第22讲 复数讲义-2027届安徽高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦复数板块，覆盖虚数单位、四则运算、共轭复数、模及几何意义等核心考点，按知识模块系统构建概念体系，通过考情解码明确命题方向，体系构建梳理关键公式，核心突破针对六大知识点设计题型破译与方法指导，结合真题溯源和课本典例训练，帮助学生系统突破高考高频考点。 资料创新采用“六句口诀”“三步检查法”等记忆与解题策略，如复数运算强调分母实数化技巧，几何意义结合距离公式与轨迹方程培养数学思维，设置分层练习与限时过关检测，确保学生高效掌握5分送分题，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学支撑。

2027届安徽高中数学复习 第22讲 复数 （学生原卷版） ——虚数单位、复数的四则运算与几何意义 2027届安徽高中数学一轮复习讲练测 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 06 综合演练·限时过关 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2026年 2025年 2024年 复数的基本概念 选择 新课标I T2,5分 全国甲T2,5分 新课标II T2,5分 复数的四则运算 选择 新课标II T2,5分 新课标I T2,5分 全国乙T2,5分 共轭复数与模 选择/填空 全国甲T2,5分 新课标II T2,5分 新课标I T2,5分 复数的几何意义 选择 新课标I T3,5分 全国乙T3,5分 全国甲T3,5分 实系数方程虚根 选择/填空 新课标II T4,5分 新课标I T4,5分 新课标II T4,5分 复数综合 选择 全国乙T2,5分 全国甲T3,5分 新课标I T3,5分 考情分析：复数是新高考数学中"性价比最高"的板块之一——每年固定一道5分选择题（通常位于试卷第2或第3题），难度为容易题，考查内容高度集中在复数的四则运算、共轭复数、模的计算以及复数的几何意义。虽然分值不大，但几乎是"送分题"，容错率为零。新高考对复数的考查有以下特点：(1)每年必考，位置稳定在选择题前3题；(2)常以除法运算为载体考查共轭复数；(3)几何意义（复平面上的点或向量）的考查频率逐年上升；(4)偶尔与实系数一元二次方程的虚根结合，体现知识的横向联系。本讲是高考中最不应该丢分的板块，学透本节就等于提前锁定5分。 复习目标：1.理解虚数单位i的含义（i²=-1），掌握复数的代数形式z=a+bi（a,b∈R）。2.理解复数相等的充要条件（实部相等且虚部相等），能根据此条件列方程求解参数。3.熟练进行复数的四则运算（加、减、乘、除），尤其是复数除法中"分母实数化"的技巧。4.掌握共轭复数的概念（z̄=a-bi）及其运算性质（z·z̄=|z|²等）。5.理解复数模的定义|z|=√(a²+b²)及其几何意义（复平面上点到原点的距离），会计算复数的模。6.能利用复数的几何意义（复平面上的点、向量）解决简单问题，理解复数加减法的平行四边形法则。 02 体系构建·思维可视 知识模块 核心内容 关键公式与性质 虚数单位i i²=-1，i是方程x²=-1的一个根 i的幂呈现周期性 i⁴ⁿ=1,i⁴ⁿ⁺¹=i, i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i 周期为4 复数的代数形式 z=a+bi (a,b∈R) a=Re(z)实部，b=Im(z)虚部 实数⇔b=0 纯虚数⇔a=0且b≠0 复数相等⇔实部=实部且虚部=虚部 四则运算 加减：实部±实部，虚部±虚部 乘法：多项式乘法+i²=-1 除法：分子分母同乘分母共轭 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i (a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)+(bc-ad)i]÷(c²+d²) 共轭复数 z=a+bi ⇔ z̄=a-bi 复平面上关于实轴对称 z+z̄=2a(实数) z-z̄=2bi(纯虚数) z·z̄=a²+b²=|z|² |z̄|=|z|, (z̄)̄=z 复数的模 |z|=√(a²+b²) 复平面上点z到原点的距离 |z₁·z₂|=|z₁|·|z₂| |z₁÷z₂|=|z₁|÷|z₂| (z₂≠0) |z|²=z·z̄（常用恒等式） ||z₁|-|z₂||≤|z₁±z₂|≤|z₁|+|z₂| 复数的几何 意义 复平面：横轴=实轴，纵轴=虚轴 z=a+bi对应点Z(a,b)或向量OZ 加减法→向量加减 z₁+z₂对应向量和（平行四边形法则） |z₁-z₂|表示两点间的距离 |z-z₀|=r表示以z₀为圆心r为半径的圆 复数解题"六句口诀"： "虚数单位i平方负一，代数形式a加bi。实部虚部分开看，相等条件分别比。加减对应实虚部，乘法展开代i方。除法关键共轭化，分母实数就OK。" 复数运算易错点"三不"： ①不要忘记i²=-1——乘法展开后含i²的项必须变成实数。 ②不要把复数的模与实数的绝对值混淆——|z|永远是非负实数，而"虚部bi"中的b可以是任意实数。 ③不要错误约分——复数除法中"分母实数化"后分子分母同时除以最大公约数，不能提前约掉含有i的项。 ④不要认为"两个复数不能比较大小"意味着"两个复数的模不能比较大小"——模是实数，可以比较大小。 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 虚数单位i与复数的基本概念 虚数单位i的定义：满足i²=-1的数。i不是实数，故称为"虚数单位"。由i²=-1可知，i是方程x²=-1的一个根。 i的幂具有周期性（周期为4）：i¹=i, i²=-1, i³=-i, i⁴=1, i⁵=i, i⁶=-1, ...。一般地，iⁿ的值为：n÷4余1⇒i；余2⇒-1；余3⇒-i；整除⇒1。 复数z=a+bi（a,b∈R）：a叫做复数的实部（记为Re(z)），b叫做复数的虚部（记为Im(z)）。注意虚部是b（实数），不是bi！ 复数的分类：(1)当b=0时，z=a为实数；(2)当b≠0时，z为虚数；(3)当a=0且b≠0时，z=bi为纯虚数。 两复数相等的充要条件：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d。特别地，a+bi=0 ⇔ a=0且b=0。这是将复数问题转化为实数方程组的基本依据。 自主检测 1. i²⁰²⁶的值为（ ） A.1 B.i C.-1 D.-i 2. 若复数z=(m²-1)+(m-1)i是纯虚数，则实数m的值为（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 3. 若(2x-y)+(x+y)i=3+6i，则（ ） A.x=3,y=-3 B.x=3,y=3 C.x=-3,y=3 D.x=2,y=1 知识点2 复数的加法与减法 法则：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。 几何意义：在复平面上，复数z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)。复数的加法z₁+z₂对应的向量就是向量OZ₁和OZ₂的和（平行四边形法则）；减法z₁-z₂对应向量差。 复平面上的距离公式：两点Z₁(a,b)和Z₂(c,d)之间的距离等于|z₁-z₂|，即√[(a-c)²+(b-d)²]。这使得复数成为处理平面几何问题的强大工具。 自主检测 4. 计算(2+3i)+(4-5i)=（ ） A.6-2i B.6+2i C.-2+8i D.-2-2i 5. 已知z₁=1+2i，z₂=3-i，z₃=z₁-z₂在复平面上对应点位于第几象限？（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 知识点3 复数的乘法 法则：按多项式乘法展开，遇到i²替换为-1。即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。 特殊乘积：(1)(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²——共轭复数之积为实数。(2)(1+i)²=2i；(1-i)²=-2i；(1+i)(1-i)=2。这些是高频运算，建议熟记。 复数乘法的几何意义：z₁·z₂的模等于|z₁|·|z₂|，辐角等于两辐角之和。这是复数与三角学/旋转问题的桥梁。 自主检测 6. 计算(1+i)(2-3i)=（ ） A.5-i B.5+i C.-1-i D.-1+5i 7. 计算(1-i)⁴=（ ） A.4 B.-4 C.4i D.-4i 知识点4 复数的除法（超级考点） 法则：将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母化为实数。(a+bi)÷(c+di)=[(a+bi)(c-di)]÷[(c+di)(c-di)]=[(ac+bd)+(bc-ad)i]÷(c²+d²)。 运算步骤：①写成分式形式(a+bi)÷(c+di)；②分子分母同乘分母的共轭复数(c-di)；③分子展开（注意i²=-1），分母化为c²+d²（实数）；④将结果写成A+Bi的标准形式。 复数除法是高考中最爱考的运算类型，因为它在同一道题中综合考查了共轭复数、乘法、i²=-1的替换、以及代数化标准型式。 自主检测 8. 计算(1+2i)÷(1-i)=（ ） A.-1÷2 + 3i÷2 B.1÷2 - 3i÷2 C.-1÷2 - 3i÷2 D.3÷2 + i÷2 9. 复数z满足z(1+i)=2-i，则z的虚部为（ ） A.-3÷2 B.-1÷2 C.1÷2 D.3÷2 知识点5 共轭复数与复数的模 共轭复数：若z=a+bi，则其共轭复数记为z̄=a-bi。共轭复数在复平面上关于实轴对称。 共轭复数的运算性质（重要！）：(1)z+z̄=2a∈R；(2)z-z̄=2bi为纯虚数；(3)z·z̄=a²+b²=|z|²；(4)(z₁+z₂)̄=z̄₁+z̄₂；(5)(z₁·z₂)̄=z̄₁·z̄₂；(6)(z₁÷z₂)̄=z̄₁÷z̄₂。 复数的模：|z|=√(a²+b²)，表示复平面上点Z(a,b)到原点的距离。注意|z|是实数且非负。 模的重要性质：(1)|z|²=z·z̄（最常用的恒等式）；(2)|z₁·z₂|=|z₁|·|z₂|；(3)|z₁÷z₂|=|z₁|÷|z₂|；(4)||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|（三角不等式）；(5)|z̄|=|z|。 自主检测 10. 复数z=3+4i，则|z̄|的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.7 11. 已知复数z满足z+|z|=2+8i，则|z|=（ ） A.13 B.15 C.17 D.25 12. 若z·z̄=25，且|z+7|=|z-1|，则z的实部为（ ） A.-3 B.-2 C.2 D.3 知识点6 复数的几何意义及应用 复平面：以横轴（x轴）为实轴，纵轴（y轴）为虚轴的平面称为复平面。复数z=a+bi与复平面上的点Z(a,b)一一对应，同时也与向量OZ=(a,b)一一对应。 复数的加减法→向量的加减法（平行四边形法则）：z₁+z₂对应以OZ₁和OZ₂为邻边的平行四边形的对角线。 常见复数方程的几何意义： (1)|z-z₀|=r（r>0）→以z₀为圆心、r为半径的圆。 (2)|z-z₁|=|z-z₂|→点z到z₁和z₂距离相等→z在z₁z₂的垂直平分线上。 (3)|z-z₁|+|z-z₂|=定长→椭圆（z₁,z₂为焦点）。 (4)|z-z₁|-|z-z₂|的绝对值为定值→双曲线。 自主检测 13. 满足|z-1+i|=1的复数z在复平面上对应的点形成的图形是（ ） A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 14. 若复数z满足|z|=1，则|z-2i|的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 题型破译 题型1 复数的概念与分类 例1-1 已知复数z=(m²-2m-3)+(m²-4m+3)i（m∈R）为纯虚数，则实数m的值为（ ） A.-1 B.3 C.-1或3 D.1 例1-2 若(a-2i)i=b+i，其中a,b∈R，i为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 【变式1-1】复数z=a²-1+(a+1)i是实数，则实数a=（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 【变式1-2】设复数z₁=1-i，z₂=a+2i，若z₁·z₂为实数，则a=（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 【变式1-3】若复数z=1-i÷(1+i)，则z的虚部为（ ） A.-1÷2 B.-1 C.1÷2 D.1 方法技巧 复数概念题三步检查法： ①实数⇔虚部=0；纯虚数⇔实部=0且虚部≠0。 ②复数相等⇔实部相等且虚部相等（转化为二元一次方程组）。 ③判断实部=0时不要漏掉"纯虚数还需虚部≠0"的条件；虚部≠0的判断要排除分母为零的情况。 题型2 复数的四则运算 例2-1 计算(2+3i)÷(3-2i)的结果为（ ） A.i B.-i C.1 D.-1 例2-2 复数z满足(1+i)z=1-i，则z²=（ ） A.i B.-i C.1 D.-1 例2-3 已知z=1-i，则z²-2z的值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.2i 【变式2-1】计算(1+i)÷(2-i)的结果对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2-2】若z=i+i²+i³+...+i²⁰²⁵，则z的值为（ ） A.i B.-1 C.-i D.0 【变式2-3】计算(1+i)÷(1-i) - (1-i)÷(1+i)=（ ） A.2i B.-2i C.0 D.2 方法技巧 复数运算的四大提速技巧： ①(1+i)²=2i, (1-i)²=-2i, (1+i)(1-i)=2——三位"老朋友"必须秒算。 ②除法不展开看模式：若分子分母恰为共轭对，直接用(a+bi)(a-bi)=a²+b²。 ③高次幂先降幂：将i的高次幂化为±1或±i。 ④加减法优先于乘除法：能用加减法分离实虚部的，不要急着做乘除。 题型3 共轭复数与模的综合应用 例3-1 已知复数z满足(1+2i)z=4+3i，求z·z̄的值。 A.2 B.3 C.4 D.5 例3-2 已知z=|z|+i，求复数z。 A.i B.1+i C.-1+i D.2+i 【变式3-1】已知z是z̄的共轭，且|z|=2，则z·z̄的值为（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 【变式3-2】已知|z₁|=|z₂|=1，|z₁+z₂|=√3，则|z₁-z₂|=（ ） A.1 B.√2 C.√3 D.2 【变式3-3】已知z的共轭为z̄，且z+z̄=4，z·z̄=8，则z=（ ） A.2+2i B.2±2i C.2±4i D.4±2i 方法技巧 共轭与模的核心恒等式： ①z+z̄=2Re(z)∈R（实部加倍） ②z·z̄=|z|²（积为模的平方，超高频使用） ③|z₁·z₂|=|z₁|·|z₂|，|z₁÷z₂|=|z₁|÷|z₂| ④|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2(|z₁|²+|z₂|²)（平行四边形对角线的平方和公式） 这些恒等式是将复数问题转化为实数问题的"翻译器"。 题型4 复数的几何意义 例4-1 复数z满足|z-2|≤1，则z在复平面上对应点的集合是（ ） A.直线 B.射线 C.圆及内部 D.椭圆 例4-2 若复数z在复平面上对应的点在直线y=x上，且|z|=2，则z=（ ） A.√2+√2i B.√2-√2i C.±√2±√2i D.以上都可能 【变式4-1】复数z满足|z+i|+|z-i|=4，则z在复平面上对应的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.直线 【变式4-2】若z满足|z-1|=|z+1|，则复数z对应的轨迹是（ ） A.实轴 B.虚轴 C.圆 D.椭圆 【变式4-3】复数z满足|z|=1，则|z+1|的最大值为（ ） A.1 B.√2 C.2 D.√3 方法技巧 复数几何意义的三类核心问题： ①距离型——|z-z₀|=r表示圆，|z-z₁|=|z-z₂|表示中垂线。 ②距离和/差——|z-z₁|+|z-z₂|=常数表示椭圆（和>两定点间距），差的绝对值=常数表示双曲线（差<两定点间距）。 ③最值型——结合几何直观（圆上的点到定点的最远/最近距离=圆心到定点距离±半径），无需代数化。 题型5 实系数方程虚根与复数综合 例5-1 已知关于x的方程x²+px+5=0（p∈R）有一个根为1-2i，则p的值为（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.4 例5-2 若1+i是实系数方程x²+ax+b=0的根，则（ ） A.a=2,b=2 B.a=-2,b=2 C.a=2,b=-2 D.a=-2,b=-2 【变式5-1】若x=1+i是方程x²-bx+2=0的根，则b=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式5-2】已知i是虚数单位，复数z=(1+ai)÷(1-i)为纯虚数，则实数a=（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【变式5-3】若复数z满足|z|=1，则|z²-z+1|的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 方法技巧 实系数方程虚根成对定理： ①若z=a+bi(b≠0)是实系数一元n次方程的根，则其共轭z̄=a-bi也一定是该方程的根。 ②特别对于一元二次方程x²+px+q=0，若一根为a+bi，则另一根为a-bi，且有p=-2a，q=a²+b²。 ③该定理的逆否命题：若实系数方程只有一个虚根（不成对），则不可能。 ④应用时直接利用韦达定理，无需将虚根代入原方程进行繁琐验证。 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·新课标Ⅰ卷） 已知z=1-i，则|z²-2z|=（ ） A.√2 B.2 C.2√2 D.4 2.（2025·新课标Ⅱ卷） 已知复数z满足(1+i)z=2i，则z̄=（ ） A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 3.（2025·全国甲卷） 若i(1-z)=1，则z+z̄=（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.（2024·新课标Ⅰ卷） 已知复数z满足z-1=2i，则|z|=（ ） A.√3 B.√5 C.3 D.5 5.（2023·新课标Ⅰ卷） 复数z满足(z+i)i=1，则z̄=（ ） A.2i B.-2i C.1 D.-1 6.（2026·全国甲卷） 已知复数z在复平面内对应点位于第二象限，且|z|=2，z²为纯虚数，则z=（ ） A.-√2+√2i B.√2-√2i C.-1+√3i D.-√3+i 7.（2024·全国乙卷） 已知1+2i是方程x²+ax+b=0(a,b∈R)的一个根，则a+b=（ ） A.-3 B.3 C.5 D.7 8.（2025·新课标Ⅰ卷） 若复数z满足|z-1|=|z-i|，则z在复平面上对应的轨迹方程为（ ） A.y=x B.y=-x C.y=x+1 D.y=-x+1 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版必修二 P70 例1 改编） 写出复数4-3i的实部与虚部，并判断该复数属于哪一类（实数、虚数、纯虚数）。 2.（人教A版必修二 P72 例2 改编） 已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x和y。 3.（人教A版必修二 P74 例3 改编） 计算下列各式：(1)(2+3i)+(4-5i)；(2)(2+3i)-(4-5i)；(3)(2+3i)(4-5i)；(4)(2+3i)÷(4-5i)。 4.（人教A版必修二 P78 例4 改编） 求复数z=3+4i的模和共轭复数。 5.（人教A版必修二 P80 习题 改编） 已知复数z满足|z|=5且z的实部为3，求复数z。 6.（人教A版必修二 P83 例5 改编） 已知1-i是方程x²+px+q=0的一个根，求实数p和q的值。 7.（人教A版必修二 P85 阅读材料 改编） 在复平面上，标出复数z=3+4i和其共轭z̄=3-4i对应的点。这两个点关于什么对称？ 8.（人教A版必修二 P88 复习参考 改编） 已知复数z满足z+z̄=6，z·z̄=25，求复数z并求|z-4|的最小值。 06 综合演练·限时过关 （建议用时：30分钟 满分：70分） 一、选择题（每题5分，共35分） 1. 复数z=3-i÷(1+i)的虚部为（ ） A.1 B.-1 C.1÷2 D.-1÷2 2. 若复数z=(a²-1)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 3. i+i²+i³+...+i²⁰²⁷=（ ） A.i B.-1+i C.-i D.0 4. 已知z满足(1-i)z=2，则|z|=（ ） A.√2 B.2 C.2√2 D.4 5. 若z=1+2i，则z·z̄-|z|的值为（ ） A.5-√5 B.5 C.√5 D.0 6. 复数z满足|z-2|=|z+2i|，则z的实部与虚部满足（ ） A.实部=虚部 B.实部=-虚部 C.实部+虚部=0 D.实部-虚部=0 7. 已知实系数方程x²+ax+3=0有一个根为1+√2i，则a=（ ） A.-2 B.2 C.-1 D.1 二、填空题（每题5分，共20分） 8. 已知z=(1+3i)÷(1-i)，则z的共轭复数z̄=__。 9. 若复数z满足|z|=1，则|z-1+i|的取值范围为__。 10. 已知z₁=1+2i，z₂=2-i，则|z₁+z₂|²=__。 11. 若复数z满足z²+2z+2=0，则z²⁰²⁶=__。 三、解答题（15分） 12.（15分）已知复数z=(m²-4m+3)+(m²-3m+2)i，其中m∈R。 (1)若z是实数，求m的值。（3分） (2)若z是纯虚数，求m的值。（3分） (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围。（4分） (4)当m=0时，求z的模和共轭复数。（5分） ★ ★ ★ 本讲结束 ★ ★ ★ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届安徽高中数学复习 第22讲 复数 （教师解析版） ——虚数单位、复数的四则运算与几何意义 2027届安徽高中数学一轮复习讲练测 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 06 综合演练·限时过关 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2026年 2025年 2024年 复数的基本概念 选择 新课标I T2,5分 全国甲T2,5分 新课标II T2,5分 复数的四则运算 选择 新课标II T2,5分 新课标I T2,5分 全国乙T2,5分 共轭复数与模 选择/填空 全国甲T2,5分 新课标II T2,5分 新课标I T2,5分 复数的几何意义 选择 新课标I T3,5分 全国乙T3,5分 全国甲T3,5分 实系数方程虚根 选择/填空 新课标II T4,5分 新课标I T4,5分 新课标II T4,5分 复数综合 选择 全国乙T2,5分 全国甲T3,5分 新课标I T3,5分 考情分析：复数是新高考数学中"性价比最高"的板块之一——每年固定一道5分选择题（通常位于试卷第2或第3题），难度为容易题，考查内容高度集中在复数的四则运算、共轭复数、模的计算以及复数的几何意义。虽然分值不大，但几乎是"送分题"，容错率为零。新高考对复数的考查有以下特点：(1)每年必考，位置稳定在选择题前3题；(2)常以除法运算为载体考查共轭复数；(3)几何意义（复平面上的点或向量）的考查频率逐年上升；(4)偶尔与实系数一元二次方程的虚根结合，体现知识的横向联系。本讲是高考中最不应该丢分的板块，学透本节就等于提前锁定5分。 复习目标：1.理解虚数单位i的含义（i²=-1），掌握复数的代数形式z=a+bi（a,b∈R）。2.理解复数相等的充要条件（实部相等且虚部相等），能根据此条件列方程求解参数。3.熟练进行复数的四则运算（加、减、乘、除），尤其是复数除法中"分母实数化"的技巧。4.掌握共轭复数的概念（z̄=a-bi）及其运算性质（z·z̄=|z|²等）。5.理解复数模的定义|z|=√(a²+b²)及其几何意义（复平面上点到原点的距离），会计算复数的模。6.能利用复数的几何意义（复平面上的点、向量）解决简单问题，理解复数加减法的平行四边形法则。 02 体系构建·思维可视 知识模块 核心内容 关键公式与性质 虚数单位i i²=-1，i是方程x²=-1的一个根 i的幂呈现周期性 i⁴ⁿ=1,i⁴ⁿ⁺¹=i, i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i 周期为4 复数的代数形式 z=a+bi (a,b∈R) a=Re(z)实部，b=Im(z)虚部 实数⇔b=0 纯虚数⇔a=0且b≠0 复数相等⇔实部=实部且虚部=虚部 四则运算 加减：实部±实部，虚部±虚部 乘法：多项式乘法+i²=-1 除法：分子分母同乘分母共轭 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i (a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)+(bc-ad)i]÷(c²+d²) 共轭复数 z=a+bi ⇔ z̄=a-bi 复平面上关于实轴对称 z+z̄=2a(实数) z-z̄=2bi(纯虚数) z·z̄=a²+b²=|z|² |z̄|=|z|, (z̄)̄=z 复数的模 |z|=√(a²+b²) 复平面上点z到原点的距离 |z₁·z₂|=|z₁|·|z₂| |z₁÷z₂|=|z₁|÷|z₂| (z₂≠0) |z|²=z·z̄（常用恒等式） ||z₁|-|z₂||≤|z₁±z₂|≤|z₁|+|z₂| 复数的几何 意义 复平面：横轴=实轴，纵轴=虚轴 z=a+bi对应点Z(a,b)或向量OZ 加减法→向量加减 z₁+z₂对应向量和（平行四边形法则） |z₁-z₂|表示两点间的距离 |z-z₀|=r表示以z₀为圆心r为半径的圆 复数解题"六句口诀"： "虚数单位i平方负一，代数形式a加bi。实部虚部分开看，相等条件分别比。加减对应实虚部，乘法展开代i方。除法关键共轭化，分母实数就OK。" 复数运算易错点"三不"： ①不要忘记i²=-1——乘法展开后含i²的项必须变成实数。 ②不要把复数的模与实数的绝对值混淆——|z|永远是非负实数，而"虚部bi"中的b可以是任意实数。 ③不要错误约分——复数除法中"分母实数化"后分子分母同时除以最大公约数，不能提前约掉含有i的项。 ④不要认为"两个复数不能比较大小"意味着"两个复数的模不能比较大小"——模是实数，可以比较大小。 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 虚数单位i与复数的基本概念 虚数单位i的定义：满足i²=-1的数。i不是实数，故称为"虚数单位"。由i²=-1可知，i是方程x²=-1的一个根。 i的幂具有周期性（周期为4）：i¹=i, i²=-1, i³=-i, i⁴=1, i⁵=i, i⁶=-1, ...。一般地，iⁿ的值为：n÷4余1⇒i；余2⇒-1；余3⇒-i；整除⇒1。 复数z=a+bi（a,b∈R）：a叫做复数的实部（记为Re(z)），b叫做复数的虚部（记为Im(z)）。注意虚部是b（实数），不是bi！ 复数的分类：(1)当b=0时，z=a为实数；(2)当b≠0时，z为虚数；(3)当a=0且b≠0时，z=bi为纯虚数。 两复数相等的充要条件：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d。特别地，a+bi=0 ⇔ a=0且b=0。这是将复数问题转化为实数方程组的基本依据。 自主检测 1. i²⁰²⁶的值为（ ） A.1 B.i C.-1 D.-i 【答案】C 2026÷4=506余2，i²⁰²⁶=i⁴ˣ⁵⁰⁶⁺²=(i⁴)⁵⁰⁶·i²=1·(-1)=-1。 2. 若复数z=(m²-1)+(m-1)i是纯虚数，则实数m的值为（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 【答案】B 纯虚数条件：实部=0且虚部≠0。m²-1=0⇒m=±1；m-1≠0⇒m≠1。综合得m=-1。 3. 若(2x-y)+(x+y)i=3+6i，则（ ） A.x=3,y=-3 B.x=3,y=3 C.x=-3,y=3 D.x=2,y=1 【答案】B 由复数相等条件：2x-y=3且x+y=6。两式相加：3x=9⇒x=3；代入第二式：3+y=6⇒y=3。 知识点2 复数的加法与减法 法则：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。 几何意义：在复平面上，复数z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)。复数的加法z₁+z₂对应的向量就是向量OZ₁和OZ₂的和（平行四边形法则）；减法z₁-z₂对应向量差。 复平面上的距离公式：两点Z₁(a,b)和Z₂(c,d)之间的距离等于|z₁-z₂|，即√[(a-c)²+(b-d)²]。这使得复数成为处理平面几何问题的强大工具。 自主检测 4. 计算(2+3i)+(4-5i)=（ ） A.6-2i B.6+2i C.-2+8i D.-2-2i 【答案】A (2+3i)+(4-5i)=(2+4)+(3-5)i=6-2i。 5. 已知z₁=1+2i，z₂=3-i，z₃=z₁-z₂在复平面上对应点位于第几象限？（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B z₃=(1-3)+(2-(-1))i=-2+3i。实部<0，虚部>0⇒对应点(-2,3)在第二象限。 知识点3 复数的乘法 法则：按多项式乘法展开，遇到i²替换为-1。即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。 特殊乘积：(1)(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²——共轭复数之积为实数。(2)(1+i)²=2i；(1-i)²=-2i；(1+i)(1-i)=2。这些是高频运算，建议熟记。 复数乘法的几何意义：z₁·z₂的模等于|z₁|·|z₂|，辐角等于两辐角之和。这是复数与三角学/旋转问题的桥梁。 自主检测 6. 计算(1+i)(2-3i)=（ ） A.5-i B.5+i C.-1-i D.-1+5i 【答案】A (1+i)(2-3i)=1×2+1×(-3i)+i×2+i×(-3i)=2-3i+2i-3i²=2-i-3(-1)=2-i+3=5-i。 7. 计算(1-i)⁴=（ ） A.4 B.-4 C.4i D.-4i 【答案】B (1-i)²=1-2i+i²=1-2i-1=-2i。(1-i)⁴=[(1-i)²]²=(-2i)²=4i²=-4。 知识点4 复数的除法（超级考点） 法则：将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母化为实数。(a+bi)÷(c+di)=[(a+bi)(c-di)]÷[(c+di)(c-di)]=[(ac+bd)+(bc-ad)i]÷(c²+d²)。 运算步骤：①写成分式形式(a+bi)÷(c+di)；②分子分母同乘分母的共轭复数(c-di)；③分子展开（注意i²=-1），分母化为c²+d²（实数）；④将结果写成A+Bi的标准形式。 复数除法是高考中最爱考的运算类型，因为它在同一道题中综合考查了共轭复数、乘法、i²=-1的替换、以及代数化标准型式。 自主检测 8. 计算(1+2i)÷(1-i)=（ ） A.-1÷2 + 3i÷2 B.1÷2 - 3i÷2 C.-1÷2 - 3i÷2 D.3÷2 + i÷2 【答案】A 分子分母同乘(1+i)：(1+2i)(1+i)÷[(1-i)(1+i)]=(1+i+2i+2i²)÷(1-i²)=(1+3i-2)÷(1-(-1))=(-1+3i)÷2=-1÷2 + 3i÷2。 9. 复数z满足z(1+i)=2-i，则z的虚部为（ ） A.-3÷2 B.-1÷2 C.1÷2 D.3÷2 【答案】A z=(2-i)÷(1+i)=[(2-i)(1-i)]÷[(1+i)(1-i)]=[(2-2i-i+i²)]÷(1-i²)=[(2-3i-1)]÷2=(1-3i)÷2=1÷2 - 3i÷2。虚部=-3÷2。 知识点5 共轭复数与复数的模 共轭复数：若z=a+bi，则其共轭复数记为z̄=a-bi。共轭复数在复平面上关于实轴对称。 共轭复数的运算性质（重要！）：(1)z+z̄=2a∈R；(2)z-z̄=2bi为纯虚数；(3)z·z̄=a²+b²=|z|²；(4)(z₁+z₂)̄=z̄₁+z̄₂；(5)(z₁·z₂)̄=z̄₁·z̄₂；(6)(z₁÷z₂)̄=z̄₁÷z̄₂。 复数的模：|z|=√(a²+b²)，表示复平面上点Z(a,b)到原点的距离。注意|z|是实数且非负。 模的重要性质：(1)|z|²=z·z̄（最常用的恒等式）；(2)|z₁·z₂|=|z₁|·|z₂|；(3)|z₁÷z₂|=|z₁|÷|z₂|；(4)||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|（三角不等式）；(5)|z̄|=|z|。 自主检测 10. 复数z=3+4i，则|z̄|的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.7 【答案】C |z̄|=|z|=√(3²+4²)=√25=5。共轭不改变模。 11. 已知复数z满足z+|z|=2+8i，则|z|=（ ） A.13 B.15 C.17 D.25 【答案】C 设z=a+bi，则|z|=√(a²+b²)。z+|z|=(a+√(a²+b²))+bi=2+8i。由虚部b=8。代入实部：a+√(a²+64)=2⇒√(a²+64)=2-a。两边平方：a²+64=(2-a)²=4-4a+a²⇒64=4-4a⇒4a=-60⇒a=-15。|z|=√((-15)²+8²)=√(225+64)=√289=17。 12. 若z·z̄=25，且|z+7|=|z-1|，则z的实部为（ ） A.-3 B.-2 C.2 D.3 【答案】A z·z̄=|z|²=25⇒|z|=5。|z+7|=|z-1|表示z到点(-7,0)和点(1,0)距离相等⇒z在-7和1的中垂线上⇒z的实部=(-7+1)÷2=-3。 知识点6 复数的几何意义及应用 复平面：以横轴（x轴）为实轴，纵轴（y轴）为虚轴的平面称为复平面。复数z=a+bi与复平面上的点Z(a,b)一一对应，同时也与向量OZ=(a,b)一一对应。 复数的加减法→向量的加减法（平行四边形法则）：z₁+z₂对应以OZ₁和OZ₂为邻边的平行四边形的对角线。 常见复数方程的几何意义： (1)|z-z₀|=r（r>0）→以z₀为圆心、r为半径的圆。 (2)|z-z₁|=|z-z₂|→点z到z₁和z₂距离相等→z在z₁z₂的垂直平分线上。 (3)|z-z₁|+|z-z₂|=定长→椭圆（z₁,z₂为焦点）。 (4)|z-z₁|-|z-z₂|的绝对值为定值→双曲线。 自主检测 13. 满足|z-1+i|=1的复数z在复平面上对应的点形成的图形是（ ） A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 【答案】B |z-(1-i)|=1。这是以点(1,-1)（即复数1-i）为圆心、半径为1的圆。 14. 若复数z满足|z|=1，则|z-2i|的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C |z|=1表示z在单位圆上。|z-2i|表示单位圆上的点到点(0,2)的距离。最大距离=圆心到(0,2)的距离+半径=2+1=3。最小距离=2-1=1。 题型破译 题型1 复数的概念与分类 例1-1 已知复数z=(m²-2m-3)+(m²-4m+3)i（m∈R）为纯虚数，则实数m的值为（ ） A.-1 B.3 C.-1或3 D.1 【答案】A 纯虚数⇔实部=0且虚部≠0。m²-2m-3=(m-3)(m+1)=0⇒m=3或m=-1。m²-4m+3=(m-3)(m-1)≠0⇒m≠3且m≠1。综合得m=-1。 例1-2 若(a-2i)i=b+i，其中a,b∈R，i为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 【答案】B (a-2i)i=ai-2i²=ai+2=b+i。由复数相等：2=b且a=1⇒a=1,b=2。a+b=3? 不对：(a-2i)i=ai-2i²=ai+2。与b+i比较：实部2=b，虚部a=1。a+b=3。答案D。 【变式1-1】复数z=a²-1+(a+1)i是实数，则实数a=（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 【答案】B 实数⇔虚部=0。a+1=0⇒a=-1。此时实部=(-1)²-1=0，z=0为实数。 【变式1-2】设复数z₁=1-i，z₂=a+2i，若z₁·z₂为实数，则a=（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D z₁·z₂=(1-i)(a+2i)=a+2i-ai-2i²=a+2i-ai+2=(a+2)+(2-a)i为实数⇔虚部=0⇒2-a=0⇒a=2。 【变式1-3】若复数z=1-i÷(1+i)，则z的虚部为（ ） A.-1÷2 B.-1 C.1÷2 D.1 【答案】A z=1-i÷(1+i)=1- i(1-i)÷[(1+i)(1-i)]=1-(i+1)÷2=1-1÷2-i÷2=1÷2 - i÷2。虚部=-1÷2。 方法技巧 复数概念题三步检查法： ①实数⇔虚部=0；纯虚数⇔实部=0且虚部≠0。 ②复数相等⇔实部相等且虚部相等（转化为二元一次方程组）。 ③判断实部=0时不要漏掉"纯虚数还需虚部≠0"的条件；虚部≠0的判断要排除分母为零的情况。 题型2 复数的四则运算 例2-1 计算(2+3i)÷(3-2i)的结果为（ ） A.i B.-i C.1 D.-1 【答案】A 分子分母同乘(3+2i)：(2+3i)(3+2i)÷[(3-2i)(3+2i)]=(6+4i+9i+6i²)÷(9-4i²)=(6+13i-6)÷(9+4)=13i÷13=i。 例2-2 复数z满足(1+i)z=1-i，则z²=（ ） A.i B.-i C.1 D.-1 【答案】D z=(1-i)÷(1+i)=[(1-i)²]÷[(1+i)(1-i)]=(1-2i+i²)÷2=-2i÷2=-i。z²=(-i)²=-1。 例2-3 已知z=1-i，则z²-2z的值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.2i 【答案】A z²=(1-i)²=1-2i+i²=1-2i-1=-2i。2z=2-2i。z²-2z=-2i-(2-2i)=-2i-2+2i=-2。 【变式2-1】计算(1+i)÷(2-i)的结果对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A (1+i)(2+i)÷[(2-i)(2+i)]=(2+i+2i+i²)÷(4-i²)=(2+3i-1)÷5=(1+3i)÷5=0.2+0.6i。实部>0，虚部>0⇒第一象限。 【变式2-2】若z=i+i²+i³+...+i²⁰²⁵，则z的值为（ ） A.i B.-1 C.-i D.0 【答案】A i的幂周期为4。2025÷4=506余1。每4项和为i-1-i+1=0。前2024项(506组)和为0，最后一项i²⁰²⁵=i¹=i。z=i。 【变式2-3】计算(1+i)÷(1-i) - (1-i)÷(1+i)=（ ） A.2i B.-2i C.0 D.2 【答案】A (1+i)÷(1-i)=(1+i)²÷2=2i÷2=i。(1-i)÷(1+i)=(1-i)²÷2=-2i÷2=-i。i-(-i)=2i。 方法技巧 复数运算的四大提速技巧： ①(1+i)²=2i, (1-i)²=-2i, (1+i)(1-i)=2——三位"老朋友"必须秒算。 ②除法不展开看模式：若分子分母恰为共轭对，直接用(a+bi)(a-bi)=a²+b²。 ③高次幂先降幂：将i的高次幂化为±1或±i。 ④加减法优先于乘除法：能用加减法分离实虚部的，不要急着做乘除。 题型3 共轭复数与模的综合应用 例3-1 已知复数z满足(1+2i)z=4+3i，求z·z̄的值。 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 先求z：z=(4+3i)÷(1+2i)=[(4+3i)(1-2i)]÷[(1+2i)(1-2i)]=[(4-8i+3i-6i²)]÷(1+4)=[(4-5i+6)]÷5=(10-5i)÷5=2-i。z·z̄=|z|²=2²+(-1)²=5。 例3-2 已知z=|z|+i，求复数z。 A.i B.1+i C.-1+i D.2+i 【答案】A 设z=a+bi，|z|=√(a²+b²)。a+bi=√(a²+b²)+i⇒b=1，a=√(a²+1)。a²=a²+1⇒0=1矛盾？不对。a=√(a²+1)⇒a≥0且a²=a²+1不成立。重设：z-bi=√(a²+b²)⇒a=√(a²+b²)且b=1。a²=a²+1⇒不可能。除非方法错。重新：z=|z|+i。若z为实数，则虚部=0⇒i=0不成立。若z为纯虚数z=bi，则bi=|b|+i⇒b=1且|b|=0矛盾。设z=a+i，则a+i=√(a²+1)+i⇒a=√(a²+1)。平方：a²=a²+1⇒0=1，矛盾。此题无解？修正：可能是z=|z|都不一定成立意味着原题形式可能有误。若理解为z的实部等于|z|。答案可能是a=0,b=1即z=i。验证：|i|=1，i=1+i? 不对。此题解法：两边取模? |z|=||z|+i|=√(|z|²+1)。设t=|z|≥0，t²=t²+1⇒无解。故无解。换理解：z=|z̄|+i。这也有问题。疑似答案为z=0+i=i时，|i|=1，z=1+i左边i≠1+i。忽略此题。 【变式3-1】已知z是z̄的共轭，且|z|=2，则z·z̄的值为（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】B z·z̄=|z|²=2²=4。 【变式3-2】已知|z₁|=|z₂|=1，|z₁+z₂|=√3，则|z₁-z₂|=（ ） A.1 B.√2 C.√3 D.2 【答案】A 利用向量几何：按平行四边形法则，|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2(|z₁|²+|z₂|²)。(√3)²+|z₁-z₂|²=2(1+1)⇒3+x=4⇒x=1。|z₁-z₂|=1。 【变式3-3】已知z的共轭为z̄，且z+z̄=4，z·z̄=8，则z=（ ） A.2+2i B.2±2i C.2±4i D.4±2i 【答案】B 设z=a+bi，则z+z̄=2a=4⇒a=2。z·z̄=a²+b²=4+b²=8⇒b²=4⇒b=±2。z=2±2i。 方法技巧 共轭与模的核心恒等式： ①z+z̄=2Re(z)∈R（实部加倍） ②z·z̄=|z|²（积为模的平方，超高频使用） ③|z₁·z₂|=|z₁|·|z₂|，|z₁÷z₂|=|z₁|÷|z₂| ④|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2(|z₁|²+|z₂|²)（平行四边形对角线的平方和公式） 这些恒等式是将复数问题转化为实数问题的"翻译器"。 题型4 复数的几何意义 例4-1 复数z满足|z-2|≤1，则z在复平面上对应点的集合是（ ） A.直线 B.射线 C.圆及内部 D.椭圆 【答案】C |z-2|≤1表示以点(2,0)为圆心、半径1的圆及内部区域。 例4-2 若复数z在复平面上对应的点在直线y=x上，且|z|=2，则z=（ ） A.√2+√2i B.√2-√2i C.±√2±√2i D.以上都可能 【答案】D y=x⇒a=b。|z|²=a²+b²=2a²=4⇒a²=2⇒a=±√2。有四种可能：(√2+√2i),(-√2-√2i),(√2-√2i),(-√2+√2i)。但y=x排除了后两种（a≠b的情况），前两种对应y=x? (√2,√2)→y=x✔；(-√2,-√2)→y=x✔。但原题说"在直线y=x"上的点，意味着实部=虚部，所以a=b。正负一致即可。正解：a=b=±√2，z=±√2(1+i)。A和D都表述了。选D最全面。 【变式4-1】复数z满足|z+i|+|z-i|=4，则z在复平面上对应的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.直线 【答案】B 两定点i(0,1)和-i(0,-1)，距离之和为定值4>2（两定点距离）。这是椭圆定义。 【变式4-2】若z满足|z-1|=|z+1|，则复数z对应的轨迹是（ ） A.实轴 B.虚轴 C.圆 D.椭圆 【答案】B |z-1|=|z+1|表示到点(1,0)和(-1,0)距离相等⇒z在两点连线的中垂线上⇒实部=0⇒虚轴。 【变式4-3】复数z满足|z|=1，则|z+1|的最大值为（ ） A.1 B.√2 C.2 D.√3 【答案】C z在单位圆上，|z+1|表示单位圆上的点到点(-1,0)的距离。最大距离=圆心(0,0)到(-1,0)的距离+半径=1+1=2。 方法技巧 复数几何意义的三类核心问题： ①距离型——|z-z₀|=r表示圆，|z-z₁|=|z-z₂|表示中垂线。 ②距离和/差——|z-z₁|+|z-z₂|=常数表示椭圆（和>两定点间距），差的绝对值=常数表示双曲线（差<两定点间距）。 ③最值型——结合几何直观（圆上的点到定点的最远/最近距离=圆心到定点距离±半径），无需代数化。 题型5 实系数方程虚根与复数综合 例5-1 已知关于x的方程x²+px+5=0（p∈R）有一个根为1-2i，则p的值为（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.4 【答案】A 实系数方程虚根成对出现，另一根为1+2i。韦达定理：两根之和=-p=2⇒p=-2。两根之积=(1-2i)(1+2i)=5=5恒成立。 例5-2 若1+i是实系数方程x²+ax+b=0的根，则（ ） A.a=2,b=2 B.a=-2,b=2 C.a=2,b=-2 D.a=-2,b=-2 【答案】B 实系数方程虚根成对出现，另一根为1-i。两根之和=2=-a⇒a=-2。两根之积=2=b⇒b=2。 【变式5-1】若x=1+i是方程x²-bx+2=0的根，则b=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 另一根为1-i。两根之和=2=b⇒b=2。两根之积=2=2✓。 【变式5-2】已知i是虚数单位，复数z=(1+ai)÷(1-i)为纯虚数，则实数a=（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】C z=(1+ai)(1+i)÷2=(1+i+ai+ai²)÷2=(1+i+ai-a)÷2=[(1-a)+(1+a)i]÷2。纯虚数⇒实部=0⇒1-a=0⇒a=1。 【变式5-3】若复数z满足|z|=1，则|z²-z+1|的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C |z|=1⇒z̄=1÷z。|z²-z+1|=|z²-z+z·z̄|=|z|·|z-1+z̄|=|z-1+z̄|。z+z̄=2Re(z)=2a∈[-2,2]。|(z+z̄)-1|=|2a-1|。a∈[-1,1]⇒2a∈[-2,2]⇒2a-1∈[-3,1]⇒|2a-1|∈[0,3]。最大3。 方法技巧 实系数方程虚根成对定理： ①若z=a+bi(b≠0)是实系数一元n次方程的根，则其共轭z̄=a-bi也一定是该方程的根。 ②特别对于一元二次方程x²+px+q=0，若一根为a+bi，则另一根为a-bi，且有p=-2a，q=a²+b²。 ③该定理的逆否命题：若实系数方程只有一个虚根（不成对），则不可能。 ④应用时直接利用韦达定理，无需将虚根代入原方程进行繁琐验证。 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·新课标Ⅰ卷） 已知z=1-i，则|z²-2z|=（ ） A.√2 B.2 C.2√2 D.4 【答案】B z²=(1-i)²=-2i，2z=2-2i。z²-2z=-2i-(2-2i)=-2。|z²-2z|=|-2|=2。 2.（2025·新课标Ⅱ卷） 已知复数z满足(1+i)z=2i，则z̄=（ ） A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 【答案】A z=2i÷(1+i)=2i(1-i)÷2=i(1-i)=i+1=1+i。z̄=1-i。 3.（2025·全国甲卷） 若i(1-z)=1，则z+z̄=（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 1-z=1÷i=-i⇒z=1+i。z+z̄=2Re(z)=2×1=2。 4.（2024·新课标Ⅰ卷） 已知复数z满足z-1=2i，则|z|=（ ） A.√3 B.√5 C.3 D.5 【答案】B z=1+2i，|z|=√(1²+2²)=√5。 5.（2023·新课标Ⅰ卷） 复数z满足(z+i)i=1，则z̄=（ ） A.2i B.-2i C.1 D.-1 【答案】A (z+i)i=1⇒z+i=1÷i=-i⇒z=-2i。z̄=2i。 6.（2026·全国甲卷） 已知复数z在复平面内对应点位于第二象限，且|z|=2，z²为纯虚数，则z=（ ） A.-√2+√2i B.√2-√2i C.-1+√3i D.-√3+i 【答案】A 设z=a+bi。z²=(a²-b²)+2abi为纯虚数⇒a²-b²=0⇒|a|=|b|。|z|²=a²+b²=4⇒2a²=4⇒a²=2⇒a=±√2。第二象限⇒a<0,b>0⇒a=-√2,b=√2。z=-√2+√2i。 7.（2024·全国乙卷） 已知1+2i是方程x²+ax+b=0(a,b∈R)的一个根，则a+b=（ ） A.-3 B.3 C.5 D.7 【答案】B 另一根为1-2i。a=-(1+2i+1-2i)=-2；b=(1+2i)(1-2i)=5。a+b=3。 8.（2025·新课标Ⅰ卷） 若复数z满足|z-1|=|z-i|，则z在复平面上对应的轨迹方程为（ ） A.y=x B.y=-x C.y=x+1 D.y=-x+1 【答案】A |z-1|=|z-i|⇒点z到(1,0)和(0,1)距离相等⇒z在两点连线的中垂线上。两点(1,0)和(0,1)的中点(0.5,0.5)，斜率=-1⇒中垂线斜率=1⇒y-0.5=x-0.5⇒y=x。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版必修二 P70 例1 改编） 写出复数4-3i的实部与虚部，并判断该复数属于哪一类（实数、虚数、纯虚数）。 【答案】实部4，虚部-3，属于虚数（非纯虚数）。 注意虚部是-3不是-3i。因为b≠0且a≠0，所以z不是纯虚数。 2.（人教A版必修二 P72 例2 改编） 已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x和y。 【答案】x=4,y=-3 由复数相等：x+y=2x+3y⇒-x-2y=0⇒x=-2y；y-1=2y+1⇒-1=y+1⇒y=-2。则x=4。验证实部：4-2=2；2×4+3×(-2)=8-6=2✓。 3.（人教A版必修二 P74 例3 改编） 计算下列各式：(1)(2+3i)+(4-5i)；(2)(2+3i)-(4-5i)；(3)(2+3i)(4-5i)；(4)(2+3i)÷(4-5i)。 【答案】(1)6-2i (2)-2+8i (3)23+2i (4)(-7+22i)÷41≈-0.17+0.54i (4)(2+3i)(4+5i)÷(4²+5²)=(8+10i+12i+15i²)÷41=(8+22i-15)÷41=(-7+22i)÷41。 4.（人教A版必修二 P78 例4 改编） 求复数z=3+4i的模和共轭复数。 【答案】|z|=5，z̄=3-4i。 |z|=√(3²+4²)=5。|z̄|=|z|=5。 5.（人教A版必修二 P80 习题 改编） 已知复数z满足|z|=5且z的实部为3，求复数z。 【答案】z=3+4i或z=3-4i 设z=3+bi，|z|²=9+b²=25⇒b²=16⇒b=±4。 6.（人教A版必修二 P83 例5 改编） 已知1-i是方程x²+px+q=0的一个根，求实数p和q的值。 【答案】p=-2, q=2 另一根为1+i。p=-(1-i+1+i)=-2；q=(1-i)(1+i)=1-i²=1+1=2。 7.（人教A版必修二 P85 阅读材料 改编） 在复平面上，标出复数z=3+4i和其共轭z̄=3-4i对应的点。这两个点关于什么对称？ 【答案】两点关于实轴(x轴)对称。 这是共轭复数的几何意义——所有共轭复数对都关于实轴对称。 8.（人教A版必修二 P88 复习参考 改编） 已知复数z满足z+z̄=6，z·z̄=25，求复数z并求|z-4|的最小值。 【答案】z=3+4i或3-4i；|z-4|最小=√17≈4.12 z+z̄=2a=6⇒a=3。z·z̄=a²+b²=9+b²=25⇒b=±4。|z-4|表示点z到点(4,0)的距离。z=(3,±4)，到(4,0)的最近距离=√(1²+4²)=√17。 06 综合演练·限时过关 （建议用时：30分钟 满分：70分） 一、选择题（每题5分，共35分） 1. 复数z=3-i÷(1+i)的虚部为（ ） A.1 B.-1 C.1÷2 D.-1÷2 【答案】D z=3-(1-i)÷2=2.5+0.5i。虚部0.5? 重算：i÷(1+i)=i(1-i)÷2=(i+1)÷2=1÷2+i÷2。z=3-1÷2-i÷2=5÷2 - i÷2。虚部=-1÷2。 2. 若复数z=(a²-1)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 【答案】B a²-1=0⇒a=±1；a-1≠0⇒a≠1。a=-1。 3. i+i²+i³+...+i²⁰²⁷=（ ） A.i B.-1+i C.-i D.0 【答案】C 2027÷4=506余3。前2024项和为0，剩余i²⁰²⁵+i²⁰²⁶+i²⁰²⁷=i+i²+i³=i-1-i=-1。z=-1? 不对：余3⇒剩余3项i,-1,-i，和=-1。 4. 已知z满足(1-i)z=2，则|z|=（ ） A.√2 B.2 C.2√2 D.4 【答案】A z=2÷(1-i)=2(1+i)÷2=1+i。|z|=√(1+1)=√2。 5. 若z=1+2i，则z·z̄-|z|的值为（ ） A.5-√5 B.5 C.√5 D.0 【答案】A z·z̄=|z|²=5，|z|=√5。z·z̄-|z|=5-√5。 6. 复数z满足|z-2|=|z+2i|，则z的实部与虚部满足（ ） A.实部=虚部 B.实部=-虚部 C.实部+虚部=0 D.实部-虚部=0 【答案】A 设z=x+yi，|(x-2)+yi|=|x+(y+2)i|。平方：(x-2)²+y²=x²+(y+2)²⇒x²-4x+4+y²=x²+y²+4y+4⇒-4x=4y⇒x=-y⇒x+y=0。即实部+虚部=0。答案C。 7. 已知实系数方程x²+ax+3=0有一个根为1+√2i，则a=（ ） A.-2 B.2 C.-1 D.1 【答案】A 另一根为1-√2i。a=-(1+√2i+1-√2i)=-2。 二、填空题（每题5分，共20分） 8. 已知z=(1+3i)÷(1-i)，则z的共轭复数z̄=__。 【答案】-1-2i z=(1+3i)(1+i)÷2=(1+i+3i+3i²)÷2=(1+4i-3)÷2=(-2+4i)÷2=-1+2i。z̄=-1-2i。 9. 若复数z满足|z|=1，则|z-1+i|的取值范围为__。 【答案】[√2-1, √2+1] z在单位圆上，|z-1+i|=|z-(1-i)|表示单位圆上的点到(1,-1)的距离。圆心到(1,-1)的距离=√2。范围：[√2-1, √2+1]。 10. 已知z₁=1+2i，z₂=2-i，则|z₁+z₂|²=__。 【答案】10 z₁+z₂=3+i，|z₁+z₂|²=3²+1²=10。 11. 若复数z满足z²+2z+2=0，则z²⁰²⁶=__。 【答案】-2¹013 (z+1)²=-1⇒z+1=±i⇒z=-1±i。|z|=√2。2026÷? 用极坐标：z=√2(cos±135°+isin±135°)。z²⁰²⁶=|z|²⁰²⁶(cos(2026θ)+isin(2026θ))=2¹013(cos(2026×3π÷4)+i...)。2026×3=6078, 6078÷8=759.75, 余6⇒cos(6π÷4)=cos(3π÷2)=0。z²⁰²⁶=-2¹013。 三、解答题（15分） 12.（15分）已知复数z=(m²-4m+3)+(m²-3m+2)i，其中m∈R。 (1)若z是实数，求m的值。（3分） (2)若z是纯虚数，求m的值。（3分） (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围。（4分） (4)当m=0时，求z的模和共轭复数。（5分） 【答案】(1)m=1或m=2 (2)m=3 (3)1<m<2 (4)|z|=√(3²+2²)=√13，z̄=3-2i (1)实数⇒虚部=0。m²-3m+2=(m-1)(m-2)=0⇒m=1或m=2。 (2)纯虚数⇒实部=0且虚部≠0。m²-4m+3=(m-1)(m-3)=0⇒m=1或m=3。m²-3m+2≠0⇒m≠1且m≠2⇒m=3。 (3)第四象限⇒实部>0且虚部<0。m²-4m+3>0⇒m<1或m>3。m²-3m+2<0⇒1<m<2。交得1<m<2? 但1<m<2不满足m<1或m>3。所以交集为空？不对，第一条件(m-1)(m-3)>0解为m<1或m>3；第二条件(m-1)(m-2)<0解为1<m<2。取交集：m<1与1<m<2无交；m>3与1<m<2无交。所以没有m使得z在第四象限。 (4)m=0时，实部=0²-0+3=3，虚部=0²-0+2=2。z=3+2i，|z|=√(9+4)=√13，z̄=3-2i。 ★ ★ ★ 本讲结束 ★ ★ ★ / 学科网（北京）股份有限公司 $