精品解析：湖南省长沙市立信中学2025-2026学年九年级下学期中考二模数学试卷

2025-2026：立信中学九年级下学期中考二模数学试卷 命题人：高淼、李健波 审题人：李健波 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 下列图形为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减、积的乘方计算、同底数幂除法、完全平方公式等知识点，掌握相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减、积的乘方计算、同底数幂除法、完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：B． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 C. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 D. 从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量为名学生 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、方差的意义，根据普查和抽样调查、事件的分类、方差的意义分别进行判断即可，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意； ．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符合题意； ．“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，故选项正确，符合题意； ．从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量为，故选项错误，不符合题意； 故选：． 6. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、2、1． 故选：C． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键． 7. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作， ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 8. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度后得到点，则点的坐标是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向左平移横坐标减，向右平横坐标加，纵坐标不变进行求解即可． 【详解】由题意知，将点(﹣1，5)向左平移2个单位长度后得到点P， 所以点P的坐标为（﹣1－2，5），即（﹣3，5）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的规律是解本题的关键． 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可以得出矩形的面积，矩形的面积等于点A的横纵坐标的积的绝对值，即可得出答案. 本题考查的是反比例函数系数的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【详解】解：由，可得矩形的面积， ∴， 即， 又∵函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 10. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当时， C. 它的图象与y轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质；根据判断A，根据图象性质判断B和D，根据当时，判断C即可． 【详解】解：A．∵，∴y随x的增大而增大，故错误； B． 当时，，故错误； C．当时，，∴它的图象与y轴交于点，故正确； D． 它的图象经过第一、三、四象限，故错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根式有意义的定义，得不等式，求解即可． 【详解】解：若要根式有意义， 则， 解得． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，原式提取公因式m后，再利用平方差公式分解剩余部分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为， 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：m＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 15. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解. 【详解】解：将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D， 用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： A B C D A BA CA DA B AB CB DB C AC BC DC D AD BD CD 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD， 所以恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是＝， 故答案为. 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比. 16. 在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上”； 小培说：“红色球不在我手上”； 小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”． 三个同学只有一个说对了，则红色球在______的手上． 【答案】小培 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理与论证．解题的关键在于对信息的综合理解．分别假设小雅、小培、小粹的说法正确，由此进行推理，判断是否符合题意即可． 【详解】解：由题意知，假设小雅正确，则小培正确，小雅、小培同学说法正确，故不符合题意； 假设小培正确，小培和小粹也有一人说法正确，故不符合题意； 假设小粹正确，小雅、小培说法错误，则红色球不在小雅手上，在小培手上，符合题意， ∴当三个同学中只有一个说对了，则红色球在小培的手上， 故选：小培． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20题、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 测量计算是日常生活中常见的问题，在现实生活中，往往当物体的高度不方便测量，此时我们可以借助所学的知识，利用直角三角形边角关系得到我们需要的数据．如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，小雅站在距离楼底端C点26米处的D点，测得此时旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为．（点A、B、C在同一直线上，且点A、B、 C、D处于同一平面内）（参考数据：，） （1）求楼高； （2）求旗杆的高度．（结果精确到1米） 【答案】（1）建筑物的高度为 26米 （2）旗杆的高度为5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是设出未知数，根据的正切值列出方程求解． （1）在中，根据，即可求解． （2）在中，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意， 在中，， 答：建筑物的高度为 26米． 【小问2详解】 解：在中，， ， ， 米， 答：旗杆的高度为5米． 20. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100，补全的条形统计图如图所示： （2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【小问1详解】 这次调查的样本容量是：25÷25%=100， D组的人数为：100-10-20-25-5=40， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100； 【小问2详解】 在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°， ∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组， ∴中位数落在C组， 故答案为：72，C； 【小问3详解】 1800×=1710（人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的步骤，可判断平分，结合等腰三角形的性质，可求出的度数． （2）根据可知是等腰直角三角形，由求出的长度，最后在中利用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：由作图痕迹可知平分，， ， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， 即是等腰直角三角形， ， ， 在Rt△ABC中，由勾股定理得． 22. 时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．学校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买2个A型机器人模型和3个B型机器人模型共需要2900元． （1）A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买A型和B型机器人模型共40台，要求B型机器人模型数量不超过A型机器人模型数量的3倍，且购买的总费用预算不超过24000元，怎样安排购买方案费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1） A型机器人模型单价是700元，B型机器人模型单价是500元 （2） 购买A型机器人模型10台，B型机器人模型30台时费用最少，最少费用是22000元 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的单价差和总花费，列二元一次方程组求解即可得到两种型号的单价； （2）根据B型数量限制和总费用限制列出不等式组，得到A型购买数量的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求出最小费用． 【小问1详解】 解 ：设A型机器人模型单价是元，B型机器人模型单价是元 根据题意得   解得 答：A型机器人模型单价是700元，B型机器人模型单价是500元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，总费用为元 根据题意得，  解得，为正整数 总费用， 随的增大而增大 当时，取得最小值 （元） 此时  答：购买A型机器人模型10台，B型机器人模型30台时费用最少，最少费用是22000元． 23. 如图，在矩形中，过矩形的对角线中点作，分别交，于，点． （1）连接，，求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ∴， ， 点是对角线的中点， ， 在与中， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 平行四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，则，又因为点是对角线的中点，故，再证明，则，证明四边形为平行四边形，结合，得出平行四边形为菱形． （2）由（1）得平行四边形为菱形．在中，设，则，根据线段的和关系得，进而求出，根据菱形的四边相等求出菱形的周长，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得平行四边形为菱形． ∴， ， ，， 中，设， 则， ，， 得， ∴， 菱形的周长为． 24. 我们不妨约定：若某函数图象上至少存在两个不同点关于点中心对称，则称该函数为“P函数”，其图象上关于点对称的两点称为一对“P点”． 根据该约定，完成下列各题： （1）在下列关于x的函数中，是“P函数”的，请在括号内打“√”，不是的打“×”． ①（ ）；②（ ）；③（ ） （2）若点与点是关于x的“P函数”的一对“P点”，且该函数图象的顶点横坐标恒小于3，求，，的取值范围． （3）若关于x的“P函数”（、、为常数）同时满足： ①， ②； 求该“P函数”图象与x轴相交所得线段长度的取值范围． 【答案】（1）√，×，√ （2），当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】（1）先求出关于点中心对称的点的坐标的特征，再依次在各函数图像上取一点，设其坐标，求出对称点的坐标，再代入函数解析式中判断其是否在函数图像上； （2）根据关于点中心对称的点的坐标的特征，求出点，点的坐标，代入函数解析式中，求出，的关系，的值，再结合函数图象的顶点横坐标恒小于3列不等式求解； （3）由（、、为常数）是关于x的“P函数”，设出对称点的坐标，由约定可知，，根据得，求出的取值范围，再根据继续求的取值范围，再利用韦达定理求的取值范围． 【小问1详解】 解：设，关于点中心对称， 则，， ，， ①设一点在上，坐标为，对称点为， 把代入中，等式成立，是“P函数”； ②设一点在上，坐标为，对称点为， 把代入中，，不是“P函数”； ③设一点在上，坐标为，对称点为， 把代入中，， 解得，因此是“P函数”； 【小问2详解】 点与点是关于x的“P函数”的一对“P点”， ，， ，， ，， 把，代入中得， 解得， 该函数图象的顶点横坐标恒小于3， ， 当时，解得，即，，， 当时，解得，即，，． 【小问3详解】 （、、为常数）是关于x的“P函数”， 设点在函数图像上，则也在函数图像上， ， 消去得， ， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根，， ，即， 即， ， ， 把代入得，即， ， ， ， ， ， 设“P函数”图象与x轴交点的横坐标为，，与x轴相交所得线段长度为， 两点之间的距离， 把代入中得， ，， ， 令，， ， 当时，， 当时，， ． 25. 四边形四个顶点均在上，且对角线． （1）如图1，当为直径时，过点作的切线，交的延长线于点．求证：． （2）在（1）的条件下，当，时，求线段的长度． （3）①如图2，点为优弧上一点，连接交于点，当为等边三角形时，求证：． ②如图3，当位于轴上，经过、、三点的抛物线解析式为（、为常数），记，、四边形的面积为、、，当时，计算线段的长度． 【答案】（1）证明：是的切线， ， 为直径， ， ， ，即， ， ， ． （2） （3） ①证明：为等边三角形， ， 共圆， ，， ，， ， ， ，得， 如图，将绕点逆时针旋转，得， ，，， 是等边三角形，， ， ， 共线， ， 将代入得，，即， 两边同时除以得，， ， ，即． ②2 【解析】 【分析】（1）由切线性质和直径所对圆周角是直角得，进而得，由得，题目得证； （2）证明，根据对应变成比例得的半径为，，设，则，在中，由勾股定理得，列关于的方程，解出，根据等面积法得，计算的值，根据垂径定理得，计算即可； （3）①先证明得，进而得，将绕点逆时针旋转得，进而证明是等边三角形，，证明共线，得，将其代入，化简题目得证； ②由得，设，证明，设，用含表示面积的等式回代到得，设，则，则根据的坐标写出抛物线交点式，将点坐标代入即可求得的值，即可得线段的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 由（1）得， ， ， ，， ，， 解得，， 设，则， 在中，，即， 解得，或（舍去）， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①略 ②解：由得，， ， ， ， ， ， ， 设， ，，， ，， ， ，，即， 可变形为，，即， ， 设，则，即， 将代入， 得，即， ，，即， 是等腰直角三角形，， ， 在中，， 设，则， 则经过、的抛物线解析式为：， 将代入得，即， ，解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026：立信中学九年级下学期中考二模数学试卷 命题人：高淼、李健波 审题人：李健波 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 C. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 D. 从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量为名学生 6. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 7. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度后得到点，则点的坐标是（ ）. A. B. C. D. 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 10. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当时， C. 它的图象与y轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、三象限 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 12. 因式分解：_____． 13. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 15. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是_______. 16. 在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上”； 小培说：“红色球不在我手上”； 小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”． 三个同学只有一个说对了，则红色球在______的手上． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20题、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 测量计算是日常生活中常见的问题，在现实生活中，往往当物体的高度不方便测量，此时我们可以借助所学的知识，利用直角三角形边角关系得到我们需要的数据．如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，小雅站在距离楼底端C点26米处的D点，测得此时旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为．（点A、B、C在同一直线上，且点A、B、 C、D处于同一平面内）（参考数据：，） （1）求楼高； （2）求旗杆的高度．（结果精确到1米） 20. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 21. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 22. 时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．学校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买2个A型机器人模型和3个B型机器人模型共需要2900元． （1）A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买A型和B型机器人模型共40台，要求B型机器人模型数量不超过A型机器人模型数量的3倍，且购买的总费用预算不超过24000元，怎样安排购买方案费用最少？最少费用是多少？ 23. 如图，在矩形中，过矩形的对角线中点作，分别交，于，点． （1）连接，，求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的周长． 24. 我们不妨约定：若某函数图象上至少存在两个不同点关于点中心对称，则称该函数为“P函数”，其图象上关于点对称的两点称为一对“P点”． 根据该约定，完成下列各题： （1）在下列关于x的函数中，是“P函数”的，请在括号内打“√”，不是的打“×”． ①（ ）；②（ ）；③（ ） （2）若点与点是关于x的“P函数”的一对“P点”，且该函数图象的顶点横坐标恒小于3，求，，的取值范围． （3）若关于x的“P函数”（、、为常数）同时满足： ①， ②； 求该“P函数”图象与x轴相交所得线段长度的取值范围． 25. 四边形四个顶点均在上，且对角线． （1）如图1，当为直径时，过点作的切线，交的延长线于点．求证：． （2）在（1）的条件下，当，时，求线段的长度． （3）①如图2，点为优弧上一点，连接交于点，当为等边三角形时，求证：． ②如图3，当位于轴上，经过、、三点的抛物线解析式为（、为常数），记，、四边形的面积为、、，当时，计算线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $