四川广安市加德学校2025-2026学年高二（领航班）下学期第一次月考数学试题

**基本信息** 高二数学月考试卷聚焦核心素养，以圆锥曲线、数列、导数等主干知识为载体，融入祖冲之圆周率文化情境与援疆支教实际应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|双曲线渐近线、等差数列求和、导数切线|单选第1题夯实双曲线基础，多选第11题综合椭圆与双曲线离心率，考查数形结合| |填空题|3题15分|导数极值、分配问题、数列通项|第13题援疆支教分配考查排列组合实际应用，第14题结合数列通项与不等式恒成立| |解答题|5题77分|导数单调性、数列证明、立体几何、椭圆综合、新定义函数|第19题“等比左偏函数”新定义题型，融合导数、数列与逻辑推理；第16题数列证明体现数学归纳思想，呼应高考创新命题趋势|

广安加德学校2025-2026学年高二下领航班第一次月考 数学试题 (本试卷共150分,考试时间120分钟) 注意事项: 1.答卷前,请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号; 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题; 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答,超出区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效; 4.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、损毁;考试结束后,将答题卡交回. 第I卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的方程为,则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前n项和为,若,则( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 34 3. 曲线在点处的切线与直线垂直,则( ) A. 2 B. 0 C. D. 4. 将4个1和2个0随机排成一行代码,要求2个0不相邻,则不同代码的种数为( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 240 5. 过抛物线的焦点作斜率小于0的直线与抛物线交于,两点,且与准线交于点,若,则( ) A. B. C. D. 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若a1>0,S4=S12,则下列结论中正确的有( )个 ①公差d<0;②a7+a9<0;③Sn的最大值为S8;④满足Sn<0的n的最小值为16。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率 的范围是:为纪念祖冲之在圆周率方面的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷,他在设置手机的数字密码时,打算将圆周率的中间6位数字1,4,1,5,9,2进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位,那么小明可以设置的不同密码有( )个. A. 180 B. 240 C. 300 D. 360 8. 已知,方程总有正实根,当取得最小值时,的值为( ) A. B. C. D. 1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数为,的部分图象如图所示,则( ) A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 10. 设公比为q的等比数列的前n项积为,若,则( ) A. 当时,或 B. C. 当时,为等差数列 D. 11. 已知椭圆:与双曲线:有公共的焦点,,.若P为,在第一象限的一个公共点,和的离心率分别为,,,则( ) A. 当,时, B. C. D. 当时,的取值范围是 第 卷 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.第14题第一空2分,第二空3分. 12. 已知函数在处有极小值,则a的值为_ 13. 根据“援疆支教”工作的要求,我校决定派出位骨干教师对新疆哈密地区个学校进行教学帮扶,每个学校至少分配一位骨干教师,则不同的分配方案种数为_(用数字作答). 14. 数列满足,则其通项公式_;若数列满足,且对均有恒成立,则实数的取值范围为_. 四、解答题:本题共5题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数,. (1)讨论的单调性; (2)若函数在上的最小值是,求a的值. 16.(15分) 数列满足,,.(,). (1)证明数列是等比数列,并求出数列的通项公式; (2)设数列满足,证明:对一切正整数n,有. 17.(15分) 如图,已知、均是边长为2的等边三角形,且平面平面,为的中点,且. (1)证明:; (2)若,,求平面与平面夹角的大小. 18.(17分) 已知椭圆的离心率为,抛物线的准线方程为. (1)求C的方程; (2)过点的直线l(斜率存在且不为0)与C交于M,N两点,N关于x轴的对称点为P.已知. ( )证明:P、M、Q三点共线; ( )求的取值范围. 19.(17分) 已知A,B,C是曲线上不同的三点.若点A,B,C的横坐标成等比数列,且曲线在点B处的切线的斜率小于直线AC的斜率,则称是其定义域上的“等比左偏函数”.已知. (1)讨论的极值点个数; (2)若是上的“等比左偏函数”,求实数a的取值范围; (3)当时,数列满足,,证明:.