∴， 由， 在中，，即， 即， 当时， ∵， ∴， 在中，，即， ∴， ∴与地面的距离范围为． 16．（2026·贵州六盘水·二模）赤道式日晷（guǐ）是中国古代经典的天文计时仪器．如图1是某景区日晷实物图．数学兴趣小组想要了解日晷的晷针长度和晷针针尖到地面的铅直高度，他们将日晷实物图抽象成如图2所示的几何图形，并进行了如下的实地测量： 【测量数据】 如图2，点，，，在同一平面内，测得晷针与水平线的夹角，，． 【问题解决】 根据以上测量的数据，解答下列问题： (1)求晷针的长度． (2)求晷针的针尖到地面的铅直高度． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，利用余弦函数求解； （2）得出，利用正弦函数求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 由（1）得，且， ∴， ∴ 17.（2026·贵州遵义·二模）海龙屯是中国保存最完整的中世纪军事城堡之一，在第39届世界遗产大会上被列入《世界遗产名录》．某综合实践小组开展测量“飞虎关”高度的活动，记录如下． 活动主题 测量“飞虎关”的高度 实物图和测量示意图 测量说明 图1是“飞虎关”与三十六步天梯，图2是测量示意图，“飞虎关”高度为，“三十六步天梯”长为． 测量数据 ，，． 备注 （1）点A，B，C，D在同一平面上； （2）参考数据：，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求点B到的垂直距离； (2)求“飞虎关”的高度． 【答案】(1)点B到的垂直距离约为32米 (2)的高度约为 【分析】（1）延长，交于点E，求出，再解直角三角形即可得出结果； （2）由（1）可知在中，，解直角三角形得出，求出，从而可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点E， 依题意知：， ， ， 在中，， ， 即点B到的垂直距离约为32米. （2）解：由（1）可知在中，， ， 又， ， 在中，， 即的高度约为． 18．（2026·江苏无锡·一模）图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 (1)求图2中塔底半径． (2)如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 【答案】(1)图2中塔底半径的长约为； (2)兴国寺塔的高度约为． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，根据等腰三角形三线合一求出，，解直角三角形即可解答； （2）过点作于点，易证四边形是矩形，得到，解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：图2中塔底半径的长约为； （2）解：过点作于点， 由题意得， 由（1）知， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 答：兴国寺塔的高度约为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $