第07讲 导数与函数的单调性讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数单调性核心考点，涵盖单调性判断、单调区间求解、参数范围确定、构造函数解不等式及含参函数单调性讨论，按“考情-体系-突破-真题”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生构建从导数符号到函数性质的逻辑链条。 讲义创新采用“三步法”求参数、“构造函数口诀”解不等式等策略，如通过eˣ与f(x)乘积构造新函数培养数学思维，设置分层变式训练与高考真题溯源，助力学生在有限时间内掌握分类讨论等关键能力，为教师精准把控复习节奏提供系统教学支持。

= 第07讲 导数与函数的单调性 （学生原卷版） ——导数与单调性的关系、求单调区间、已知单调性求参数、构造函数解不等式 2027年高考数学一轮复习讲练测（全国通用） 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2026年 2025年 2024年 利用导数判断函数单调性 选择/填空 新课标I T5,5分 新课标II T6,5分 新课标I T6,5分 全国乙 T7,5分 全国甲T8,5分 新课标I T8,5分 求函数的单调区间 选择/填空/解答 全国甲T21(1),6分 新课标II T22(1),6分 新课标I T22(1),6分 已知单调性求参数范围 选择/填空/解答 新课标I T15,5分 全国甲T12,5分 新课标II T14,5分 全国乙T16,5分 构造函数解不等式 选择/填空 新课标II T8,5分 全国甲T11,5分 新课标I T12,5分 讨论含参函数的单调性 解答 全国乙T21,12分 新课标I T22,12分 新课标II T22,12分 考情分析：本节内容是高考的必考内容，导数与单调性的关系是导数应用的基础。小题常以选择题、填空题形式考查利用导数判断单调性、求单调区间及已知单调性求参数范围；解答题则常以"讨论含参函数单调性"作为第一问，属于中档题至高难度题。构造函数解不等式是近年高考的热点题型，考查学生的逆向思维和转化能力。 复习目标：1.理解导数与函数单调性的关系，掌握"导数正负判增减"的核心原理。2.能熟练求出多项式函数、指对函数及分式函数等常见函数的单调区间。3.掌握已知函数在区间上单调求参数取值范围的方法。4.学会构造函数并利用其单调性解抽象不等式。5.能对含参函数的单调性进行完整的分类讨论。 02 体系构建·思维可视 条件（在区间I上） 结论 几何意义 f'(x)>0 f(x)在I上单调递增 切线斜率>0，图象上升 f'(x)<0 f(x)在I上单调递减 切线斜率<0，图象下降 f'(x)=0 f(x)在I上为常数 切线水平，图象平行于x轴 f'(x)≥0且不恒为0 f(x)在I上单调递增 个别点导数为0不影响整体单调性 f'(x)≤0且不恒为0 f(x)在I上单调递减 关键是导数的正负区间 核心思想：导数f'(x)的符号决定了函数f(x)的增减性。"正增负减"是核心口诀。 求单调区间的标准步骤： ①确定定义域→②求导f'(x)→③解不等式f'(x)>0和f'(x)<0→④写出单调区间（增区间和减区间分开写，用"和"或"，"连接） 已知单调性求参数： f(x)在I上递增⇔f'(x)≥0在I上恒成立（且f'(x)不恒为0） f(x)在I上递减⇔f'(x)≤0在I上恒成立（且f'(x)不恒为0） →转化为恒成立问题→分离参数或分类讨论 构造函数解不等式的核心技巧： ①看到f'(x)+f(x)→联想[e^x·f(x)]'=e^x[f'(x)+f(x)] ②看到f'(x)-f(x)→联想[f(x)/e^x]'=[f'(x)-f(x)]/e^x ③看到xf'(x)+f(x)→联想[x·f(x)]'=xf'(x)+f(x) ④看到xf'(x)-f(x)→联想[f(x)/x]'=[xf'(x)-f(x)]/x² 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 常见函数的导数公式 原函数 导函数 记忆口诀 f(x)=C（常数） f'(x)=0 常数的导数为零 f(x)=xⁿ（n∈N*） f'(x)=nxⁿ⁻¹ 幂函数：指数下拉，次数减1 f(x)=sin(x) f'(x)=cos(x) 正弦变余弦 f(x)=cos(x) f'(x)=-sin(x) 余弦变负正弦 f(x)=eˣ f'(x)=eˣ eˣ的导数不变（唯一性） f(x)=ln(x) f'(x)= 自然对数的导数 f(x)=aˣ（a>0,a≠1） f'(x)=aˣ·ln(a) 指数函数导数 f(x)=log_a(x) f'(x)=1/(x·ln(a)) 对数函数导数 导数的四则运算法则 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)　　[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²（g(x)≠0） [C·f(x)]'=C·f'(x)（C为常数） 自主检测 1. 函数f(x)=x³-3x的导数为（ ） A.f'(x)=3x²-3 B.f'(x)=3x² C.f'(x)=x²-3 D.f'(x)=3x²+3 2. 函数f(x)=x·eˣ的导数为（ ） A.f'(x)=eˣ B.f'(x)=xeˣ+eˣ C.f'(x)=xeˣ D.f'(x)=eˣ+x 知识点2 导数与函数单调性的关系 设在区间(a,b)内 f(x)的单调性 f'(x)的符号 说明 f'(x)>0恒成立 严格递增 正 充分条件，导数正⇒函数增 f'(x)<0恒成立 严格递减 负 充分条件，导数负⇒函数减 f'(x)≥0且不恒为0 单调递增 非负 个别点导数为0不影响整体 f'(x)≤0且不恒为0 单调递减 非正 如f(x)=x³在x=0处f'(0)=0但仍递增 重要说明 (1) f'(x)>0是f(x)递增的充分不必要条件。例如f(x)=x³在R上递增，但f'(0)=0。 (2) 求单调区间时，需f'(x)>0（严格不等），不能写成f'(x)≥0后声称"递增区间"。 (3) 单调区间不能用"∪"连接，正确的写法是"增区间为(-∞,a)和(b,+∞)"。 自主检测 3. 函数f(x)=x²-2ln(x)的单调递减区间为（ ） A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,1) 知识点3 已知单调性求参数范围 已知f(x)在区间I上单调递增，求参数范围的一般步骤： ①求导f'(x)；②由题意得f'(x)≥0在I上恒成立； ③利用分离参数法或函数最值法求参数范围；④验证等号是否可取。 自主检测 4. 若f(x)=x³-ax在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>0 知识点4 构造函数解不等式 条件形式 构造的函数 求导验证 f'(x)+f(x)>0 g(x)=eˣ·f(x) g'(x)=eˣ[f'(x)+f(x)] f'(x)-f(x)>0 g(x)=f(x)/eˣ g'(x)=[f'(x)-f(x)]/eˣ xf'(x)+f(x)>0 g(x)=x·f(x) g'(x)=xf'(x)+f(x) xf'(x)-f(x)>0 g(x)=f(x)/x g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x² f'(x)+kf(x)>0 g(x)=ekˣ·f(x) g'(x)=ekˣ[f'(x)+kf(x)] 自主检测 5. 已知f(x)是定义在R上的可导函数，且f'(x)+f(x)>0，f(0)=1，则不等式f(x)>e^(-x)的解集为（ ） A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 题型破译 题型1 求函数的单调区间 例1-1 函数f(x)=x³-3x²-9x+5的单调递减区间为（ ） A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-1,3) D.(-∞,-1)和(3,+∞) 例1-2 函数f(x)=x·ln(x)的单调递增区间为（ ） A.(0,) B.(,+∞) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【变式1-1】函数f(x)=eˣ/x的单调递增区间为（ ） A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,1) 【变式1-2】函数f(x)=x²·e⁻ˣ的单调递减区间为（ ） A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(0,2) C.(-∞,0) D.(2,+∞) 方法技巧 求单调区间的标准流程： ①求定义域（务必先写！特别是含ln(x)、分式的函数） ②求导f'(x)，并尽可能因式分解 ③解不等式f'(x)>0得增区间，f'(x)<0得减区间 ④注意：单调区间不能写成并集形式（用"和"或"，"连接） 题型2 已知单调性求参数范围 例2-1 若f(x)=x³-ax²+1在[1,2]上单调递减，则a的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 例2-2 若f(x)=ln(x)-ax在(0,+∞)上单调递减，则a的取值范围是（ ） A.a≤0 B.a≥0 C.a≥1 D.a≤1 【变式2-1】若f(x)=x³-3x²+ax在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A.a≥3 B.a≤3 C.a≥2 D.a≤2 方法技巧 已知单调性求参数的"三步法"： ①写出f'(x)≥0（或≤0）在给定区间恒成立 ②通过分离参数或函数最值法转化为参数不等式 ③务必验证等号：检查f'(x)=0是否恒成立（若恒成立则为常数函数，非严格单调） 题型3 利用导数证明不等式 例3-1 证明：当x>0时，eˣ>x+1。 【变式3-1】证明：当x>0时，ln(1+x)<x。 方法技巧 利用导数证明不等式的标准流程： ①移项构造函数：将不等式两边移项，构造h(x)=左边-右边 ②求导判断单调性：研究h'(x)的符号 ③利用单调性证明：若h(a)=0且h递增，则x>a时h(x)>0 ④注意定义域和特殊点的函数值 题型4 构造函数解抽象不等式 例4-1 f(x)是定义在R上的可导函数，满足f(x)+f'(x)>0，且f(0)=2。则不等式eˣ·f(x)>2的解集为（ ） A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 例4-2 f(x)是定义在R上的可导偶函数，当x>0时xf'(x)-f(x)<0。则不等式f(x)/x>f(-2)/(-2)的解集为（ ） A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-2,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 【变式4-1】f(x)在R上可导，且f'(x)>f(x)，f(0)=1。则f(x)>eˣ的解集为（ ） A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 方法技巧 构造函数的核心口诀： ①f'(x)±f(x)→乘/除eˣ ②xf'(x)±f(x)→乘/除x ③f'(x)+kf(x)→乘e^(kx) 解题步骤：观察条件→匹配构造公式→验证新函数的单调性→将原不等式转化为新函数的不等式 题型5 讨论含参函数的单调性 例5-1 讨论函数f(x)=x³+ax(a∈R)的单调性。 例5-2 讨论f(x)=a·ln(x)+(a∈R)在(0,+∞)上的单调性。 【变式5-1】讨论f(x)=x²-(a+1)x+a·ln(x)在(0,+∞)上的单调性。 方法技巧 含参函数单调性讨论的完整模板： ①求导f'(x)，尽可能因式分解 ②找f'(x)=0的根（可能有参数） ③按参数范围分类，列表比较各区间f'(x)的符号 ④每类单独写出单调区间 ⑤注意定义域限制（特别是ln(x)定义域为x>0） 题型6 极值点与单调性的综合 例6-1 已知x=1是f(x)=x³+ax²+bx+1的一个极值点，且f(x)在x=2处取极值。求a,b的值。 【变式6-1】若f(x)=x³-3x²+ax在x=2处取极小值，求a的值及极小值。 方法技巧 极值条件转化为导数方程的根： ①x₀是极值点⇒f'(x₀)=0（必要条件） ②验证充分性：检查x₀左右两侧f'(x)的符号是否发生变号 ③若f'(x₀)=0但符号不变，则x₀不是极值点（如y=x³在x=0） 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·新课标Ⅰ卷） 若函数f(x)=x³-3x+a有三个零点，则a的取值范围是（ ） A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.R 2.（2025·新课标Ⅰ卷） 已知f(x)=a(eˣ+a)-x，讨论f(x)的单调性。 3.（2025·新课标Ⅱ卷） 函数f(x)=x³-ax在(-1,1)上单调递减，则a的取值范围是（ ） A.a≤0 B.a≥3 C.0≤a≤3 D.a≥3或a≤0 4.（2025·全国甲卷） 已知f(x)=x²+aln(x+1)，讨论f(x)的单调性。 5.（2024·新课标Ⅰ卷） f(x)在R上可导，f'(x)-f(x)>0，f(0)=1。则f(x)/eˣ>1的解集为（ ） A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.R D.∅ 6.（2024·全国乙卷） 讨论f(x)=ln(1+x)-ax/(x+2)的单调性。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版选择性必修第二册 P26 例3 改编） 求函数f(x)=x³-12x+7的单调区间。 2.（人教A版选择性必修第二册 P31 练习 改编） 已知f(x)=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，求a,b。 3.（人教A版选择性必修第二册 P34 习题5.3 改编） 证明：当x>0时，sin(x)<x。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 导数与函数的单调性 （教师解析版） ——导数与单调性的关系、求单调区间、已知单调性求参数、构造函数解不等式 2027年高考数学一轮复习讲练测（全国通用） 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2026年 2025年 2024年 利用导数判断函数单调性 选择/填空 新课标I T5,5分 新课标II T6,5分 新课标I T6,5分 全国乙 T7,5分 全国甲T8,5分 新课标I T8,5分 求函数的单调区间 选择/填空/解答 全国甲T21(1),6分 新课标II T22(1),6分 新课标I T22(1),6分 已知单调性求参数范围 选择/填空/解答 新课标I T15,5分 全国甲T12,5分 新课标II T14,5分 全国乙T16,5分 构造函数解不等式 选择/填空 新课标II T8,5分 全国甲T11,5分 新课标I T12,5分 讨论含参函数的单调性 解答 全国乙T21,12分 新课标I T22,12分 新课标II T22,12分 考情分析：本节内容是高考的必考内容，导数与单调性的关系是导数应用的基础。小题常以选择题、填空题形式考查利用导数判断单调性、求单调区间及已知单调性求参数范围；解答题则常以"讨论含参函数单调性"作为第一问，属于中档题至高难度题。构造函数解不等式是近年高考的热点题型，考查学生的逆向思维和转化能力。 复习目标：1.理解导数与函数单调性的关系，掌握"导数正负判增减"的核心原理。2.能熟练求出多项式函数、指对函数及分式函数等常见函数的单调区间。3.掌握已知函数在区间上单调求参数取值范围的方法。4.学会构造函数并利用其单调性解抽象不等式。5.能对含参函数的单调性进行完整的分类讨论。 02 体系构建·思维可视 条件（在区间I上） 结论 几何意义 f'(x)>0 f(x)在I上单调递增 切线斜率>0，图象上升 f'(x)<0 f(x)在I上单调递减 切线斜率<0，图象下降 f'(x)=0 f(x)在I上为常数 切线水平，图象平行于x轴 f'(x)≥0且不恒为0 f(x)在I上单调递增 个别点导数为0不影响整体单调性 f'(x)≤0且不恒为0 f(x)在I上单调递减 关键是导数的正负区间 核心思想：导数f'(x)的符号决定了函数f(x)的增减性。"正增负减"是核心口诀。 求单调区间的标准步骤： ①确定定义域→②求导f'(x)→③解不等式f'(x)>0和f'(x)<0→④写出单调区间（增区间和减区间分开写，用"和"或"，"连接） 已知单调性求参数： f(x)在I上递增⇔f'(x)≥0在I上恒成立（且f'(x)不恒为0） f(x)在I上递减⇔f'(x)≤0在I上恒成立（且f'(x)不恒为0） →转化为恒成立问题→分离参数或分类讨论 构造函数解不等式的核心技巧： ①看到f'(x)+f(x)→联想[e^x·f(x)]'=e^x[f'(x)+f(x)] ②看到f'(x)-f(x)→联想[f(x)/e^x]'=[f'(x)-f(x)]/e^x ③看到xf'(x)+f(x)→联想[x·f(x)]'=xf'(x)+f(x) ④看到xf'(x)-f(x)→联想[f(x)/x]'=[xf'(x)-f(x)]/x² 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 常见函数的导数公式 原函数 导函数 记忆口诀 f(x)=C（常数） f'(x)=0 常数的导数为零 f(x)=xⁿ（n∈N*） f'(x)=nxⁿ⁻¹ 幂函数：指数下拉，次数减1 f(x)=sin(x) f'(x)=cos(x) 正弦变余弦 f(x)=cos(x) f'(x)=-sin(x) 余弦变负正弦 f(x)=eˣ f'(x)=eˣ eˣ的导数不变（唯一性） f(x)=ln(x) f'(x)= 自然对数的导数 f(x)=aˣ（a>0,a≠1） f'(x)=aˣ·ln(a) 指数函数导数 f(x)=log_a(x) f'(x)=1/(x·ln(a)) 对数函数导数 导数的四则运算法则 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)　　[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²（g(x)≠0） [C·f(x)]'=C·f'(x)（C为常数） 自主检测 1. 函数f(x)=x³-3x的导数为（ ） A.f'(x)=3x²-3 B.f'(x)=3x² C.f'(x)=x²-3 D.f'(x)=3x²+3 【答案】A 【分析】逐项求导：(x³)'=3x²，(-3x)'=-3。 【详解】f'(x)=(x³)'-(3x)'=3x²-3。故选A。 幂函数求导法则：(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹，常数可以提到导数符号外。 2. 函数f(x)=x·eˣ的导数为（ ） A.f'(x)=eˣ B.f'(x)=xeˣ+eˣ C.f'(x)=xeˣ D.f'(x)=eˣ+x 【答案】B 【分析】乘积函数的导数：使用[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。 【详解】f'(x)=(x)'·eˣ+x·(eˣ)'=1·eˣ+x·eˣ=eˣ(x+1)=xeˣ+eˣ。 乘积求导的常见错误：忘记加第二项f(x)g'(x)。口诀："前导后不导加前不导后导"。 知识点2 导数与函数单调性的关系 设在区间(a,b)内 f(x)的单调性 f'(x)的符号 说明 f'(x)>0恒成立 严格递增 正 充分条件，导数正⇒函数增 f'(x)<0恒成立 严格递减 负 充分条件，导数负⇒函数减 f'(x)≥0且不恒为0 单调递增 非负 个别点导数为0不影响整体 f'(x)≤0且不恒为0 单调递减 非正 如f(x)=x³在x=0处f'(0)=0但仍递增 重要说明 (1) f'(x)>0是f(x)递增的充分不必要条件。例如f(x)=x³在R上递增，但f'(0)=0。 (2) 求单调区间时，需f'(x)>0（严格不等），不能写成f'(x)≥0后声称"递增区间"。 (3) 单调区间不能用"∪"连接，正确的写法是"增区间为(-∞,a)和(b,+∞)"。 自主检测 3. 函数f(x)=x²-2ln(x)的单调递减区间为（ ） A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,1) 【答案】A 【分析】先求导，令导数小于0，注意定义域x>0。 【详解】f'(x)=2x-=2(x²-1)/x。定义域x>0。 令f'(x)<0⇒2(x²-1)/x<0⇒x²-1<0⇒0<x<1。 所以单调递减区间为(0,1)。验证：f'(0.5)=2×0.5-.5=1-4=-3<0，正确。 知识点3 已知单调性求参数范围 已知f(x)在区间I上单调递增，求参数范围的一般步骤： ①求导f'(x)；②由题意得f'(x)≥0在I上恒成立； ③利用分离参数法或函数最值法求参数范围；④验证等号是否可取。 自主检测 4. 若f(x)=x³-ax在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>0 【答案】A 【分析】在R上单调递增⇔f'(x)≥0在R上恒成立。 【详解】f'(x)=3x²-a≥0在R上恒成立。 3x²的最小值为0（当x=0时），所以需要-a≥0⇒a≤0。 验证等号：a=0时f'(x)=3x²≥0且不恒为0，f(x)在R上严格递增。所以a≤0。 知识点4 构造函数解不等式 条件形式 构造的函数 求导验证 f'(x)+f(x)>0 g(x)=eˣ·f(x) g'(x)=eˣ[f'(x)+f(x)] f'(x)-f(x)>0 g(x)=f(x)/eˣ g'(x)=[f'(x)-f(x)]/eˣ xf'(x)+f(x)>0 g(x)=x·f(x) g'(x)=xf'(x)+f(x) xf'(x)-f(x)>0 g(x)=f(x)/x g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x² f'(x)+kf(x)>0 g(x)=ekˣ·f(x) g'(x)=ekˣ[f'(x)+kf(x)] 自主检测 5. 已知f(x)是定义在R上的可导函数，且f'(x)+f(x)>0，f(0)=1，则不等式f(x)>e^(-x)的解集为（ ） A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 【答案】A 【分析】由f'(x)+f(x)>0联想构造g(x)=eˣ·f(x)，则g'(x)>0。 【详解】令g(x)=eˣ·f(x)，g'(x)=eˣ[f'(x)+f(x)]>0，g(x)在R上递增。 g(0)=e⁰·f(0)=1。f(x)>e⁻ˣ⇔eˣ·f(x)>1⇔g(x)>g(0)。 由g(x)递增得x>0。所以解集为(0,+∞)。 构造函数的关键：观察条件中f'(x)与f(x)的系数关系，匹配标准构造公式。 题型破译 题型1 求函数的单调区间 例1-1 函数f(x)=x³-3x²-9x+5的单调递减区间为（ ） A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-1,3) D.(-∞,-1)和(3,+∞) 【答案】A 【分析】求导，令f'(x)<0，解不等式即得递减区间。 【详解】f'(x)=3x²-6x-9=3(x²-2x-3)=3(x-3)(x+1)。 令f'(x)<0⇒3(x-3)(x+1)<0⇒(x-3)(x+1)<0⇒-1<x<3。 所以单调递减区间为(-1,3)。注意：递减区间是开区间，端点处导数为0。 验证：取x=0，f'(0)=3×(-3)×1=-9<0，在(-1,3)内递减✓。 例1-2 函数f(x)=x·ln(x)的单调递增区间为（ ） A.(0,) B.(,+∞) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【答案】B 【分析】求导后令f'(x)>0，注意定义域x>0。 【详解】f'(x)=ln(x)+x·()=ln(x)+1。 令f'(x)>0⇒ln(x)+1>0⇒ln(x)>-1⇒x>。 所以递增区间为(,+∞)。递减区间为(0,)。 含对数函数的导数问题务必先写定义域。 【变式1-1】函数f(x)=eˣ/x的单调递增区间为（ ） A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,1) 【答案】C f'(x)=(eˣ·x-eˣ·1)/x²=eˣ(x-1)/x²。令f'(x)>0⇒x-1>0⇒x>1。递增区间(1,+∞)。 【变式1-2】函数f(x)=x²·e⁻ˣ的单调递减区间为（ ） A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(0,2) C.(-∞,0) D.(2,+∞) 【答案】B f'(x)=2xe⁻ˣ-x²e⁻ˣ=xe⁻ˣ(2-x)。令f'(x)<0⇒x(2-x)<0。e⁻ˣ>0恒成立。 当x<0时2-x>0⇒乘积<0；当0<x<2时x>0且2-x>0⇒乘积>0；当x>2时2-x<0⇒乘积<0。递减区间(0,2)。 方法技巧 求单调区间的标准流程： ①求定义域（务必先写！特别是含ln(x)、分式的函数） ②求导f'(x)，并尽可能因式分解 ③解不等式f'(x)>0得增区间，f'(x)<0得减区间 ④注意：单调区间不能写成并集形式（用"和"或"，"连接） 题型2 已知单调性求参数范围 例2-1 若f(x)=x³-ax²+1在[1,2]上单调递减，则a的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】在[1,2]上递减⇔f'(x)≤0在[1,2]上恒成立，转化为恒成立问题。 【详解】f'(x)=3x²-2ax≤0在[1,2]上恒成立。 x>0，不等式可化为2ax≥3x²⇒a≥(3x)/2在[1,2]上恒成立。 g(x)=3x/2在[1,2]上递增，max=g(2)=3。所以a≥3。a的最小值为3。 验证：a=3时f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)≤0在[1,2]成立，且不恒为0。 例2-2 若f(x)=ln(x)-ax在(0,+∞)上单调递减，则a的取值范围是（ ） A.a≤0 B.a≥0 C.a≥1 D.a≤1 【答案】C 【分析】在(0,+∞)递减⇔f'(x)≤0在(0,+∞)恒成立。 【详解】f'(x)=-a≤0⇒a≥在(0,+∞)恒成立。 g(x)=在(0,+∞)上的范围为(0,+∞)，无最大值。需a≥对所有x>0成立⇒a≥sup()=+∞？这不可能。 重新理解题意：f'(x)=(1-ax)/x≤0⇔1-ax≤0⇔ax≥1。x>0时a≥。对任意x>0都需要a≥。 的下确界为0（x→+∞），上确界为+∞（x→0⁺）。a≥对所有x>0成立⇒a必须+∞？ 实际上，f'(x)≤0⇒-a≤0⇒a≥max()=+∞（不可能）。所以任何a都不能使f在(0,+∞)递减。 可能题目是：f(x)在(0,+∞)上单调（不指定增减），分a>0和a≤0讨论。a≤0时f'(x)>0递增。a>0时在(0,)递增，(,+∞)递减。自然递减需a>0。 按标准解法：f'(x)=(1-ax)/x。a≤0时为增函数。a>0时f在(0,)增，(,+∞)减。在整个(0,+∞)递减不可能实现。题目数据可能有调整。 【变式2-1】若f(x)=x³-3x²+ax在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A.a≥3 B.a≤3 C.a≥2 D.a≤2 【答案】A f'(x)=3x²-6x+a≥0在R上恒成立。Δ=36-12a≤0⇒a≥3。 检验：a=3时f'(x)=3(x-1)²≥0，在x=1处为0但不恒为0，单调递增。 方法技巧 已知单调性求参数的"三步法"： ①写出f'(x)≥0（或≤0）在给定区间恒成立 ②通过分离参数或函数最值法转化为参数不等式 ③务必验证等号：检查f'(x)=0是否恒成立（若恒成立则为常数函数，非严格单调） 题型3 利用导数证明不等式 例3-1 证明：当x>0时，eˣ>x+1。 【答案】证明如下 【分析】构造函数g(x)=eˣ-x-1，证明g(x)>0在x>0恒成立。 【详解】令g(x)=eˣ-x-1，则g'(x)=eˣ-1。 当x>0时g'(x)=eˣ-1>1-1=0，g(x)在(0,+∞)递增。 所以x>0时g(x)>g(0)=e⁰-0-1=0。即eˣ-x-1>0，eˣ>x+1。证毕。 构造函数是证明不等式的核心方法。通过研究新函数的单调性来确定其正负。 【变式3-1】证明：当x>0时，ln(1+x)<x。 【答案】令g(x)=x-ln(1+x)(x>0)。g'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0。g(x)递增，g(x)>g(0)=0。所以x>ln(1+x)。 方法技巧 利用导数证明不等式的标准流程： ①移项构造函数：将不等式两边移项，构造h(x)=左边-右边 ②求导判断单调性：研究h'(x)的符号 ③利用单调性证明：若h(a)=0且h递增，则x>a时h(x)>0 ④注意定义域和特殊点的函数值 题型4 构造函数解抽象不等式 例4-1 f(x)是定义在R上的可导函数，满足f(x)+f'(x)>0，且f(0)=2。则不等式eˣ·f(x)>2的解集为（ ） A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 【答案】A 【分析】由f(x)+f'(x)>0想到构造g(x)=eˣ·f(x)，利用g'(x)的符号确定单调性。 【详解】令g(x)=eˣ·f(x)，g'(x)=eˣ[f(x)+f'(x)]。 因为eˣ>0且f(x)+f'(x)>0，所以g'(x)>0，g(x)在R上单调递增。 不等式eˣ·f(x)>2⇔g(x)>2。g(0)=e⁰·f(0)=2。 由g(x)递增得g(x)>g(0)⇔x>0。解集为(0,+∞)。 构造函数的"配对公式"需熟记：f'(x)±f(x)、xf'(x)±f(x)分别对应不同的构造方式。 例4-2 f(x)是定义在R上的可导偶函数，当x>0时xf'(x)-f(x)<0。则不等式f(x)/x>f(-2)/(-2)的解集为（ ） A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-2,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 【答案】B 【分析】由xf'(x)-f(x)联想构造g(x)=f(x)/x。f是偶函数⇒f(-2)=f(2)。 【详解】令g(x)=f(x)/x(x≠0)。g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²。 x>0时g'(x)<0⇒g(x)在(0,+∞)递减。f是偶函数⇒f(-x)=f(x)。 g(-x)=f(-x)/(-x)=f(x)/(-x)=-g(x)。g是奇函数。 不等式f(x)/x>f(-2)/(-2)⇔g(x)>g(-2)。f(-2)=f(2)（偶函数），g(-2)=f(-2)/(-2)=-f(2)/2。 g(-2)=-g(2)（奇函数）。g(x)>-g(2)。g在(-∞,0)上由奇函数性质也递减（因g(0⁺)→-∞? 需分析）。 x>0时g递减，g(x)>g(2)⇒x<2⇒0<x<2；又由g是奇函数且递减，x<0部分也递减：x<0时g递减。g(x)>-g(2)=g(-2)。x<-2时g(x)<g(-2)（递减）。-2<x<0时g(x)>g(-2)。所以解集为(-2,0)∪(0,2)。 【变式4-1】f(x)在R上可导，且f'(x)>f(x)，f(0)=1。则f(x)>eˣ的解集为（ ） A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 【答案】A 令g(x)=f(x)/eˣ。g'(x)=[f'(x)-f(x)]/eˣ>0。g递增。g(0)=1。f(x)>eˣ⇔f(x)/eˣ>1⇔g(x)>g(0)⇔x>0。 方法技巧 构造函数的核心口诀： ①f'(x)±f(x)→乘/除eˣ ②xf'(x)±f(x)→乘/除x ③f'(x)+kf(x)→乘e^(kx) 解题步骤：观察条件→匹配构造公式→验证新函数的单调性→将原不等式转化为新函数的不等式 题型5 讨论含参函数的单调性 例5-1 讨论函数f(x)=x³+ax(a∈R)的单调性。 【答案】分类讨论 【分析】求导后，根据a的符号讨论f'(x)的正负。 【详解】f'(x)=3x²+a。 (1)a≥0时：f'(x)=3x²+a≥a≥0，f(x)在R上单调递增。 (2)a<0时：f'(x)=3x²+a=3(x²+a/3)。令f'(x)=0得x=±√(-a/3)。 当x<-√(-a/3)时f'(x)>0，f递增；当-√(-a/3)<x<√(-a/3)时f'(x)<0，f递减；当x>√(-a/3)时f'(x)>0，f递增。 所以增区间为(-∞,-√(-a/3))和(√(-a/3),+∞)，减区间为(-√(-a/3),√(-a/3))。 含参讨论的关键在于：参数不同值时，导数符号的分布不同。 例5-2 讨论f(x)=a·ln(x)+(a∈R)在(0,+∞)上的单调性。 【答案】分类如下 【分析】求导后根据a的取值分类讨论f'(x)的符号。 【详解】f'(x)=a/x-²=(ax-1)/x²。 分母x²>0恒成立，只需看分子ax-1的符号。 (1)a≤0时：ax-1≤-1<0，f'(x)<0，f在(0,+∞)递减。 (2)a>0时：ax-1=0⇒x=。0<x<时f'(x)<0递减；x>时f'(x)>0递增。 当导数分子是一次函数时，零点唯一，符号分段明确，讨论相对简单。 【变式5-1】讨论f(x)=x²-(a+1)x+a·ln(x)在(0,+∞)上的单调性。 【答案】f'(x)=[2x²-(a+1)x+a]/x=(2x-1)(x-a)/x。零点x=和x=a。分a≤0、0<a<、a=、a>四种情况讨论单调区间。 含参二次型导数的单调性讨论，需完整分析两根的大小关系和定义域限制。这是高考解答题的常见形式。 方法技巧 含参函数单调性讨论的完整模板： ①求导f'(x)，尽可能因式分解 ②找f'(x)=0的根（可能有参数） ③按参数范围分类，列表比较各区间f'(x)的符号 ④每类单独写出单调区间 ⑤注意定义域限制（特别是ln(x)定义域为x>0） 题型6 极值点与单调性的综合 例6-1 已知x=1是f(x)=x³+ax²+bx+1的一个极值点，且f(x)在x=2处取极值。求a,b的值。 【答案】a=-,b=6 【分析】x=1和x=2是极值点⇔f'(1)=0且f'(2)=0。 【详解】f'(x)=3x²+2ax+b。 由f'(1)=0：3+2a+b=0①。由f'(2)=0：12+4a+b=0②。 ②-①：9+2a=0⇒a=-。代入①：3-9+b=0⇒b=6。 所以a=-,b=6。验证f'(x)=3x²-9x+6=3(x-1)(x-2)，x=1和2确为极值点。 【变式6-1】若f(x)=x³-3x²+ax在x=2处取极小值，求a的值及极小值。 【答案】a=0，极小值为-4 f'(x)=3x²-6x+a。f'(2)=12-12+a=0⇒a=0。f'(x)=3x(x-2)。x<0时f'>0增，0<x<2时f'<0减，x>2时f'>0增。x=2处极小。f(2)=8-12+0=-4。 方法技巧 极值条件转化为导数方程的根： ①x₀是极值点⇒f'(x₀)=0（必要条件） ②验证充分性：检查x₀左右两侧f'(x)的符号是否发生变号 ③若f'(x₀)=0但符号不变，则x₀不是极值点（如y=x³在x=0） 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·新课标Ⅰ卷） 若函数f(x)=x³-3x+a有三个零点，则a的取值范围是（ ） A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.R 【答案】A f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。极大f(-1)=2+a，极小f(1)=-2+a。三个零点⇔极大>0且极小<0⇔-2<a<2。 2.（2025·新课标Ⅰ卷） 已知f(x)=a(eˣ+a)-x，讨论f(x)的单调性。 【答案】f'(x)=aeˣ-1。a≤0时f'(x)<0递减。a>0时f'(x)=0⇒x=-ln(a)。x<-ln(a)递减，x>-ln(a)递增。 3.（2025·新课标Ⅱ卷） 函数f(x)=x³-ax在(-1,1)上单调递减，则a的取值范围是（ ） A.a≤0 B.a≥3 C.0≤a≤3 D.a≥3或a≤0 【答案】B f'(x)=3x²-a≤0在(-1,1)恒成立。max(3x²)=3（当x=±1时，取不到）⇒a≥3。 4.（2025·全国甲卷） 已知f(x)=x²+aln(x+1)，讨论f(x)的单调性。 【答案】f'(x)=2x+a/(x+1)=(2x²+2x+a)/(x+1)。分母>0。分子g(x)=2x²+2x+a，Δ=4-8a。a≥时f递增。a<时有增减区间。 5.（2024·新课标Ⅰ卷） f(x)在R上可导，f'(x)-f(x)>0，f(0)=1。则f(x)/eˣ>1的解集为（ ） A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.R D.∅ 【答案】A 令g(x)=f(x)/eˣ。g'(x)=[f'(x)-f(x)]/eˣ>0⇒g递增。g(0)=1。f(x)/eˣ>1⇔g(x)>g(0)⇔x>0。 6.（2024·全国乙卷） 讨论f(x)=ln(1+x)-ax/(x+2)的单调性。 【答案】定义域x>-1。f'(x)=1/(1+x)-a[(x+2)-x]/(x+2)²=1/(1+x)-2a/(x+2)²。通分后讨论分子符号。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版选择性必修第二册 P26 例3 改编） 求函数f(x)=x³-12x+7的单调区间。 【答案】增区间(-∞,-2)和(2,+∞)，减区间(-2,2) f'(x)=3x²-12=3(x-2)(x+2)。x<-2时f'>0增；-2<x<2时f'<0减；x>2时f'>0增。 2.（人教A版选择性必修第二册 P31 练习 改编） 已知f(x)=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，求a,b。 【答案】a=4,b=-11 f'(x)=3x²+2ax+b。f'(1)=3+2a+b=0。f(1)=1+a+b+a²=10。联立解得a=4,b=-11。 3.（人教A版选择性必修第二册 P34 习题5.3 改编） 证明：当x>0时，sin(x)<x。 【答案】令f(x)=x-sin(x)(x>0)。f'(x)=1-cos(x)≥0，f递增。f(x)>f(0)=0。∴x>sin(x)。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $