精品解析：2026年广东深圳市富源学校九年级数学中考全真模拟考试试卷

2026年九年级数学中考全真模拟考试试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 《九章算术》中对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之．”若盈余3万元记作万元，则万元表示（ ） A. 亏损万元 B. 盈余3万元 C. 亏损3万元 D. 不盈余不亏损 2. 下列音符图片是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条顺时针旋转的度数至少是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到不同颜色的棋子的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10. 平面直角坐标系中，点，，若直线与x轴平行，则点M的坐标是_____． 11. 如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（，）的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为______． 13. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，连接，交于点F，且，，则的长为______． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 16. 2026年2月，教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求加强学校劳动教育工作，实施劳动习惯养成计划．为落实政策，某校从七、八年级各随机抽取40名学生开展“学生周劳动时间”问卷调查，并对调查结果进行整理、描述、分析，部分信息如下． 七、八年级调查数据统计表 年级 中位数 众数 平均数 七年级 2 八年级 2 （1）在调查数据条形图中，七年级劳动时间为3小时的有__人，并补全条形图；统计表中__，__． （2）若八年级有400名学生，请估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数． （3）该校七年级学生和八年级学生一周参与劳动时间相比，哪个年级学生劳动时间更长？结合统计数据说明理由． 17. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍． （1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？ 18. 如图，在四边形中，，平分，， （1）求证：； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断是否为的切线，并说明理由． 19. 体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的在作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为，第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点，在点处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物钱，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同． （1）求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式； （2）若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点． ①求k的值； ②在距离原点处，水平放置一个距离地面高度为的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由； （3）如图2为提高训练效果，老师指导嘉嘉在可调节坡度的斜坡（近似看作直线出进行训练，为斜坡与的交点，在点处设置可调节支撑杆；且轴．当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出的取值范围． 20. 探究与思考 如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，与交于点． （1）【特例感知】 如图（），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是______； （2）【思考探究】 如图（），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？ 请证明你的猜想； （3）【类比迁移】 如图（），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值； （4）【联系拓广】 如图（），在平行四边形中，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级数学中考全真模拟考试试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 《九章算术》中对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之．”若盈余3万元记作万元，则万元表示（ ） A. 亏损万元 B. 盈余3万元 C. 亏损3万元 D. 不盈余不亏损 【答案】C 【解析】 【详解】∵“正”和“负”相对，盈余万元记作万元， ∴万元表示亏损万元． 2. 下列音符图片是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，故该选项符合题意， C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D．不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 3. 如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条顺时针旋转的度数至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行同旁内角互补和对顶角相等，求出旋转后∠2的同旁内角的度数，然后利用对顶角相等旋转后∠1的度数，继而用旋转后∠1减去110°即可得到木条a旋转的度数． 【详解】解：要使木条a与b平行， ∴旋转后∠1＋∠2＝180°， ∵∠2＝50°， ∴旋转后∠1＝180°﹣50°＝130°， ∴当∠1需变为130 º， ∴木条a至少旋转：130º﹣110º＝20º， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等，在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的相关运算法则逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵ 同类项才能合并，与不是同类项，不能合并，∴ 选项A错误； ∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴ 选项B错误； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减，，∴ 选项C错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，，∴ 选项D正确． 5. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到不同颜色的棋子的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到不同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同颜色的棋子的结果数为4种， ∴两次摸到不同颜色的棋子的概率， 故选：D． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，先解出不等式组解集，然后在数轴上表示即可，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ， 故选：． 7. 如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意得米，，由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：A． 8. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再得出，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，， ∴点运动到的中点时，的长为． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：． 10. 平面直角坐标系中，点，，若直线与x轴平行，则点M的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标特征列方程求解即可得到结果． 【详解】解：直线与x轴平行， 直线上所有点的纵坐标相等， 即， 解得， 点M的横坐标为，纵坐标为1， ． 11. 如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的内角和，弧长公式计算即可； 【详解】解：因为正六边形的一个外角为：， 故， 因为正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧， 故的长度为：； 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（，）的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴，轴，根据题意证明，然后根据正方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图所示，作轴，轴，垂足分别为，． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形． ∴设，，， ∵， ∴， 解得：． ∴， ∴A点坐标为， 将代入， 得． 13. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，连接，交于点F，且，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，，得到，，再证明，得到，代入即可求出，则，，过作交延长线于，由，得到，求出，由，得到，则． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过作交延长线于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解． 【详解】解：原式 因为，， 所以，， 所以只能为0， 当时，原式． 16. 2026年2月，教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求加强学校劳动教育工作，实施劳动习惯养成计划．为落实政策，某校从七、八年级各随机抽取40名学生开展“学生周劳动时间”问卷调查，并对调查结果进行整理、描述、分析，部分信息如下． 七、八年级调查数据统计表 年级 中位数 众数 平均数 七年级 2 八年级 2 （1）在调查数据条形图中，七年级劳动时间为3小时的有__人，并补全条形图；统计表中__，__． （2）若八年级有400名学生，请估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数． （3）该校七年级学生和八年级学生一周参与劳动时间相比，哪个年级学生劳动时间更长？结合统计数据说明理由． 【答案】（1）10；2；1， 补全统计图如下： （2）240名 （3） 七年级学生劳动时间更长，理由如下： 两个年级学生劳动时间的中位数相同，但七年级学生劳动时间的平均数和众数均高于八年级， ∴七年级学生劳动时间更长． 【解析】 【分析】（1）根据抽取的人数可求出第一空的答案，进而可补全统计图；再根据中位数和众数的定义求出a、b的值即可； （2）用400乘以样本中八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数占比即可得到答案； （3）根据七年级的中位数和平均数都大于八年级的可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，七年级劳动时间为3小时的有人； 把七年级的40名学生的劳动时间按照从低到高的顺序排列，中位数为第20个数据和第21个数据的平均数， ∵， ∴第20个数据和第21个数据均为2小时， ∴七年级的中位数为小时，即； 八年级劳动时间为2小时的占比为， ∴八年级劳动时间为1小时的人数最多， ∴八年级的众数为1小时，即； 【小问2详解】 解：名， 答：估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数为240名； 【小问3详解】 略 17. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍． （1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？ 【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子 【解析】 【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解； （2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解． 【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元． （2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的最大值为87； 答：最多购进87个甲种粽子． 【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键． 18. 如图，在四边形中，，平分，， （1）求证：； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断是否为的切线，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， 平分， ， ， ， 即． （2） 如图，即为所求． 是， 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】本题综合考查角平分线性质、勾股定理及逆定理、三角形外接圆与切线判定，核心是利用几何性质与定理，通过作辅助线、等量代换实现边与角关系转化，突破垂直证明与切线判定． （1）证：借角平分线作垂线，勾股定理算线段，再借助相似三角形的判定与性质，实现从边的计算到角的关系推导． （2）作外接圆与证切线：作垂直平分线定圆心作圆，利用半径相等、角平分线性质证平行，结合直角条件，依切线判定（垂直于半径外端）得结论，完成几何作图与位置关系证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的在作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为，第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点，在点处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物钱，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同． （1）求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式； （2）若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点． ①求k的值； ②在距离原点处，水平放置一个距离地面高度为的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由； （3）如图2为提高训练效果，老师指导嘉嘉在可调节坡度的斜坡（近似看作直线出进行训练，为斜坡与的交点，在点处设置可调节支撑杆；且轴．当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①； ②解：嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由如下， 当时，， ∵， ∴嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）依题意设嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①先求得，根据在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点得出第二个蛙跳路线为抛物线为代入，即可求解； ②将代入第二个蛙跳路线为抛物线，进而与比较，即可求解； （3）分别求得，时，点的坐标，进而将的坐标代入的解析式为，求得的值，结合图象，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为，代入得， ， 解得：， ∴嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①∵第一个蛙跳在点处落地， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵第二个蛙跳路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同． ∵在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点， ∴， 又∵， ∴， 解得：； ∴第二个蛙跳路线为抛物线为； ②略 【小问3详解】 解：∵第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点， ∴的顶点的纵坐标为， 当时，联立， 解得：或（舍去）， ∴， ∵抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等， ∴的解析式为， 代入得，， 解得：（舍去）或， 当时，联立， 解得：或（舍去）， ∴， ∵抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等， ∴的解析式为， 代入得，， 解得：（舍去）或， 综上所述，当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，． 20. 探究与思考 如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，与交于点． （1）【特例感知】 如图（），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是______； （2）【思考探究】 如图（），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？ 请证明你的猜想； （3）【类比迁移】 如图（），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值； （4）【联系拓广】 如图（），在平行四边形中，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 【答案】（1） （2） 解：猜想，证明如下： 如图在边上取一点M使，则． ∵四边形是菱形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及已知条件证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论； （2）猜想，如图在边上取一点M使，则．再根据菱形的性质证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图，延长，使．再证明是等边三角形，可得，再证明，再根据相似三角形的性质即可解答； （4）当时，在上取一点，使得，则是等边三角形．先证明得出，进而根据证明，根据相似三角形的性质，即可求解，，当时，同理根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵当四边形是正方形，． ∴． ∴． 又∵． ∴． ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长，使． ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 【小问4详解】 如图，当时，在上取一点，使得， ∵平行四边形中，是边的中点， ∴，， ∴， 又∵，则， ∴． ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形． ∴， ∴ 又 ∴ ∴ 设，则， ∴ 解得：， ∴， 如图所示，当时，则 过点F作，垂足为J，则， ． ∴， ． ∵ ∴即， ∴, ∵． ∴ ．即， ∴， ， ∴． ∵ ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 解得： 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了正方形与菱形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，分类讨论，灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $