精品解析：黑龙江齐齐哈尔市八五一零农场中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

2025-2026学年下学期六月份月考 数学试卷 命题人：高一数学组 审题人：高一数学组 学校：________ 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单选题（本题型共8小题，每小题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，故A正确. 2. 已知是不同的直线是不重合的平面，若则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，又因， 所以，因此. 3. 已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，解得， 时，，则是的一个对称中心． 4. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 则，解得， 又，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是. 5. 设是夹角为的两个单位向量，若，则（    ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】，则． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 7. 已知正四面体的四个顶点均在球的表面上，若球的半径为3，则正四面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正四面体补形为正方体，得正四面体的外接球与对应正方体的外接球为同一个球，通过正方体的外接球半径推导正四面体棱长与外接球半径的关系，求出正四面体的棱长；由正四面体的四个面为全等的正三角形，求得正四面体的表面积. 【详解】以正四面体的棱为正方体的面的对角线，将正四面体扩展为正方体，如图所示，则正方体的外接球与正四面体的外接球为同一个球. 设正方体的边长为，则正四面体的棱长为，外接球的半径； 球的半径为3，，得. 正四面体的棱长为. ，即正四面体的表面积为. 8. 已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定四边形为经过，D ，E三点的正方体的截面，结合四边形的周长公式求解即可. 【详解】正方体中，平面，则平面与平面的交线与平行， 取中点F，连接，，因为，有， 所以四边形为经过，D ，E三点的正方体的截面， 在梯形中，，，，， 所以四边形周长为. 二、多选题（本题型共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合各类空间几何体的定义本质，通过构造反例与性质推导，逐一判断命题的正误. 【详解】对于A，将两个全等棱柱沿底面拼接，所得多面体存在一组互相平行的面， 其余各面均为平行四边形，但不满足棱柱侧棱全部平行的核心要求， 故该多面体不一定是棱柱，A正确. 对于B，棱锥仅有底面为多边形，其余面均为三角形，若存在平行四边形面， 则该面必为四边形底面，对应棱锥为四棱锥，B正确. 对于C，平行六面体的所有面均为平行四边形，由平行四边形对边平行且相等的性质， 可推得相对两个面的边长完全对应相等，即为全等的平行四边形，C正确. 对于D，棱台的必要条件是各侧棱延长后交于同一点， 仅上下底面平行相似、侧面为梯形，无法保证侧棱共顶点， 因此该多面体不一定为棱台，D错误. 10. 在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦定理，对进行边角互化，结合的取值范围得，再利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得为锐角，利用诱导公式、同角三角函数关系及正弦函数的单调性，可得，判断A；求出，判断B；求出判断C，D. 【详解】因为，所以，根据正弦定理边角互化得， 因为，，所以，即， 所以，即. 由余弦定理可知，，故， 若，则，注意到， 所以，（两者同负会有两个钝角，不成立），即，， 因为，，都是锐角， 所以， 于是，这和相矛盾， 故不成立，所以． 所以，，， 所以，故A选项正确； ，即， 所以或，即或， 当时，，； 当时，，，故B选项错误； 因为的面积为， 所以，当，时，，，， 解得，，； 当，时，，，， 解得，，， 故C选项错误，D选项正确． 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 此八面体的外接球与内切球的半径之比为. C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，将异面直线DE与CF所成的角转化为直线DE与AE所成的角求解；对于选项B，根据八面体的几何特征，分别求出其外接球和内切球的半径判断；对于选项C，将平面沿展开与平面重合，将的最小值转化为两点间的距离； 对于选项D，通过条件先判断点的轨迹，然后求解. 【详解】对于A，如图， 连接，取中点，连接和，由题意可得､为同一直线，且A，，，四点共面， 又，故四边形为菱形，故， 故异面直线DE与CF所成的角等于直线DE与AE所成的角，即异面直线DE与CF所成的角等于，故A正确； 对于B，由四边形为正方形，有， 故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等，即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有， 化简得，则此八面体的外接球与内切球的半径之比为，故B错误； 对于C，将沿折叠至平面中，则在新的平面中，A，，三点共线时， 如图， 有最小值，则，故C错误； 对于D，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有，解得， 由B可知，点到平面的距离为，所以， 这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，它的周长是， 根据对称性可知动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：AD 三、填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【详解】由斜二测画法的性质可得，原图中，，， 所以， 因此周长. 13. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，再根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 14. 已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题关键是结合正方体的结构特征与平面基本性质,分析截面为五边形的临界条件,再利用勾股定理将线段长度转化为所求变量的表达式,进而求解取值范围. 【详解】由题意知,，又，故. 则. 当时，可知， 又，则， 故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)， 当时，过点作的平行线交于点， 可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图), 当时，过点作的平行线交的延长线于， 交于点，连接交于点， 可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3), 综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时, 即的范围为. 四、解答题（本题型共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. （1）求证：，，，四点共面； （2）设与交于点，求证：，，三点共线. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理，以及由比例式可证，进而可得，可得结论； （2）证明平面，平面，利用基本事实，即可证得结论. 【小问1详解】 ，分别为，的中点，. 在中，，，. ，，，四点共面. 【小问2详解】 ，，平面，平面. 同理平面. 为平面与平面的公共点. 又平面平面， ，，，三点共线. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 【答案】（1） 证明：连接交于点，连接； 因为底面是矩形，故为中点； 又因为M是PD的中点，故； 因为平面，平面， 故平面； （2）证明：因为平面，平面，故； 因为底面是矩形，故； 因为，且平面； 故平面，因为平面，故； 又因为，且M是PD的中点，故； 因为，且平面， 故平面． 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理，根据三角形中位线找平行关系进行证明； （2）根据已知线面垂直得到线线垂直，从而通过证明线面垂直得到线线垂直，再利用等腰三角形三线合一得到垂直条件，利用线面垂直的判定定理进行证明． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 17. 如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的侧面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明面面平行，需根据判定定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明平面，平面； （2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥的三个侧面的面积. 【小问1详解】 ∵、分别为、的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 在中，，， 又，∴， ∵平面，平面，∴平面， 又∵，平面CMN，平面CMN， ∴平面平面PAB． 【小问2详解】 ∵平面，平面，平面， 由（1）可知，∴、， ∵，，，， ∴，，， 由（1）可知， 在中，， ∴， 又， 在中，，∴边上的高， ∴， ∴三棱锥的侧面积. 18. 已知向量，，，设函数； （1）将函数化为的形式； （2）求的最小正周期与单调递增区间； （3）对，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）． 【解析】 【分析】（1）平面向量的数量积公式结合二倍角公式及辅助角计算化简； （2）应用正弦函数周期及单调区间计算求解； （3）结合恒成立，利用正弦函数最值计算求解. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ， 由得， 故的递增区间为； 【小问3详解】 ，恒成立 由，得， 故时， ， ， ∴实数的取值范围是． 19. 如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. （1）设平面平面，证明：； （2）在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）存在，；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）由得平面，再由线面平行的性质定理，结合两平面交线，证得； （2）（i）连接交于，利用的比例关系和线面平行判定，得到的值； （ii）根据梯形底面积比求两部分体积比，再结合棱锥体积公式列方程，解得的值. 【小问1详解】 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以. 【小问2详解】 （i）存在点，使得平面，此时. 证明如下：连接交于点，连接 因为，且，所以，又因为，， 所以，因为平面，平面，所以平面. （ii）存在，且，理由如下： 记四棱锥的体积是. 由，得，故， 即. 设，则. 令，得，解得. 故存在点，当时，平面将四棱锥分为体积相等的两部分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期六月份月考 数学试卷 命题人：高一数学组 审题人：高一数学组 学校：________ 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单选题（本题型共8小题，每小题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知是不同的直线是不重合的平面，若则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A. B. C. D. 4. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（ ） A. B. C. D. 5. 设是夹角为的两个单位向量，若，则（    ） A. B. 2 C. D. 3 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四面体的四个顶点均在球的表面上，若球的半径为3，则正四面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面周长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题型共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 10. 在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 此八面体的外接球与内切球的半径之比为. C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为 三、填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 13. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________. 14. 已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 四、解答题（本题型共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. （1）求证：，，，四点共面； （2）设与交于点，求证：，，三点共线. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 17. 如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的侧面积． 18. 已知向量，，，设函数； （1）将函数化为的形式； （2）求的最小正周期与单调递增区间； （3）对，不等式恒成立，求m的取值范围． 19. 如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. （1）设平面平面，证明：； （2）在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $