专题02 空间向量与立体几何（期末复习讲义）高二数学下学期湘教版

专题02 空间向量与立体几何 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 空间点与向量坐标求解 题型02 向量线性运算、共线与共面求参数 题型03 空间向量数量积、模长、夹角计算 题型04 平面法向量求解 题型05 向量证明平行关系 题型06 向量证明垂直关系 题型07 空间角计算 题型08 空间距离计算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的基本概念与运算 1. 区分自由向量、位置向量、零向量、单位向量； 2. 熟练完成向量线性运算、数量积运算； 3. 掌握向量共线、共面的充要条件，能简单证明与求参数. 基础必考，以选择、填空题为主，分值占比 15%~20%，难度偏易。 空间向量的坐标表示与空间直角坐标系 1. 遵循右手定则建立空间直角坐标系，准确书写点与向量坐标； 2. 活用距离、中点、模长、夹角公式； 3. 用坐标判定向量平行、垂直关系. 全卷工具型考点，选择、填空、解答题均会涉及，贯穿立体几何全题型。 空间向量在立体几何证明中的应用 1.能推导并运用线线、线面、面面平行的向量判定定理，规范写出证明过程； 2.能推导并运用线线、线面、面面垂直的向量判定定理，完成立体几何证明题； 3.能结合空间直角坐标系，通过向量运算判定平行与垂直，逻辑严谨. 解答题核心考点，占比25%-30%，多以“证明+计算”综合题出现，难度中等，是拉开分差的关键 空间向量在立体几何计算中的应用 1.能熟练求解平面法向量，掌握法向量的求解方法 2.能推导并运用线线角、线面角、二面角的向量计算公式，计算结果准确，角度范围判断正确 3.能计算点到直线、点到平面、异面直线的距离，结合空间几何场景应用公式 4.能区分空间角与向量夹角的关系，正确转化角度. 压轴考点，以解答题压轴题形式出现，占比30%-35%，考查综合应用能力，难度中等偏难 知识点01 空间向量的基本概念 核心概念: 1.空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量，记作、（起点为A，终点为B） 2.自由向量：与起点位置无关，仅由大小和方向决定（空间向量均为自由向量） 3.位置向量：以原点O为起点，终点为P的向量，可表示点P的位置 4.向量的模：向量的大小，记作、，值为非负数 5.零向量：模为0的向量，记作，方向任意，与任意向量共线、共面 6.单位向量：模为1的向量，若，则的单位向量为 7.相等向量：大小相等、方向相同的向量（与起点无关） 8.相反向量：大小相等、方向相反的向量，记作，满足 公式法则： 核心法则：相等向量、相反向量的判定（仅看大小和方向，与起点无关） 知识点02 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘） 核心概念： 1.加法运算：求两个向量和的运算，几何意义为“平行四边形法则”“三角形法则”（空间中同样适用） 2.减法运算：求两个向量差的运算，本质是加法的逆运算，即 3.数乘运算：实数与向量的乘积，记作，结果仍为向量 公式法则： 1.加法法则（运算律） 交换律： 结合律： 2.数乘法则（运算律） 分配律：； 结合律： 3.数乘向量的性质 当时，与方向相同， 当时，与方向相反， 当时， 知识点03 空间向量的共线与共面 核心概念： 1.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量共线 2.共面向量：平行于同一个平面的向量，或能平移到同一个平面内的向量 公式法则（充要条件）： 1.共线向量充要条件 (1) 若，则与共线存在唯一实数，使得； (2) 坐标表示（设，）：（不同时为0） 2.共面向量充要条件 (1) 若、不共线，则向量与、共面存在唯一实数对，使得 (2) 坐标表示（设，，）：（混合积为0） 知识点04 空间向量的数量积（点积） 核心概念： 1.数量积：两个空间向量、的数量积为一个实数，记作，几何意义为的模与在方向上的投影长度的乘积 2.投影向量：在方向上的投影向量为，投影长度为 3.向量夹角：，范围为，且， 公式法则： 1.数量积公式 几何形式： 坐标形式（设，）： 2.模长公式： 3.夹角公式：（，） 4.垂直充要条件： 知识点05 空间直角坐标系 核心概念： 1.空间直角坐标系：由三条两两垂直且交于原点O的数轴（x轴、y轴、z轴）组成，遵循右手定则 2.右手定则：伸开右手，让拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向 3.坐标平面：xOy平面（z=0）、xOz平面（y=0）、yOz平面（x=0），将空间分为8个卦限 4.空间点的坐标：点P在x、y、z轴上的投影对应的实数，记作，原点O坐标为 5.向量的坐标：若、，则（终点减起点） 公式法则： 1.两点间距离公式：若、，则 2.中点坐标公式：若、，中点M坐标为 知识点06 平面的法向量 核心概念： 1.平面的法向量：垂直于平面的非零向量，记作，一个平面有无数个法向量，且所有法向量互相共线 2.法向量的性质：法向量垂直于平面内的所有向量 公式法则（求解方法）： 1.基本步骤（设平面内两个不共线向量、，求） 1.列方程：由、，得，即 2.解方程：令其中一个变量为特殊值（如1、-1，避免分数），求解另外两个变量 3.得法向量：写出，可乘以非零实数得到其他法向量 2.叉积公式（快速求解）： 知识点07 空间向量证明线线、线面、面面平行 核心概念： 1.线线平行：两条直线的方向向量共线，且两条直线不重合 2.线面平行：直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线不在平面内 3.面面平行：两个平面的法向量共线，且两个平面不重合 公式法则（判定定理）： 1.线线平行（设直线方向向量，直线方向向量） 存在唯一实数，使得（） 2.线面平行（设直线方向向量，平面法向量） ，且 3.面面平行（设平面法向量，平面法向量） 存在唯一实数，使得（），且与不重合 知识点08 空间向量证明线线、线面、面面垂直 核心概念： 1.线线垂直：两条直线的方向向量垂直，无论是否相交（异面直线垂直也适用） 2.线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，且直线垂直于平面内所有直线 3.面面垂直：两个平面的法向量垂直，且两个平面有公共交线 公式法则（判定定理）： 1.线线垂直（设直线方向向量，直线方向向量） 2.线面垂直（设直线方向向量，平面法向量） 存在唯一实数，使得（） 3.面面垂直（设平面法向量，平面法向量） ，且与有公共交线 知识点09 空间角的计算（线线角、线面角、二面角） 核心概念： 1.线线角：两条异面直线所成的角，范围为，取两个方向向量夹角的锐角或直角 2.线面角：直线与平面所成的角，范围为，取直线方向向量与平面法向量夹角的余角 3.二面角：两个平面所成的角，范围为，由两个平面的法向量夹角或其补角决定（看图形方向） 公式法则： 1.线线角（设直线方向向量，直线方向向量） （） 2.线面角（设直线方向向量，平面法向量） （） 3.二面角（设平面法向量，平面法向量） 锐角二面角： 钝角二面角： （判断锐角/钝角：观察图形，或用平面内向量方向验证） 知识点10 空间距离的计算（点到直线、点到平面、异面直线） 核心概念： 1.点到直线的距离：点到直线的垂线段长度，是点到直线上所有点的距离的最小值 2.点到平面的距离：点到平面的垂线段长度，是点到平面内所有点的距离的最小值 3.异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线段长度，是两条直线上各取一点的距离的最小值 公式法则： 1.点到直线的距离（设点，直线过点，方向向量） （叉积的模长除以方向向量的模长） 2.点到平面的距离（设点，平面过点，法向量） （数量积的绝对值除以法向量的模长） 3.异面直线间的距离（设直线过点，方向向量；直线过点，方向向量） （混合积的绝对值除以叉积的模长） 题型一 空间点与向量坐标求解 解｜题｜技｜巧 1.严格遵循终点坐标−起点坐标，顺序不可颠倒； 2.建系优先利用几何体垂直、对称关系，简化坐标； 3.对称点、中点直接套用中点坐标公式。 答｜题｜模｜板 1.以某顶点 / 垂足为原点，按右手定则建立空间直角坐标系； 2.根据几何体边长、垂直关系，依次写出所有关键点坐标； 3.结合两点坐标，计算对应向量坐标。 【典例1】已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】(24-25高二上·浙江温州·期末)在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二·江苏南京·期中)已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高二上·上海实验学校·期末)在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【变式3】(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二 向量线性运算、共线与共面求参数 解｜题｜技｜巧 1. 线性运算：坐标对应加减、数乘，逐项计算； 2. 向量共线：坐标成比例，列等式求参数； 3. 向量共面：利用线性组合，列方程组求解。 答｜题｜模｜板 1. 写出所有向量坐标； 2. 根据共线 / 共面条件列方程（组）； 3. 解方程，检验零向量等特殊情况，得出参数。 【典例1】(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【典例2】7．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 【变式1】(24-25高二下·云南楚雄彝族楚雄等5地·期末)如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】(22-23高二下·甘肃临夏回族·期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】(21-22高二下·江苏南京六校联合体·期中)在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 题型三 空间向量数量积、模长、夹角计算 解｜题｜技｜巧 1. 有坐标直接套用坐标形式计算数量积； 2. 求模长：； 3. 求夹角：公式计算后，结合范围判断角度。 【典例1】(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【典例2】(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【变式1】设，向量，，且，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【变式2】(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高二上·吉林名校联盟·)已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 【变式4】(24-25高二下·上海宝山区·期末)在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则_________.   题型四 平面法向量求解 解｜题｜技｜巧 1. 选取平面内两个不共线向量列方程； 2. 赋值优先选或，简化运算； 3. 计算完成后代入验证，防止出错。 【典例1】(24-25高二下·安徽宿州、示范高中皖北·期中)已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二上·安徽临泉田家炳实验中学·期末)在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高二上·辽宁高中点石联考·)若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4】在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 题型五 向量证明平行关系 解｜题｜技｜巧 1. 线线平行：证方向向量共线，补充 “直线不重合”； 2. 线面平行：证方向向量与法向量垂直，补充 “直线不在平面内”； 3. 面面平行：证两平面法向量共线。 答｜题｜模｜板 1. 建立空间直角坐标系，写出各点坐标； 2. 求出直线方向向量、平面法向量； 3. 根据平行判定条件推导； 4. 补充限制条件，下结论。 【典例1】(24-25高二上·湖南天壹名校·期末)在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 【典例2】(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·月考)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【变式1】(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 【变式2】如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）   A． B． C． D． 【变式3】如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．   (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【变式4】如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.求证：平面. 【变式5】如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面. 【变式6】如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.求证：平面. 题型六 向量证明垂直关系 解｜题｜技｜巧 1. 线线垂直：证明方向向量数量积为； 2. 线面垂直：证明直线方向向量与平面法向量共线； 3. 面面垂直：证明两个平面法向量数量积为。 【典例1】(24-25高二上·陕西咸阳·期末)（多选）设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，使得，则 【典例2】如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，. (1)求证：；(2)求的长. 【典例3】如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明平面. 【典例4】如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【变式1】(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【变式2】(24-25高二下·甘肃会宁县第一中学·期末)若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，下列正方体中，为下底面的中心，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线的是（    ） A．  B．   C．  D．   【变式4】如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【变式5】如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点. 求证：平面PCD． 【变式6】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． 求证：(1)∥平面；(2)平面平面． 题型七 空间角计算 解｜题｜技｜巧 1. 异面直线角：公式必加绝对值，结果取锐角 / 直角； 2. 线面角：牢记，区分互余关系； 3. 二面角：先求法向量夹角，结合图形判断锐角 / 钝角，再写最终结果。 【典例1】(25-26高二上·上海大学附属中学·期中)在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为__________. 【典例2】(24-25高二下·河南开封·期末)在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【典例3】(25-26高二上·重庆西南大学附属中学校·月考)已知三棱锥中，，，若二面角的余弦值是，则二面角的余弦值为________． 【变式1】(25-26高二上·上海曹杨第二中学·期中)已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为______． 【变式2】(23-24高一下·湖北武汉部分学校·期末)在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高二下·甘肃白银多校·期末)在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【变式3】(24-25高二下·河南南阳·期末)已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高二下·河南漯河·期末)在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式5】已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（   ） A． B． C．或 D． 【变式6】(24-25高二上·北京广渠门中学·月考)如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 题型八 空间距离计算 解｜题｜技｜巧 1. 点到平面距离为必考类型，直接套用固定公式； 2. 公式全程保留绝对值，保证距离非负。 【典例1】(23-24高二下·甘肃武威古浪县第三中学·期末)已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 【典例2】(24-25高二上·江苏无锡某校·期末)如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为____. 【典例3】(25-26高二上·贵州贵阳清镇博雅实验学校·月考)如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【变式1】已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为____. 【变式2】(24-25高二下·河南南阳六校·期末)在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________. 【变式3】(25-26高二上·上海海事大学附属北蔡高级中学·期中)已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，__________． 【变式4】如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱．若点到平面的距离为，则正四棱柱的高为______．   期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．(24-25高二上·四川凉山州·期末)已知点关于轴的对称点为，则（ ） A．2 B． C． D．6 2．(25-26高二·上海复旦大学附属中学·期中)在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 3．(24-25高二上·广西玉林·期末)已知点是点在平面上的射影，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·甘肃张掖中学·期中)若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 5．(24-25高二上·广东深圳龙华区·期末)如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 6．(21-22高二下·四川绵阳南山中学·期中)已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 7．(24-25高二下·甘肃靖远县第一中学·期末)在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 8．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则______． 9．(21-22高二上·河北邢台第一中学·月考)已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则_______． 10．(24-25高二下·福建厦门·期末)在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11．(22-23高二上·山西晋中平遥县第二中学校·)已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________. 12．(23-24高二上·河南漯河·期末)如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25高二上·贵州遵义红花岗区·期末)如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 2．(24-25高二下·江苏南通·期末)如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 3．(24-25高二上·安徽黄山·期末)如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. (1)求（用表示）； (2)求直线和夹角的正弦值. 4．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点.   (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 5．如图，已知四边形为等腰梯形，且，，，．为中点，将沿进行翻折，使点与点重合．取中点，连接、．    (1)证明：平面； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 6．(25-26高二上·广东中山桂山中学·期末)如图，正方体中，点在棱上. (1)求证：； (2)设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 7．(24-25高二下·四川德阳高中·)如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． (1)求证：； (2)当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量与立体几何 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 空间点与向量坐标求解 题型02 向量线性运算、共线与共面求参数 题型03 空间向量数量积、模长、夹角计算 题型04 平面法向量求解 题型05 向量证明平行关系 题型06 向量证明垂直关系 题型07 空间角计算 题型08 空间距离计算 题型09 空间几何体截面及动点轨迹问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的基本概念与运算 1. 区分自由向量、位置向量、零向量、单位向量； 2. 熟练完成向量线性运算、数量积运算； 3. 掌握向量共线、共面的充要条件，能简单证明与求参数. 基础必考，以选择、填空题为主，分值占比 15%~20%，难度偏易。 空间向量的坐标表示与空间直角坐标系 1. 遵循右手定则建立空间直角坐标系，准确书写点与向量坐标； 2. 活用距离、中点、模长、夹角公式； 3. 用坐标判定向量平行、垂直关系. 全卷工具型考点，选择、填空、解答题均会涉及，贯穿立体几何全题型。 空间向量在立体几何证明中的应用 1.能推导并运用线线、线面、面面平行的向量判定定理，规范写出证明过程； 2.能推导并运用线线、线面、面面垂直的向量判定定理，完成立体几何证明题； 3.能结合空间直角坐标系，通过向量运算判定平行与垂直，逻辑严谨. 解答题核心考点，占比25%-30%，多以“证明+计算”综合题出现，难度中等，是拉开分差的关键 空间向量在立体几何计算中的应用 1.能熟练求解平面法向量，掌握法向量的求解方法（设坐标+列方程+解方程） 2.能推导并运用线线角、线面角、二面角的向量计算公式，计算结果准确，角度范围判断正确 3.能计算点到直线、点到平面、异面直线的距离，结合空间几何场景应用公式 4.能区分空间角与向量夹角的关系，正确转化角度（如线面角与向量夹角互余） 压轴考点，以解答题压轴题形式出现，占比30%-35%，考查综合应用能力，难度中等偏难 知识点01 空间向量的基本概念 核心概念: 1.空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量，记作、（起点为A，终点为B） 2.自由向量：与起点位置无关，仅由大小和方向决定（空间向量均为自由向量） 3.位置向量：以原点O为起点，终点为P的向量，可表示点P的位置 4.向量的模：向量的大小，记作、，值为非负数 5.零向量：模为0的向量，记作，方向任意，与任意向量共线、共面 6.单位向量：模为1的向量，若，则的单位向量为 7.相等向量：大小相等、方向相同的向量（与起点无关） 8.相反向量：大小相等、方向相反的向量，记作，满足 公式法则： 核心法则：相等向量、相反向量的判定（仅看大小和方向，与起点无关） 知识点02 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘） 核心概念： 1.加法运算：求两个向量和的运算，几何意义为“平行四边形法则”“三角形法则”（空间中同样适用） 2.减法运算：求两个向量差的运算，本质是加法的逆运算，即 3.数乘运算：实数与向量的乘积，记作，结果仍为向量 公式法则： 1.加法法则（运算律） 交换律： 结合律： 2.数乘法则（运算律） 分配律：； 结合律： 3.数乘向量的性质 当时，与方向相同， 当时，与方向相反， 当时， 知识点03 空间向量的共线与共面 核心概念： 1.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量共线 2.共面向量：平行于同一个平面的向量，或能平移到同一个平面内的向量 公式法则（充要条件）： 1.共线向量充要条件 (1) 若，则与共线存在唯一实数，使得； (2) 坐标表示（设，）：（不同时为0） 2.共面向量充要条件 (1) 若、不共线，则向量与、共面存在唯一实数对，使得 (2) 坐标表示（设，，）：（混合积为0） 知识点04 空间向量的数量积（点积） 核心概念： 1.数量积：两个空间向量、的数量积为一个实数，记作，几何意义为的模与在方向上的投影长度的乘积 2.投影向量：在方向上的投影向量为，投影长度为 3.向量夹角：，范围为，且， 公式法则： 1.数量积公式 几何形式： 坐标形式（设，）： 2.模长公式： 3.夹角公式：（，） 4.垂直充要条件： 知识点05 空间直角坐标系 核心概念： 1.空间直角坐标系：由三条两两垂直且交于原点O的数轴（x轴、y轴、z轴）组成，遵循右手定则 2.右手定则：伸开右手，让拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向 3.坐标平面：xOy平面（z=0）、xOz平面（y=0）、yOz平面（x=0），将空间分为8个卦限 4.空间点的坐标：点P在x、y、z轴上的投影对应的实数，记作，原点O坐标为 5.向量的坐标：若、，则（终点减起点） 公式法则： 1.两点间距离公式：若、，则 2.中点坐标公式：若、，中点M坐标为 知识点06 平面的法向量 核心概念： 1.平面的法向量：垂直于平面的非零向量，记作，一个平面有无数个法向量，且所有法向量互相共线 2.法向量的性质：法向量垂直于平面内的所有向量 公式法则（求解方法）： 1.基本步骤（设平面内两个不共线向量、，求） 1.列方程：由、，得，即 2.解方程：令其中一个变量为特殊值（如1、-1，避免分数），求解另外两个变量 3.得法向量：写出，可乘以非零实数得到其他法向量 2.叉积公式（快速求解）： 知识点07 空间向量证明线线、线面、面面平行 核心概念： 1.线线平行：两条直线的方向向量共线，且两条直线不重合 2.线面平行：直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线不在平面内 3.面面平行：两个平面的法向量共线，且两个平面不重合 公式法则（判定定理）： 1.线线平行（设直线方向向量，直线方向向量） 存在唯一实数，使得（） 2.线面平行（设直线方向向量，平面法向量） ，且 3.面面平行（设平面法向量，平面法向量） 存在唯一实数，使得（），且与不重合 知识点08 空间向量证明线线、线面、面面垂直 核心概念： 1.线线垂直：两条直线的方向向量垂直，无论是否相交（异面直线垂直也适用） 2.线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，且直线垂直于平面内所有直线 3.面面垂直：两个平面的法向量垂直，且两个平面有公共交线 公式法则（判定定理）： 1.线线垂直（设直线方向向量，直线方向向量） 2.线面垂直（设直线方向向量，平面法向量） 存在唯一实数，使得（） 3.面面垂直（设平面法向量，平面法向量） ，且与有公共交线 知识点09 空间角的计算（线线角、线面角、二面角） 核心概念： 1.线线角：两条异面直线所成的角，范围为，取两个方向向量夹角的锐角或直角 2.线面角：直线与平面所成的角，范围为，取直线方向向量与平面法向量夹角的余角 3.二面角：两个平面所成的角，范围为，由两个平面的法向量夹角或其补角决定（看图形方向） 公式法则： 1.线线角（设直线方向向量，直线方向向量） （） 2.线面角（设直线方向向量，平面法向量） （） 3.二面角（设平面法向量，平面法向量） 锐角二面角： 钝角二面角： （判断锐角/钝角：观察图形，或用平面内向量方向验证） 知识点10 空间距离的计算（点到直线、点到平面、异面直线） 核心概念： 1.点到直线的距离：点到直线的垂线段长度，是点到直线上所有点的距离的最小值 2.点到平面的距离：点到平面的垂线段长度，是点到平面内所有点的距离的最小值 3.异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线段长度，是两条直线上各取一点的距离的最小值 公式法则： 1.点到直线的距离（设点，直线过点，方向向量） （叉积的模长除以方向向量的模长） 2.点到平面的距离（设点，平面过点，法向量） （数量积的绝对值除以法向量的模长） 3.异面直线间的距离（设直线过点，方向向量；直线过点，方向向量） （混合积的绝对值除以叉积的模长） 题型一 空间点与向量坐标求解 解｜题｜技｜巧 1.严格遵循终点坐标−起点坐标，顺序不可颠倒； 2.建系优先利用几何体垂直、对称关系，简化坐标； 3.对称点、中点直接套用中点坐标公式。 答｜题｜模｜板 1.以某顶点 / 垂足为原点，按右手定则建立空间直角坐标系； 2.根据几何体边长、垂直关系，依次写出所有关键点坐标； 3.结合两点坐标，计算对应向量坐标。 【典例1】已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河北省张家口市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷 【详解】因为，，， 所以.故选：D. 【典例2】(24-25高二上·浙江温州·期末)在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为.故选：D. 【变式1】(25-26高二·江苏南京·期中)已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市 2025-2026 学年高二第二学期期中学情调研数学试题 【详解】由题，，，所以，，，因此点的坐标为. 【变式2】(24-25高二上·上海实验学校·期末)在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【答案】C 【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数，所以点和点关于轴对称.故选：C 【变式3】(24-25高二下·福建南安成功中学·期末)在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面对称，则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，故点关于平面的对称点坐标为.故选：D. 题型二 向量线性运算、共线与共面求参数 解｜题｜技｜巧 1. 线性运算：坐标对应加减、数乘，逐项计算； 2. 向量共线：坐标成比例，列等式求参数； 3. 向量共面：利用线性组合，列方程组求解。 答｜题｜模｜板 1. 写出所有向量坐标； 2. 根据共线 / 共面条件列方程（组）； 3. 解方程，检验零向量等特殊情况，得出参数。 【典例1】(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】已知，因为四点共面，所以，解得.故选：A. 【典例2】7．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 【答案】0 【详解】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即，即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底，则在此基底下的坐标为，同理，，则， 若A，C，D三点共线，则，即，解得．故答案为：0. 【变式1】(24-25高二下·云南楚雄彝族楚雄等5地·期末)如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是的中点，，又，由，.故选：. 【变式2】(22-23高二下·甘肃临夏回族·期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴， ，则，，， 故．故选：A. 【变式3】(21-22高二下·江苏南京六校联合体·期中)在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，．故选：B． 题型三 空间向量数量积、模长、夹角计算 解｜题｜技｜巧 1. 有坐标直接套用坐标形式计算数量积； 2. 求模长：； 3. 求夹角：公式计算后，结合范围判断角度。 【典例1】(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【答案】 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，，则，，，则，所以， 故答案为：. 【典例2】(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】如图所示，设中心为，则平面， 则，即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上，由已知正四面体的棱长为， 则，，则 ，故答案为：. 【变式1】设，向量，，且，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】向量，且，∴，解得， ∴，∴，故选：B 【变式2】(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，得，则，故选：D 【变式3】(24-25高二上·吉林名校联盟·)已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 【答案】 【详解】因为，所以，所以，则，所以在上的投影向量为.故答案为：. 【变式4】(24-25高二下·上海宝山区·期末)在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则_________.   【答案】 【详解】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.”正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得， 则.故答案为：. 题型四 平面法向量求解 解｜题｜技｜巧 1. 选取平面内两个不共线向量列方程； 2. 赋值优先选或，简化运算； 3. 计算完成后代入验证，防止出错。 【典例1】(24-25高二下·安徽宿州、示范高中皖北·期中)已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽省宿州市省、市示范高中皖北2024-2025学年高二下学期期中考试教学质量检测数学试题 【详解】因为为平面的法向量，所以且.因为：；；.所以ACD都不是.因为，，所以B正确.故选：B 【典例2】如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，，是中点，则，因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错；故选：B． 【变式1】(25-26高二上·安徽临泉田家炳实验中学·期末)在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，，设平面ABC的法向量为，则， 令，则，则是平面ABC的一个法向量.故选：D 【变式2】(24-25高二上·辽宁高中点石联考·)若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直，即且，设， 则，，由第二个方程得，代入第一个方程有，令，则，即．故选：B 【变式3】已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025-2026学年重庆市高二上学期期末考试数学试卷 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则，， 设平面的法向量为，，令，则，故平面的法向量为.故选：C.   【变式4】在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市武昌区2025届高三下学期5月质量检测（三模）数学试题 【详解】如下图所示：在平行六面体中，，．设，，，所以， ，，对A， ，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，, ，与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确； 故选：D. 题型五 向量证明平行关系 解｜题｜技｜巧 1. 线线平行：证方向向量共线，补充 “直线不重合”； 2. 线面平行：证方向向量与法向量垂直，补充 “直线不在平面内”； 3. 面面平行：证两平面法向量共线。 答｜题｜模｜板 1. 建立空间直角坐标系，写出各点坐标； 2. 求出直线方向向量、平面法向量； 3. 根据平行判定条件推导； 4. 补充限制条件，下结论。 【典例1】(24-25高二上·湖南天壹名校·期末)在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 【答案】 【详解】根据已知条件，建立如图所示：以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系，，，，，， ，，，，设平面的一个法向量， ，，则，令，有，，所以， 平面，则，即，解得.故答案为： 【典例2】(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·月考)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为在上，且，所以.同理. 所以， 又与不共线，则共面，又平面，得平面. 【变式1】(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 【答案】 【详解】因为，所以，故答案为： 【变式2】如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，设，则．设平面的法向量，则，令，则，可得，因为平面，则， 即，解得，即点坐标为．故选：B. 【变式3】如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．   (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【详解】（1）  因为，所以， 同理，， 所以； （2）证明：因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 【变式4】如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.求证：平面. 【详解】底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，故，，两两垂直. 以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 在四棱台中，，，P为AB的中点， 故,则, 所以，即，且平面，平面， 故平面. 【变式5】如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面. 【详解】平面，以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ,，则 平面，平面的一个法向量为. ， 平面， 平面. 【变式6】如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.求证：平面. 【详解】如图,以点为原点，分别以， ，所在直线为轴建立空间直角坐标系．设 ，则 ，过 P 作平面，垂足为点， 则点是正方形的中心，则 于是，则 设平面法向量为，又， 则，因，故可取 由，可得， 又平面，故平面. 题型六 向量证明垂直关系 解｜题｜技｜巧 1. 线线垂直：证明方向向量数量积为； 2. 线面垂直：证明直线方向向量与平面法向量共线； 3. 面面垂直：证明两个平面法向量数量积为。 【典例1】(24-25高二上·陕西咸阳·期末)（多选）设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，使得，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则，，A正确；对于B，，则或，B错误； 对于C，若，则，，C正确；对于D，，使得，则，而平面不重合，因此，D正确.故选：ACD 【典例2】如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，. (1)求证：；(2)求的长. 【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ，， 所以， 所以. （2）由（1）知，所以 . 所以. 【典例3】如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明平面. 【详解】证明：以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， 可得，，， 则且， 所以，，且，平面， 所以平面. 【典例4】如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为，则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为，所以，所以平面平面． 【变式1】(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【详解】由题意得，，则，则.故选：A 【变式2】(24-25高二下·甘肃会宁县第一中学·期末)若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线平面，，又易知，，，解得，，则. 故选：A. 【变式3】如图，下列正方体中，为下底面的中心，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线的是（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】B 【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2， 对于A，， 则，与不垂直，A不是；   对于B，， 则，B是；   对于C，， 则与不垂直，C不是；   对于D，， 则，与不垂直，D不是.   故选：B. 【变式4】如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面，所以平面． 【变式5】如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点. 求证：平面PCD． 【详解】如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形， 故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点， 则, , 于是，不妨设平面PCD的法向量为， 则有令，故可取， 因，则平面PCD. 【变式6】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． 求证：(1)∥平面；(2)平面平面． 【详解】（1）依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，．由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 题型七 空间角计算 解｜题｜技｜巧 1. 异面直线角：公式必加绝对值，结果取锐角 / 直角； 2. 线面角：牢记，区分互余关系； 3. 二面角：先求法向量夹角，结合图形判断锐角 / 钝角，再写最终结果。 【典例1】(25-26高二上·上海大学附属中学·期中)在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为__________. 【答案】 【详解】过作，且， 设，得， 以为原点，以所在直线分别为轴，过作平面为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 故，设和所成角为.故答案为：. 【典例2】(24-25高二下·河南开封·期末)在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，所以， 设平面的法向量为，所以，令，所以， 设与平面所成角为，所以.故选：B. 【典例3】(25-26高二上·重庆西南大学附属中学校·月考)已知三棱锥中，，，若二面角的余弦值是，则二面角的余弦值为________． 【答案】/ 【详解】过作于，过作交于，   为二面角的平面角，， ，令，， 令，，，，， 中，，即，， 中，，，，； 过作于，，与夹角为二面角的平面角，设其为， ，，， ．即二面角的余弦值为.故答案为：. 【变式1】(25-26高二上·上海曹杨第二中学·期中)已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为______． 【答案】/ 【详解】向量，，则， 设异面直线所成角的大小为，则，所以.故答案为： 【变式2】(23-24高一下·湖北武汉部分学校·期末)在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设正方体棱长为4，，则，. 因，， 则，故， ，故， 且，则， 设BE与DF所成的角为，则.故选：C. 【变式3】(24-25高二下·甘肃白银多校·期末)在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】/ 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为： 【变式3】(24-25高二下·河南南阳·期末)已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，故选B. 【变式4】(24-25高二下·河南漯河·期末)在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点O，连接，因为为正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，建立如图所示的直角坐标系， 则，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，得平面的一个法向量为. 又，设与平面所成角为，所以.故选：B. 【变式5】已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】，即．两平面所成二面角为或.故选：C 【变式6】(24-25高二上·北京广渠门中学·月考)如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，因为为中点，所以， 又平面底面，平面底面平面，所以平面，故两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，  设，由，可得， 则，设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为，则有，令，得，得， 则，则平面与平面夹角的余弦值为．故选：B． 题型八 空间距离计算 解｜题｜技｜巧 1. 点到平面距离为必考类型，直接套用固定公式； 2. 公式全程保留绝对值，保证距离非负。 【典例1】(23-24高二下·甘肃武威古浪县第三中学·期末)已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 【答案】/ 【详解】因平面，且平面，故，又，故可以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，   则，，，，所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，，所以，令，则.设异面直线与之间的距离为d，则. 故答案为： 【典例2】(24-25高二上·江苏无锡某校·期末)如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为____. 【答案】/ 【详解】由题可知：平面平面,所以 所以,,, 所以,所以. 所以. 直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且. 因为平面,所以平面,.. 因为,所以,所以.故答案为：. 方法二：如图所示， 直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且.因为侧面是矩形，取的中点F，连接,则.因为侧棱平面，所以平面,所以两两垂直，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.据题意可知，，则，设平面AB1D的一个法向量是，所以,所以,令,则,所以.因为,所以点C到平面AB1D的距离.故答案为： 【典例3】(25-26高二上·贵州贵阳清镇博雅实验学校·月考)如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【详解】由正方体结构性质可知且，且，所以四边形和四边形均为平行四边形，所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面，又，平面， 所以平面平面，所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为.故答案为：2 【变式1】已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为____. 【答案】 【详解】由题设，则坐标原点到直线的距离. 故答案为： 【变式2】(24-25高二下·河南南阳六校·期末)在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【详解】因为，所以点到平面的距离.故答案为：. 【变式3】(25-26高二上·上海海事大学附属北蔡高级中学·期中)已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，__________． 【答案】2 【详解】，由得， 直线恒过点，同理， 由得，直线恒过点，两直线间最大距离为两定点之间的距离，此时直线与垂直，，，，解得，之间距离最大时，．故答案为：2． 【变式4】如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱．若点到平面的距离为，则正四棱柱的高为______．   【答案】2 【详解】设正四棱柱的高为，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，   则，，，，则，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以点到平面的距离为，化简整理得，解得（负值舍去）． 故正四棱柱的高为2．故答案为：2 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．(24-25高二上·四川凉山州·期末)已知点关于轴的对称点为，则（ ） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【详解】由题意可得，则.故选：D 2．(25-26高二·上海复旦大学附属中学·期中)在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【来源】上海市复旦大学附属中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期中考试试卷（B卷） 【详解】在空间直角坐标系中：关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确；关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确；关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误；关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 3．(24-25高二上·广西玉林·期末)已知点是点在平面上的射影，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点是点在平面上的射影，则，所以，. 故选：B. 4．(24-25高二下·甘肃张掖中学·期中)若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 【答案】3 【详解】由.故答案为：3 5．(24-25高二上·广东深圳龙华区·期末)如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，是BC的中点，，，故选： 6．(21-22高二下·四川绵阳南山中学·期中)已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 【答案】D 【详解】∵向量，，不能构成空间的一组基底，∴，，共面，∵向量，，有共同的点，∴四点共面，故D正确；当四点共面时，，，不一定共线，故A错误；中不一定有三点共线，故B错误；与不一定共线，故C错误，故选：D. 7．(24-25高二下·甘肃靖远县第一中学·期末)在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【答案】 【详解】在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，，所以， 又因为，所以.故答案为：. 8．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则______． 【答案】 【详解】如图所示，  .故答案为： 9．(21-22高二上·河北邢台第一中学·月考)已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则_______． 【答案】15 【详解】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：，则， 解得：，故.故答案为：15. 10．(24-25高二下·福建厦门·期末)在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，设正四面体的棱长为， 则， 故，又， 直线与直线夹角的余弦值为，故选：D． 11．(22-23高二上·山西晋中平遥县第二中学校·)已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【详解】由已知，，则，则，故答案为：. 12．(23-24高二上·河南漯河·期末)如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令，则，设平面的法向量为， ∵，，则，令，则，∴， 又平面的法向量为，故，设平面与平面所成角为，，则，故平面与平面夹角的正弦值为.故选：C. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25高二上·贵州遵义红花岗区·期末)如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【详解】（1）因为是矩形，所以，因为底面，所以以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，且设，所以，，， ，，因为，分别为，的中点， 所以由中点坐标公式得，，则， 由题意得面的法向量为， 因为，面，所以平面. （2）由题意得，，设面的一个法向量为， 则，由题意得，令，解得， 得到，此时， 可得，故平面. 2．(24-25高二下·江苏南通·期末)如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【详解】（1）在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以．                     因为是正三角形，D是中点，所以．                     又，，平面，所以平面． （2）解法一：在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以．             由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以．             设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2．                 解法二：在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，．             设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，，取，则，得．                 设平面的一个法向量， 因为，，由即 解得，， 取，则，，得． 因为平面平面，所以，解得或， 所以或2． 3．(24-25高二上·安徽黄山·期末)如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. (1)求（用表示）； (2)求直线和夹角的正弦值. 【详解】（1）. （2），， 所以. 又和都是等边三角形，， 设直线和的夹角为，则， 所以. 4．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点.   (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，，   因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. （2）因为平面，在平面内， 所以，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以.   设平面的法向量为，则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为，  则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．如图，已知四边形为等腰梯形，且，，，．为中点，将沿进行翻折，使点与点重合．取中点，连接、．    (1)证明：平面； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：连接，因为四边形为等腰梯形，所以，, 又为中点，，， 所以四边形为平行四边形，则，，即， 因为，所以为等边三角形，即为等边三角形， 又为的中点，所以，则， 又，所以，即， 因为，且平面，所以平面. （2）由（1）知，为等边三角形，，所以， 则，在中，，则， 又，所以，则，因为平面，，所以平面， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以，， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为． 6．(25-26高二上·广东中山桂山中学·期末)如图，正方体中，点在棱上. (1)求证：； (2)设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1，则，,， 设，则,， 所以，所以，故. （2）设满足条件的点，设平面的一个法向量， 因为,，则，即， 取，得，由M在上，且，则， 设平面的一个法向量，,， 则即，取，得， 平面⊥平面，则，解得或（舍）， 所以当，即为的中点时，平面⊥平面. 7．(24-25高二下·四川德阳高中·)如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． (1)求证：； (2)当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 【详解】（1）平面平面，， 又为圆的直径，，平面平面, 平面，而平面，所以； （2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 设圆柱的高为，则 所以，且平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，则， 不妨令，则，又平面与平面所成角为， 则，所以，且 则直线与圆柱底面所成角为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $