精品解析：2026年湖北省黄石市西塞山区协作体九年级考前测试数学试题

2025—2026学年下学期九年级5月模拟训练（三） 数学试题 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号、条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 叠涩是一种中国古代砖石结构建筑的砌法，通过一层层堆叠向外挑出或收进．如图所示的几何体是由3个大小相同的小立方块搭成的一种叠涩模型，那么该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 5. 如图，，点在上，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 某市明天有雨 B. 正五边形的外角和是 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 掷一次骰子，向上一面的点数是5 7. 如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，，在上，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是正方形边上一点（不与、重合），于点，连接，，若，则的长为（） A. B. 4 C. 5 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 苹果原价是元/，现在按九折优惠出售，打折后苹果的售价为__________元/． 12. 若二次根式有意义，任写一个满足条件的的值是__________． 13. “冰裂纹”“云头纹”“方胜纹”“浪花纹”是中国传统建筑常见的吉祥装饰纹样，寓意绵延不断、祥瑞圆满．现有工匠需要为一座亭子的栏杆雕刻纹饰，计划从这四种纹样中随机选用两种，其中包含“方胜纹”的概率为__________． 14. 计算：__________． 15. 如图1，在矩形中，，点E在上，且，点M从点A出发，沿的路径匀速运动到点B后停止，作于点N，设点M运动的路程为x，的面积为y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则（1）________，（2）________． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 17. 已知：如图，点P为矩形内一点，，求证：． 18. 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道烈士纪念碑的高度，于是师生组成综合实践小组进行测量．如图，纪念碑在的小山上，在处测得纪念碑底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得纪念碑顶部的仰角为，求烈士纪念碑的高度．（参考数据：） 19. 为了解某市八年级学生使用AI学习工具的情况，研究人员分别在主城区和城镇八年级学生中随机抽取相同人数的学生进行问卷调查，调查他们每周使用AI学习工具的时长（单位：），将数据分成、、、四个小组，，，，，部分统计信息如下： 两地调查数据统计表 区域 平均数 中位数 众数 组人数 主城区 3.4 3.8 3.0 21 城镇 2.8 3.2 3.0 21 （1）求在主城区抽取的问卷调查人数，并补全条形统计图；在城镇统计图中，组对应圆心角度数为__________； （2）若主城区有6000名八年级学生，求其中每周使用AI学习工具时间不低于的人数； （3）对比抽取的主城区和城镇学生使用AI学习工具的时长，你能得出什么结论？结合统计数据说明理由． 20. 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用图1的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，用你发现的规律回答下列问题： （1）展开式共有________项，第1项的系数为________，各项的次数为________； （2）图2中括号内的数为________； （3）利用上面的规律计算：__________； （4）利用图1，写出的展开式：________________________________________． 21. 如图，内接于，非直径弦与半径相交于点，且，点是射线上一点，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进2件甲商品和1件乙商品需330元；购进1件甲商品和2件乙商品需300元．其中1件甲商品售价为150元，1件乙商品售价为110元． （1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）商场售出甲种商品的数量比乙种商品的数量的三分之一多10个，且获利超过1200元，问乙种商品最少卖出多少件？ （3）商场计划用不超过10350元购进两种商品共100件，其中甲种商品不少于40件，若每件甲种商品让利元，当销售完两种商品后，商场获得最大利润2225元，求的值． 23. 如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； （3）如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 24. 已知抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求的值； （2）如图，点是第四象限抛物线上的点，轴交于点，若，求点的坐标； （3）若抛物线顶点为，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点分别作轴，轴的平行线和，令交直线于点，交抛物线对称轴于点，设． ①求关于的函数解析式； ②对于每一个的取值都只有两个不同的值与之对应，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期九年级5月模拟训练（三） 数学试题 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号、条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上点的分布特征，原点右侧表示正数，左侧表示负数，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，据此判断即可． 【详解】解：由数轴图示可知： ．  ． 对比各选项，只有 C 选项成立． 2. 叠涩是一种中国古代砖石结构建筑的砌法，通过一层层堆叠向外挑出或收进．如图所示的几何体是由3个大小相同的小立方块搭成的一种叠涩模型，那么该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：从左面看，可以看到图形分为上下两层，下面一层有一个小正方形，上面一层有一个小正方形，A选项符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法的法则逐一判断选项正误． 【详解】解：A、∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，∴，A计算错误； B、∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，即，∴，B计算错误； C、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即，∴，C计算正确； D、当时，同底数幂相除，底数不变，指数相减，即，∴，D计算错误． 4. 关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式求解，最后验证方程有实根即可． 【详解】对于一元二次方程，其中，，， 因为方程有两个实数根，， 所以由根与系数的关系可得： ， ， 又因为 ， 将上述结果代入等式得 ， 解得 ， 验证判别式：，符合方程有两个实数根的条件， 因此． 5. 如图，，点在上，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵点在上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 6. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 某市明天有雨 B. 正五边形的外角和是 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 掷一次骰子，向上一面的点数是5 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件的定义为：在一定条件下，一定会发生的事件． 【详解】解： A． 某市明天有雨，可能发生也可能不发生，该事件属于随机事件． B． 任意多边形的外角和都是，正五边形外角和不可能是，该事件是不可能事件． C． 任意三角形的内角和一定为，该事件是必然事件． D． 掷一次骰子，向上一面的点数是5，可能发生也可能不发生，该事件属于随机事件． 7. 如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：点，点， ， 四边形是菱形， ，，， 点在轴上，且由图可知点在轴正半轴， 点的坐标为， 四边形是菱形， 且， 点的横坐标与点相同，为；点的纵坐标为点的纵坐标加， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 8. 物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，，解得， 故选：D． 9. 如图，点，，在上，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图得平分，由圆内接四边形的性质得，进而得出． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∴． 10. 如图，是正方形边上一点（不与、重合），于点，连接，，若，则的长为（） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，利用正方形性质和等腰直角三角形性质，分别用边长表示和，在中利用勾股定理建立与正方形边长及的关系，最后在中求解． 【详解】解：过点作于点， 四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形， ， 为中点，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 苹果原价是元/，现在按九折优惠出售，打折后苹果的售价为__________元/． 【答案】 【解析】 【详解】解：打折后售价为元． 12. 若二次根式有意义，任写一个满足条件的的值是__________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，因此根据二次根式有意义的条件，求出的取值范围，在取值范围内任写一个符合要求的的值即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 解得， 故在范围内任取一个值，例如． 13. “冰裂纹”“云头纹”“方胜纹”“浪花纹”是中国传统建筑常见的吉祥装饰纹样，寓意绵延不断、祥瑞圆满．现有工匠需要为一座亭子的栏杆雕刻纹饰，计划从这四种纹样中随机选用两种，其中包含“方胜纹”的概率为__________． 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】首先列举出从四种纹样中随机选用两种的所有等可能结果，再找出其中包含“方胜纹”的结果数，最后利用概率公式计算即可. 【详解】解：设“冰裂纹”为，“云头纹”为，“方胜纹”为，“浪花纹”为.从这四种纹样中随机选用两种，所有可能出现的结果如下：，，，，，.共有种等可能的结果.其中包含“方胜纹”的结果有，，，共种， 包含“方胜纹”的概率． 14. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式= 15. 如图1，在矩形中，，点E在上，且，点M从点A出发，沿的路径匀速运动到点B后停止，作于点N，设点M运动的路程为x，的面积为y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则（1）________，（2）________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】首先由矩形的性质得到，然后由图象得到，表示出，得到，表示出，即可求出；设，，证明出 ，得到，代入求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， 由图2得，当，即点M在A点时，此时点N和点D重合， ∴此时的面积 ∴，即 ∴ 当点M运动到点B时，点M停止运动，此时点N和点C重合， ∴此时的面积 ∴，即 ∴ ∴； 设，， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ∴，即 ， ， ∴将，代入得，， ， ． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式     17. 已知：如图，点P为矩形内一点，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】欲证明只要证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定． 18. 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道烈士纪念碑的高度，于是师生组成综合实践小组进行测量．如图，纪念碑在的小山上，在处测得纪念碑底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得纪念碑顶部的仰角为，求烈士纪念碑的高度．（参考数据：） 【答案】烈士纪念碑的高度为 【解析】 【分析】设，用加小山高表示，利用三角函数求得，结合写出的代数式，再在利用三角函数列方程，解方程即可求出长度． 【详解】解：设，则， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 解得，即． 答：烈士纪念碑的高度为． 19. 为了解某市八年级学生使用AI学习工具的情况，研究人员分别在主城区和城镇八年级学生中随机抽取相同人数的学生进行问卷调查，调查他们每周使用AI学习工具的时长（单位：），将数据分成、、、四个小组，，，，，部分统计信息如下： 两地调查数据统计表 区域 平均数 中位数 众数 组人数 主城区 3.4 3.8 3.0 21 城镇 2.8 3.2 3.0 21 （1）求在主城区抽取的问卷调查人数，并补全条形统计图；在城镇统计图中，组对应圆心角度数为__________； （2）若主城区有6000名八年级学生，求其中每周使用AI学习工具时间不低于的人数； （3）对比抽取的主城区和城镇学生使用AI学习工具的时长，你能得出什么结论？结合统计数据说明理由． 【答案】（1）在主城区抽取的问卷调查人数为50人； 补全条形统计图如下： ； 组对应圆心角度数为， （2）3720人 （3）答：平均数：主城区 > 城镇 ，故主城区整体使用时长更长． 中位数：主城区 > 城镇 ，故主城区中间水平学生使用时长更长． 众数：均为 ，故两组数据最集中值相同． 高时长比例：主城区C+D组占比 城镇 ， 主城区高时长学生比例更高． 综合判断：主城区八年级学生每周使用AI学习工具的时长整体高于城镇学生． 【解析】 【分析】（1）根据城镇调查对象中C组21人，占可求城镇调查总人数为人，由主城区和城镇随机抽取相同人数的学生结合主城区条形统计图求出主城区B组人数，即可补全条形统计图，在城镇统计图中，用乘以B组的所占百分比，即可得出组对应圆心角度数为， （2）用主城区八年级学生总人数8000乘以CD两组占比（即每周使用AI学习工具时间不低于的人数的百分），得到相应人数； （3）根据表格中给出主城区和城镇学生使用AI学习工具的时长的平均数、中位数、众数的数据，比较这些数据的大小，进行判断， 【小问1详解】 解：城镇调查总人数等于（人）， ∵在主城区和城镇八年级学生中随机抽取相同人数的学生， ∴在主城区抽取的问卷调查人数为50人； 主城区B组人数（人）； 补全条形统计图如下： ； 在城镇统计图中，组对应圆心角度数为， 【小问2详解】 解：主城区样本中，每周使用AI学习工具时间不低于3小时（即C组+D组）的占比为： 据此估计主城区6000名学生中符合条件的人数为：（人） 答：估计主城区有6000名八年级学生，求其中每周使用AI学习工具时间不低于的人数为3720人； 【小问3详解】 略 20. 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用图1的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，用你发现的规律回答下列问题： （1）展开式共有________项，第1项的系数为________，各项的次数为________； （2）图2中括号内的数为________； （3）利用上面的规律计算：__________； （4）利用图1，写出的展开式：________________________________________． 【答案】（1）5；1；4； （2）6 （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了杨辉三角的规律探索以及应用能力，关键是能根据完全平方式准确理解并运用杨辉三角． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图（2）即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图（2）即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，，代入计算即可得到答案． （4）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图（2）补全下一行即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图（2）可知：， 故展开式共有5项，第1项的系数为1，各项的次数为4； 【小问2详解】 由图2可知：括号内的数对应的系数，值为6； 【小问3详解】 解： ∵， ， ∴可取，， 即； 【小问4详解】 解：如图： ． 21. 如图，内接于，非直径弦与半径相交于点，且，点是射线上一点，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，则， ， ，是半径， ， ， ， ∵平分，即． ∴，即， ∵是半径， ∴与相切于点． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由垂径定理可得，则，进而可得，再根据切线的判定定理即可证明结论； （2）因为，，所以，由勾股定理得，再根据，可得，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ， ， ∵， ∴ ． 【点睛】连接过切点的半径，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 22. 某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进2件甲商品和1件乙商品需330元；购进1件甲商品和2件乙商品需300元．其中1件甲商品售价为150元，1件乙商品售价为110元． （1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）商场售出甲种商品的数量比乙种商品的数量的三分之一多10个，且获利超过1200元，问乙种商品最少卖出多少件？ （3）商场计划用不超过10350元购进两种商品共100件，其中甲种商品不少于40件，若每件甲种商品让利元，当销售完两种商品后，商场获得最大利润2225元，求的值． 【答案】（1）甲商品进价120元，乙商品进价90元 （2）乙种商品最少卖出33件 （3） 【解析】 【分析】（1）设甲种商品的进价为  元，乙种商品的进价为  元，列出方程组求解即可； （2）先求出甲、乙两种商品单件利润，乙种商品卖出  件，根据题意列出不等式，求出m的范围即可； （3）设购进甲种商品  件，则购进乙种商品  件，根据题意“用不超过10350元购进”及“甲种商品不少于40件”，可列不等式组求出，设商场获得的总利润为  元，列出W与a之间的函数关系，根据一次函数性质确定n的值． 【小问1详解】 解：设甲种商品的进价为  元，乙种商品的进价为  元， 根据题意“购进2件甲商品和1件乙商品需330元；购进1件甲商品和2件乙商品需300元”，可列方程组如下： ， 答： 甲种商品的进价是 120 元，乙种商品的进价是 90 元． 【小问2详解】 解：计算甲种商品单件利润： （元） 乙种商品单件利润： （元） 设乙种商品卖出  件，则甲种商品卖出  件， 根据题意“获利超过1200元”，可列不等式： ， 解得： 又甲种商品的数量为整数， 必须是的倍数， 的最小整数值为， 答：乙种商品最少卖出33件． 【小问3详解】 解：设购进甲种商品  件，则购进乙种商品  件，根据题意，得 解得， 设商场获得的总利润为  元， 甲种商品让利  元后，单件利润为  元；乙种商品单件利润仍为 20 元，则总利润  与  的函数关系式为： 已知  ，所以  ， 因为  ，所以  随  的增大而增大，要使利润  最大，则  应取最大值， 由题意可知  的最大值为 45， 将  和最大利润  代入函数关系式： 解得， 经检验，  满足  的条件． 答：  的值为 5． 23. 如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； （3）如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． （2）证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． （3）解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 已知抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求的值； （2）如图，点是第四象限抛物线上的点，轴交于点，若，求点的坐标； （3）若抛物线顶点为，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点分别作轴，轴的平行线和，令交直线于点，交抛物线对称轴于点，设． ①求关于的函数解析式； ②对于每一个的取值都只有两个不同的值与之对应，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①，②或． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据已知证明，可得，由此构造直角，由列方程求解即可； （3）①根据P的位置不同，分三种不同的情况求出函数关系式，②由①的函数关系画出图像，结合图像即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线解析式，得：， 解得：， 【小问2详解】 解：当时，，即抛物线与轴交于， 当时，， 解得：，，即抛物线与x轴交点为、． ∴，， ∴， 设（）， ∵，， ∴， ∴． 过点C作，垂足为， ∴，， ∴． ∴，解得． 当时，． 因此，点D的坐标为． 【小问3详解】 解：①∵， ∴顶点，对称轴， 设直线解析式为，把，，代入得 ，解得：， 即直线解析式为， 点，则，， 当时，点P在对称轴右侧， ，， 此时， 当时，点P在抛物线上之间， ，， 此时， 当时，点P在对称轴右侧，抛物线在直线的上方， ，， 此时， 综上，关于的函数解析式为：， ②当时，，在取值范围内，随增大而增大，与是一一对应关系；此时时，是最小值； 当时，，当时，是取值范围内的最大值， 当时，，在取值范围内，随增大而减小，与是一一对应关系；此时时，是最小值； 画出函数图像如图， 结合图像可知：当，时，对于每一个的取值都只有两个不同的值与之对应， 【点睛】解（2）的关键是根据角相等构造直角三角形利用正切值相等列方程，解（3）的关键是根据点P的位置不同分类讨论，然后画出函数图像，根据函数图像确定对于每一个的取值都只有两个不同的值与之对应． 第1页/共1页 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